MINISTERUL EDUCATIEI ~I iNVATAMiNTULUIANATOLIE HRISTEV VASILE FALIE DUMITRU MANDA

; IK

--Manual pentru clasa a IX-a

EDITURA DIDACTIC4. Sl PEDAGOGIC.!. BUCURESTI

Manualul a fost elaborat pe baza programei aprobate de M.El cu nr. 3448/28 IV 1979 ~i avizat de Comisia de fizica a M.EJ. Revizuit in 1981.

Cap. 1; 2; :3 ( . 1 - 5}; 5 ~i 6 au fost elaborate de A. Hriste" Cap. 4: R ~i 9 au fost elaborate de V. Falie C~l'- 3 l 6 - 8); 7 ~i 10 au fost ~laborate de D. Manda

CUPRINSCAP. 1.MI~CAREA ~I

REPAUSULo o o o

REFEREN;fl:C. VREJOIU, conf. dr. Facultatea de Fizica Bucure~tiC. CRISTESCU, ~ef de lucrari I.P. Bucure~ti I. POPA, profesor A. PETRESCU; profesorPAUl~ ~TEFANESCU, ~ef lucrari

Redactor: ELISABETA MESARO~ prof. Tehno.redactor: PARASCHIVA GA~P AR Coperta: NICOLAE SlRBU

1.1. Sistem de referintli ................................ 1.2. Punct material ........................................ 1o3. Traiectorie. Coordonate. Legea mi~clirii ........... ~- - .~ ........ . 1./i. Vector de pozitie ........................... - - ..... - - . 1o5. Deplasare ........... ~ o .......... . 1.6. Mlirimi vectoriale ........................................... - ........... 1.7. Viteza _ ................................................... ' .... ........... .. . .................. . 1.8. Acceleratia ........._ 1.9. Clasificarea m~clirilor punctului material .................................... . 1.10. Relativi~atea mi~clirii mecanice - ............ - ........................... . 1'.11. Compui:lerea mi~clirilor ........ - ....... - .................. - ............ - ....... . 1.12. Reprezentarea graficli a legii mi~carii .... - .1:. .............. - . Probleme rezolvate ............ - ..................................................... . lntrebari. Exerci1ii. Probleme ....... - ................................ .o _. o o o o4 . - - .......... - . . . . . . . . . . . . . . . . . -4 ... ........... - - ............ - ..........

7 8 911

121~

o o

18 2326

27 28 29 3132

CAP. 2. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE 2.1. 2.2. 2.3. 2./i. Principiul inertiei - ...... - .............. - ..... - .. . .... .. . .... . .. ... .. . . . . . . . . . Sisteme de referinta inertiale ......~ .. - - .... ... .... .... ... ... . . ... . . . . . . . . Principiul fundamental al dinamicii ......................... ; . . . . . . . . . . . . Principiul . actiunilor reciproce ................................. - . . . . . . . . . . 2~5. Principiul suprapun~rii fortelor .... - - .... . . . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Principiul relativitlitii tn mecanica newtoniana - ...... -.... ... . . . . Probleme re,..olvaiie ................ -~ .... - ....... .:.. - ................ - ........ : . . .. lnttebilri. ExerciJii. Probleme .... - - -- ......... - ........... -..........~Il~CAREA PUNCTULUI MATERIAL SUB ACTIUNEA UNOR TIPURI DE FORTE

3~

35 38~li

ii8

51 5257

CAP. 3.

3.1.

Mi~carea rectilinie uniformli .....,................................. Probleme rezolvaiie ............ - ...................................... lntrebilri. Exercifii. Probleme .........................o

60

62,62

3

3.2. Mi!lcarea rectilinie uniform variata ............................. .

64.

fi.5.* Centruldemasaalunuisistemoarecare de particule ............. .

3.3.

3.lt.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

69 rezolvate ... - _ ..................................... ~ . - 71 Exerci#i. Probleme . .... - .......................... 72 M~area corpurilor sub actiunea greutatii. ....... - - .................. ...., 77 Probleme rezolvate :,. _ _.. ~- - _ - __ ...... - ........ - - ... - ....... . 80 lntrebiiri. ExerciJii. Probleme - ~ ............. ~~ -- -. ~ - - - Fortele de frecare .... ~- _ .- ........................ - ... - ....... _ .... 83 Probleme rezolvate _ ... - ................................ ' - - ... .:. .. 92 lntrebiiri. ExerciJii. Probleme._ ... - ............................ - . 9~ Mi~Jcarea circulara un iforma : - __ - ... _ - .... _ . _ .... ~ Problema rezolvata ... __ - ... ____ ................................ - _ 105 lntrebdri. ExerciJii. Probleme~. ~ .................... .;. - _.. 106 Forte elastice .._ - . ~ ................... - -- .. - 108 Probleme rezolvate ........... 111 lntrebiiri. Exercijii. Probleme .... ............ _.. - ....................... - .,.. 112 Legea atractiei universale a lui Newton. Ctmpul gravitationaL ........_. 113 Masa gravifica. Relatia dintre masa gravifica l}i masa inertiala, Satelitii artificiali ~ ... _............. __ . . .. .... ... . .. 119. Problema. rezolvata: . """ ~ .................. - - _ ....... - ........ - ..,.. 122 lntrebar~. ExerciJii. Probleme.~ . . - .- ........... - .. ~ - .... - - - ... 122

Prebleme lntrebiiri.

5.6.

Ciocniri ...................................................... . Probleme rezolvate ..... ...................................... . lntrebari. Eierci/ii. Probleme ....... ........................ .

158 159 167 168

CAP. 6. MOMENTUL CINETIC6.1.

Momentul fortei. Momentul cinetic al punctului ~aterial.:........ Teorema momentului cinetic pentru punctul material. Conservarea ................................. -...... momentului cinetic 6.3*. Teorema momentului cinetic total al unui sistem meeanic. Conservarea momentului cinetic total - .................... ~............. lntrebari. Exercifii. Probleme .. ............................. _.. . . 6.2.

1721 J7

118

-17~

4

.............. -

,..;

- - - . . . . . . . . . . . . . .4 - -

CAP. 7*. CINBMATICA ~I DINAMICA RICHDULUI7.1.. 7.2. 7.3. 7.4.

Notiunea de rigid ....... -- ... - .. ~.............................. Viteza ~i acceleratia unghiulara.. ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . Energia cinetica de rotatie. Momentul de inertie al unui rigid...... Legile cinematicii :;;i dinamicii solidului rigid .... -................ Probleme rezotvute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lntrebari. Exerrijii. Probleme .. ...... - .................... _......

1~1 -181 184 186

190192

CAP. 4. ENERGIA M~_gi\_N'.!.C_A""~--r!lN.CTDLULMA.T.ERIAL _$I__ A. ~J.~TEl_MPLDL . DELEUN~--MNI'ERIALE 4.1. 4.2. 4.3. Lucrul mecanic efectuat la mi~Jcarea punctului material intr-un cimp de forte ....................,.. -- .............. - ........... ~ .. -- .... .... . . . . . . 124 Energia cinetica. Teorema variatiei energiei cinetice _a punctului material ......... -~ _ _.. -~ - - ................................... -........ 135 Energia potentiala a pun~tului material in cimp conservativ de Iorte. Energia mecanica a punctului materiafin cimp consft'vativ 139 de forte .... --- - - - ..... -~ . Conservarea energiei mecanice - ......... - ............. 14~ Sisteme de puncte materiale. Forte interne ~i forte externe . . . . . . 145o4 - .............. 4 " -4

\

CAP.

~-

ECHILIBRUL

\1ECAJ\IC

AL

CORPURILOH193 J 97

8.1. Sis tern. de forte concurente. Rezultanta. ~fi~carea de translatie. .8.2. Compunerea fortelor paralele. Cuplul de forte. Mi~carea de rota tie ..

8.3. Centrul de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Echilibrul mecanic. Conditii de echilibru ..................... _. . 8.5. Echilibrulin cimp gravitational. Echilibrul_ ~i energia potentiaHi . . lntrebari. ExerciJii. Probleme. ... . . ... .. . . . . . . . . . . . . . .\

204208

21'7220

4.4. 4.5.*

I CAP.

9. MECANICA FLUIDELOR 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. Starea flu ida .......... ~ ...... - ............ -~ ... . . ~. . . . . . . . . . . . . . . Notiunea de presiune ...... ~-~ ...... - ................... ~. . . . . . . . Statica fluidelor: hidrostatica !]i aerostatica ........ -. . . . . . . . . . Dinamica fluidelor ... ..- - .................. _. . . .. . .... ... .... .. . . . . .. . . . . . . . . lntrebari. ExerciJii. Probleme .... .... .. .... .... .... . . - ... .. . ... . . . . . . . . 225 226 22724~

Probleme rezolvate -~ __ - .......... - - - __ - ..... -~ -........ lntrebari. ExerciJii. Probleme __ .......,. - - .... ,..,.. .. - .. ......

147

148

252

5.1.

--5.2.

Teorema impulsului pentru punctul material. Conservarea impulsului Teorema impulsului ~i legea conservarii impulsului pentru un sistem de doua particule ............ - ........... - - .. - . - - - .......... - ... . 5.3.* Teorema impulsului ~i legea conservarii impulsului pentru un sistem oarecare de particule - - - - ........... - ..... - - ................ - 5.~. Centrul de masa al unui sistem de doua particule. . . . . . . . . . . . . . . . . .

153 \ CAP. 10. UNDE ELASTICE. NOTIUNI DE ACUSTICA 154 -155 156 10.1 Oscilatorul liniar armonic. Compunerea oscilatiilor , 10.2. Peridulul gravitational. Rezonanta ............. - - -.. ... . . . . 1.0.3. Propagarea mi~dirii oscilatorii -4 , - . . . . . . . .0

255 267 270

4

5

10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10. to.

10.4. Unde transversale, unde longitudinale. Viteza de propagare.... . . . . 274 Bcuatia undei plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Clasificarea undelor elast ic-P dnpa freeventa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Conditii de audibilitate a osrilatiilor elastke................... 2R5 Reflexia ~i refractia undelur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Difractia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Interferenta. Unde staponare................................ 293 10 .11. * Co;1rde 9i tuburi son ore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 lntrebari. Exercijii. Probleme .................... ........ 302 Probleme recapltulatlve ..................... , . . . . . . . . . . . . . . 307

1MI~CAREA ~I

REPAUS.UL

Fizica studiaza diferite fenomene ale naturii: mecanice, termice, electrice. optice, atomice etc. Cel mai simplu dintre ele este mi$carea mecanica, studiata in cadrul mecanicii. Mecanica, numita clasica newtoniand. a fost elaborata in esen~a de ISAAC NEWTON (1643-1727) i expusa in celebra sa ca.rte ,PrincipiilP matematice ale filo.zofiei naturale" (1687), unde sint formulate cele trei legi sau principii ale mecanicii, precum i legea atrac~iei universale (gravita~ionale) (aplicata la micarea sistemului solar).. . Mecanica se imparte de obicei in trei capitole: eine:rnatica se ocupa cu descrierea geometr~c~, spa1io-tem po~aHi, -~l!li..c_~!'i!_lq() 0, Vm > 0) i este negativa daca mobilul se mica in sensul ~egativ al axei (Ax < 0, Vm < 0).BXEMPLU Un biciclist pleaca din Ploie~ti (x1 = 60 km) la ora t 1 = 8,0 h ~i ajunge la Sinaia (x 2 = 127 km) la ora t2 = 13,0 h. Viteza medie pe 'aceasta distanta D.x = x 2 - x 1 = 67 km san pe intervalul de timp respectiv D.t = t2 - t1 = 5,0 h este Vm = D.xf b.t = 67 km/5,0 h = 13,(1; kmfh. Dar biciclistul n-a mers tot timpul cu aceasta viteza. La lnceput a mers probabil mai repede, apoi mai incet. Cind a oprit sa se odihneasca viteza a fost zero; dadi a pierdut ceva ~i s-a in tors, viteza a fost negativa. Viteza medie calculata pentru alte intervale de timp sau pentru alte distante (de exemplu, Ploie~ti~Cimpina, Breaza-Comarnic) a fost alta. Pentru a afla viteza la un moment dat t sau intr-un anumit punct x al traiectoriei, de exemplu, viteza biciclistului la Baicoi, in dreptul bornei kilometrice x = 80 km, vom masura viteza medie a biciclistului pe o distanta mica~ de exemplu, D..x =.10 m in vecinatatea bornei kilometrice respective. Luind o distanta ~?i mai mica, !lx = 1 m, l?i folosind un ceas electric vom gasi o viteza foarte apropiata de viteza biciclistului in momentul dnd. trece prin punctul x = S - - - -pormreaI'"' .., pe distante din ce in ce rna i cronometrului ;,~.:-.:---- ..._opnrea . mici: PA, PB, PC, PD, ... cronometrulUJ Cronometrul este porn it ~~ opr it cind camionul calca cablurile, respec~ive. 'J~ig.If

~- /--/-~,~8~~~IP

7 e

A______,_._

19

18

Conform procedeului descris, cunoscind legea mi~carii .X = f(t) {adidi ecuwa~ia ~ine matica a m~carii), putem calcula viteza (II\Omentana). tn adevar, sa calculam v1teza mobilului la moroentul t. Pentru aceasta sa consideram un moment apropiat t' = t + ll.t Calculam coordonata mobilului pentru acest moment t' : x' = f(t') = f(t + ll.t). Calculam deplasarea respectiva ll.x = x' - x = f(t + ll.t) - f(t), o raportam Ia intervalul de timp respectiv ll.t = t' - t ~i facem a poi ca ll.t sa descreasca catr..e zero ( ll.t __. 0).

1.7.2. Mi~carea plana. (Analog se studiaza mi~carea in spatiu:-) Cunoscind ecua~iile mi~carii x = f 1 (t), y = f 2 (t), putem calcula, exact ca n1ai sus, vitezele medi~ ~i momentane ale mobilului in. directiile axelor de coordonate. N otam vitezele respective cu un indice corespunzator axei:Vxrn =

l1x -' D.t

Vym

=

-

l:l.y !J.t

(1.14)

EXEMPLE1. Fie Iegea mi~carii x 2t 2 - 3. Calculam x' .= 2t' 2 - 3 = 2\t 4tll.t deplasarea ax= x'- x = 2(t + ll.t) 2 - 3 - (2t 2 - 3) tam Ia ll.t:ll.x = 4tll.t + 2(!1t) ll.t ll.t2=

+ ll.t) 2 - 3. + 2(!1t) 2 ~i

Calculam o rapor-

Daca luam intervale At din ce in ce mai mici, descrescind (tinzind) catre zero. At __. 0 (at unci ~i A;c __. 0, fly __. 0), ob~inem vitezele momentane:Vx

dx = -:---, dt

Vy

=-.dt

dy .

(1.15)

Itt+ 2 ll.t. \,

Pe de alta parte, deplasarile Ax i !l.y sint componentele pe axe ale vee-+

Facind acum pe ll.t sa descreasca (sa tinda) catre zero (ll.t __,. 0), ultimul termen se anuleaza ~i obtinem viteza (momentana):dx v =-=Itt. dt

torului deplasare Ar (fig. 1. 8). Daca impartim vectorul deplasare la intervalul de timp (care este un scalar), ob~inem vectorul viteza medie:-+Vm=~.

AB

___.

ll.r = -. ll.t !:it

-+

(1.16)

2. Mai general, fie legea

mi~cariiX

=

At2

+ Bt + c' +ll.t:

(1.10)

unde A, B, C slnt ni~te constante (numere). Calculam coordonata x' pentru momentul t' = tx'=

Vectorul viteza medie are directia i sensu! vectorului deplasare, ~ar modulul egal cu modulul vectorului deplasare impar~it la intervalul de timp. Componentele 'vectorului viteza (1.16) pe axe sint tocmai vitezele (1.14) ale proiectiilor ~obilului. 1.7.3. lnmultirea vectorilor en sealari. Daca ad.unam un vector a cu el insu~i ob~inem un vector de aceeai direc~ie i acelai sens, dar de modul dublu, ~eea ce se scrie astfel: a-+ -+

A(t

+

!1t)2

+ B(t +

ll.t)

+=

C = At2=

+

2Atll.t B ll.t

+ A(ll.t) 2 +2

Bt

+

B ll.t

+

C,

de unde deplasjlrea ll.x

x' - xVm

2Atl:it

+ +

+ A(ll.t)

:;;i viteza medie

l:ix !:it

=

2At

A B + ll.t.

Facind acum !:it __. 0 ultimul termen se anuleaza :;;i viteza devine:' dx v = - =2At +B. dt (1.1'1)

+ a _: 2a. La fel pen.tru mai mul~i vectori: a + a + a + ... + a = n a. (1.17)-+ -+ __,...

-+

-+

-+

de n ori

Daca punem a cum:-+

Prin urmare daca Ie(J'ea. mi~carii este data de un polinom de gradul II in timp (functie patratica de' timp) (~.10), viteza va fi un pol~n?m. de gradul I in timp (functie liniari1 de timp) (1.11). Vom folosi acest rezultat ma1 tirzm. 3. Fie legea.mi~carii

( -1) a

= -a 1 0 a

-+

0,

(1.18)

obtinem prin generalizare regula inmul~irii vectorilor cu numere reale (cu scalari). Prin inmulfirea unui vector a cu un numar real r se ob~ine un vector-+ -+/

x

At+ B, unde A, B sint constante.

(1.12)=

Calculam coordonata x' pentru t'x' =At'+ B = A(t

= t+

ll.t ~i a poi deplasarea l:ix

x' -

x:

+

!:it)

+

B; ll.x

x'- x

=

A~t.

ra

=-+

-+

ar de modul

Viteza medie vmll.x = A = const = dx =!:itdt

cu a daca rv.(1.1 ;.{ )

I r I I a I i de aceeai directie cu -t > 0 ~i opus lui a daca r < 0 (fig. 1.18) .-+

-+

-+

a; sensu! va fi acela~i

A impar~i un vector a la un numar real p =F 0 inseamna a-1 inmulti cu . . I -: 1 numarup

Nici nu este nevoie sa descre~tem pe ll.t catre zero, deoarece raportul este constant; viteza medie este constanta ~i coincide ru viteza momentana - mi~carea se nume~terectilinie u,niformd.

-+ a p

1p

.a,

-+

20

21

..aI

-a

.......

y = {2(t), z = (3(t). Vitezele mi~cari~or componente sint componentele vectoru~

IJ

I

2t

...-~a=-1 s-a 2 I

...

___...,2 2

I

I

lui viteza v(vx, v11 , v:z) al mobilului . In cazul plan, aplich)d teorema lui 2 0' Pitagora, avem r 2 = x + yz, v2 = v; + v;. . _....or\

i -a=0,5a 1.. -=

ln cazul mi~carii rectilinii vectorul de-l~

\

\

plasare_.,.. v~

!).r

!?i vectorul viteza

vm

=

_.,..

\~

l~.rf ~t,

Fig. 1.18. lmnultirea ~i tmpar\irea vectorilor cu numere (cu scalari).

a die~ modulul vectorului dat se imparte la I p 1 , direc~ia nu' se schimba, iar sensul ramine acela~i daca p > 0 1 se inverseaz~ dac~ p < 0. In cazul vitezei (1.16), At este totdeauna pozitiv! lnmul~irea vectorilor cu scalari este asociativa i distributiva:(1.20) ~.7:4. Vectorul viteza. In cazul mi~carii curbilinii vectorul deplasarem(na) = (mn)a, (m~i-+

drfdt sint situati chiar pe dreapta mi~arii; in locul figurii 1.19 vom av~a figura 1.20. Aleg!nd dreapta mi~carii, d~ept axa 0' x' !?i

Fig. 1.20. l.n cazul mi~carii rectilinil,_.,..

vectorul deplasare llr ~i vectorul viteza-+ -+ _.,.. -+

-+

-+ ' -+ -+ -+ -+ + n)a = ma + na, m(a + b) =

-+

ma

+ mb.

-~

-+ _.,..._ -+ Vm = llrf llt, respectiv v = drfdt, slnt proiectind pe aceasta axa vectorii Ar, Vm, v, chiar pe dreapta mir;;dirii O'x'. Proieetati pe aceasta . axa, ei dau ~x', obtinem deplasarea llx', respectiv viteza vm = ~x'f llt, v = dx'fdt a~a cu,m le-arn definit Vm = ~x'f ~t, v = dx'fdt. in t 7.1. Observam ca pentru un vector paralel . r~1 o axa, componenta (proiectiaLsa pe acea axa este egala cu plus sau minus modulul vectorului, dupa cum acesta este orteu.tat in sensu} pozitiv sau negativ al axei.

Dadi vectorul viteza este constant, micarea este rectilinie uniforma (numita

vectorul viteza medie Vm= ArjAt, pentru un interval oarecare, au direc~ia secantei AA' Ia traiectorie (fig. 1.19). Pentru a ob~ine viteza momentana intr-un punct A al traiectoriei trebuie sa luain un interval At = = t' - t foarte mic, descrescind catre zero, atunci punctul A' se apropie de A, iar secanta AA' se rotete bt jurul punctului A (AA'~ AA" etc.) pinit ctnd devine tangenta la traiectorie (cfnd punctele A, A' se confunda), deci veetorn! viteza momentana-+

Ar =. AA'

-+

~

-+

-+

pe scurt, uniforma).1.8. ACCELERATIA

v llr v =-, adteadt

dr

-+

'

dt

-

C

..nd '

A 4 LU

-+

O,

'/

(1.21)

este tangent la traiectorie in punctul considerat, adica are direc~ia tangentei Ia traiectorJe ~i sensul dat de sensul micarii mobilului tn acel moment. Proiectind punctul m11terial pe axele de coordonate, micarea sa curhi.lirHe tn spa~iu r = f(t), -+ v = drfdt se descompune in micari rectilinii dupa \lA.ele de coordonate, descrise de ecua~iile cinematice ale micarii: x . f1 (t),

In general _vectorul viteza se st5himha in timpuln1i~carii, atit in moduldaca mohilul merge mai repede san moi incet pe traiectoria sa, cit ~i ca direc(ie - daca traiecivl'ia este curbilinie. 0 aceea~i Va!'ia~ie . ._ vectorului viteza se poate produce intr-un timp mai lung san mai scurt. Pent:ru a compa.ra neuniformitatea diferitelor mi~ca'ri trebuie sa calculam varia~ia de viteza in acela~i interval standard de timp . (unitatea:de timp). De aceea, vom impar~i varia~ia vitezei la interva,lul Je timp in care ea s-a prod us, pentru a afla varia~ia vitezei care revine (coresj.>nnde) unitatii de timp.1.8.1. Acceleratia In micarea rectilinie. ln cazul mi~carii rectilinii,accelerafia medie (in intervalul de timp At) esteam = ~v ll.t

= v2 -

v1 =. variatia vitezei t 2 - t1 intervalul de timp

(1. 22 )

Fig. 1.19. Vectorul. -+

vitez~

medie

vm

= llrf llt are directia

iectorie: AA'. F~ch1d sa descreasc~ catre zero, punctul A' se apropie de A {trectnd prin A" etc.), secanta se rote~te in jurul lui A ~i de.vine tangenta la traiectorie, deci vectorul viteza (momentan~) v .= drfdt estr tangent Ia traiectorie tn fiecare moment :;;i are sensul dat de sensul mi~dirii.,-+ -+

secantei la trape ill = t' t

Ea poate fi pozitiva san negativa dupa semnullui Av. Accelera~ia medie caracterizeaza varia~ia globala a vitezei in 1ntervalul At, dar pe subintervale de t._imp mai scurte varia~ia vitezei poate fi diferita. Pentru a caracteriza varia~ia vitezei ,Ia un moment dat", vom calcula raportul (1.22) pentru intervale At din ce in ce mai mici, descrescind catre zero, ~i vom ob~ine astfel accelera~ja momentana (san instantanee):a =" ~ij dnd At -+ 0 adica a = ~ .CJ.t

Vx

dt

(1.23)

22

23

De exemplu, fie legea vitezei: v = 2t - 5.. Calculam viteza v' Ia momentul apropiat t' = t flt, anume v' 2t' - 5 = 2{t flt) - 5. Calculam acum variatia vitezei flv = v' - v = 2(t flt) - 5 - (2t- 5) = 2 flt ~i o raportam Ia intervalul de timp flt : am = flvj flt = 2, deci am este constanta ~i coincide cu acceleratia momentana. Mai general, dadi Iegea vitezei este v =At B, unde A, B sint constante, rezulta am

+

+

+

=

a

= A ~i mi~carea se nume~te rectilinie uniform variatd ... 1.8.2. Veetornl aeeeleratie. ln cazul micarii in spafiu, daca-+

+

impar~im

vectorului viteza Av (fig. 1.21) la intervalul de timp At in care s-a produs, ob~inem varia~ia medie a vectorului viteza pe unitatea de timp, numita vectorul accelerafie ?ftedie: "-+ -+-

varia~ia

;m =

flv = v 2

v1

= variatia vectorului vitezaintervalul de timp

At

t2

-

t1

( 1. 24 )

a curbei, in sensul in care deviaza virful vectorului viteza cind mohilul se misca pe traiecto:ie. Vectorul accelera~ie este paralel cu vectorul vitezei numai in cazul mi~arii rectilinii, cind numai modulul vitezei variaza, direc~ia raminind neschimbata. Subliniem inca o data ca acceleratia caracterizeaza sa u masoara variatia vectorului viteza (calculata, pentru unitatea de timp) i nu viteza raportata la timp. Daca vectorul viteza este constant, nu variaza, nu avem accelera~ie, indiferent de valoarea vitezei. Accelera~ia momentana poate fi nenula, chiar daca in acel moment viteza este nula. Analog ca pentru vectorul viteza, componenta vectorului accelera~ie pe 0 axa reprezinta accelera~ia mobilului in dire~lia acelei axe i este egala cu accelera~ia cu care se mica proiec~ia mobilului pe acea axa, de exemplu:ax = . Avx m At

El caracterizeaza global (in medie) varia~ia vectorului viteza in intervalul de timp considerat. Dar in subintervale de timp mai mici varia~ia poate fi diferita. La fel ca in cazul vitezei medii i vitezei instantanee, luind un interval de timp foarte mic (care descrete catre z~ro), ob~inem vectorul accelera~ie momentana (sau instantanee), numit pe scurt vectorul accelera~ie. Vectorul acceleratie (momentana) este varia~ia vectorului viteza calculata pentru un interval de timp foarte scurt in jurul momentului care ne intereseaza i impar~ita la acest interval (pentru a ob~ine varia~ia care revine unitatii de timp):-+-+

i

ax

=

d-Vx (adica AVx dt flt

cind

At -+-+

o) .

(1.26)

ln cazul particular al micarii rectilinii, varia~ia Av, calculata pentru un interval At suficient de mic, deci i vectorul accelera~ie, este in acelai sens cu vectorul viteza, daca modulul vitezei crete (micare accelerata) i este in sens opus vectorului viteza, daca modulul vitezei scade (micare incetinita) (fig. 1.22). . Accelera~ia (L22-1.23) definita mai sus in cazul micarii rectilinii reprezinta componenta vectorului accelera~ie am = Av/ At, a = dvfdt pe dreapta micarii Ox i este pozitiva daca vectorul accelera~ie este orientat in sensul pozitiv al axei. Micarea .este accelerata,daca viteza v i accelera~ia a au acel~i semn,i lncetinita, daca l;lU semne opuse.EXE:M:PLU-+

-+

-+

-+

a=-+

flv flt

A cind. utA

-+

O d" ... -+ , a ICa a

-+

dv =. dt-+

(1.25)1.2~).

Accelera~ia

medie am are-+

direc~ia

i sensu} vectorului A.v (fig.-+

Cind

n descretem pe A.t catre zero, vectorul aputin de am (aa cum traiectorie).-+

ob~inut-+

poate diferi, in general,direc~ia

Vm

are

direc~ia

secantei, iar v are

tangentei la

0 b s e r v a ~ i e. Din figura 1.21 se vede ca vectorul accelera~ie este totdeauna indreptat spre ,interiorul" traiectoriei, adica spre partea concava

Un tren care se mit?ca cu viteza de 90 kmfh este la un moment dat frinat astfel inctt in 20 secunde viteza sa scade la 18 kmfh. Sa se calculeze acceleratia medie tn aceasta mi~care tncetinita. Rezolvare. Alegem sensul pozitiv pe traiectorie tn sensul mi~carii (al vitezei). Atunci v 1 = {-90 kmfh = 25 mfs, v 2 = +18 km/h = 5 m/s ~i acceleratia medie:am

v2

-

v1

5 20

25 m/s

At

s

-1m/s 2

\

\

Fig. 1.21. Variatia vectorului\ \

Semnul minus arata ca vectorul acceleratie este orientat tn sensul opus sensului pozitiv ales ~i cum vi~eza este pozitiva, semnul este in concordanta cu caracterul iRcetinit al mi~carii (v > 0, a < 0}.

\

~

/

\

\,~/ A1"

/

traiectoria

viteza D.:v :::;:= v 2 - v1 in intervalul ae timp . flt = ta - tll vectorul acceleratie medie-~

-+

-+

-+

am

=

b.vf l::!,.t

-+

~i-+

aeceleratia-+

momentana a = dvfdt.

0 b s e r v a ~ i i. 1. ln cazul micarii rectilinii, semnul vitezei v i semnul a depind atit de sensu! micarii mobilului, cit i de sensul ales pozitiv pe axa m~carii. Daca schhnbam sensul pozitiv pe axa micarii, atit v cit i a ii schimha amindoua semnuJ ,(de aceea caracterul accelerat sau incetinit nu depinde de sensul ales pozitiv pe axa micarii).accelera~iei

24

25

A0

... v1

;.

Ai

~a..;..

v2 ..

1.10. RELATIVITATEA MISCARII MECANICE

V.2Av1 B

2

> 0 inseamna accelerare ~i a < 0 inseail).na frinare. 2. ln cazul mi~carii rectilinii, accelera~ia medie, conform fo;mulei (1.22) ne arata cu cit variaza in medie in unitatea de timp (1 s)' viteza corpului (pentru fiecare secunda din intervalul de timp ll:t pentru care a fost calculata acea accelera~ie medie). ln adevar, din (1.22) avem ll:v = am ll:t ~i pentru At= 1 s, rezulta Av = am. De exemplu, daca acceler-a~ia unui tren este a = 2,0 m/s 2 , inseamna ca viteza sa crete in fiecare secunda cu 2,0 mfs. Caracterul accelerat sau incetinit depinde ~i de semnul vitezei: daca v > 0, trenul este accelerat, daca v < 0, el este frinat:Doar semnul.accelera~iei singur nu ne spune inca despre caracterul accelerat sau incetinit al micarii. . lata inca un exemplu. Daca vectorul accelera~ie al unui lift este indreptat in sus, aceasta inseamna fie pornire accelerata in sus fie frinare la coborire. Daca. vectorul acceleratie al liftului este indreptat in jos, aceasta inseamna fie pornire accelerata in jos fie frinare la urcare. Exemple de acceleratii. Acceleratia gravita~ionala de cadere libera a corpurilor pe suprafa~a pamintului g = 9,8 mfs 2, pe suprafa~a Lunii 1,62 mfs 2, pe suprafa~a Soarelui 271 m/s 2, pe Marte 3, 77 mfs 2 Accelera~ia unui electron intr-un atom de hidrogen Q,9 1022 mjs 2 Un .om suporta in mod acceptabil accelera~ii pina Ia de cinci ori accelera~ia gravita~ionala~

Am vazut ca no~iunile de repaus .~i de micare nu au sens decit relativ Ia un sistem de referin~a. Acelai lucru este vaJabil i pentru traiectorie, adica nu numai viteza, ci i forma traiectoriei de inde de sistemul de referinta a es. Uneori in Ioc de s1stem de referin~a se spune ,o])servator", fiindca totdeauna un observator studiaza fenomenele fa~a de un sistem de referin~a legat de el (sistem de coordonate, rigla ~i ceasornic) i reciproc, putem considera cii in oricare sistem de referinta se afla un observa,tor care studiaza fenomenele. Pentru exemplificare se considera un observator aflat intr-un vagon, ce se misca orizontal cu viteza constanta v. Observatorul tine in :mina un obiect. Pentru observa,torul din tren obiectul este in repaus, traiectoria se reduce Ia un punct, deplasarea i viteza sint zero. Pentru observatorul de pe4

-+

Pamint, obiectul se deplaseaza orizontal cu viteza v impreuna_ cu trenul i traiectoria este o dreapta orizontala. Daca observatorul din vagon scapa obiectul din mina, acesta va cadea yertical in jos fata de vagon, dar fata de observatorul de pe Pam.int, obiectul va descrie o traiectorie curbilinie i vectorul viteza va avea directie variahila in timpul caderii (fig. 1.23). Un alt exemplu ii constituie un obiect lasat Iiber sa cada dintr-un avion (fig. 1.24). Pentru un observator t~restru, traiectoria va fi curhilinie, analoagaI III

r------------------,

Fig. 1.28. Traiedoria ~i vit(zoJ unui obiect care cade intr-un vagon !n mi~care sint diferile pentru observatorul din vagon ~i pentru observatorul de pe Pamint.

~~,~

v

l ...... {..... : I I "-..,. I L--~--~----~-~~I

~~~~)I I1

I I

I

I

I

L-~

1.9. CLASIFICAREA MISCARILOR PUNCTULUI MATERIAL

-~ ~~ tI

I

Mi~carea

punctului\ material

. 1

reetilinie uniforma v. = .const. (a = 0) (pe scurt: uniformc1)4

I I

... II

I

t

I I:

I II

rectilinie

uniform aceelerata

celei din exemplul precedent, in. timp ce pentru aviator traiectoria va fi practio (daca neglijam rezisten~ aerului) o liniB verticaHi, tot timpul sub avion, daca avionul continua sa zbo~e orizontal rectiliniu uniform. Astfel de exemple ne demonstreaza relativitatea traiectoriei, deplasii.rii

/; //(({(((({((((((('(((((((