SILVESTRU GROZEANU

FIZICA GENERALA

EDITURA ACADEMIEI NAVALE MIRCEA CEL BATRAN CONSTANTA, 2008

6

Cuprins

1. Obiectul fizicii. Fenomene fizice, mrime fizic, legi fizice, metodele fizicii, operaia de msurare, unitate de msur, formule matematice i formule fizice, coeficient parazit, sistemul internaional de uniti de msur, analiz fizic, dimensional a formulelor fizice

15

1.1 Obiectul fizicii. Definirea fizic ca tiin 15

1.2 Fenomenul fizic 15

1.3 Mrime fizic. Lege fizic 15

1.4 Metodele fizicii 16

1.5 Operaia de msurare 17

1.6 Formula matematic, formula fizic, coeficient parazit 17

1.7 Sistemul Internaional 18

1.8 Omogenitatea formulelor 19

1.9 Analiza dimensional a formulelor fizice 19

2. Oscilaii mecanice 21

2.1 Cinematica i dinamica micrii oscilatorii 21

2.2 Dinamica micrii oscilatorii unidimensionale 21

2.3 Energia oscilatorului n micarea oscilatorie armonic 29

2.4 Bilanul energetic n micarea oscilatorie amortizat 30

2.5 Micarea oscilatorie ntreinut 31

2.6 Rezonana 35

7

2.6.1 Amplitudinea la rezonana 35

2.6.2 Energia i puterea n micarea oscilatorie ntreinut 37

2.6.3 Oscilaii autontreinute 38

2.7 Reprezentarea micrilor oscilante 39

2.8 Compunerea oscilaiilor 41

2.8.1 Compunerea oscilaiilor paralele de aceeai pulsaie (sintone) 41

2.8.2 Compunerea oscilaiilor paralele cu pulsaii diferite 42

2.8.3 Compunerea oscilaiilor perpendiculare, de aceeai frecven 43

2.9 Descompunerea micrii periodice 46

3. Unde elastice 49

3.1 Propagarea oscilaiilor n medii elastice. Fenomene fundamentale. Definiii

49

3.2 Ecuaia de propagare a undelor elastice 50

3.2.1 Ecuaia de propagare a unei unde elastice transversale pe o coard infinit de lung (Ecuaia corzii vibrante)

50

3.2.2 Ecuaia de propagare a unei unde elastice longitudinale printr-o bar

53

3.2.3 Ecuaia de propagare a unei unde superficiale transversale pe o membran elastic infinit

55

3.2.4 Ecuaia de propagare a unei unde elastice tridimensionale 58

3.3 Soluia ecuaiei undelo 60

3.3.1 Soluia ecuaiei undelor unidimensionale 60

3.3.2 Soluia ecuaiei undelor tridimensionale n cazul mediului omogen i izotrop i a sursei punctiforme. Unda sferic

62

8

3.3.3 Aproximaia de unda plan, neatenuat 64

3.3.4 Unda armonic plan 65

3.4 Energia transportat de undele elastice longitudinale. Intensitatea undei elastice

67

3.5 Reflexia i refracia undelor elastice 71

3.6 Reflexia total 77

3.7 Principiul lui Huygens 79

3.8 Difracia undelor elastice 80

3.9 Interferena undelor elastice 81

3.10 Unde staionare prin reflexie 84

3.11 Absorbia undelor elastice 87

3.12 Dispersia undelor elastice. Formula lui Rayleigh 90

3.13 Efectul Doppler 92

3.13.1 Receptorul se deprteaz de surs cu viteza vR. 92

3.13.2 Receptorul se apropie de surs cu vR 93

3.13.3 Receptorul este imobil, iar sursa se deprteaz de el cu vS 93

3.13.4 Receptorul este imobil, iar sursa se apropie cu vS. 94

3.13.5 Sursa i receptorul se mic cu vS respectiv vR 94

3.16 Noiuni de teoria valurilor 97

3.17 Noiuni de acustic i ultraacustic 98

3.17.1 Caracteristicile sunetelor 98

3.18 Ultrasunetele 102

9

3.18.1 Producerea ultrasunetelor 103

3.18.2 Propagarea ultrasunetelor n mediul marin i utilizri n marin

105

4. Noiuni fundamentale de termodinamic 106

4.1 Sistem termodinamic 106

4.1.1 Obiectul termodinamicii 106

4.1.2 Sistem termodinamic, stare, parametrii de stare 106

4.1.3 Postulatele termodinamicii 107

4.2 Msurarea temperaturii 111

4.2.1 Termometrul 111

4.2.2 Scri termometrice 112

4.3 Primul principiu al termodinamicii 112

4.3.1 Energia intern 112

4.3.2 Lucrul mecanic 113

4.3.3 Cldura 115

4.3.4 Principiul I al termodinamicii. Formulri ale principiului I al termodinamicii

117

4.4 Principiul al II-lea al termodinamicii 118

4.4.1 Formulrile principiului al II lea al termodinamicii 120

4.4.2 Cldura redus. Entropia n reversibile 123

4.4.3 Principiul II al termodinamicii pentru procese ireversibile 125

4.4.4 Interpretarea statistic a entropiei 126

4.5 Formula fundamental a termodinamicii 130

10

4.6 Principiul al treilea al termodinamicii 132

4.6.1 Formulri ale principiului al treilea al termodinamicii 132

4.6.2 Temperatura absolut negativ 134

4.7 Elemente de fizic molecular 140

4.7.1 Ecuaia fundamental a teoriei cinetice a gazelor ideale 141

4.7.2 Interpretarea cinetic a temperaturii 145

4.7.3 Ecuaia termic de stare a gazului ideal 146

4.7.4 Ecuaia caloric de stare a gazului ideal 147

4.7.5 Transformri termodinamice ale gazului ideal 148

4.7.6 Densitatea gazului ideal 153

4.7.7 Gaze reale. Ecuaia de stare van der Waals 157

4.8 Transformri de faz 164

4.8.1 Lichefierea gazelor 164

4.8.2 Dependena temperaturii de schimbare de faz de presiune Ecuaia Clausius-Clapeyron

169

5. Fenomene electrostatice 174

5.1 Electrostatica 174

5.2 Legea lui Coulomb 174

5.3 Cmpul electric 175

5.4 Fluxul cmpului electric printr-o suprafa 181

5.5. Legea lui Gauss pentru cmpuri electrice (Legea fluxului electric)

184

5.6 Lucrul mecanic al forelor electrice. Potenialul 187

11

5.7 Relaia ntre intensitatea cmpului i potenial 189

5.8. Dipolul electric 191

5.9. Interaciunea dintre cmpul electric i substan 194

5.9.1 Conductori n cmp electric 194

5.9.2 Imaginea electrostatic 195

5.9.3 Dielectrici n cmp electric 195

5.9.4 Electreii 200

5.9.5 Seignettoectreii 200

5.9.6 Energia cmpului electric 200

6. Electrocinetica 204

6.1 Curentul electric 204

6.2 Conservarea sarcinii electrice. Ecuaia continuitii curentului. Legea lui Ohm pentru o poriune de circuit

207

6.3 Cmpul electric imprimat. Tensiunea electromotoare 209

6.4 Cmpul magnetic 211

6.4.1 Fore magnetice (Lorentz) 211

6.4.2 Inducia i intensitatea cmpului magnetic. Legea lui Laplace 212

6.4.3 Legea lui Ampere 214

6.4.4 Cmpul magnetic terestru 218

6.4.5 Fluxul cmpului magnetic 220

7. Fenomene electrodinamice 221

7.1 Fenomenul de inducie electromagnetic. Legea lui Faraday 221

12

7.2 Energia cmpului magnetic 223

7.3 Curentul de deplasare. Densitatea curentului de deplasare 225

7.4 Generalizarea ecuaiilor fundamentale ale electricitii. Ecuaiile lui Maxwell. Cmpul electromagnetic

227

7.5 Proprietile operatorului 232

7.6 Energia cmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting 233

8. Unde electromagnetice 237

8.1 Propagarea cmpului electromagnetic n vid 237

8.2 Unda electromagnetic sferic 238

8.3 Unda electromagnetic plan 239

8.4 Transversalitatea undelor electromagnetice plane 241

8.5 Producerea undelor electromagnetice 242

8.6 Clasificarea undelor electromagnetice dup lungimea de und 247

9. Propagarea undelor electromagnetice n diferite medii. Optica electromagnetic

250

9.1 Propagarea undelor electromagnetice n medii dielectrice izotrope liniare i nedisipative

250

9.2 Propagarea undelor electromagnetice n medii conductoare 251

9.3 Dispersia undelor electromagnetice 255

9.4 Reflexia i refracia undelor electromagnetice 258

9.4.1 Refracia astronomic 260

9.5 Reflexia total 263

9.6 Traversarea de ctre unda electromagnetic a suprafeei de separaie dintre dou medii dielectrice. Formulele lui Fresnel

267

13

9.7 Starea de polarizare a undelor electromagnetice 273

9.7.1 Polarizarea luminii prin reflexie i refracie. Legea lui Brewster

274

9.7.2 Undele electromagnetice n medii dielectrice, liniare, omogene i anizotrope

276

9.7.3 Polarizarea undelor prin birefrigeren 281

9.7.4 Birefrigerena provocat 283

9.8 Interferena undelor electromagnetice 286

9.8.1 Condiii de interferen. Termeni de interferen. Coerena 286

9.8.2 Obinerea experimental a fenomenului de interferen 292

9.8.3 Interferenele produse de pelicule i lame subiri 297

9.8.4 Interferena n domeniul radio. Fadingul 299

9.8.5 Interferena luminii polarizate. Polarizare eliptic 300

9.9 Difracia undelor electromagnetice 303

9.9.1 Difracia produs de o fant rectangular n lumin paralel (Difracia Fraunhofer)

305

9.9.2 Reeaua plan de difracie 310

10. Fenomene atomice si cuantice 313

10.1 Modele atomice i evoluia lor 313

10.2 Unde asociate particulelor n micare 318

10.2.1 Ipoteza lui Broglie 318

10.2.2 Interpretarea statistic a undelor de Broglie 320

10.2.3 Relaiile de nedeterminare ale lui Heinsenberg 323

14

10.2.4 Principii ale mecanicii cuantice 325

10.2.5 Construcia ecuaiei lui Schrdinger 326

10.3 Aplicaii ale ecuaiei lui Schrdinger 329

10.3.1 Particula n groapa de potenial rectangular, finit, tridimensional

329

10.3.2 Oscilatorul armonic n mecanica cuantic 332

10.3.3 Trecerea particulelor prin bariera de potenial. Efectul tunel 338

Bibliografie 344

15

1. Obiectul fizicii. Fenomene fizice, mrime fizic, legi fizice,

metodele fizicii, operaia de msurare, unitate de msur, formule matematice i formule fizice, coeficient parazit, sistemul

internaional de uniti de msur, analiz fizic, dimensional a formulelor fizice.

1.1 Obiectul fizicii. Definirea fizicii ca tiin Denumirea obiectului provine de la cuvntul elen physis (natur) folosit,

se pare, de Aristotel cu 400 de ani naintea erei noastre. Fizica studiaz fenomenele legate de structura i transformrile din lumea material, precum i legturile lor reciproce.

Fizica este prin coninutul ei o tiin experimental i, din acest motiv, rezultatele obinute n procesul de observare a naturii prezint un rol fundamental n stabilirea ideilor sale de baz.

Cunotinele despre fenomenele naturii i legile care le guverneaz sunt de o importan vital pentru tehnic, att din punct de vedere istoric, metodologic, ct i practic.

Putem afirma c toate ramurile tiinelor tehnologice actuale s-au dezvoltat n cadrul fizicii pn au luat aspectul unor tiine independente. De asemenea, tehnica, prin problemele pe care le pune n fiecare moment i prin mijloacele pe care le pune la dispoziie, duce la dezvoltarea n continuare a fizicii.

1.2 Fenomenul fizic Lumea material este format din particule de substan care au masa de

repaus diferit de zero ( 0 0m ), care alctuiesc corpurile i sistemele de corpuri i din cmpuri care au asociate particule cu mas de repaus nul (cu m0 = 0).

Totalitatea transformrilor i interaciunilor suferite de substan sau de cmpuri se numesc fenomene fizice.

Observnd sistemele fizice din natur (particule, cmpuri, corpuri, sisteme de corpuri) vom deduce c acestea prezint unele proprieti care se regsesc la diferite sisteme fizice, ca, de exemplu, ineria, forma, volumul etc.

Prin observare sau prin experien se pot obine despre un sistem fizic un mare numr de informaii care se pot grupa n clase de echivalen disjuncte (evident, mulimea informaiilor despre inerie nu are elemente comune cu mulimea informaiilor despre temperatur). Fiecare astfel de clas de echivalen corespunde unei proprieti fizice.

16

1.3 Mrime fizic. Lege fizic Mrimea fizic este acea caracteristic a unui obiect al experienei fizice

care poate fi msurat. Pentru a putea fi msurat, mulimea mrimilor fizice necesit existena unei operaii de ordonare a elementelor sale.

Proprietile fizice care pe lng operaia de echivalen admit i o operaie de ordonare a elementelor corespunztoare se numesc mrimi fizice.

Operaia de ordonare a mrimilor fizice prezint dou proprieti: a) asimetria: dac x < y, atunci este exclus ca y < x; b) tranzitivitatea: dac n raport cu procesul de ordonare adoptat x < y i y < z => x < z.

Mrimile fizice reprezint proprieti msurabile, msurare care st la baza operaiei de ordonare.

Exist unele proprieti ntre care, dei se pot gsi echivalene, nu se poate stabili o operaie de ordonare. Acestea nu pot fi considerate ca fiind mrimi fizice (de exemplu, forma).

Legturile dintre diferitele mrimi ce intervin n producerea unui fenomen se numesc legi fizice. Legile fizice se exprim, de cele mai multe ori, prin formule matematice n care simbolurile reprezint mrimi fizice.

n sens general, conform ideilor filozofice actuale, legile desemneaz raporturi determinate care exist ntre fenomene diferite, ntre laturile aceluiai.

1.4 Metodele fizicii Pentru a descoperi fenomenele sau ntre etapele succesive ale aceluiai

proces logice fizicii, fizica cerceteaz fenomenele naturii i le d o interpretare. Se utilizeaz dou metode; a) metoda experimental; b) metoda matematic. Metoda experimental a unui fenomen cuprinde: - observarea i analizarea fenomenului; - formularea unor ipoteze n legtur cu cauzele care au determinat

fenomenul; - stabilirea dependenei fenomenului de alte fenomene; - elaborarea unei metode de cercetare; - efectuarea experienei dup metoda elaborat; - generalizarea datelor obinute n vederea deducerii unei legi sau pentru a

verifica ipoteza. Legile deduse experimental au un caracter de probabilitate avnd un grad

mai mare sau mai mic de aproximaie. Metoda matematic uzitat cu precdere n fizica teoretic modern

prelucreaz matematic cunotinele obinute anterior pe cale experimental. Fizica

17

este profund matematizat, aceast matematizare permind studierea cu maximum de profunzime a fenomenului.

1.5 Operaia de msurare Ordonarea elementelor unei mrimi fizice se face prin operaia de

msurare. A msura o mrime fizic nseamn a o compara cu o alt mrime fizic din aceeai clas de echivalen aleas ca unitate de msur.

Unitatea de msur se alege arbitrar. Prin operaia de msurare, oricrei mrimi A i corespunde o valoare

numeric definit prin raportul simbolic:

][AAa = (1.1)

unde [A] reprezint unitatea de msur a mrimii considerate. Dac mrimea A este msurat utiliznd o alt unitate de msur [A],

valoarea obinut va fi:

''

][AAa = (1.2)

Dac se face raportul dintre valorile a i a se va obine:

][][ '

' AA

aa

= (1.3)

Deci raportul valorilor numerice ale aceleiai mrimi msurate cu dou uniti de msur diferite este egal cu raportul invers al acestor uniti. Aceast afirmaie exprim teorema fundamental a unitilor de msur.

1.6 Formula matematic, formula fizic, coeficient parazit Dup cum s-a mai artat, o lege fizic poate fi exprimat printr-o formul

matematic n care simbolurile ce intervin sunt mrimi fizice. Spre deosebire de formula matematic, n care intr numai mrimi, n formula fizic corespunztoare intr numai valorile msurate.

Spre exemplu, formula matematic a ariei unui dreptunghi cuprinde mrimile laturilor L i l i mrimea ariei S, deci formula matematic corespunztoare va fi:

S = Ll (1.4) Pentru a utiliza aceast formul fizic este necesar msurarea mrimlor S,

L i l.

18

Notnd cu [S], [L] i [l] unitile de msur pentru suprafa, lungime i lime, iar cu {S}, {L} i {l} valorile numerice ale suprafeei, lungimii i limii, se obin relaiile:

S = {S}[S] (1.5) L = {L}[L] (1.6)

l = {l}[L] (1.7) (l este tot o lungime, deci are aceeai unitate de msur) nlocuind n formula matematic se va obine urmtoarea expresie:

{S}[S] = {L}[L]{l}[L] (1.8)

Aceast expresie se poate exprima n modul urmtor: {S}[S] = {L}{l}[L]2 (1.9)

{ } [ ][ ] { }{ }lLSLS

2

= (1.10)

valoarea ariei este direct proporional cu produsul valorilor laturilor lui. Coeficientul de proporionalitate:

[ ][ ]SLK

2

= (1.11)

se numete coeficient parazit. Valoarea coeficientului parazit depinde de unitile de msur alese: de

exemplu, dac [L] = 1 m i [S] = 1 ha, K = 10-4. Dac ntr-o formul fizic apare un coeficient parazit, se spune c unitile

de msur folosite nu sunt coerente (sistem necoerent). Pentru a simplifica formulele fizice este necesar s se aleag n aa fel unitile de msur nct coeficientul parazit al formulei fizice s fie K = 1.

Un sistem de uniti n care K = 1 este un sistem coerent. Un sistem de uniti fizice este alctuit din unitile unor mrimi

considerate fundamentale i toate celelalte uniti derivate din acestea prin formulele fizice.

1.7 Sistemul Internaional Sistemul internaional (S.I.) a fost adoptat prin lege la noi n ar n 1962,

el fiind definit de Convenia Internaional de Msuri i Greuti inut la Paris n 1960.

Acest sistem folosete ca uniti fundamentale, pe care le definete cu mare precizie, pentru lungime metrul, pentru timp secunda, pentru mas kilogramul, pentru intensitatea curentului electric amperul, pentru temperatur

19

kelvinul i pentru intensitatea luminoas candela. Acest sistem este n aa fel conceput ca s evite apariia coeficienilor parazii sau, cum se ntmpl n

electricitate, coeficientul parazitp41 este deplasat din formulele mai utilizate n

altele mai puin folosite. Se utilizeaz urmtoarea simbolizare: [L]SI = 1m; [T]SI = 1s; [M]SI = 1kg; [I]SI = 1A; [IL]SI = 1Cd; []SI = 1rad; []SI = 1sr. Din aceste uniti fundamentale, prin formule fizice care definesc alte

mrimi fizice, vor rezulta unitile de msur ale acestor mrimi.

1.8 Omogenitatea formulelor Legile fizicii sunt legi obiective, ele existnd independent de modul n care

sunt studiate. Deci, formulele matematice care exprim legi fizice trebuie s rmn invariante la schimbarea unitii de msur pentru mrimile fundamentale.

De exemplu, temperatura de nghe a apei este aceeai, dar poate fi exprimat att n grade Celsius, fiind egal cu 0 oC, ct i n kelvin ca fiind egal cu 273,16 K.

Pentru ca legile fizicii exprimate prin formule matematice s fie invariate, la schimbarea unitilor de msur, este necesar ca acestea s fie omogene.

Condiia de omogenitate const n aceea c dimensiunile membrului I al egalitii s fie egal cu dimensiunile membrului II, iar termenii unei sume s aib aceleai dimensiuni. n caz contrar, se ajunge la absurditi.

1.9 Analiza dimensional a formulelor fizice innd cont de faptul c formulele care exprim legi fizice trebuie s fie

omogene din punctul de vedere al dimensiunilor, s-a elaborat o metod foarte simpl i eficace de determinare a unor noi formule.

Se consider c exist dou mrimi fizice A i B ntre care exist relaia A = B.

Se mai consider c mrimea fizic A are dimensiunile: [A] = L1M1T1I1 (1.12)

iar pentru mrimea B, [B] = L2M2T2I2

Condiia de omogenitate impune urmtoarea egalitate:

20

L1M1T1I1 = L2M2T2I2 (1.13)

Egalitatea poate avea loc doar dac are loc egalitatea exponenilor: 1 = 2, 1 = 2, 1 = 2, 1 = 2 (1.14)

Exponenii , , , , , care pot fi ntregi sau fracionari, reprezint dimensiunile mrimilor A sau B n raport cu unitile fundamentale. Formula dimensional respect formula fizic.

Exemplu: 1. Cunoscnd c perioada de oscilaie a unui pendul gravitaional depinde

de lungimea acestuia i de acceleraia gravitaional a locului = f(l,g), se deduce prin metoda analizei dimensionale formula matematic a perioadei n felul urmtor:

Se exprim perioada sub form de monom algebric: = k l g (1.15)

i se pune problema determinrii exponenilor , i k. Se scrie relaia dimensional:

[] = [k] [l] [g] (1.16) (k este adimensional)

b-bab

a =

= 22 TLkLT

LkLT (1.17)

b-b+a= 2TkLT (1.18)

Conform principiului de omogenitate, ntre exponeni se stabilete relaia: 1 = -2 deci + = 0 => = -0,5 i = -0,5

deci formula de calcul a perioadei de oscilaie a pendulului gravitaional este:

glkgklT == 5,05,0 (1.19)

2. Oscilaii mecanice 2.1 Cinematica i dinamica micrii oscilatorii n natur i n tehnic observm apariia unei serii de micri n care un

punct material sau un corp i schimb poziia alternativ, fa de o poziie median de echilibru. De exemplu, micarea unui pendul, micarea unei frunze n btaia vntului, micarea particulelor de lichid sub aciunea valurilor, micarea unei nave pe mare, micarea unui piston n cilindrul unei maini termice, etc. Astfel de micri se numesc micri oscilatorii. Micarea oscilatorie se poate defini ca fiind o micare alternativ periodic n timp a unui corp n jurul unei poziii de echilibru.

n fizic se ntlnesc i alte fenomene n care un parametru (mrime fizica) sufer o variaie periodic n jurul unei valori de echilibru (de exemplu o tensiune alternativ); astfel de fenomene se numesc oscilaii i dei nu sunt micri, legile pe care se vor deduce pentru micarea oscilatorie pot fi extinse i n aceste situaii. Dac parametrul oscilant este de natur mecanic (de exemplu distan, presiune, unghi) se vorbete de oscilaii mecanice, iar dac parametrul oscilant este de natur electric (de exemplu, sarcin electric, tensiune, intensitate) atunci oscilaiile sunt electrice. Parametrul care oscileaz i schimb valoarea n funcie continu de timp, i este o funcie n care variabila este timpul, iar valoarea acestei funcii la un moment dat se numete valoare instantanee sau elongaie. Valoarea maxim a parametrului oscilant se numete amplitudine.

Timpul n care se efectueaz o oscilaie complet se numete perioad, iar numrul de oscilaii efectuate ntr-o perioad de timp se numete frecven. Sistemul fizic n care se genereaz oscilaii se numete oscilator.

n orice proces oscilant are loc transformarea energiei dintr-o form cinetic ntr-o form potenial.

2.2 Dinamica micrii oscilatorii unidimensionale Se va considera un corp de masa m, care este conectat printr-o legtur

elastic (de exemplu un resort elicoidal) de mas neglijabil de un suport rigid i se gsete pe o mas orizontal fr frecare static (m = 0). n situaia n care legtura elastic nu este deformat (cnd resortul nu este ntins sau comprimat), corpul se gsete n echilibru, (fig.2.1 a).

Dac acest corp este scos din poziia de echilibru, pn la o distan maxim A (fig.2.1 b), fora elastic va readuce corpul spre poziia de echilibru, avnd loc simultan o transformare a energiei poteniale n energie cinetic i o pierdere de energie prin interaciunea sistemului cu mediul exterior (fig.2.1c). La revenirea n poziia de echilibru, energia potenial pe care a avut-o resortul cnd era ntins s-a transformat parial n energie cinetic i deci, n aceast poziie, fora elastic este nul. Datorit ineriei, corpul i continu drumul pn la o

22

poziie extrem, comprimnd resortul pn la A- (fig.2.1d), dup care fenomenul continu n sens invers. Deci, are loc o micare alternativ a sistemului n jurul poziiei de echilibru, adic o oscilaie n cursul creia sistemul i pierde energia pe care a acumulat-o iniial, prin interaciune cu mediul exterior. Se va considera c reaciunea dat de arc se opune deformrii acestuia i este proporional i de sens contrar elongaiei (deprtrii de poziia de echilibru). Sistemele elastice care au reaciunea proporional cu deprtarea de la poziia de echilibru sunt numite sisteme elastice liniare, iar oscilaiile produse de astfel de fore sunt numite oscilaii liniare. Dac aceste fore sunt dependente de deformaia ridicat la o oarecare putere, sisteme elastice sunt neliniare, iar oscilaiile produse de ele sunt oscilaii neliniare.

Fore cu comportament de for elastic apar i n alte situaii (nu apar numai n cadrul elasticitii) i se numesc fore de revenire sau fore cvasielastice, constanta k numindu-se constant cvasielastic i depinznd de caracteristicile sistemului.

Se vor considera sisteme oscilante care au dimensiuni suficient de reduse i vitezele mici, iar din acest motiv, forele de rezisten din partea mediului vor fi de tipul frecrii vscoase, unde fora de frecare depinde de puterea nti a vitezei. Forele de rezisten de acest tip se mai numesc i fore Stokes, i pentru un corp sferic se exprim prin relaia urmtoare:

vrFrrr

ph-= 6 (2.1)

h reprezint vscozitatea dinamic a mediului, r raza sferei i v viteza;

cunoscnd definiia vitezei xdtxdv &rr

r== , pentru un corp de forma oarecare expresia

acestei fore are forma:

23

Fig. 2.1

xFr &rr

r-= sau dtxdFrrr

r-= (2.2)

unde r se numete coeficient de rezisten i depinde de vscozitatea dinamic a mediului i de geometria corpului.

Rezultanta forelor care acioneaz asupra corpului va fi:

vkxF r--= (2.3)

Dar conform principiului al II-lea al lui Newton:

xmdt

xdmdtdvmmaF &&==== 2

2

(2.4)

24

deci:

vkxdt

xdm r--=22

sau, 022

=+r+ kxdtdx

dtxdm (2.5)

Aceasta este o ecuaie diferenial de ordinul II cu coeficieni constani care se mai poate pune i sub urmtoarea form:

022

=+r

+ xmk

dtdx

mdtxd (2.6)

Se fac notaiile:

d=r 2m

i 20w=mk (2.7)

d se numete factor de amortizare, iar 0w pulsaie proprie ecuaia devenind astfel:

02 2022

=w+d+dtdx

dtxd (2.8)

n teoria ecuaiilor difereniale se arat c soluia unei astfel de ecuaii este de forma:

( ) =

l=n

i

ti

iectx1

(2.9)

ic sunt constante care trebuie determinate prin condiiile iniiale, iar il sunt soluiile ecuaiei algebrice ataate ecuaiei, de forma: (ecuaia caracteristic)

02 202 =w+dl+l (2.10)

Soluiile ecuaiei caracteristice vor fi: 20

22,1 w-dd-=l (2.11)

Aceste soluii pot fi complexe sau reale dup cum aciunea forelor rezistente este mai mare sau mai mic dect aciunea forei elastice.

Cnd forele rezistente sunt mici 0d w< , rezistena opus procesului oscilator este att de mic nct el se poate desfura n voie, instaurndu-se un regim, numit regim periodic. Rdcinile ecuaiei caracteristice sunt.

2 21,2 0il d w d= - - (2.12)

i soluia ecuaiei difereniale se va prezenta n felul urmtor:

25

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

1 2

1 2

i t i t

i t i tt

x t c e c e

x t e c e c e

d w d d w d

w d w dd

- + - - - -

- - --

= +

= + (2.13)

Se face notaia: 22

0 d-w=w (2.14)

Aceast mrime se numete pseudopulsaie i ecuaia devine:

( ) ( )titit ececetx w-wd- += 21 (2.15) nlocuind n relaia (2.15) formule lui Euler aa=a sincos ie i va

rezulta expresia urmtoare:

( ) ( ) ( )[ ]titctitcetx t w-w+w+w= d- sincossincos 21 sau:

( ) ( ) ( )[ ]tccitccetx t w-+w+= d- sincos 2121 (2.16) Se d factor comun forat ( )21 cc + :

( ) ( ) ( )( )

w

+-

+w+= d- tcccci

tccetx t sincos21

2121

i se noteaz: ( )( )21

21

ccccitg

+-

=j , constanta j va fi denumit faz iniial

( ) ( )[ ]

( ) ( )j

wj+jw+=

wj+w+=

d-

d-

cossinsincoscos

sincos

21

21

ttccetx

ttgtccetx

t

t

cos se poate exprima n funcie de tg prin relaia cunoscut din trigonometrie:

j+=j

211costg

sau, ( )( )221

2211

1cos

cccc

+

--

=j

21

21

2221

21

2221

21

21

222cos

cccc

cccccccc

cc +=

-+-++

+=j (2.17)

deci, x(t) va avea urmtoarea form:

( ) ( )a-w= d- tecctx t cos2 21 (2.18)

26

Se observ c valoarea maxim a lui x(t) scade exponenial cu timpul. Se mai fac urmtoarele notaii:

A=212 cc i ( ) 1 22 t tt c c e Aed d- -A = =

cu aceste notaii, ecuaia micrii este.

( ) ( )costx t e td w j-= A + (2.19)

( ) tA t e d-= A este amplitudinea momentan i se constat c ea este descresctoare n timp.Graficul dependenei elongaiei de timp a unei oscilaii amortizate de ecuaie ( ) 0,610 cos10tx t e t-= este reprezentat n figura 2.2a

Fig. 2.2a

i graficul elongaiei oscilaiei amortizate de ecuaie ( ) )(0,35 cos 10 5tx t e t-= - este reprezentat n figura 2.2b.

Fig. 2.2b

27

Curbele reprezentate prin linie ntrerupt reprezint curbele de amortizare, adic graficul amplitudinii momentane ( ) 0,610 tA t e-= n primul caz i ( ) 0,35 tA t e-=

Se remarc faptul c o valoare mrit a factorului de amortizare duce la o diminuare mai rapid a amplitudinii.

O astfel de micare se numete micare oscilatorie armonizat. Datorit pierderii de energie din sistem, amplitudinea scade. Se observ c amplitudinea A(t) este exponenial scztoare n timp, amortizarea oscilaiei depinznd de factorul de amortizare .

Pentru a caracteriza modul n care se amortizeaz o oscilaie se utilizeaz decrementul logaritmic definit ca fiind logaritmul natural al raportului valorilor elongaiilor maxime succesive de aceeai parte a poziiei de echilibru.

( )( )Tt

t+A

A=D ln (2.20)

nlocuind amplitudinea n (2.20) instantanee ( ) tA t Ae d-=

( ) Td==AA

=D Td-+d-d-

eee

Tt

t 1lnln (2.21)

T este pseudoperioada definit prin relaia

220

22

d-w

p=

wp

=T (2.22)

dac timpul scurs de la momentul iniial este d

=t= 1t ,

( )e

e A=A=tA -1 (2.23)

deci, d

=t 1 este timpul n care amplitudinea scade de e ori i se numete timp

de relaxare. n cazul n care, 0w>d , rezistena opus de mediu procesului este att de

mare, nct energia acumulat iniial n sistem se disip n mare parte n prima pseudoperioad. n acest caz, regimul periodic nu se mai poate instala, dar se instaleaz n schimb un regim aperiodic.

Soluia ecuaiei caracteristice n acest caz va fi: 20

22,1 w-dd-=l dac se noteaz: 202 w-d=q

rdcinile ecuaiei caracteristice sunt urmtoarele:

28

qd-=l 2,1 (2.24)

Rezult c valoarea instantanee a distanei este :

( ) ( )qtqtt ececetx -d- += 21 (2.25)

Dac se introduc funciile: 2

xx eeshx--

= i 2

xx eechx-+

= ntre care

exist relaia: shxchxe x = , se observ c relaia (2.25) se poate transcrie astfel:

( ) ( ) ( )1 2 1 2tx t e c c chqt c c shqtd- = + + - (2.26)

Dac n momentul iniial t=0 distana de la sistemul de referin ales este X0, iar viteza are valoarea V0, dup determinarea constantelor 1 2c sic din aceste condiii ecuaia (2.26) va lua urmtoarea form:

( ) 0 00tV Xx t e X chqt shqt

qd d- += +

(2.27)

Se observ c ecuaia de micare nu mai prezint periodicitate, deci nu mai au loc oscilaii, micarea amortizndu-se. Modul cum are loc amortizarea depinde de viteza iniial imprimat sistemului.

n figura 2.3 este reprezentat modul de variaie a funciei x(t) pentru o micare aperiodic, avnd urmtorii parametrii: 0 5X cm= ;

10,9sd -= ;

0 0,7rad

sw = ; 0 7T s ;

10,55q s-= . Linia ntreag reprezint micarea pentru

0 0V = ; linia ntrerupt pentru 0 10 /V cm s= i linia punctat pentru valoarea vitezei iniiale, 0 20 /V cm s= -

Fig. 2.3

29

Cunoaterea modului de amortizare este important n tehnica pentru construirea amortizoarelor de oscilaii ale diferitelor instalaii.

Un caz particular foarte important al micrii oscilatorii este cazul cnd nu exist for de rezisten (caz ideal). O asemenea micare se numete micare oscilatorie armonic.

Dac = 0 ecuaia micrii devine:

( ) ( )00cos j+wA= ttx (2.28) Mobilul oscileaz ntre dou distane extreme A i A n jurul poziiei de

echilibru, amplitudinea rmnnd constant. Are loc o transformare a energiei cinetice n energie potenial i invers, dar energia total se conserv .

2.3 Energia oscilatorului n micarea oscilatorie armonic n aceast micare oscilatorul are n fiecare moment o energie cinetic i o

energie potenial datorat forei elastice (la extreme 0=EC , iar n poziia de

echilibru 0=ER ). Energia cinetic va fi 2

2vmC

=E , iar energia potenial

elastic 2

2xk =ER .

Energia total a oscilatorului armonic va fi:

22

22 kxmvC +=E+E=E R (2.29)

valoarea instantanee a vitezei este:

( ) ( ) ( )00000 sincos

j+wAw-=j+wA

== tdt

tdtxv (2.30)

deci energia total devine:

( ) ( )2

cos2

sin 0022

00222

0 j+wA+j+wAw

=Etktm (2.31)

dar, pulsaia proprie este:

20

20 w==w mkm

k

nlocuind n formula energiei totale, se va obine:

( ) ( )2

cossin 00222

000222

0 j+wAw+j+wAw=Etmtm (2.32)

deci, energia total devine:

30

2

220 Aw=E

m (2.33)

Este evident c n lipsa interaciunilor oscilatorului cu mediul, conform principiului conservrii energiei, energia acestuia are valoare constant.

Dac se reprezint grafic energia potenial, n funcie de elongaie

conform relaiei: 2

220 xmw=ER se va obine o parabol, la care fiecare ordonat

reprezint energia potenial, iar prelungirea sa (punctat) reprezint energia sa cinetic E=E+ER C fiind constant (fig. 2.4).

Fig. 2.4

2.4 Bilanul energetic n micarea oscilatorie amortizat n micarea oscilatorie amortizat, sistemul oscilant (oscilatorul), fiind n

interaciune cu mediul, va ceda acestuia energie: acest proces este numit disiparea energiei. Pentru a gsi modul n care se disip energia se va pleca de la ecuaia diferenial a micrii n forma original, dat de (2.5) nmulit cu viteza

dtdxv = :

( )2

2 0d x dx dxm kxdt dt dt

r+ + = (2.34)

022

=+

r+

dtdxkx

dtdx

dtxd

dtdxm (2.35)

Se observ prin verificare direct c sunt satisfcute relaiile:

=

2

2

2

21

dtdx

dtd

dtxd

dtdx i

( )2

2x

dtdk

dtdxkx =

deci, relaia (2.35) se transform n felul urmtor:

31

( ) 022

222

=+

r+

x

dtdk

dtdx

dtdx

dtdm (2.35)

Dar m/2 i k/2 sunt constante, deci pot fi introduse n derivate.

022

222

=

+

r+

kx

dtd

dtdx

dtdxm

dtd (2.36)

Sau

222

22vkxmv

dtd

r-=

+ (2.37)

dar vdtdx = , deci mrimea din parantez

E=+22

22 kxmv (2.38)

reprezint energia total a sistemului oscilant i prin urmare:

2vdtd r-=E (2.39)

Se observ c 2 0v > prin urmare, 0

32

ancor-clinchet, pierderile de energie fiind compensate de energia potenial acumulat n sistemul de greuti sau ntr-un resort spiral. Sursa de energie transmite sistemului oscilant o energie numit energie aparent. Din aceasta, o parte numit energie reactiv este redat sursei i o alt parte numit energie activ este folosit pentru nvingerea rezistenelor i este disipat n mediu sub form de cldur.

Se va analiza n continuare un model matematic simplu construit pentru un oscilator mecanic amortizat, pus n contact cu o surs de energie care-i furnizeaz energie aparent, prin intermediul unei fore care are caracter de oscilaie

armonic Deci, pe lng fora elastic (-kx) i fora de frecare vscoas

r-

dtdx

mai acioneaz o perturbaie extern care variaz armonic n funcie de timp, avnd pulsaia , de forma:

( ) cosf t F t= W

dac se aplic principiul al doilea a lui Newton, ecuaia diferenial a micrii este urmtoarea:

2

2 cosd x dxm kx F tdt dt

r+ + = W (2.41)

Aceast, ecuaie este o ecuaie neomogen a crei soluie este format dintr-o sum, dintre soluia ecuaiei omogene i o soluie particular, pe care o vom alege de forma termenului liber, adic de forma unei oscilaii armonice de amplitudine B i de faz iniial . Soluia ecuaiei omogene (fr membrul drept), este soluia ecuaiei oscilatorului amortizat, soluie care a fost deja studiat. Din punct de vedere fizic soluia ecuaiei (2.41) reprezint suprapunerea unei oscilaii amortizate descris de primul termen al membrului drept al ecuaiei i a unei oscilaii armonice de amplitudine B constant, descris de cel de-al doilea termen.

Deci:

( ) ( ) ( )txtxtx 21 += (2.42)

Pentru ( )tx1 : ( ) ( )j+wA= d- tetx t cos1 n care se tie c: 220 d-w=w reprezint pseudopulsaia.

Pentru ( )tx2 : tiind c ( ) cosF t F t= W , soluia particular ( )tx2 se va cuta sub aceeai form armonica.

( ) ( )2 1cosx t tw= B + F (2.43)

33

(O fora extern oscilatorie provoac tot o oscilaie de amplitudine B i faz iniial 1j )

Soluia ecuaiei difereniale (2.41) va fi:

( ) ( ) ( )1 cos costx t e t td w j-= A + + B W + F (2.44)

Regimul n care coexist ambele oscilaii se numete regim tranzitoriu. Dup un timp suficient de lung t >> , numit timp de relaxare, primul termen devine neglijabil cci 0d- te i n soluia ecuaiei de micare nu rmne dect

( )tx2 care va trebui s satisfac ecuaia original. Pentru aceasta se vor calcul

dtdx2 i 2

22

dtxd

i vor fi introduse n ecuaia original. Astfel:

( )

( )

2

222

2

sin

cos

dx tdtd x tdt

= -WB W + F

= -W B W + F (2.45)

Introducnd relaiile (2.45) n ecuaia (2.41) se va obine expresia:

( ) ( ) ( )2 cos sin cos cosm t t k t F tr- W B W + F - WB W + F + B W + F = W (2.46)

Pentru a simplifica calculele se va face urmtorul artificiu, scriind:

( )cos cosF t F t W = W + F - F

i se va dezvolta cosinusul diferenei. Deci:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 cos sin cos

cos cos sin sin

m t t k t

F t F t

r- W B W + F - WB W + F + B W + F =

= W + F F + W + F F

Grupnd termenii n ( )sin tW + F i n ( )cos tW + F , rezult:

( ) ( ) ( ) ( )2 cos cos sin sin 0m k F t F tr- W B + B - F W + F - WB + F W + F = Aceast relaie trebuie s fie satisfcut n oricare moment t deci,

coeficienii lui ( )cos tW + F i a lui ( )sin tW + F sunt permanent nuli.

( )2cosF k mF = B - W i sinF rF = - WB (2.47)

34

Se calculeaz sin F i cos F i se ine cont de: 2 2sin cos 1F + F =

obinnd:

( )22 22 2 22 2 1

k mF F

r B - WW B+ = ; de unde rezult:

( )22 2 2 2 2k m Fr B - W + W = (2.48) Amplitudinea micrii oscilatorii ntreinute (forate) n regim permanent

este:

( ) 212221 wr+w-=B

mk

F

dar 20w= mk i d=r m2

( )22 2 2 2 20 4F

m m mw dB =

- W + W

deci:

( )22 2 2 20 4F

m w dB =

- W + W (2.49)

i faza iniial va fi exprimat prin relaia:

2 20

sin 2cos

tg dw

F WF = = -

F - W (2.50)

Viteza n micarea oscilatorie ntreinut n regim permanent se deduce din expresia elongaiei, prin derivarea acesteia cu timpul:

( )sindxv B tdt

= = - W W - F (2.51)

innd seama de expresia amplitudinii, valoarea maxim a vitezei este dat de relaia:

( )max 22 2 2 2

0 4

Fv Bm w d

W= W =

- W + W (2.52)

35

Raportul Z dintre valoarea maxim a forei de ntreinere i valoarea maxim a vitezei se numete impedana mecanic a oscilatorului.

( )22 2 2 20max

4F mZv

w d= = - W + WW

(2.53)

Dac se nlocuiesc pulsaia proprie i factorul de amortizare prin relaiile lor de definiie (2.7), expresia impedanei mecanice ia forma urmtoare:

22kZ m r = - W + W

(2.54)

Impedana mecanic se interpreteaz simplu: la o valoare dat a forei maxime, cu ct ea este mai mare, cu att viteza este mai mic, i invers. Deci, ea caracterizeaz un fel de rezisten pe care o ntmpin fora variabil de ntreinere f(t) pentru a pune sistemul n micare. Mrimea r (coeficientul de rezisten) joac rolul unei rezistene active, iar mrimea

kX m= - WW

(2.55)

se numete reactana oscilatorului. Aceast reactan are dou componente i anume reactana elastic:

ekX =W

(2.56)

i reactana inerial:

iX m= W (2.57)

2.6 Rezonana 2.6.1 Amplitudinea la rezonana Se observ c pe msur ce pulsaia oscilaiei exterioare, care menine

regimul permanent, tinde ctre o pulsaie R numit pulsaie de rezonan, amplitudinea oscilaiei forate crete foarte mult, amplitudinea B prezentnd un maxim. n acest caz, oscilatorul preia ntreaga energie aparent de la surs, o folosete pentru nvingerea rezistenelor i o disip sub form de energie activ n mediu. Acest fenomen se numete rezonana amplitudinilor.

n continuare se va calcula amplitudinea oscilaiei forate la rezonan adic maximul funciei ( )B W .

Pentru ca funcia ( )B W s prezinte un extrem este necesar ca:

36

( ) 0R

dd W=WB W

=W

(2.58)

dup calcularea derivatei rezult:

( ) ( )( )

2 2 20

322 2 2 2

0

2 40

4R

R R R

R R

d Fd m

w d

w dW=W

- W W - WB W= =

W - W + W

(2.59)

deci, pulsaia oscilaiei exterioare la care are loc rezonana amplitudinilor este: 2 20 2R w dW = - (2.60)

Pentru a calcula valoarea amplitudinii la rezonan ( )RB W se introduce (2.60) n (2.49) i rezult:

220

max2 d-wd

=Bm

F (2.61)

maxB n general atinge valori mult mai mari dect A, amplitudinea oscilaiei libere. Dac ( )2 20 2 ,w d B W nu are nici un maxim n domeniul valorilor reale ale lui i nu se produce rezonana. Dac 0=d , nu exist nici o amortizare i deci, pentru

0 max,wW B . n figura 2.5 este reprezentat dependena amplitudinii oscilaiei forate n funcie de pulsaia oscilaiei exterioare care menine regimul periodic permanent.

Fig. 2.5

37

Se remarc valoarea mare a amplitudinii la atingerea pulsaiei de rezonan.

n sisteme mecanice rezonana poate duce la apariia unor vibraii cu amplitudine foarte mare care poate produce deteriorarea unor componente ale acestora.

2.6.2 Energia i puterea n micarea oscilatorie ntreinut. Lucrul mecanic elementar efectuat de fora de ntreinere pentru a provoca

deplasarea dx este:

dxdL fdx f dt fvdtdt

= = = (2.62)

nlocuind n aceast relaie expresiile forei i a vitezei din (2.51), rezult:

( )2

cos cosmaxFdL t t dtZ

= W W - F (2.63)

Dezvoltnd pe ( )cos tW - F i introducnd sinusul i cosinusul unghiului dublu i integrnd pe o perioad, se obine lucrul mecanic efectuat de fora de ntreinere pe o perioad, sub forma urmtoarei expresii:

( )2 2

max

0

cos cos 22 2

TmaxF FL t dtZ Z

= F + W - F

(2.64)

n urma integrrii, al doilea termen se anuleaz cci este rezultatul integrrii funciei periodice pare ( )cos 2 tW - F pe o perioad. Prin urmare, lucrul mecanic mediu efectuat de fora de ntreinere pe o perioad este:

2

cos2FL TZ

= F (2.65)

iar puterea medie pe o perioad este: 2

cos2

L FPT Z

= = F (2.66)

Astfel, puterea dezvoltat de fora f(t) depinde nu numai de amplitudinea F a forei i de vitez, dar i de diferena de faz dintre acestea. n cazul unui sistem oscilant aflat la rezonan sau n cazul unei fore rezistente foarte mari, 0F = i Z= r i atunci:

2max

2 2L F FvPT r

= = = (2.67)

38

Aici puterea cheltuit de fora f este ntrebuinat pentru nvingerea frecrilor care apar din timpul oscilaiilor i se transform n ntregime n cldur. n toate cazurile n care rezistena activ r este cu mult mai mic dect cea reactiv: (2.68)

adic pentru un sistem oscilant avnd masa, constanta elastic mari i coeficientul de rezisten I foarte mic cosF este aproape nul.

n aceste cazuri:

0L = (2.69)

ntr-o jumtate de perioad, fora efectueaz un lucru mecanic pozitiv, mrind energia sistemului, n cealalt jumtate de perioad ns, sistemul red energia acumulat sursei de energie. n consecin, puterea total consumat este aproape nul.

2.6.3 Oscilaii autontreinute Dup cum s-a vzut, oscilaiile libere ale oricrui sistem oscilant real se

amortizeaz treptat, n urma faptului c rezerva de energie acumulat iniial n sistem se consum pentru nvingerea frecrii i se transmite mediului nconjurtor. Pentru multe aplicaii practice din mecanic dar i din electronic se pot construi sisteme n care pierderile de energie s fie compensate n mod continuu i automat pe contul energiei furnizate de o surs. Aceste sisteme se numesc sisteme autooscilante, i cu ele se pot obine oscilaii neamortizate, care dureaz pn la epuizarea rezervei de energie din surs. Matematic, oscilaiile neamortizate sunt reprezentate de funcii aproximativ armonice, sau de funcii de timp mai complicate. Ca un exemplu de sistem mecanic autooscilator care d oscilaii neamortizate este ceasul mecanic. ntr-un ceas mecanic se gsete o surs de energie potenial sub forma unui resort spiral tensionat sau a unei greuti ridicate la o oarecare nlime.

Sistemul oscilator mecanic este format dintr-un pendul sau un oscilator de torsiune denumit balansier, ale crui oscilaii libere au o frecven de 2 Hz n cazul ceasului. n cea mai mare parte a perioadei, micarea pendulului este liber i numai ntr-un interval de timp scurt, n care el trece prin poziia de echilibru i are o vitez maxim, el vine n contact cu o roat dinat i un clichet, prin intermediul crora primete un impuls scurt de la sursa de energie. Aceste impulsuri sunt foarte mici, dar ele se produc n momentele de vitez maxim a sistemului aflat o frecven de rezonan, adic fr defazaj ( cos 0F = ) i din acest motiv sunt capabile s transmit energie suficient pentru compensarea

kmr W -W

39

pierderilor. Ele menin amplitudinea constant pn la consumarea energiei acumulate n sursa de energie.

Frecvena oscilaiilor sistemului este determinat de frecvena oscilaiilor libere ale pendulului sau balansierului. n alte sisteme autooscilante, sursa de energie este o surs de energie electric, sistemul oscilant este un circuit oscilant iar reglarea transmisiei de energie de la surs la cest circuit este efectuat de un grup de circuite electronice.

Dup cum se vede din aceste exemple, energia se transmite de la surs la sistemul oscilant, prin intermediul unei fore constante, a crei aciune asupra sistemului oscilator este reglat de nsi reaciunea sistemului i a unui dispozitiv care regleaz accesul de energie, astfel c sistemul primete impulsuri periodice care menin amplitudinea lui de oscilaie la un nivel constant i compenseaz amortizarea produs de disiparea energiei n mediu.

2.7 Reprezentarea micrilor oscilante Pentru a rezolva problemele teoretice i practice legate de fenomenele

oscilatorii, s-au imaginat mai multe metode de reprezentare ale acestora. 1. Reprezentarea grafic. Oscilaiile se reprezint grafic prin diagrame care

reprezint desfurarea lor n timp. Dac asupra aceluiai sistem oscilant acioneaz simultan mai multe oscilaii, atunci se reprezint grafic toate oscilaiile care acioneaz simultan i se obine o rezultant prin compunere grafic. Compunerea grafic presupune alegerea unor eantioane de timp i adunarea algebric a segmentelor care reprezint elongaiile n fiecare moment. Punctele astfel obinute se unesc gsindu-se rezultanta.

2. Reprezentarea analitic. Mrimile oscilatorii se reprezint cu ajutorul unor expresii matematice. Aceste expresii sunt prelucrate folosind regulile din analiza matematic i algebr, trgndu-se concluziile care se impun.

3. Reprezentarea fazorial (Fresnel) sau vectorial se reprezint mrimile oscilante prin fazori. Un fazor este un vector simbolic, avnd originea n originea sistemului de axe XOY, avnd modulul egal cu amplitudinea mrimii oscilatorii reprezentate, fcnd, n momentul t, cu axa OX un unghi egal cu faza 0j+wt i rotindu-se cu o vitez unghiular egal cu pulsaia mrimii reprezentat n fig. 2.6:

Fig. 2.6

40

Se observ c dac fazorul se rotete uniform proiecia acestui fazor pe axele OX respectiv OY reprezint oscilaii armonice:

( ) ( )( ) ( )0

0

sincos

j+wA=j+wA=

ttyttx

(2.70)

Astfel, operaiile cu mrimi oscilante se reduc la operaii de compunere i descompunere de vectori fiind valabile toate regulile, de adunare, scdere i nmulire a vectorilor. Este o metod foarte mult utilizat n rezolvarea unor probleme practice n teoria oscilaiilor i n electrotehnic.

4. Reprezentarea complex Se ataeaz planului XOY n care este reprezentat fazorul A , un plan

complex, ca n fig. 2.7:

Fig. 2.7

n electrotehnic unitatea imaginar se noteaz cu 1-=j , pentru a evita confuziile cu intensitatea curentului. Mrimea oscilant x(t) n complex se va nota cu ( )x t .

Punctului din planul complex atins de vrful fazorului, la un moment dat, i va corespunde un numr complex avnd ca parte real ( )Re cosx tw j= A + i ca parte imaginar ( )Im sinx tw j= A + .

Deci, numrul complex care reprezint fazorul n planul (+1;0;+i) va fi:

x Rex i Imx= +

sau:

( ) ( ) ( ) ( )

x cos sin cos sint i t t i tw j w j w j w j = A + + A + = A + + + (2.71)

Folosind formula lui Euler se va obine: ( )j+wA= tiex (2.72)

unde:

2 2Re Imx x x x*A = + = (2.73)

41

2.8 Compunerea oscilaiilor 2.8.1 Compunerea oscilaiilor paralele de aceeai pulsaie (sintone) Dac dou sau mai multe fore care au caracter oscilant acioneaz

simultan asupra aceluiai punct material, ele se vor compune i punctul va efectua o micare oscilant rezultant cu o nou amplitudine i o nou faz iniial. n continuare, se va aborda aceast compunere prin metoda complex. Se consider un corp supus simultan aciunii a dou oscilaii armonice paralele de aceeai frecven, care ns au amplitudini i faze iniiale diferite. Ele se vor reprezenta prin urmeoarele dou numere complexe:

( )111

j+wA= tiex i ( )222j+wA= tiex

Va rezulta o oscilaie compus (rezultant) care va avea amplitudinea A i faza iniial , care vor fi determinate n continuare:

x -reprezint n complex rezultanta oscilant, deci: ( ) ( )j+wj+w A+A=+= titi eexxx 2121 (2.74)

Amplitudinea oscilaiei rezultante este, conform relaiei (2.58), urmtoarea:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]j+w-j+w-j+wj+w* A+AA+A==A titititi eeeexx 21212 (2.75) Efectund calculele, rezult:

( ) ( ) 222121

21

2 2112 A+AA+AA+A=A j-w-j+wj-w-j+w ttitti ee

i ( ) ( )[ ]12122122212 j-j-j-j +AA+A+A=A ii ee (2.76)

Utiliznd relaiile lui Euler: a=+ a-a cos2ii ee , se obine:

i

( )12212221 cos2 j-jAA+A+A=A (2.77) Faza iniial rezultant se deduce din urmtoarea ecuaie a micrii

rezultante:

( ) ( )2121 212121 jjwjwjw A+A=A+A=+= iitiitiiti eeeeeeexxtx (2.78) Utiliznd din nou relaiile lui Euler i grupnd n parte real i parte

imaginar, rezult relaia:

( )2 2 21 2 1 2 2 12 cos j jA = A + A + A A -

42

( ) ( ) ( )[ ]22112211 sinsincoscos jA+jA+jA+jA= w ietx ti (2.79) Se vor face urmtoarele notaii:

2211 coscoscos jA+jA=jA i 2211 sinsinsin jA+jA=jA (2.80) aceste notaii nlocuite n relaia (2.64), duc la urmtorul rezultat.

( ) ( ) ( )j+wjww A=A=j+jA= tiititi eeeietx sincos Faza micrii rezultante este introdus prin notaiile (2.65). Prin urmare:

2211

2211

coscossinsin

cossin

jA+jAjA+jA

=jj

=jtg (2.81)

2.8.2 Compunerea oscilaiilor paralele cu pulsaii diferite

Se va analiza n continuare situaia cnd 21 ww . Repetnd calculele de la situaia precedenta se va obine amplitudinea

oscilaiei rezultante:

( )[ ]1221212221 cos2 j-j+w-wAA+A+A=A t (2.82) Observnd relaia (2.67) se constat c amplitudinea micrii rezultante

depinde de timp, ea are o variaie periodic ntre o valoare maxim Amax i una minim Amin.

maxA=A atunci cnd ( )[ ] 1cos 1221 =j-j+w-w t deci:

212122

21max 2 A+A=AA+A+A=A (2.83)

i minA=A , atunci cnd ( )[ ] 1cos 1221 -=j-j+w-w t deci:

212122

21min 2 A-A=AA-A+A=A (2.84)

Amplitudinea oscilaiei rezultante se va modifica ntre 21 A+A i 21 A-A dac 12 j=j .

Pentru ( ) p=w-w 212 t amplitudinea este maxim. Se va nota cu timpul, dup care apare al doilea maxim.

Deci:

( )( ) p=t+w-w 412 t (2.85) Fcnd diferena ( )( ) ( ) pwwtww 21212 =--+- tt

43

Se va obine pentru perioada oscilaiei rezultant urmtoarea expresie:

12

2w-w

p=t (2.86)

Deci, amplitudinea micrii se va modifica ntre maxA i minA cu perioada , ca n fig. 2.8:

Fig. 2.8

Oscilaiile n care amplitudinea variaz n timp se numesc bti. n aparatura de recepie radiotelegrafic exist oscilatorul beat a crui frecven se poate modifica manual n aa fel nct radiotelegrafistul, prin sesizarea btilor, s poat separa auditiv un emitor de altul.

2.8.3 Compunerea oscilaiilor perpendiculare, de aceeai frecven Se ntlnete des situaia n care un corp este supus simultan la dou

micri oscilatorii armonice, una efectundu-se pe axa OX i cealalt pe OY. ntre ele exist un defazaj jD . Admind (prin alegerea sistemului de referin) c faza iniial a micrii pe axa OX este nul, ecuaiile de micare vor fi:

Pe Ox:

tx wA= cos (2.87)

i pe Oy:

( )jD+wB= ty cos (2.88) din (2.87) rezult:

tx w=A

cos , i 2

2sin 1xtw = -A

(2.89)

Se dezvolt ( )cos tw j+ D din (2.88)

jDw-jDw=B

sinsincoscos tty (2.90)

se nlocuiesc n (2.90) twcos i twsin , din (2.89) i rezult:

44

jDA

--jDA

=B

sin1cos 22xxy (2.91)

sau:

B-jD

A=jD

A-

yxx cossin1 22

(2.92)

se ridic la ptrat relaia (2.77) i se obine:

2

22

2

22

2

2

cos2cossin1B

+jDAB

-jDA

=jD

A

-yxyxx (2.93)

sau:

( ) 22

222

22 cos2cossinsin

B+jD

AB-jD+jD

A=jD

yxyx (2.94)

grupnd termenii:

jD=jDAB

-B

+A

22

2

2

2

sincos2xyyx (2.95)

Aceasta formul reprezint ecuaia unei elipse nscrise ntr-un dreptunghi cu laturile 2A si 2B, ale crei laturi nu coincid cu axele OX i OY, ele fiind rotite cu un unghiy care satisface relaia:

jDB-A

AB=y cos22 22tg (2.96)

Aceast elips este reprezentat n figura 2.9:

Fig. 2.9

Pentru p=jD k2 ecuaia elipsei devine 02 22

2

2

=B

+AB

-A

yxyx sau

02

=

B-

Ayx

sau:

45

xyAB= (2.97)

deci, elipsa degenereaz n dreapta AC Pentru ( )p+=jD 12k , ecuaia devine:

02 22

2

2

=B

+AB

+A

yxyx (2.98)

sau:

xyAB-= (2.99)

adic elipsa degenereaz n dreapta BD Pentru alte valori ale lui jD se obin elipse cu diferite excentricitti i

nclinri fa de axe:

Elipse stngi

Elipse drepte

Fig. 2.10

n cazul n care pulsaiile celor dou micri armonice nu mai sunt egale, n funcie de diferena de faz i de raportul amplitudinilor, se obin figuri mai complicate numite figurile lui Lissajaus. n figura 2.11 sunt reprezentate figurile lui Lissajaus rezultate prin compunerea oscilaiilor perpendiculare, care au defazajele reprezentate pe orizontal i raportul frecvenelor pe vertical.

46

Fig. 2.11

Curbele obinute sunt curbe nchise doar dac 2

1

2

1

kk

=ww unde 1k si 2k sunt

numere ntregi. Cunoscnd 1w i determinnd raportul 2

1

kk se poate determina o

pulsaie necunoscut 2w . De regul, vizualizarea oscilaiilor de natur electric (semnalelor) se face pe ecranul unui osciloscop. Dac mrimile observate sunt de natur neelectric ele se convertesc n semnale electrice corespunztoare, cu ajutorul unor dispozitive traductoare alese n mod convenabil.

2.9 Descompunerea micrii periodice S-a constatat c, dac se suprapun mai multe micri oscilatorii armonice,

micarea rezultant nu mai este o oscilaie armonic. Oscilaiile care apar n tehnic sunt, n general, oscilaii nearmonice. De mare importan n studiul oscilaiilor este descompunerea unei oscilaii nearmonice n oscilaii armonice, care pot fi studiate mult mai uor. Matematicianul francez Fourier a rezolvat aceast problem prin demonstrarea unei teoreme care se enun n felul urmtor:

O funcie y = f(t) continu pe intervalul de la 1t la T+= 12 tt , se dezvolt ntr-o serie de forma:

( ) ( )

=

w+wB+A==1

0 sincosn

nn tnCtntfy (2.100)

Coeficienii nn C,,0 BA sunt:

( )T

T=A

o

dttf10 (2.101)

47

( )T

wT

=B0

cos2 tdtntfn (2.102)

i

( )T

wT

=0

sin2 tdtntfCn (2.103)

Condiii: - y sa fie finit: - s aib un numr finit de maxime i minime - s aib un numr finit de discontinuiti Deci, orice oscilaie nearmonic se poate scrie n felul urmtor:

( ) ( ) ( ) ( ) ...3sin3cos2sin2cossincos 3322110 +w+wB+w+wB+w+wB+A= tCttCttCttf (2.104)

primul termen se numete termen de ordin 0, al doilea, termen de ordinul I sau fundamental (armonica fundamental), iar termenii de ordinul superior sunt armonice superioare. Deci, orice oscilaie, indiferent de forma lui f(t), dac ndeplinete condiiile teoremei Fourier, poate fi considerat ca o suprapunere de oscilaii armonice. Seria fiind convergent, amplitudinile armonicelor scad cu ordinul lor. Seria const, deci, dintr-un termen constant i un numr infinit de oscilaii cu pulsaii (fundamentala), 2 prima armonica, 3 a doua, etc.

Fig. 2.12

Spre exemplificare, procesul periodic reprezentat grafic in figura 2.12a se poate reprezenta analitic prin seria 2.105, iar cel reprezentat grafic in figura 2.12b, prin seria 2.106.

4 1 1sin sin 3 sin 5 ...3 5

Ax t t tw w wp

= + + + (2.105)

48

2 1 1 1sin sin 2 sin 3 sin 4 ....2 3 4

Ax t t t tw w w wp

= + + + + (2.106)

n foarte multe aplicaii este convenabil sa se reprezinte seria Fourier corespunztoare unui proces periodic printr-o diagram n care s fie reprezentate, printr-o serie de segmente, valorile amplitudinii armonicelor n funcie de frecventa lor. De exemplu, pentru seria 2.106, aceasta diagram este reprezentata n figura 2.13. w

Fig. 2.13

Fiecare linie este numit linie spectral, iar totalitatea liniilor formeaz spectrul de linii a oscilaiei date. Fiecare linie corespunde unei oscilaii armonice avnd o singur frecven (pulsaie) numit oscilaie monocromatic. ntruct succesiunea frecvenelor nu este continu, un astfel de spectru este denumit spectru discontinuu. Un asemenea spectru apare la instrumentele muzicale cu corzi, cu arcu (vioar, viol, violoncel, contrabas).

n situaia n care procesul nu este periodic (de exemplu, saltul de presiune produs de un sunet scurt), succesiunea de frecvene este redat de o funcie continu, iar amplitudinea este redat tot de o funcie continu calculabil printr-o integral denumit integrala Fourier. Procese precum oscilaia amortizat sau un fenomen reprezentat printr-un salt de durata finit a unei mrimi poate fi reprezentat ca suma unei infiniti de armonice care au amplitudini infinit de mici i frecvene infinit de apropiate, care se extind pn la infinit. Limita acestei sume este integrala Fourier.

Descompunerea proceselor periodice sau neperiodice n spectre nu este o simpl operaie matematic, ea este o realitate fizic sesizabil experimental sau auditiv, n cazul sunetelor, care nu sunt altceva dect oscilaii ale aerului. n acest din urm caz, suprapunerea fundamentalei cu armonicele confer sunetului o calitate special numit timbru. Fiecare surs sonor are un timbru specific, dup care el poate fi recunoscut.

.

T

1 1/2 1/3 1/4

3.Unde elastice 3.1 Propagarea oscilaiilor n medii elastice. Fenomene fundamentale.

Definiii Un mediu elastic este un mediu continuu format din puncte materiale ntre

care se exercit fore elastice sau cvasielastice. Dac deformrile care intervin nu sunt prea mari i forele elastice sunt liniare, mediul este numit mediu elastic liniar. Dac un punct al unui astfel de mediu este perturbat (scos din poziia de echilibrare), el va oscila sub aciunea combinat a forelor elastice, de inerie i de rezisten. Acest punct fiind legat de punctele nvecinate prin fore de tip elastic, va transmite energie i impuls acestor puncte care vor oscila i ele. Astfel, din aproape n aproape, toate punctele mediului vor ncepe s oscileze.

Acest fenomen de transmitere a unei perturbaii din aproape n aproape ntr-un mediu elastic se numete und elastic. Punctul care prin oscilaie a dat natere undei, se numete surs. Fiecare punct oscileaz cu frecvena sursei dar cu o oarecare ntrziere fa de aceasta, deci cu o alt faz. Se pot da foarte multe exemple: perturbaia transversal care se propag de-a lungul unei corzi elastice lovite, valurile concentrice care se propag pe suprafaa apei dup cderea unei pietre, (figura 3.1) oscilaiile maselor de aer care prin propagare genereaz sunetele, etc.

Spaiul din jurul sursei care a devenit sediul undei se numete cmp de unde.

Dac unda se propag pe o singur direcie, cum se ntmpl n cazul perturbaiei care se deplaseaz de-a lungul unei corzi sau a unei bare se spune c unda este unidimensional. Dac propagarea are loc radial n acelai plan, cum se ntmpl cu valurile produse la suprafaa liber a unui lichid, unda este numit superficial sau bidimensional. Atunci cnd propagarea are loc radial n ntreg spaiul, unda se numete spaial sau tridimensional.

Distana pe care oscilaia s-a propagat, ntr-o perioad n lungul direciei de propagare se numete lungime de und. Dac se noteaz cu c viteza de propagare a undei (celeritatea):

n==l cTc (3.1)

Locul geometric al punctelor celor mai deprtate de surs, atinse la un moment dat de micarea oscilatorie, se numete front de und, iar locul geometric al punctelor atinse n acelai moment de micarea oscilant se numete suprafa de und, ca n figurile 3.1 i 3.2.

50

Fig. 3.1

Dac oscilaiile se efectueaz pe direcia de propagare a undei, aceasta se numete und longitudinal, iar dac oscilaia se produce perpendicular pe direcia de propagare, unda se numete transversal.

Fig. 3.2

ntr-un mediu elastic, particulele care alctuiesc mediul nu se propag odat cu unda, ele nu execut dect micri oscilatorii n jurul poziiei de echilibru. Ceea ce se propag este doar micarea oscilatorie, a crei faz se modific i prin care se transmit energia i impulsul.

3.2 Ecuaia de propagare a undelor elastice 3.2.1 Ecuaia de propagare a unei unde elastice transversale pe o

coard infinit de lung (Ecuaia corzii vibrante) Se va considera o coard elastic omogen infinit de lung, solicitat la

ntindere cu tensiunea T. La un moment dat, ntr-un punct al corzii, acioneaz o for perturbatoare perpendicular pe lungimea acesteia provocndu-i o deformare transversal. Dup ncetarea forei perturbatoare, rezultanta forelor elastice F tinde s readuc elementul de coard la poziia iniial i s anuleze deformarea. Datorit ineriei micrii transversale continu, deformarea producndu-se de ast dat de cealalt parte a corzii i transmindu-se regiunilor nvecinate ca n fig.3.3.

51

Datorit aciunii combinate a forelor elastice i a forelor de inerie, perturbaia se va se va propaga de-a lungul corzii dnd natere la o und transversal. Fiecare punct al corzii oscileaz avnd o elongaie (x,t)

Pentru a deduce ecuaia elongaiei, se consider un element infinitezimal din coard, de lungime dx i mas dm, avnd coordonata x. La creterea coordonatei cu o distan infinitezimal dx, elongaia oscilaiei devine +d, ca n figura 3. 4 i n detaliul din fig. 3.5.

Fig. 3.3

Fig. 3.4

x+dx x

52

Fig. 3.5

Rezultanta forelor elastice care readuc elementul de coard n poziia de echilibru este yy 21 T-T deci, conform principiului II al lui Newton:

admyy =T-T 21 (3.2)

dar, conform definiiei, acceleraia elementului de coard se exprim prin relaia urmtoare.

( ) 22

,t

txa

y=y= && (3.3)

iar din figura 3.5 se deduce:

aT=T sin11 y , i ( )a-aT=T dy sin22 (3.4)

prin urmare rezultanta este:

1 2y yT - T sin sin cos sin cosd da a a a a= T - T + T (3.5)

dar:

cosd 1a i sind da a

( )1 2 cosy y d Td sina a aT - T = T = (3.6)

Deci:

( ) 22

sindt

dmd y=aT (3.7)

53

lungimea elementului de coard fiind extrem de mic i unghiul fiind de asemenea mic, se poate utiliza aproximaia: aa tgsin . nlocuind aceast aproximaie n (3.6) se obine:

( ) 22

dtdmtgd y=aT (3.8)

Se observ n figura 3.5 c se poate scrie cu o aproximaie foarte bun relaia urmtoare:

xtg

y=a (3.9)

nlocuind (3.9) n (3.8), rezult urmtoarea ecuaie diferenial: 2 2

2 2dxx ty y

m

T =

sau 22

2

2

tx y

Tm

=

y (3.10)

Aceast ecuaie diferenial cu derivate pariale este numit ecuaia corzii vibrante.

Rezolvarea acestei ecuaii n condiiile impuse de problem, permite aflarea elongaiei oscilaiei punctului de pe coard de coordonat x i la momentul t.

Notnd:

mT

=c (3.11)

ecuaia va lua urmtoarea form.

2

2

22

2 1tcx y

=

y (3.12)

Se observ c mrimea constant c are dimensiunea unei viteze. Ea este chiar viteza de propagare a fazei undei pe coard (aceast afirmaie va fi demonstrat ulterior).

3.2.2 Ecuaia de propagare a unei unde elastice longitudinale printr-o bar.

Un alt caz de propagare unidimensional este propagarea unidimensional a unei perturbaii longitudinale de-a lungul unui mediu care are lungimea foarte mare n raport cu dimensiunile sale transversale, cum se ntmpl n cazul unei bare, evi, ine, etc. Se va considera n continuare o bar elastic cu densitatea , modulul de elasticitate E i seciunea constant S. Aceast bar este perturbat ntr-un punct, la momentul iniial, de exemplu, printr-o comprimare. Dup ncetarea aciunii care a produs deformarea, forele elastice vor tinde s anuleze

54

aceast deformare, readucnd elementul comprimat la dimensiunea iniial. ns, datorit ineriei, micarea va continua elementul de bar alungindu-se i comprimnd regiunile nvecinate. i astfel, din aproape n aproape, sub aciunea combinat a forelor elastice i de inerie, apare o und longitudinal care const n oscilaii ale elementelor barei care se propag de-a lungul ei ca n figura 3.6. Pentru a afla elongaia oscilaiei ntr-un punct aflat la distana x de sursa perturbaiei, se va considera n jurul punctului de coordonat x, un element de bar infinit de mic de lungime dx. Datorit propagrii undei, acest element de bar la momentul t este deformat (comprimat sau alungit) cu d i va rspunde aciunii

forei perturbatoare Fr

cu o reaciune FdFrr

+ , fora rezultant fiind FFdFrrr

-+ ca n fig. 3.7:

Fig. 3.6

Fig. 3.7

Conform principiului II al lui Newton rezult:

admFFdF =-+rrr

(3.13)

sau:

2

2

tdmdF

=y (3.14)

Fora F fiind o for elastic liniar, se aplic legea lui Hooke:

0

F lES l

D= (3.15)

t=0

t=t = 2pw

Y dY + Yd

55

alungirea relativ este:

0

ll x

yD =

(3.16)

deci, fora elastic din bar este dat de urmtoarea relaie:

F SExy=

(3.17)

Pentru a-l afla pe dF vom diferenia relaia i obinem:

dxx

SEx

dSEdF 22

y

=

y

= (3.18)

deci:

2

2

2

2

tdmdx

xSE

y

=

y (3.19)

masa elementului de bar este: Sdxdvdm r=r= i prin urmare ecuaia de propagare a perturbaiei longitudinale pe bar va lua urmtoarea form:

2 2

2 2E x ty y

r

=

(3.20)

Aceast ecuaie se numete ecuaia barei vibrante. Dac se face notaia:

r=

Ec (3.21)

obinem c ecuaia diferenial de propagare a unei unde longitudinale pe bar are, din punct se vedere matematic, aceeai form ca i ecuaia corzii vibrante (3.12):

2

2

22

2 1tcx y

=

y

Ecuaii cu aceast form apar ori de cte ori o perturbaie se propag unidimensional i, din acest motiv, ea este denumit ecuaia undelor unidimensionale.

3.2.3 Ecuaia de propagare a unei unde superficiale transversale pe o membran elastic infinit.

Dac o membran (plac) elastic este perturbat, ntr-un punct al ei, pe suprafaa membranei (plcii) se vor produce unde superficiale care se vor propaga radial din punctul n care s-a produs perturbaia iniial. Se va considera o

56

membran elastic infinit, deformat ntr-un punct. Deformarea va genera fore elastice liniare care tind s readuc elementul de membran la poziia iniial. Prin aciunea combinat a forelor elastice i de inerie, elementul respectiv de membran va executa oscilaii verticale transmise i regiunilor nvecinate. Astfel, ntreaga membran va fi supus unei micri ondulatorii care se propag bidimensional. Fcnd abstracie de propagarea bidimensional, situaia este similar cu cea de la coarda vibrant. Pentru a deduce ecuaia de propagare a undei superficiale, bidimensionale pe membran, se va considera decupat din membrana respectiv o poriune infinit de mic, de dimensiuni dx i dy. Elementul de membran este readus n poziia de echilibru de componentele verticale ale forelor elastice. Marginile membranei sunt solicitate de o fora F

r

datorat deformrii ei. Se va nota cu T fora care revine pe unitatea de lungime

lF=T . Fora deformatoare F

rrmne tangent la membrana deformat, dar va da

componente n planul orizontal i n cel vertical, dup cum se vede n fig. 3.8:

Fig. 3.8

Cu excepia situaiei bidimensionale se observ i analogia figurii cu cea de la coard. Rezultanta forelor care readuc placa n planul xOy va fi:

1 2 1 2 cos cosz xz xz yz yz x ydR F F F F F d F da a b b= - + - = + (3.22)

sau:

( ) ( )sin sinz x ydR F d F da b= + (3.23)

Deformaia fiind mic, unghiurile sunt i ele foarte mici i se pot face aproximrile:

sin tgxya a

(3.24)

57

i:

sin tgyy

b b

(3.25)

nlocuind aceste aproximaii n relaia (3.23), rezultanta forelor verticale devine:

2

2

2

2

yFdx

xFdR yxz

y+

y

= (3.26)

Forele care solicit tangenial elementul de membran sunt:

dyFx T= i dxF y T= (3.27)

Se va nota masa unitii de suprafa sau densitatea superficial a membranei, cu:

dSdm=s (3.28)

deci:

dSdm s= sau, dxdydm s= . (3.29)

nlocuind n expresia rezultantei (3.26), se obine urmtoarea expresie:

2

2

2

2

2

2

tdxdydy

ydxdx

xdy

y

s=

yT+

y

T (3.30)

de aici rezult c ecuaia diferenial satisfcut de elongaia oscilaiei care se propag superficial pe aceast membran, are urmtoarea form:

2

2

2

2

2

2

tyx y

Ts

=

y+

y (3.31)

Aceast ecuaie este denumit, ecuaia membranei (plcii) vibrante. Dac se introduce notaia:

sT

=c (3.32)

ecuaia membranei vibrante va lua urmtoarea form.

2

2

22

2

2

2 1tcyx y

=

y+

y (3.33)

58

Pentru a satisface omogenitatea dimensional a formulei este necesar ca mrimea constant c s reprezinte o vitez.

Se remarc faptul c bidimensionalitatea undei a introdus n ecuaia de

propagare termenul 2

2

yy , iar constanta c (viteza de propagare a fazei) depinde de

T, adic fora care acioneaz pe unitatea de lungime (fora care acioneaz pe unitatea de lungime a conturului este denumit tensiunea superficial) i de densitatea superficial. innd cont de modul de definire a mrimilor T i , constanta cu dimensiune de vitez c se mai poate exprima i n urmtorul mod:

eFlc mS

=

(3.34)

3.2.4 Ecuaia de propagare a unei unde elastice tridimensionale n cazul cel mai general, ntr-un mediu elastic, liniar, omogen i izotrop

unda se propag n toate direciile prin oscilaii longitudinale (de exemplu, sunetul sau undele seismice). Pentru a deduce ecuaia undelor volumice tridimensionale, n continuare vor fi generalizate, fr o demonstraie riguroas, rezultatele obinute anterior la paragrafele dedicate undelor unidimensionale i bidimensionale, n felul urmtor: trecerea de la propagarea unidimensional la cea bidimensional a introdus, dup cum s-a artat n ecuaia de propagare, termenul

2

2

yy corespunznd noii coordonate. Deci, se poate admite c trecerea la

tridimensionalitatea undei va introduce n primul membru al ecuaiei difereniale a

undei nc o derivat parial de ordinul II, respectiv 22

zy deci, ecuaia undelor

spaiale tridimensionale trebuie s aib urmtoarea form. 2 2 2 2

2 2 2 2 21

x y z c ty y y y + + =

(3.35)

n caz al propagrii unidimensionale, s-a dedus c constanta c se calculeaz cu ajutorul unei formule de forma (3.11), care mai poate fi scris i n felul urmtor.

eFc ml

mT

= =

(3.36)

59

iar formula de calcul a acestei constante n cazul bidimensional este de forma relaiei (3.34). Se poate deci afirma c trecerea la propagarea spaial va introduce n formula lui c cte o nou dimensiune, n modul urmtor:

eFpSc m

Vr

= =

(3.37)

Aceast constant este, dup cum s-a afirmat anterior tocmai viteza de propagare a fazei oscilaiei n mediu.

Relaia (3.37) permite deducerea relaiei care permite calcularea vitezei de propagare a undei acustice ntr-un gaz ideal. Unda acustic este o und spaial care const n oscilaii longitudinale ale maselor de gaz. Considernd c micrile suferite de masa de gaz sunt suficient de rapide pentru a nu face schimb de cldura cu mediul, transformrile acesteia sunt adiabatice i deci, satisfac ecuaia lui Poissson:

pv A constantg = = . (3.38)

Masa gazului fiind constant, relaia aceasta se poate pune i sub urmtoarea form.

A m Apm V m

gg

g g g r= = (3.39)

deci: 1

2 11

p A pV m pVcm m V m

g gg

g g gg r g gr

--

-

= = = =

(3.40)

lund n considerare i ecuaia de stare a gazului ideal:

mpV RTm

= (3.41)

n final se obine relaia:

RTc gm

= (3.42)

m reprezint masa molar a gazului. La temperatura camerei, viteza sunetului n aer este de aproximativ 340 m/s.

Revenind la ecuaia (3.35) a undei tridimensionale obinute prin generalizare, aceasta se poate scrie simbolic n modul urmtor:

60

2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx y

=y

+

+ (3.43)

Entitatea matematic:

+

+

=D 22

2

2

2

2

zyx (3.44)

se numete operatorul lui Laplace sau mai pe scurt laplacian. Astfel, ecuaia undei se scrie:

2

2

2

1tc y

=yD (3.45)

aceast relaie se mai poate pune i sub forma

01 22

2 =Y

-Dtc

(3.46)

Entitatea matematic (operatorul):

-D= 22

2

1tc

(3.47)

se numete operatorul lui dAlambert sau dalambertian deci, ecuaia undelor tridimensionale se poate scrie i sub urmtoarea form:

0Y = (3.48)

3.3 Soluia ecuaiei undelor n continuare, se pune problema gsirii soluiei undelor ecuaiei:

2

2 21c t

yDy =

.

Soluia acestei ecuaii difereniale a fost studiat de matematicieni i s-a stabilit c depinde de condiiile iniiale i de frontier. Forma suprafeei de und depinde de forma sursei care a produs perturbaia i de proprietile mediului.

3.3.1 Soluia ecuaiei undelor unidimensionale Se consider o und care se propag unidimensional (de exemplu, unda

propagat pe o coard infinit, omogen), dup cum s-a vzut ecuaia de propagare a undei pe ea, este dat de ecuaia (3.12):

( ) ( )2 22 2 2

, ,1x t x tx c t

y y=

61

Se consider c unda este propagarea unei micri oscilatorii armonice, provenind dintr-o surs O care oscileaz armonic. n continuare, se va deduce funcia ( ),x ty care este elongaia oscilaiei, unui punct M de pe un mediu unidimensional (coard, bar, ghid de und, tub sonor, etc.), situat la distana x de O, la momentul t. Pentru aceasta, se rescrie ecuaia undelor unidimensionale n modul urmtor:

1 1 0x c t x c t

y - + =

(3.49)

se introduc dou variabile auxiliare x cth = - i x ctx = + . Derivata parial n raport cu x se poate exprima n modul urmtor:

x x xh x

h x h x

= + = +

(3.50)

i cea n funcie de timp se exprim n modul urmtor:

ct t t

h xh x h x

= + = -

(3.51)

nlocuind n ecuaia (3.49) se obine relaia urmtoare: 2

4 0yh x

=

sau, 0yh x

=

(3.52)

deci: yx

nu depinde deh fiind o funcie arbitrar F(x) dependent

numai de variabila auxiliar x, prin urmare:

( ) ( )1F d fy x x h= + (3.53)

( )1f h este o funcie arbitrar de h, iar:

( ) ( )2f F dx x x= (3.54) este o funcie arbitrar de x, deci, soluia general a ecuaiei undelor

unidimensionale este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2,x t f f f x ct f x cty h x= + = - + + (3.55)

Funciile 1f i 2f fiind arbitrare exist o infinitate de soluii. Forma concret a funciilor arbitrare 1f i 2f depinde de condiiile iniiale adic de geometria i modul de oscilaie a sursei i de condiiile la frontier, adic de

62

limitrile impuse de mediul nconjurtor propagrii undei f1 se numete unda direct sau progresiv care se propag dinspre surs, iar f2, unda regresiv sau indirect care se propag spre surs.

3.3.2 Soluia ecuaiei undelor tridimensionale n cazul mediului omogen i izotrop i a sursei punctiforme. Unda sferic

n cazul n care propagarea undei nu este limitat la o singur direcie, ca n cazul propagrii pe o coard, elongaia punctelor materiale ale mediului, la un moment t nu depinde doar de coordonata x, ci i de coordonatele y i z deci, unda se va propaga tridimensional i ecuaia undei va avea urmtoarea form general:

2

2

2 tc1

Y

=DY sau 2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx Y

=

Y+

Y

+

Y

Dac sursa este punctiform i mediul este omogen i izotrop, suprafeele de und vor avea forma sferic. Acest lucru se justific foarte simplu prin faptul c, n acest caz, propagarea se face n toate direciile n mod identic. innd cont de simetria sferic a problemei este comod s trecem de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice: qj,,r ca n fig. 3.9

x = r sinqcosj; y = r sinqsinj; z = r cosq

Fig. 3.9

n coordonate sferice expresia operatorului Laplace va fi:

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2

1 1 1, , sinsin sin

rr

r r r ry y

j q qq q q q j

Y DY = + + (3.56)

n cazul mediului omogen i izotrop, elongaia nu poate s depind de qj,

(comportamentul undei este acelai n toate direciile) deci, 0=qY 0=

jY

Prin urmare, din laplaceian nu rmne dect componenta radial:

63

( )22

1r

rr r

yy

D =

(3.57)

Deci, ecuaia undelor sferice se reduce la urmtoarea form:

( )2 2

2 2 21 1rr r c t

yy

=

(3.58)

dar la un moment t, are o valoare constant deci, poate fi introdus n derivat din al doilea membru:

( ) ( )2 2

2 2 21r r

r c t

Y = Y

(3.59)

Notnd Y= rF , ecuaia devine:

2

2

22

2 1tF

crF

= (3.60)

Se observ c aceast ecuaie diferenial are aceeai form ca i ecuaia unidimensional a undelor, a crei soluie a fost deja dedus ca avnd urmtoarea form.:

( ) ( )1 2F f r ct f r ct= - + + (3.61)

deci, ecuaia elongaiei este urmtoarea:

( ) ( ) ( )1 21,r t f r ct f r ctr

y = - + + (3.62)

n concluzie, se constat c amplitudinea undei sferice scade cu distana. Aceast afirmaie poate fi demonstrat i pe cale energetic, n felul urmtor: energia emis de surs ntr-o perioad, se rspndete ntr-un volum cresctor. Dac distana de la surs este mare energia emis ntr-o perioad este cuprins ntr-un volum cuprins ntre dou sfere cu razele r i r + . Deci:

( ) ( )3322333 333

43

43

4 rrrrrrV -l+l+l+p=p-l+p= (3.63)

dar,

64

2

2kAW = ( )20w= mk (3.65)

deci, amplitudinea scade proporional cu distana de la surs. Argumentele funciilor f1 i f2 sunt r ctF = , se numesc faza undei

(progresive respective regresive), iar suprafaa pentru care toate punctele au aceeai faz, constant, se numete suprafa de faz.

Dac se noteaz cu 0F valoarea constant a fazei, ecuaia suprafeei de faz corespunztoare va fi urmtoarea:

0r ct= F m (3.66)

explicitnd modulul vectorului de poziie i ridicnd relaia obinut la ptrat, se gsete relaia:

( )22 2 2 0x y z ct+ + = F m (3.67)

Aceasta este ecuaia unei sfere cu raza ( ) 0R t ct= F m .cresctoare n timp cu viteza c.

Prin urmare, constanta c cu dimensiuni de vitez care apare n ecuaia undelor, este viteza cu care se deplaseaz suprafaa de faz. Din acest motiv ea se numete vitez de faz. Se observ c semnul inferior (+) din expresia razei (3.67) corespunde funciei 1f din expresia elongaiei, (3.61) prin urmare, aceasta are raza cresctoare i deci, se deprteaz de surs, reprezentnd o und progresiv. Pe baza unui raionament analog se trage concluzia c 2f , din expresia elongaiei (3.61) are raza descresctoare n timp i deci, se apropie de surs, reprezentnd o und regresiv.

3.3.3 Aproximaia de unda plan, neatenuat n aplicaiile practice, dac distana de la surs la observator este mult mai

mare dect lungimea de und, iar domeniul D n care se face observaia este mult mai mic dect aceast distan, curbura suprafeei de faza sferice se poate neglija. n acest caz, suprafaa de und sferic devine aproximativ o suprafa plan (fig. 3.10). n aceast aproximaie unda se va numi und plan.

n acest caz, n domeniul D, distana r de la surs nu prezint variaii importante, deci din relaia (3.61) rezult c amplitudinea nu scade cu distana, ea rmne constant.

65

Fig. 3.10

n figura (3.10), arcele de cerc reprezint intersecii ale suprafeelor de faz cu planul desenului, iar segmentul vertical, intersecia unui plan tangent la acest suprafee cu acelai plan al figurii. Se remarc faptul c n domeniul restrns D diferena dintre arcul de cerc i segmentul de dreapt este foarte mic. Eroarea scade odat cu creterea distanei de la surs.

3.3.4 Unda armonic plan S-a constatat c orice oscilaie poate fi considerat ca o suprapunere de

oscilaii armonice, deci de o mare importan este studierea undelor provocate de oscilatori armonici n medii omogene i izotrope. Dac sursa execut oscilaii armonice, funciile f1 i f2 vor fi tot funcii armonice i unda se va numi und armonic plan. Se va numi und armonic plan o und armonic studiat ntr-un domeniu restrns, la o mare distan de surs.

3.3.4.1 Ecuaia undei armonice plane Se consider o und armonic plan, pornit dintr-o surs aflat n origine.

Direcia de propagare a undei este definit de versorul ur . Se va deduce ecuaia elongaiei produs de und, ntr-un punct P definit de vectorul de poziie rr , ca n figura 3.11 (pentru a nu complica desenul, n aceast figur sa fcut doar o reprezentare n planul xoy, i din acest motiv suprafeele de faz vor fi reprezentate prin segmente perpendiculare pe direcia de propagare).

66

Fig. 3.11

Considernd c sursa oscileaz armonic, elongaia oscilaiei sale este dat de relaia:

( )0, cost A ty w= (3.68)

Punctul P ncepe s oscileze n momentul n care este atins prima oara de frontul de und, adic, ntrziat fa de oscilaia sursei cu timpul necesar frontului de und s strbat distana OM:

( ) ( )2 1 2 1cos cosOP rOMc c c

a a a at

- -= = = (3.69)

Ecuaia elongaiei oscilaiei n P va fi:

( ) ( ) ( )2 1 2 1cos cos, cos ( ) cos( )r rr t A t A tc ca a w a a

y w w- -

= - = -r (3.70)

nlocuind n (3.70) forma explicit a pulsaiei, rezult:

( ) ( )2 12 cos, cos( )rr t A tTc

p a ay w

-= -

r (3.71)

se introduce mrimea fizic denumit numr de und, prin relaia:

2 2kTcp p

l= = (3.72)

Se introduce vectorul, numit vector de und, care are modulul egal cu numrul de und k i are direcia i sensul de propagare al undei:

2k upl

=r r (3.73)

Se observ c produsul scalar dintre vectorul de poziie a punctului P i vectorul de und se poate exprima n modul urmtor:

67

( ) ( )2 1 2 12 cos

cosr

kr krp a a

a al

-= - =

rr (3.74)

Prin urmare, ecuaia elongaiei oscilaiei n P va fi urmtoarea.

( ), cos( )r t A t kry w= -rr r (3.75)

Aceast ecuaie este denumit ecuaia undei armonice plane sau ecuaia undei monocromatice plane. Utiliznd scrierea cu mrimi complexa, ecuaia va lua urmtoarea form:

( )( , ) i t krr t Ae w -Y =rrr (3.76)

Suprafeele de faz vor fi plane paralele ntre ele, orientate perpendicular pe direcia de propagare

3.4 Energia transportat de undele elastice longitudinale. Intensitatea undei elastice

Particulele constituente ale unui mediu elastic prin care se propag o und, execut oscilaii deci, devin oscilatori elementari care au fiecare energie. Suma acestor energii, pe ntreg mediul este energia transportat de und n acel mediu. Se va considera un mediu elastic liniar, nemrginit de densitate r , prin care se propag o und armonic longitudinal Aceast und se propag radial, pornind dintr-o surs punctiform. Se consider decupat din acest mediu, un element de volum cilindric, de volum DV. Acest element de volum are masa mD , axa orientat paralel cu direcia de propagare i este