Curs 1+2 1.Miscarea oscilatorie armonicaUna din miscarile importante intalnite in natura este miscarea oscilatorie.Ea este un caz particular al miscarii periodiceefectuandu-sedeopartesi dealtaaunei pozitii de echilibru.Vom da cateva exemple al unor asemenea miscarii in jurul unor pozitii de echilibru:-un pendul osciland intr-un plan-o masa suspendata de un resort-un circuit LC.Toate aceste sisteme denumite sisteme cu un grad de libertate pot fi complet caracterizateprintr-o cantitate unica. Pentru examplele considerate acesasta cantitate este:-unghiul pe care firul il face cu verticala-distanta de la masa suspendatala pozitia de echilibru a resortului-sarcina capacitatiiFortele sub actiunea carora se produce iesirea din starea de echilibru sunt proportionale cumarimeaacestei cantitati,marimepecareovomnotacuxsicareuneori esteo deformatie, alteori o putemconsidera o deformatie deoarece este o masura a departarii fata de starea de echilibru.Ele sunt forte tip elastic care in cazul in care in cazul sistemul este cu un singur grad de libertete se pot scrie sub forma:F=-kx(1)Deoarece dependenta de deformatie este liniara oscilatia este liniara si pentru ca vom vedea imediat ,solutia este sub forma unei functii armonice-sinus sau cosinus- oscilatia se numeste liniar armonica.Scriind legea a doua a lui Newton pentru corpul supus fortei elastice obtinem: md2x/dt2=-kx (2) Notand: k/m=2 Obtinem:

2 + x 0 x

Solutia ecuatiei (2) poate fi scrisa sub forma: x=Asin(t+) (2)Aici: Asisuntconstantedeintegrarepurtandnumeledeamplitudinesi respective faza initiala iar si x sunt pulsatia si respectiv elongatia.Miscarea oscilatorie este periodica deoarece functia sin t este periodica, adica: sin t =sin( t+2 ) =sin(t+2 /)=sin(t+T)unde :T=2 / este perioada oscilatiei si depinde de masa oscilatorului si de constanta de elasticitate k, prin relatia: kmT 2 (3) In cazul oscilatiilor de mica amplitudine,perioada nu depinde deamplitudinea oscilatiei Frecventa unei oscilatii reprezinta numarul de oscilatii complete efectuate de oscilator in unitatea de timp: =n/t sau =1/T1unde :n este numarul de oscilatii efectuate in timpul t iat T este perioada adica timpul in care se efectueaza o oscilatie completa.Din formulele de definitie ale perioadei rezulta urmatoarele relatii intre pulsatie,perioada si frecventa: =2 =2 /T Faza initiala reprezinta =arcsin 0x/A unde 0xeste elongatia la momentul initial t=o.Viteza si acceleratia mobilului sunt prima si respectiv a doua derivata a elongatiei:v=Acos( t+ ) si a=- A2sin( t+ )Putem usor detemina viteza initiala v 0si acceleratia initiala a 0si anume:v 0 =Acossia 0 =- A2sin )In figura 1 suntreprezentate grafic, elongatie,viteza si acceleratia in functie de timp. Figura 12 Din punct de vedere al comoditatii calculului matematic exprimarea solutiei se poate face prin numere complexe.Vom alege solutia ecuatiei de forma: x(t)= Cet.Calculand derivatele si inlocuind in ecuatia (2 ),dupa scoaterea factorului comun Cetsi cum ne intereseaza sa nu gasim solutia banala Cet 0 rezulta ecuatia algebrica: 2 +20=0.Aceasta ecuatie este numita ecuatie carecteristica asociata ecuatiei diferentiale( 2).Rezolvand ecuatia carecteristica putem determina valorile constantei si anume 1,2=j 0 unde j=-1.Solutia generala a ecuatiei oscilatorului armonic este o combinatie liniara a celor doua solutii particulare: x(t)=A+ e ej 0t+ A- e-j 0t (4).Aici A+ si A-sunt marimi complexe.Folosind reprezentarea trigonometrica a marimilor complexe :ej =cos jsin .O scriere sub aceasta forma este echivalenta cu o scriere a solutiei (4 )sub forma unei functii armonice.Adica: x(t) =A+(cos 0 t +jsin 0 t)+A-(cos 0t-jsin 0t)=(A++ A-)cos0t +j(A+-A-)sin 0t =A cos0t +B sin 0t =C cos(0t-) Unde:A= A++ A- si B= A+-A- C2=A2+B2 si =arctg B/AO forma echivalenta de scriere a solutiei complexe este:3x(t)=Cej( 0 t- ) unde C si sunt doua constante arbitrare independente de timp. Folosind reprezentarea cu ajutorul numerelor complexe fiecare oscilatie se poate considera ca proiectia pe o axa a unui vector rotator (fazor) de marime egala cu amplitudinea miscarii .Reprezentarea fazoriala a cinematicii miscarii sinusoidale( elongatie,viteza si acceleratie) este data in Figura 1.Fazorul viteza va fi defazat cu /2 in raport cu fazorul elongatie si acceleratia va fi defazata cu in raport cu acela si fazor al elongatiei.

Figura 2Fortele elastice de tip F=-kxpot considerate ca deriva dintr-un potential U=1/2 kx2 deoarece putem scrie: F=-gradU(4)Inmultind cu dx cei doi membri ai ecuatiei ( 2 ) obtinem:m ,_

dtdxdtddx=-kxdxAceasta expresie poate fi scrisa sub forma: d 11]1

+ ,_

222 2xkdtdx m=0adica marimea: 11]1

+ ,_

222 2xkdtdx m=const. (5)Primul termen al expresiei (5) este energia cinetica,iar cel de al doilea este energia potentiala. U=1/2 kx2.Energia potentiala variaza deci in functie deformatie dupa o parabola. 4 Curs 3In cazul moleculelor biatomice energialor de legatura,E, variaza in functie de distanta R dintre atomi conform graficului din figura 3.Figura 3 Din desen se vede ca variatia energiei de legatura in apropierea minimului,adica a starii corespunzatoare moleculei in echilibru,este o functie care poate fi aproximata printr-o parabola (parabola desenata cu linie intrerupta).Aceasta aproximatie este valabila doar pentrudeformatii mici unde parabola coincide practice cu curba de variatie a energiei de legatura.Daca R R0,descrierea miscarii se face cu ajutorul unei forte de atractie si respective daca R R0 miscarea se descrie cu ajutorul unei forte de respingere.Deformatiile moleculei biatomice se carecterizeaza prin deformatia R- R0.Forta care tinde sa restabileasca starea de echilibruse poate scrie sub forma F=-k (R- R0) +(R- R0)2- ( R- R0)3+.Primul termen corespunde micilor deformatii,urmatorii termenii se refera la deformatii de ordin superior.Oscilatiile slabe ale moleculelor se pot descrie deci cu teoria oscilatiilor armonice. Sa tratam cateva exemple de miscari oscilatorii armonice. Pendulul gravitationalSa consideram un corp greu, practic puntiform, de dimensiuni neglijabile atarnat de un fir de greutate practice nula si care este inextensibil.(figura 4)5Figura 4 Forta G care actioneaza asupra corpului M se descompune in doua componente:-una care tinde sa alungeasca firul, forta longitudinala ;-cealalta care produce miscarea pendulului,F,care este tangenta la traiectoria pendulului.Modulul fortei care produce miscarea F=Gsin=Gx/l unde segmantul x poate fi scris sub forma: x=lsin=l(- ........! 5 ! 35 3 + )=s(1- +! 5 ! 34 2 )La unghiuri mici, termenii de ordin superior in raport cu pot fi neglijati, segmentul ME puatand fi inlocuit,din aceasta cauza cu arcul MA,de lungime s.Ca urmare exista proportionalitate a fortei de atractie spre punctual A cu distanta masurata de-a lungul traiectoriei de la punctual A la centrul corpului M .Adica: F=mgs/l deci daca notam constanta k=mg/l ,forta este de forma (1) si solutia miscarii este de forma miscarii oscilatorii armonice.Utilizand relatia (3) obtinem;T=2 glMasa si resort osciland longitudinal6Fie o masa M care aluneca fara frecare pe o suprafata orizontala.Ea este legata de doi pereti rigizi prin doua resorturi identice de masa nula de constanta k si de lungime de repaus a 0 . Fie z distanta masei M de peretele stang si deci 2a-z va fi distanta in raport cu peretele drept. Vom reprezenta in figura 5 mai intai:(a) resorturile detensionate si masa M ne atasata, (b) resorturile atasate masei aflate in pozitie de echilibru (c) configuratia generala.Figura 57In pozitia de echilibru lungimea fiecarui resort este a si tensiunea sa este deci k(a- a 0 ). Resortul din stanga exercita spre z negativ o forta k(z- a 0 ), iar resortul din dreapta exercita o fortak (2a-z- a 0 ) in directia lui z pozitiv. Forta rezultanta Fz in directia z pozitiv este superpozitia acestor doua forte:Fz =- k(z- a 0 ) + k (2a-z- a 0 ) =-2k(z-a)Cea de a doua lege a lui Newton este deci:m22dt z d=-2k(z-a)Facand schimbarea de variabila

(z) =z(t)-arezulta : ..+2 =0(6) Unde am notat : 2=2k/mSolutia ecuatiei (6) este de forma (2) Circuit LCInainte de a trata circuitul oscilant LC ne vom aduce aminte de cateva notiuni de electricitate incepand cu curentul alternativ.Curentul alternative poate fi: produs, transmis si utilizat in conditii mult mai avantajoase decat curentul continuu.La baza producerii t.e.m.alternative sta fenomenul de inductie electromagnetica..Rotirea uniforma a unui cadru, format dintr-un numar de N spire, intr-un camp magnetic omogen sau rotirea uniforma a unui camp magnetic intr-o bobina fixa, permite obtinerea unei t.e.m.alternative.Avand in vedere legile inductiei electromagnetice, intr-un cadru ce se roteste uniform intr-un camp magnetic omogen, se induce o o t.e.m.datorita variatiei fluxului magnetic prin cadru:=BNScos. Unghiul este variabil in timp datorita rotatiei uniforme a cadrului: =t. Fluxul magnetic prin cadrul rotator va avea deci expresia =BNScos t .Pe baza legilor inductiei electromagnetice tensiunea indusa in cadru este:e=-t , de unde se obtine:e=BNSsint de unde tinand cont ca B,N, S si sunt constante, putem scrie: e=Emsint, unde Em =BNS8 .Din aceasta expresie rezulta ca t.e.m. variaza intre Em si -Em avant o variatie sinusoidala.Daca se aplica aceasta tensiune unui circuit electric se va stabili prin acesta un curent care se poate scrie sub forma: i= Imsint

Deoarece valoarea curentului electric este variabila in timp,in practica se foloseste fie valoarea maxima Im a acestuia, fie o valoare echivalenta Ie notata adesea numai cu I si care poarta numele de valoare efectiva.9DEFINITIE:Valoarea efectiva I a intensitatii curentului altrnativ reprezinta intensitatea unui current electric continuu care produce acelasi efect termic Q, deci aceeasi cantitate de caldura la trecerea prin acelasi rezistor ca si curentul alternative. Aceasta valoare are urmatoarea expresie:I=2mI Pentru a cunoaste elementele carecteristice se folosesc reprezentari conventionale ale acestora.a)Reprezentarea analitica:Simpla scriere a marimii respective in functie de marimile variabile (timp, faza etc.) poate furniza informatii privind: valoarea instantanee, valoarea maxima, pulsatia, perioada, faza initiala a marimii reprezentate.Exemplu:i=10 sin( t+/4).Aici :intensitatea maxima este Im=10A pulsatia este = rad/s perioada esteT=2s, faza initiala este = /4,valoare instantanee se obtine dand variabilei timp diverse valori. b) Reprezentarea grafica Prin reprezentarea grafica a unei marimi alternative in functie de un parametru variabil care poate fi timpul t sau faza , se obtin informatii despre perioada , faza initiala, valoarea maxima,valoarea instantanee.c) Reprezentarea fazoriala:La reprezentarea marimilor alternative armonice se poate utilize un vector numit fazor, care are lungimea proportionala cu valoare maxima , unghiul pe care il face cu abscisa sa fie egal cu faza initiala , proiectia lui pe ordonata egala cu valoare marimii la momentul initial sau la alt moment, vectorul se considera rotator cu o prioada egala cu cea a marimii alternative.Circuite simple de curent alternativ REZISTOR IN CURENT ALTERNATIV.Daca la bornele unui rezistor R se aplica o tensiune alternativade tipulu=Umsin t Prin circuit va circula un curent electric a carui intensitate este obtinuta prin legea lui Ohm:i=Rusau i=RUmsint sau scris altfel i=Im sint. Din expresiile tensiunii si intensitatii curentului electric prin rezistor rezulta ca intensitatea curentului electric este in faza cu tensiunea la bornele circuitului. BOBINAIN CURENT ALTERNATIV10 La aplicarea unei tensiuni alternative la bornele unei bobine fenomenul este mai complicat deoareceapare un curent de autoinductie datorat curentului variabil din bobina care produce fenomenul de autoinductie pentru care tensiunea autoindusa este:u=-LtiConsiderand un circuit care contine o bobina ideala, fara rezistenta, la bornele careia se aplica o tensiune alternative de forma: u=Um sint, dupa aplicare legilor lui Kirchhoff pe ochiul de retea rezulta:u+u=0Inlocuind expresiile celor doua tensiuni, se obtine urmatoarea relatie:Um sint - Lti=0Considerand ca intensitatea curentului electric este de forma armonica i=Im sin(t+),dupa inlocuirea in relatia tensiunilor,se obtine urmatoarea ecuatie: Um sint=ImL cos(t+).Din aceasta relatie rezulta ca Im=LmXUsi =-2Am folosit notatia XL=L. Aceasta marime se numeste reactanta inductiva a bobinei.Deci expresia intensitatea curentului electric devine:i=Im sin(t -2).Putem spune deci ca intensitatea curentului electric prin bobina este defazata cu2 in urma tensiunii. CONDENSATOR IN CURENT ALTERNATIVIntre armaturile unui condensator este un strat isolator numit dielectric, ce nu permite trecerea curentului electric prin el. Intr-un circuit de curent alternativ condensatorul se incarca electric periodic, determinand prezenta unui curent electric prin circuitul exterior lui. Daca tensiunea aplicata condensatorului are expresia : u= Um sint, atunci curentul de incarcare si descarcare al condensatorului este: i=tq11unde q este sarcina electrica variabila pe armaturile condensatorului.Deoarece: q=Cu rezulta :q=CUmsint sau: i=CUmcostadica:i=Im sin(t+2) Im =CUm ==LmXU Unde:XC= C1 se numeste reactanta capacitivaDeci intensitatea curentului electric alternativ printr-un circuit cu condensator este defazata cu2 inaintea tensiunii sau ca tensiunea la bornele condensatorului este in urma curentului cu2 . Curs 4 . CIRCUIT R-L-C SERIEGruparea unor elemente resistive, inductive si capacitive incat curentul electric sa fie unic avand aceeasi valoare a intensitatii electrice prin toate elementele circuitului, constitue circuitul R-L-C serie de curent alternativ.La bornele fiecarui element de circuit se va regasi cate o tensiune ce se poate exprima conform legii lui Ohm:UR=RIUL=XLIUC= XCIUnde: XL=L si XC=1/CDin reprezentarea fazoriala a celor trei tensiuni,defazate corespunzator fiecarui element de circuit ,rezulta ca exista o defazare dintre tensiunea aplicata U si intensitatea I a curentului electric.tg =RC LU U U adica tg =R X XC L Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul tensiunilor ,se obtine:12 U2=U2R +(UL-UC)2 sau U=I2 2) (C LX X R +Sau Z=2 2) (C LX X R + Marimea Z se numeste impedanta circuitului R-L-C serie. Legea lui Ohm se scrie deciin current alternative sub forma:U=ZIRezonanta tensiunilor Daca in functionarea circuitului R-L-C serie se realizeaza conditia: UL= UCrezulta XL= XCDeci impedanta are valoare minima iar curentul care se numeste current de rezonanta are valoare maxima si anume: Z=Rsi Irez=RU tg =0Deci circuitul se comporta rezistiv, prin el circula un curent electric maxim, spunandu-se ca circuitul este in rezonanta cu sursa de curent.Conditia de a se realize rezonantaeste impusa de egalitatea : XL= XC putand sa fie scrisa sub forma :L0=01 C Unde am notat cu 0 pulsatia de rezonanta adica 0=LC1si deci:0=LC 21Transferul de energie de la sursa la circuitul R-L-C se facein regim de rezonanta numai daca frecventa circutului alternativ este egala cu frecventa proprie 0 a circuitului, care depinde de elementele L si C. Puterea in circuitul R-L-C serieDaca alegem ca axa orizontala , axa curentului, I, din circutul serie si asezam tensiunile de la capetele elementelor circuitului R,C si L prin fazori defazati cu 0,- 2 se respectiv 2,vom obtine asa numitul triunghi al tensiunilor.Daca laturile triunghiului tensiunilor se amplifica cu intensitatea I a curentului, se obtine un triunghi asemenea cu cel initial, dar avand laturile ca valori ale unor puteri de pe diferitele elemente ale circuitului : -puterea activa: P=URI sau scris altfel P=RI2 ,marime masurata in Watt -puterea reactiva Pr=(UL-UC )I sau scris altfel Pr=(XL-XC )I2, marime masurata in VAR -puterea aparenta S=UI sau scris altfel S=ZI2, marime masurata VAFactorul de putere, dependent de elementele R,L,C si de frecventa curentului, se defineste prin relatiile urmatoare:cos=SPsau cos=ZR13 abFigura 12 a. Circuitul R-L-Cb.Triunghiul tensiunilor

Figura 13 Triunghiul puterilorCIRCUITR-L-CPARALELGruparea elementelor R,L,C in asa fel incat tensiunea la bornele lor sa fie comuna iar curentii prin cele elemente R,L si respectiv C sunt rezultatul ramificarii curentului debitat de sursa de curent alternativ. Utilizand reprezentarea fazoriala, asezam pe axa Oxtensiunea U care este aceeasi pentru toate elementele R, L si C si in raport cu aceasta asezam fazorii corespunzatori intensitatilor prin diferitele elemente, defazati cu 0,- 2 se respectiv 2.Vom obtine in acest fel triunghiul curentilor care se transforma in triunghiul puterilor dupa amplificarea fiecarei laturi cu tensiunea comuna U.Figura 1414a)b) c) a)Reprezentarea circuituluib)Reprezentarea fazorilor intensitate si tensiune c)Triunghiul puterilorIntensitatile curentilor prin fiecare ramura au urmatoarele expresii:IR=RU IL=LXUIC=CXU Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul curentilor ,se obtine:I2=I2R+(IC-IL)2de unde:I=U221 1 1

,_

+L CX X RFacand notatia : Z1=221 1 1

,_

+L CX X R cu marimea Z denumita impedanta circuitului R-L-C paralellegea lui Ohm in current alternativ este:I=ZU Defazajul curentului in raport cu tensiunea este dat de urmatoarele relatii: tg=RL CII I adicatg=R

,_

L CX X1 1Daca prin bobina circula un current egal cu cel prin condensator rezulta:IL=IC de unde XL=XC si ca urmare impedanta va fi maxima Z=R iar curentul va avea valoare minima : Irez=RU CURS 6

2.2 Oscilatii pe aceeasi directie si de frecventa diferita.Pentru a ne familiarize cu diversele forme de tratare a problemei compunerii oscilatiilor,vom utilize pentru compunerea oscilatiilor de aceeasi directie si de frecventa diferita, reprezentarea complexa a celor doua oscilatii, z1 si z2 si anume:

( )1 11 1 +t ie A z si ( )2 22 2 +t ie A zNotand=2- 1 si2+ 1=2 Obtinem:2 = +2 si 1= - 215Deci: z2=A2) )2((2 + + t ie

si

,_

+ ,_

121 1 t ie A zCompunand oscilatiile obtinem: z=z1+z2=

,_

+ ,_

121 t ie A+

,_

+ ,_

+222 t ie A (9)z= a(t) ( ) ( ) t t ie + (10)Ne propunem sa vedem cine este a(t) si cine este (t)Deci complex conjugata rezultantei este: z*=

,_

+ ,_

121 t ie A+

,_

+ ,_

+ 222 t ie A=a*(t)( ) ( ) t t ie + Produsul:z z*=a(t) a*(t) = a2= 1]1

+ + +1]1

+ ,_

1]1

+ ,_

e e A A A At i t i2 1 2 12 2 2 22 12221 Deci:a2=

( ) ( )[ ]e e A A A At i t i + + +2 1 2 12 12221=( ) ( )1 2 2 122212 1 2 12221cos 2 cos 2 + + + + + t A A t A AA A A A (11) Relatia ( 9 ) poate fi scrisa sub forma : z=Aet i cu :A= 1]1

+ + +1]1

+ + )2sin( )2sin( )2cos( )2cos(2 2 1 1 2 2 1 1t A t A i t A t Az=a(t) et i[ ] ) ( sin ) ( cos t i t +Identificand partile reale si partile imaginare pe de alta parte obtinem : a(t)cos(t) = A1cos(1- 2)+ A2cos(2+ 2)a(t)sin(t) = A1sin(1- 2)+ A2sin(2+ 2)De aici:16tg(t)=)2cos( )2cos()2sin( )2sin(2 2 1 12 2 1 1+ + + + A AA A Se vede ca atat amplitudinea a(t) cat si faza initiala (t) variaza in timp .adica oscilatia rezultanta nu mai este armonica.Amplitudinbea miscarii rezultante este o functie periodica ce variaza intre un maximegal cu: A1+A2 pentru t+2- 1=2k Si un minim egal cu : A1-A2 pentru t+2- 1=(2k+1)Daca diferenta|2- 1| este foarte mica in raport cu media pulsatiilor ,atunci a(t) si (t) variaza foarte lent in comparative cu functiile cos t, si sin t, adica miscarea rezultanta este o oscilatie modulate atat in amplitudine cat si in faza.Maximele de amplitudine corespund unor amplificari periodice ale miscarii oscilatorii numite batai, care sunt evidentiate prin alternanta lor cu amplitudinile minime. Frecventa batailor este numarul de batai pe unitatea de timp. Perioada batailor este timpul scurs intre doua batai consecutive,adica intre doua momente de amplitudine maxima. Notand cu b perioada batailor ,putem scrie urmatoarele relatii care corespund la doua maxime consecutive:t+2- 1=2k (t+ b )+2- 1=2(k+1)Prin scaderea acestor ecuatii obtinem: b=2 Din aceasta relatie putem obtine perioada batailor si anume: b=1 22 Frecventa batailor este:b=( )1 21 2 1 22221 b (12)Rezulta ca frecventa cu care se succed maximele (bataile)este egala cu diferenta celor doua frecvente componente. Deci maximele (bataile) sunt cu atat mai rare cu cat frecventele oscilatiilor componente sunt mai apropiate.Daca diferenta dintre cele doua frecvente este mare ,frecventa batailor este ridicata,iar amplitudinea a(t) variaza foarte repede in timp,asfel ca fenomenul de batai nu mai poate fi pus in evidenta experimental. Fenomenul de batai se poate pune in evidenta cu ajutorul a doua diapazoanede frecvente putin diferite.Sunetele provenind de la vibratiile celor doua diapazoanese compun si dau nastere la fenomenul de batai-se aude un sunet a carui intensitate creste si scade periodic.Fenomenul de batai are numeroase aplicatii in acustica si electronica.In electronica se construiesc receptoare heterodina in care oscilatiile electrice primitede la circuitul antenei =106 Hz se suprapun cu oscilatiile unui oscilator local cu frecventa apropiata =9,9 Hzsi dau in circuitul unui telefon batai de frecventa 104Hzcu care vibreaza membrane telefonului.Acestevibratii sunt percepute de ureche.Exemple:1. Ilustram fenomenul (Figura 18 ) de batai pentru 1=60 Hz si 2=70 Hz pentru care b=10 Hz. Consideram in plus cazul particular pentru care A1=A2=A0 si 2= 171mplitudinea rezultantei este: a(t)= t A A cos 2 22020 + =2A0cost21 2 Figura 182. Doua difuzoare A si B de frecvente diferite (Figura 19 ) emit in aceeasi directie, unde cu aceeasi viteza,amplitudinule egale si fazele initiale egale.Oscilatiile sunt reprezentate cu culoarea rosie si respectiv albastra.Unda rezultanta, reprezentata cu roz, se deplaseaza cu aceeasi viteza ca si undele componente. Cu teoria prezentata pana acuma putem calcula:-lungimea de unda a difuzorului A-lungimea de unda a difuzorului B-lungimea de unda a undei rezultante A+B-frecventa batailor 3.18 Figura 19 si 20

2.3 Oscilatii pe directii perpendiculare de aceeasi frecventaSa consideram un corp care executa doua oscilatii perpendiculare de amplitudini si de frecvente diferite. ) sin(1 + t A xsi ) sin(2 + t B y(13)Intre cele doua miscariexista o diferenta de faza ( ) ( )1 2 2 1 + + t tPrelucrand relatiile (13 ) avem: ' + + 1 2 22 1 1cos sin cos cos sincos sin cos cos sint tByt tAx19Scazand ecuatiile obtinem

( )1 2 1 2sin t cos cosBycosAx (13.) Inmultind apoi ecuatiile cu sin1 si respectiv sin2 dupa scaderea acelorasi ecuatii obtinem ( )1 2 1 2sin sin sin sin tByAx(14..)Ridicand la patrat ecutiile (.) si(..) si adunad u-le apoi obtinem:( ) ( )1 221 22222sin cos2 +B AxyByAx (15)Deci traiectoria miscarii rezultante este in cazul general o elipsa inscrisa in dreptunghiul de laturi 2A si 2B.Pentru diferite valori ale diferentei de faza ,traiectoria miscarii rezultante poate fi o dreapta sau poate trece in elipse cu axe si excentricitatii diferite.Sa analizam cateva cazuri particularesi anume: a ) =2k, k=0,1,2,3 Ecuatia () devine : 0 ByAx de unde y=xABDecitraiectoria este o dreapta care trece prin originea sistemului de coordanate ,fiind diagonala dreptunghiului de laturi 2A,2B din cadranele I si III. 0MXY2A2Bb) =(2k+1), k=0,1,2,3Ecuatia () devine : y=-xABDecitraiectoria este tot o dreapta care trece prin originea sistemului de coordanate ,fiind diagonala dreptunghiului de laturi 2A,2B din cadranele II si IV. ( )1 2 1 2sin t cos cosBycosAx ( )1 2 1 2sin sin sin sin tByAxc) =/2,miscarile componente sunt in cuadratura de faza ) cos( )2sin() sin(1 11 + + + + t B t B yt A x

Miscarea rezultanta are traiectoria o elipsa de semiaxe A si B201ByAx2222 + XYX'Y' Daca A si B sunt egale elipsa degenereaza intr-un cerc. In acest caz miscarea se efectueaza in sens orar. d) =3/2Miscarile pe cele doua componente sunt: ) cos( )23 sin() sin(1 11 + + + + t B t B yt A x Rezultanta este tot o traiectorie sau un cerc dar parcurse in sens antiorar.e) variaza intre o si 2 miscarile sunt redate in figura de mai jos.

3=0 =2===2= 2 Curs 7,8Oscilatii amortizateDaca asupra unui corp oscilator-de masa m actioneaza ,in afara de forta elastica ,o forta de rezistenta de frecare-,proportionala si de semn contrar cu viteza avand forma: Fr=-bdtdy unde b este o constanta ce caracterizeaza forta de frecare ,direct legata de coeficientul de frecare.Oscilatiile pe care le va executa corpul se numesc oscilatii amortizate.21Principiul al doilea al dinamicii se scrie : m22dt y d=-ky-bdtdy De aici se obtine ecuatia diferentiala a miscarii 0 220 + + y y y Am utilizat notatia : =mb2Noua constanta poarta numele de coeficient de amortizare.Daca frecarea este mica ,deci 0,atunci solutia ecuatiei miscarii este: y=Ae-tsin(t+) S-a introdus o pulsatie-numita pulsatia oscilatiilor amortizate= 222 204mbmk Oscilatiile sunt amortizate deoarece amplitudinea acestora scade exponential in timp si anume:A(t) =Ae-t,

Oscilatorul datorita frecarii cu mediul isi micsoreaza in mod continuu energia,cedand-o mediului. Pentru a carecteriza ritmul de scadere in timp a amplitudinii oscilatiilor amortizate se utilizeaza marimea numita decrementul logaritmical amortizarii definit astfel: Figura 1

TT t At AT t yt y ++) () (ln) () (ln In aceasta relatie apare perioada oscilatiilor amortizate,T care poate fi scrisa sub forma: T=2002 2012 2

,_

TOscilatorul amortizat are perioada de oscilatie T mai mare (oscileaza mai lent,deci cu o frecventa mai mica)decat perioada de oscilatie T0 a oscilatorului armonic, liber-neamortizat,datorita pierderii continue de energie prin amortizare oscilatiilor. Oscilatiile din natura sunt amortizate ,deoarece,in natura apar intodeauna forte de frecare.Oscilatiile fortate .Rezonanta.22Pentru a compensa pierderilede energie datorita amortizarii oscilatiilor,asupra oscilatiilor trebuie actionat cu o forta perturbatoare exterioara periodica ,forta care determina oscilatorul sa execute un nou tip de oscilatiinumite oscilatii fortate.Sistemul oscilantva intra in regim de oscilatii fortate daca forta exterioara este periodica.Se stie ca orice functie periodica poate fi descompusa intr-o serie Fourier de functii armonice.De aceea sa consideram ca forta exterioara este de tip armonic,avand expresia: F=F0sin PtEcuatia diferentiala corespunzatoare este:tmFy y yP sin 220 + + Aceasta este o ecuatie diferentiala de ordinul doiu cu coefincienti constantisi neomogena(nu are termen liber).Solutia ei generala este o suma dintre solutia generala a ecuatiei omogene(ecuatia continuta in membrul stang ,care este chiar ecuatia oscilatiilor amortizatesi solutia particulara a ecuatiei neomogene (care are de obicei forma termenului liber ) : y=Ae-tsin (t+) + AP sin (Pt+P)Se observa ca solutia ecuatiei omogene primul termen-care scade exponential in timp,caracterizeaza regimul ranzitoriu si dupa un timp theoretic infinit,dar practice finit poate fi considerate zero.Dupa acest moment solutia va contine doar termen ul al doilea,iar miscarea va intra intr-un regim stationar de oscilatii fortate ,cu amplitudinea AP si pulsatia egala cu pulsatia fortei exterioare P. Ecuatia oscilatiilor intretinute sau a oscilatiilor fortate este: y= AP sin (Pt+P)Deoarece aceasta solutie trebuie sa fie valabila in orice momentde timp al regimului stationar ,inlocuind aceasta expresie in ecuatia diferentiala a oscilatiilor amortizate si alegand doua momente de timp convenabile si diferite se obtine un system de doua ecuatii algebrice v din care se poate afla atat amplitudinea oscilatiilor fortate,AP, cat si faza initiala a oscilatiilor fortate,P:

Aceste doua marimi care caracterizeaza oscilatiile fortate depin in mod essential de P a fortei perturbatoare periodice exterioare.Daca pulsatia fortei exterioare se aproprie de valoarea pulsatiei proprii 0a oscilatorului ,atunci amplitudinea oscilatiilor fortate creste foarte mult.Acest fenomen poarta numele de fenomen de rezonanta,iar oscilatia cu amplitudine maxima se numeste oscilatie de rezonanta.Daca nu ar exista frecare ,deci daca ar fi =0,atunci amplitudinea AP la rezonanta ar creste foarte mult.Totusi acest fapt nu se intampla practice,deoarece totdeauna frecarea este prezentachiar daca are valori foarte mici.In anumite cazuri ,cand P se aproprie foarte mult de 0,amplitudinea AP la rezonanta creste atat de mult incat poate duce la distrugerea mecanica a materialuluidin care este confectionat oscilatorul.De aceea la proiectarea podurilor ,a cladirilor a dispozitivelor mecanice sau electronice trebuie tinut cont ca poate apare fenomenul de rezonanta.23Pentru a afla valoarea amplitudinii de rezonanta sa trasam graficul dependentei amplitudinii AP de pulsatia P a fortei exterioare curba care se numeste curba de rezonanta Figura .Impunand conditia de maxim obtinem:PPddA=0,de unde rezulta

Expresie care se realizeaza pentru valoarea pulsatiei de rezonanta egala cu: Pentru compensarea pierderilor de energie prin frecare ,trebuie injectat periodic din exterior energie prin actiunea fortei exterioare periodice.Puterea instantanee absorbita de oscilatorul care executa oscilatii fortate este:

De regula in practica ne intereseaza puterea medie absorbita ,pentru o perioada de timp TP. Dupa efectuarea calculelor obtinem :

In regim de oscilatii fortate ,oscilatorul pierde energie sub forma de caldura ,datorita actiunii fortei de frecare,astfel ca putere instantanee disipata este:

Figura 2 In mod analog se calculeaza puterea disipata medie pe o perioada Tp:24Dupaefectuareacalculelor se constata ca,in regim de oscilatiifortate,puterile medii pe o perioada sunt egale intre ele si proportionale cu patratul amplitudinii:Inseamna ca oscilotorul absoarbe de la forta exterioara exact atata puter cat disipa mediul ambient. Astfel se explica de ce amplitudinea oscilatiilor fortate ramane constanta.Dependenta estedatadeocurbaderezonantaaputerilor (figura). Rezonanta puterilor, adica realizarea puterii maxime are loc cand pulsatia propriea fortei exterioare este egala cu pulsatia proprie a oscilatorului, indifferent de valoarea coeficientului de amortizare, ceea ce se poate verifica usor prin calcul. Deci: Sepoatedefinesi putereaefectiva, careesteproportional cupatratul valorii efective a amplitudinii:25precum si largimea liniei sau curbei de rezonanta, definite ca diferenta celor doua pulsatii corespunzatoare puterii efective: unde: Factorul de calitate Q al oscilatorului (sau, in general, al sistemului oscilant) se defineste ca fiind raportul dintre pulsatia proprie si largimea curbei de rezonanta:unde estetimpul derelaxare, adica timpul dupacareenergiaoscilatorului amortizat scadedeeori ( undee=2.71828... estebazalogaritmilor naturali) sau, ceeaceeste echivalent, timpul de relaxare este timpul dupa care amplitudinea oscilatiilor amortizate scade de ori. Deci, un oscillator care executa oscilatii intretinute este cu atat mai bun (mai calitativ, deci cu un factor de calitate mai mare), cu cat curba de rezonanta este mai ingusta. Ecuatia undei planeMediile continue (gaze, lichide si solide) sunt sisteme de particule legate, adica particule (molecule atomi sau ioni) care interactioneaza intre ele. De aceea, daca una din particule oscileaza, vor incepe sa oscileze si particulele vecine, oscilatia propagandu-se de la particula la particula. Procesul de propagare a unei oscilatii in mediul ambiant se numeste unda. In decursul propagarii undei, fiecare particula a mediului oscileaza in jurul pozitei sale de echilibru, miscarea oscilatorie propagandu-se din aproape in aproape, dar nu instantaneu, ci cu o viteza u finita.Totalitatea punctelor la care a ajuns unda la un moment dat t si care oscileaza in faza, senumestesuprafatadeunda sau front de unda sau suprafata de faza constanta. Formageometricaafrontului deundadeterminadenumireaundei (undaplana, unda sferica, unda cilindrica).Pentruadeduceecuatiaundei plane, saconsideramcapunctul S, incarese gaseste sursa undelor, oscileaza cu amplitudine constanta, deci fara amortizare, conform ecuatiei:26In general, elongatia ynu trebuie neaparat sa aiba semnificafia unei lungimi, ea poate desemna si o marime fizica ondulatorie oarecare, de exemplu: presiunea, respectiv intensitateacampuluielectricsau intensitatea campuluimagnetic.In general,in aceste cazuri, elongatia nu se noteaza cu y, ci cu, purtand numele de functie de unda.Un punct M din mediu, situat la distant x de sursa, va intra in oscilatie mai tarziu, dupa un interval de timp:adica exact timpul necesar ca unda, care se propaga cu vitezau, sa strabata distantax dintre S si M . Deci, in punctui M ecuatia oscilatiei va avea forma:Tinand cont ca lungimea de unda a undei reprezinta distant strabatuta de unda in timpul unei perioade T a oscilatiei, adica:vom obtine ecuatia undei armonice monocromatice plane sub trei forme echivalente:Daca unda se propaga de-a lungul unei directii oarecare, aceasta trebuie precizata cu ajutorul unui vector numit vector de unda, vector care este oriental in directia si sensul de propagare a undei:Printr-unrationament perfect analog, sepoatededuceecuatiaundei armonice monocromatice plane pentru cazul propagarii de-a lungul unei directii oarecare:Argumentul functiei sinus se numeste faza undei, marime care depinde de variabilele spatiale si de timp :)=Suprafetele de unda sunt suprafete de faza constanta si, daca mediul este izotrop (deci cu aceleasi proprietati de propagare in toate directiile), ele sunt perpendiculare pe directiadepropagareaundei. Dacafazaundei esteconstanta, ecuatiademai sus 27reprezinta ecuatia unui plan si in orice moment vectorul de unda este perpendicular pe acest plan. Unda se numeste monocromatica deoarece lungimea ei de unda este constanta (sau, echivalent, frecventa este constanta, respectiv pulsatia este constanta).Vitezaundei armonicemonocromaticeplanecoincidecuvitezadedeplasarea fazei si de aceea se numeste viteza de faza. Expresia ei se obtine punand conditia ca faza sa fie constanta si apoi diferentiind faza undei. Deoarece faza undei depinde de variabilele spatiale si de timp, trebuie sa diferentiem faza ca o functie de doua variabile:= = const, = =0de unde viteza de faza este:, cu modululUnda armonica monocromatica plana este un concept idealizat in sensul ca o unda sinusoidala, cuointindere infinita inspatiu si timp nupoate purta cusine nici o informatie. Numai semnalele, adica perturbatiile marginite in spatiu si timp pot purta o informatie. Semnalele (undele reale) nusunt monocromatice ci prezinta un spectru oarecare de frecvente (mai multe frecvente apropiate ca valoare), deoarece orice proces perturbator care este sursa unei unde are o durata si o intindere spatiala finita.Osuprapuneredemai multe(infinit demulte) undearmonicemonocromatice planecufrecventefoarteapropiatesenumestegrupdeundesaupachet deunde, iar viteza cu care se propaga grupul de unde se numeste viteza de grup, care se identifica cu viteza dedeplasareamaximului central. Sepoatedemonstracavitezadegrupare expresia:Seobservcvitezadepropagareaundei (vitezadefazu) depindedemodulul vectorului deund, respectivdelungimeade und:u= u(k)sauu= u(). Acestaestefenomenul dedispersiea undelor: undele care au module ale vectorului de und diferite, respectiv care au lungimi de und diferite se propag cu viteze diferite. Cualtecuvinte, derivatavitezei defazunraportculungimeade und este diferit de zero.Dacundele mailungisepropag mai repede dect undele mai scurte, atunci dispersia se numete normal, iar dacundelemai lungi sepropagmai ncet dect undelemai scurte, atunci dispersia se numete anomal. 2.7 Caracteristici energetice ale undei28Propagarea undelor elastice ntr-un mediu determin o micare de oscilaie a particulelor mediului, deci a fiecrui volum elementar din mediul de propagare al undei, n jurul poziiei sale de echilibru. Deci, unda elastic posed energie mecanic, sub form de energiecinetic i energiepotenialelastic. ntr-uninterval detimpoarecaret, fiecarevolumelementaral mediului depropagareal undei elastice sufer i o deformaie elastic i, datorit propagrii undei elastice, i modific energia cinetic cu valoarea Wc , iar energia potenial cu valoarea Wp . ntr-un mediu conservativ, deci care nu are pierderi de energie, energia mecanic total primit de mediu este egal cu energia mecanic total a undei: W =Wc +Wp . S considerm c mediul de propagare al undei este format din particuleidentice, fiecaredemasm1i aredensitatea.Pentru Ecuaia undei elastice are expresia: )uxt ( sin A y . Energia cinetic pe care o primete o particul la care a ajuns unda este:)uxt ( cos A m21)ty( m21W2 2 2121 1 , c , iar energia cinetic a tuturor particulelor din volumul V , care conine n particule, cu masa total m este:Wc)uxt ( cos A V212 2 2 . Pe de alt parte, s considerm c o for elastic Fe acioneaz asupra unui mediu oarecare (de exemplu, asupra unei bare elastice de lungime iniial l0 , seciune S i modul de elasticitate E) i produce o deformaieabsolut(alungiresaucomprimare)x. Conformlegii lui Hooke, fora elastic este proporional cu deformaia relativ sau cu deformaia absolut (elongaia) x: kx xSE S E F0e , undekeste constanta elastic a materialului. Pentru a realiza o deformaie absolut l, trebuie efectuat lucrul mecanic egal cu: V2E) S ( ) (2Edx xSE dx F L2020000e Utiliznd teorema de variaie a energiei poteniale, energia potenial elastic nmagazinat de mediu cu ocazia efecturii lucrului mecanic al forei elastice este:WpV u21V2EL2 2 2 , 29unde am inut cont de legtura dintre expresia vitezei de propagare a undei i modululde elasticitate al lui Young. n cazul propagriiunei unde elastice, deformaiei absolute l i corespunde variaia absolut a elongaiei y,iardeformaiei relativederivatanraportcuxa elongaiei, adic:)uxt ( cos Au xyll0 . Astfel, energia potenial elastic a elementului de volum V al mediului de propagare al undei este: Wp 2 2 2cos A V21 )uxt ( . Densitiledeenergiealeundei (densitateadeenergietotal, densitatea de energie cinetic i densitatea de energie potenial elastic) n mediul de propagare sunt definite astfel:w =dW/dV= )uxt ( cos A w wVWlim2 2 2p c0 V + . Ambele densitati de energie fiind dependente de timp, este util a se calcula valoarea medie a densitii totale de energie n decursul unei perioade: T02 2. const A21dt ) t ( wT1w Deci, densitatea de energie medie transportat de unda elastic esteproporionalcudensitateamediului depropagare, cuptratul pulsaiei undei i cuptratul amplitudinii undei. Acestrezultatvafi utilizat demulteori nceleceurmeaz. nconcluzie, undaelastic transportenergie, iar aceastenergieestetransmisdelasursa undei ctre toate punctele mediului n care se propag unda.Energia undei se caracterizeaz i cu ajutorul altor mrimi, dintre care amintim: Fluxul de energie este mrimea fizic ce reprezint cantitatea de energie transmis de und printr-o suprafa oarecare, n unitatea de timp: = dW/ dt, [] SI = 1 J/ s =1W. Intensitatea energetic a undei reprezint fluxul de energie transportat de und prin unitatea de suprafa, perpendicular pe aceast suprafa:2SI2mW1 ] I [ , u wdtr ddW d)dtdW(S ddS ddI 2V , unde la numitor apare elementul de volum infinitezimal de ordinul 2, adicdV2= r d S d , definit ca produsul scalar a unei suprafee infinitezimale orientate (o suprafa creia i se ataeaz versorul normalei exterioare) i aunei deplasri infinitezimale. Intensitatea energetic a undei se mai numete ivectorul lui Poyntingi el arat 30c unda transport energie n direcia i sensul propagrii sale, adic n direciai sensul vitezei defaz. Dacundasepropagprintr-un mediu absorbant, atunci are loc absorbia treptat a energiei undei de ctre particulele mediului, iaramplitudinea undei scade dup olege exponenial:r n y0e A ) r ( A , unde A0 este amplitudinea undei la distana r = 0, este coeficientul de atenuare, iarn este versorul vectorului de und. Ecuaia undei se scrie n acest caz astfel:y= A0) r k t sin( er n y . Cumintensitateaundei esteproporionalcuamplitudinea, n cazul unui mediu absorbant obinem legea de absorbie a lui Beer:I (d ) = I0e d, care permite aflarea expresiei intensitii undei la distana d= r n de ptrundere n mediul absorbant, iar=2este coeficientul de absorbie al mediului.2.8 Elemente de acusticUndele elastice cu frecvene cuprinse ntre limitele 16 Hz i 20 kHz, produc o senzaie auditiv i se numesc unde sonore sau sunete.Acusticaseocupcustudiul producerii, propagrii i recepionrii undelor acustice i cu studiul efectelor produse n urma interaciunilor acestora cu mediul prin care se propag. n funcie de senzaia auditiv produs, sunetele se deosebesc dup nlime, timbru i intensitate (tria). nlimea este calitatea sunetelor de a fi mai "nalte" (mai "ascuite") sau mai "joase" (mai "grave"), dup cum frecvena lor estemai naltsaumai joas.Timbrulesteproprietateasunetelor prin care pot fi deosebite dou sunete de aceeai intensitate i nlime, dar produse de sursesonore diferite. Se datoreaz faptului c majoritatea sunetelor reprezintsuperpoziii oscilaii armonicecuamplitudini diferitei cu frecvene care sunt multiplii ntregi ai unei frecvene minime, cu intensitatea cea mai mare, numit frecven fundamental1 ( pulsaia1) sau sunetfundamental. Frecvenele care sunt multiplii frecvenei fundamentalesenumescarmonice. Sunetul compus are ecuaia: + 1 nn 1 n) t n sin( A y.Timbrul sunetelor se datoreaz prezenei sau absenei anumitor armonice din spectrul sunetelor provenind de la surse sonore diferite. Intensitatea sau tria este legat de faptul c urechea poate percepe un sunet de o anumit frecven numai dac acestaare o intensitate cuprins ntre o valoare minim, numit prag de audibilitate (P.A.) i o 31intensitatemaxim, numitpragul senzaiei dureroase(P.S.D.) (fig. 2.5). n afara acestor limite, care depind de frecven, sunetul nu poate fi perceput caatare, deoareceestefiepreaslab, fiepentruprea puternic, producndsenzaiidedurere. Urecheaomeneascarecea mai mare sensibilitate acustic n domeniul de frecvene ntre 1000 Hz i 4000 Hz, domeniu n careintensitatea sonor (energetic)are valoarea Is0 = 10-12 W / m2 . De aceea, frecvena 0 = 103 Hz a fost luat dreptfrecven standard. Intensitatea maxim corespunztoare pragului auditiv superior este Is,max = 102 W / m2 . Deci intervalul de intensiti sonoreestefoartelarg, adic14ordinedemrime. De aceea, s-a ntroduso mrime nou numit nivel de intensitate sonor, cafiindde10ori logaritmul zecimal al raportului dintreintensitatea sonorasunetului respectivdefrecvenoarecarei intensitatea sonor a sunetului de frecven standard 0 :0 sssIIlg 10 N cu unitatea: dB 1 ] N [SI s. Unitatea de msur n SI a nivelului de intensitate sonor se numete decibel i are simbolul dB:26 , 1 10II;IIlg 10 1 ; dB 1 N1 , 00 ss0 sss Prinurmare, 1dBreprezintnivelul intensitii sonoreaunui sunet de o frecven oarecare a crui intensitate sonor este de 1,26 ori mai maredectintensitateasonordepepragul deaudibilitate corespunztoaresunetului standarddereferin, defrecven1000 Hz.Fig. 3Intervalul nivelului sonor al sunetelor percepute de urechea umansentindenintervalul dela0la140dB. Triaunui sunet 32recepionat este omrime subiectiv, care depinde de receptorul auditiv i nu permite o msurare cantitativ precis. Totui, experimental s-a constatat c exist o legtur ntre intensitatea sonor i senzaia produs asupra urechii. Urechea percepe dou sunete care au aceeai intensitatea sonor Is , dar frecvene diferite, ca dou sunete de trie sau senzaie S diferit. Definirea acestei noi mrimi sebazeazpelegeaWeber-Fechner, stabilitexperimental, fiind o lege psiho-fizic. Aceast lege stabilete c creterea minim perceputasenzaiei auditiveSprodusedeunsunet estedirect proporionalcucreterearelativaintensitii sonoreasunetului respectiv:S=kIs/Issau, infinitezimal : dS = k dIs/Is. (2.83)Prin integrarea acestei relaii, se obine:S2 S1 = klg1 s2 sII . Cu alte cuvinte, dac intensitatea sonor crete de 100 de ori, senzaiaauditiv(triasunetului) creteabiacu2uniti. Datorit diferenelor cu care sunt percepute diferite sunete de ctre ureche, n sensul c asupra urechii ele produc senzaii diferite, se impune ordonarea sunetelor dup senzaia pe care acestea o produc. Pentru aceasta,se impuneintroducerea uneimriminoi,numitintensitate auditivIa. Prindefiniie, intensitateaauditivIaaunui sunet de frecven este egal cu intensitatea sonor Is a sunetului standard dereferin, defrecven0=1000Hz(pentrucareurecheaare maximum de sensibilitate), care produce aceeai senzaie auditiv ca i sunetul dat: Ia; = Is; 0i, evident: Ia; = Is; 0. Se poate defini nivelul intensitii auditive, ca fiind egal cu de 10 ori logaritmul raportului dintreintensitateaauditivasunetului de studiat i intensitatea auditiv a sunetului standard de referin:fon 1 ] N [ : unitatea cu ,IIlg 10 NSI a0avv ; aa n mod cu totul analog ca i pentru un decibel , nivelul auditiv de 1 fon reprezint nivelul auditiv al unui sunet de o frecven oarecare a crui intensitate auditiv este de 1,26 ori mai mare dect intensitatea auditiv a sunetului standard de referin, care produce aceeai senzaie auditiv ca i sunetul de studiat. Evident, c cele dou uniti sunt egale 1 dB = 1 fon, ns msoar mrimi fizice diferite.2.9 Ultrasunetele i aplicaiile lor33Ultrasunetele sunt unde elastice a cror frecven este mai mare dect 20kHz, limitaaceasta, desigur, nutrebuieneleasnmod strict, frecvenele maxime atinse n prezent fiind de ordinul a 2 109 Hz (adic 2 GHz). Generarea ultrasunetelor se realizeaz prin dou metode electroacustice principale, bazate pe dou fenomene: efectul piezoelectric invers i efectul magnetostrictiv.Efectul piezoelectric directconst n urmtoarele: dac o plcu cristalin (cuar sau titanat de bariu), tiat n mod convenabil, de-a lungul anumitor axe, este supus unei comprimri mecanice, plcua se polarizeaz, adic pefeeleei apar sarcini desemnopus.Efectul piezoelectricinvers const n aplicarea pe feele plcuei cristaline a unei tensiuni alternative, drept rezultat, plcua va suferi deformaii mecanice (se va alungi sau comprima) n ritmul frecvenei tensiunii alternative. Aceste deformaii mecanice se vor transmite n mediul ambiant sub form de undeultrasonore. Dacplcuaaregrosimead, neasevorinduce undemecanicestaionare, lacapeteleplcuei fiindsituatenodurile undei. Pentru unda cu frecvena fundamental condiia este ca grosimea plcuei s fie egal cu o semilungime de und. innd cont deexpresiavitezei undelor nmedii solide, frecvenaultrasunetului generat este: E21v 212d de unde: Ed 21v. Efectul magnetostrictivconst n proprietatea corpurilor feromagnetice (de exemplu, o bar de nichel) de a se deforma mecanic (comprima sau dilata) atunci cnd sunt supuse aciunii unui cmp magnetic alternativ. Deformaiile mecanice ale barei magnetostrictivesetransmit nmediul ambiant subformdeunde ultrasonore, frecvena acestora calculndu-se cu o formul similar.Aplicaiile ultrasunetelorsebazeaznprincipal petrei proprieti remarcabile ale acestora.-Deoareceaufrecvenefoartemari, undeleultrasonoretransport energii considerabile.- Avnd frecvene foarte marii, deci,lungimideundfoarte mici, fenomenul dedifracieestefoartepuinprezent pentruobstacolele obinuite i, n consecin, undele ultrasonore pot fi emise i recepionate pe direcii riguros determinate.- Frecvena lor fiind n afara domeniului de audibilitate, undele ultrasonore nu se aud, deci funcionarea aparatelor cu ultrasunete nu este deranjant. Din punct de vedere al interaciunii ultrasunetelor cu mediul ambiant, aplicaiile ultrasunetelor se mpart n dou categorii: aplicaii pasive, n care ultrasunetele nu modific structura i proprietile mediului prin care se propag, ci servesc numai la obinerea de informaii referitoare la calitatea sau dimensiunile corpului examinat, precumiaplicaii active, ncareultrasunetele, interacionnd cu mediul de propagare, i modific acestuia att 34structura, ct i proprietile.Aplicaiile pasive cele mai importante ale ultrasunetelor sunt urmtoarele: defectoscopia ultrasonor, microscopia ultrasonor, hidrolocaia ultrasonor, comunicaia ntre submarine, sonicitatea etc. Aplicaiile active cele mai importante ale ultrasunetelor sunt urmtoarele: cavitaia, prelucrarea materialelor solide (lefuire, tiere, perforare), schimbarea structurii metalelor (prin micorarea granulaiei acestora), obinereadealiajeaunor metalenemiscibile, lipireai cositorireaultrasonor, distrugereabacteriilor i microorganismelor, modificarea unor funcii biologice etc Curs 9 si 10

Noiuni introductive de optica geometricaLumina este un fenomen fizic complex, avnd un caracter dual: und corpuscul. Din punct de vedere ondulatoriu lumina este considerat o und electromagnetic transversal, cu dou componente inseparabile (cmp electric i cmp magnetic) senzaia vizual fiind proporionat cu intensitatea cmpului electric.Definiie: Unda este fenomenul de propagare, din aproape n aproape, a unui fenomen variabil n timp.Definiie:Lungimeadeund()estedistanadintredoupunctedefazegalvecine, succesive pe direcia de propagare:- descrie periodicitatea spaial a undei luminoase;- este dependent de mediul de propagare.y x Definiie: Suprafaa de und este locul geometric al punctelor care oscileaz n faz.Definiie: Vitezade faz constituievitezadepropagareasuprafeelor deund(saua frontului de und) i este definit de relaia:35vf = Tunde: - [vf]SI = sm - este lungimea de und, []SI = m- T este perioada de oscilaie a punctelor materiale din mediul n care se propag unda [T]SI = sLumina se propag: - n vid cu viteza : c = 0 01 3 108 m / s i are 0 = vc (1)- ntr-un mediu transparent,omogen i izotrop, cu permitivitatea electric i permitivitatea magnetic , cu viteza: v = 1 = r rc i are = v (2)Din (1) i (2) rezult 0 = vcDefini ie: Frecvenadeoscilaie( )reprezintnumrul deoscilaii complete efectuate n unitatea de timp. []SI = s1 = HzDefiniie: Indicele de refracie absolut este, prin definiie, raportul dintre viteza de propagare a radiaiei optice n vid i viteza de propagare a radiaiei optice ntr-un mediu oarecare, transparent i izotrop.Indicele de refracie relativ, n12 , al mediului optic 2 fa de mediul optic 1 sedefinetecafiindraportul dintreviteza depropagarearadiaiei opticen mediul 1 i viteza de propagare a luminii n mediul 2.

Indicele de refracie relativ descrie modul de variaie a lungimii de und a radiaiei optice ( = constant) ce strbate cele dou medii.Definiie:Raza de luminse definete ca direcia de propagare a energiei electromagnetice.ntre dou puncte dintr-un mediu omogen i izotrop, lumina se propag n linie dreapt, perpendicular pe suprafaa de und.36 = T1n = vc = r r = 0n21 = 12nn = 21vv = 211. Principiul reversibilitii razelor de luminDrumul razei de lumin nu depinde de sensul ei de propagare.Definiie:Fasciculul luminosreprezintunansambluderazedelumincarese propag n acelai sens.2. Principiul independenei fasciculelor de luminRazele de lumin se pot intersecta fr a interfera, continundu-i propagarea n mod independent.Fasciculele de lumin pot fi:Conice (sau izogene, sau omocentrice)- convergente: razele se ntlnesc ntr-un punct. - divergente: razele de lumin pleac dintr-un punct.Paralele (cilindrice): razele sunt paralele.Definiie: Drumul optic reprezint lungimea echivalent a drumului care ar fi parcurs de unda luminoas n vid n acelai timp ca i drumul considerat ntr-un mediu dat: (r) = n r (r lungimeadrumului geometricparcurs deundntr-unmediucuindicelede refracie n).3. Principiul lui FermatLumina se propag ntre dou puncte astfel nct drumul su optic s fie minim.I.1 Reflexia i refracia luminii1. Reflexia luminii Definiie:Fenomenul demodificare bruscadireciei depropagarealuminii i de ntoarcere n mediul din care a provenit atunci cnd ntlnete suprafaa de separare dintre dou medii se numete reflexia luminii. SN R SI raz incident I punct de inciden37 IN normala n IIR razareflectati,r unghiuri de inciden,reflexie

irMediul 1IMediul 2Legile reflexiei:1. Raza incident, raza reflectat i normala la suprafaa de separare n punctul de inciden se afl n acelai plan (planul de inciden).2. Msura unghiului de reflexie este egal cu msura unghiului de inciden.Reflexia dirijat: ir ir i r

Reflexia difuz: forma corpurilor38SI, IN , IR n punctul de inciden sunt coplanarei = r2. Refracia luminiiDefiniie: Fenomenul de modificare brusc a direciei de propagare a luminii atunci cnd strbate suprafaa de separare dintre dou medii transparente se numete refracia luminii. SNSI raz incident IN normala n I,punct de incidentai,r unghi de inciden,refractiei IRraz-refractata e Mediul 1, n1Mediul 2, n2 rImportant: 1) Cnd lumina trece dintr-un mediu mai puin dens ntr-un mediu mai dens atunci ea se apropie de perpendicular. 2) Cnd lumina trece dintr-un mediu mai dens ntr-un mediu mai puin dens atunci ea se ndeprteaz de perpendicular.Legile refraciei: 1. Raza incident, raza refractat i normala la suprafaa de separare n punctul de inciden se afl n acelai plan (planul de inciden).2. Raportul dintre sinusul unghiului de inciden i sinusul unghiului de refracie este o constant pentru o pereche dat de medii transparente, omogene i izotrope. unde n21 = 12nn este indicele de refracie relativ al mediului 2 fa de mediul 1, deci relaia 39SI, IN , IR n punctul de inciden sunt coplanarer sini sin = n21n1 < n2 r < i (raza se apropie de normal dup refracie)n1 > n2 r > i (raza se deprteaz de normal dup refracie)se poate scrie sub forma:Reflexia total.Este un caz particular al fenomenului de refracie. Dac n1> n2, dup refracie raza de lumin se deprteaz de normal. Exist un anumit unghi de inciden, numit unghi limit ( I ), pentru care unghiul de refracie atinge valoarea maxim (r' = 2 ) cnd raza refractat este paralel cu suprafaa de separare. Pentru unghiuri de inciden mai mari dect unghiul limit nu exist dect fenomenul de reflexie (refracia dispare).Definiie:Reflexiatotalconst nabsena razei refractate i revenirea integral a luminii n mediul 1.sin I = 12nn I = arcsin

,_

12nn = arcsin n21 r n2r' = 2 I I'I''n1 i i' = I i'' > Ir'' =i''3. Sisteme optice. Aproximaia gaussianDefiniie:Sistemul optic (prescurtat SO)este un ansamblu de suprafee reflecttoare i medii transparente, cu indici de refracie diferii, separate prin suprafee geometrice de lumin.Sistemul optic transform fasciculele de lumin incidente, prin reflexie sau refracie, n fascicule emergente. Punctul obiect P este centrul fasciculului (conic) incident (de intrare n sistemul optic).Punctul obiect poate fi:- real: cnd fasciculul incident este divergent40n1 sin i = n2 sin r SO P

- virtual: cnd fasciculul incident este convergentSO P Punctul P' este centrul fasciculului (conic) emergent sistemului optic.Punctul imagine poate fi: - real: cnd fasciculul emergent este convergent

SOP' - virtual: cnd fasciculul emergent este divergent SO P'La imagine putem vorbi de: - stigmatism, adic unui punct obiect i corespunde un singur punct imagine -astigmatism, adic unui punct obiect i corespunde mai multe puncte imagineConformlegii reversibilitii drumul razelordelumin, punctul imagineP' poatefi considerat punct obiect P, iar punctul obiect P poate fi considerat punctul imagine P', motiv pentru care cele dou puncte ( P i P' ) se numesc puncte conjugate.Un sistem optic poate fi considerat ideal dac sunt ndeplinite urmtoarele condiii:- sistemul optic s fie centrat41 - fasciculele de lumin s fie paraxiale, adic suficient de nguste,nvecinate axului optic i foarte puin nclinate fa de axul optic (aproximaia gaussian sau paraxial)Legtura ntre poziia obiectului i a imaginii, fa de un sistem optic este dat de relaia punctelor conjugate:unde: - x1 este lungimea segmentului PV (de la punctul obiect la vrf)- x2 este lungimea segmentului VP' (de la vrf la punctul imagine)- R este lungimea segmentului CV (de la centru la vrf)- n1 este indicele de refracie al mediului 1- n2 este indicele de refracie al mediului 2Relaia punctelor conjugate se poate exprima cu ajutorul distanelor focale sub forma:Relaia punctelorconjugatesemai numete i prima relaiefundamentala dioptrului sferic.Sistemele optice ideale se clasific n:A. convergente sau pozitive dac: a) un fascicul de raze paralele cu axa optic principal, venit de la infinit este transformat ntr-un fascicul convergent F2 numit focar imagine plan focal imagine SO F2 b) un fascicul divergent cu vrful F1 (focarul obiect real) este transformat ntr-un fascicul paralel cu axa optic principalplan focal obiectSO

F1

Fa de sistemul optic considerat: - focarul imagine F2 este conjugat cu punctul obiect axial situat la infinit - focarul obiect F1 este conjugat cu punctul imagine axial situat la infinit.4222xn 11xn = Rn n1 2 22xf + 11xf = 1B. divergente sau negative dac: a) fasciculul de raze paralele cu axa optic principal, venit de la un punct obiect situat lainfinit estetransformat ntr-unfascicul divergent cuvrful nfocarul imagine F2 (focar virtual) SO F2b) fasciculul convergent cu vrful n focarul obiect F1 (virtual) este transformat ntr-un fascicul paralel cu axa optic principal.SO F1Definiie:Planul focal obiect este planul perpendicular pe axa optic principal i pe care o intersecteaz n F1.Definiie: Planul focal imagine este planul perpendicular pe axa optic principal i pe care o intersecteaz n F2.Definiie: Sistemul focal este sistemul optic care nu are focare sau are focarele plasate la infinit.4. Construcia imaginilorPentru a construi imaginea unui obiect liniar, dispus perpendicular pe axa optic principal este necesar s se construiasc doar imaginea extremitilor folosind 2 din cele 3 raze de lumin: 1) Orice raz de lumin care trece pe direcia centrului optic nu-i modific direcia de propagare.2) Orice raz de lumin care trece paralel cu axa optic principal se reflect pe direcia focarului. 3) Orice raz de lumin care trece prin focar se reflect paralel cu axa optic principal.5. Convenii de semn1) 43distana obiect sau distana imagine P VCP' se consider pozitiv sau negativn sens geometric.x1x2 +2) P VCP'distanele focale vor fi pozitivesau negative f1f2 n sens geometric. +3)+ segmentele situate perpendicular pe axa optic principal vor fi pozitive sau negative n sens geometric.4) razele de curbur vor fi pozitive sau negative n sens geometric. + 446. DioptrulDefiniie: Dioptrul este suprafaa de separare dintre dou medii transparente, cu indici de refracie diferii.Clasificare:Dup forma suprafeei de separare, exist:- dioptru sferic, cnd suprafaa de separare este o poriune dintr-o sfer- dioptru plan, cnd suprafaa de separare este un plan.a) Dioptrul sferic. yIn 1 < n 2n 1 i n 2 r P CP'V x + R - x1+x2Elemente caracteristice:- vrful V al dioptrului (polul calotei sferice)- centrul de curbur C centrul sferei din care face parte suprafaa sferic- axa optic principal CV- axa optic secundar orice dreapt care trece prin C i un punct oarecare al dioptrului diferit de vrful V (exist o infinitate de axe optice secundare)Relaia punctelor conjugate:22xn 11xn = Rn n1 2 sau n1

,_

1x1R1= n2

,_

2x1R1Pentru dioptrul plan relaia punctelor conjugate devine:i Focarele dioptrului sferic4522xn = 11xn = 1 Distana focal a dioptrului sferic reprezint valoarea particular a distanei obiectx1cnddistanaimaginex2,respectivvaloareaparticulara distanei imagine x2 cnddistana obiect x1 .

Dioptrul plan nu are focare( distanele focale sunt infinite).A doua formul matematic a relaiei punctelor conjugate este:Mrirea liniar transversal sau a doua formul fundamental a dioptrului sferic yIn 1 < n 2 n 1Bn 2

+y1A F2 A'VCx y2

B' - x1+x2Definiie:Mrirea liniar trasversalse definete ca fiind raportul dintre mrirea imaginii y2 i mrirea obiectului y1:Dioptrul plan creeaz doar imagini drepte, a cror dimensiune este egal cu dimensiunea obiectului, imaginea i obiectul fiind de aceeai parte fa de dioptru.7. Sisteme de dioptri46- pentru x1 x2 = 1 22n nR n = f2f2 este distana focal imagine.- pentru x2 x1 = 1 21n nR n = f1 f1 este distana focal obiect.11xf + 22xf = 1 def12yy = 12xx 21nnSunt de obicei asociaii de dioptri centrai (de exemplu lentila). Imaginea dat de primul dioptru devine obiect pentru urmtorul dioptru, i aa mai departe pn la ultimul dioptru.Definiie: Sistemul optic central este un sistem format din dioptri sferici sau dioptri sferici i oglinzi sfericealecror suprafeedeseparaieautoatecentrelepeaceeai dreapt.Definiie: Axa optic principal este dreapta pe care sunt situate centrele de curbur ale suprafeelor de separaie ale unui sistem optic centrat.O raz de lumin incident care se propag n lungul axei optice principale traverseaz sistemul n linie dreapt (singura raz de lumin cu aceast proprietate). Mrirea liniar transversal a sistemului este produsul mririlor liniare transversale individuale ale dioptrilor componeni:sistem = 1 2 3 n = n1 kkI.2 Oglinzi sferice i planeDefinitie:Oglinzilesfericesunt calotesfericefoartelucioasecarereflectpractic ntreg fasciculul luminos incident pe suprafaa lor.Oglinzile sferice pot fi: - concave dac suprafaa reflecttoare se afl pe partea interioar a calotei sferice ( R0)yRaxa optic principal FC47 V x axa optic secundar f RElemente caracteristice:- vrful V polul calotei sferice;-centrul decurburCcentrul sferei dincarefacepartesuprafaa reflecttoare;- axa optic principal dreapta CV; - axa optic secundar orice dreapt care trece prin C, cu excepia dreptei CV; exist o infinitate de axe optice secundare; - deschiderea oglinzii unghiul solid sub care se vede calota feric din centrul C.Formula oglinzilor sfericeFormula oglinzilor sferice se obine din cele ale dioptrului sferic punnd condiia formaln2 = n1. Se obine: Focarul oglinzii sfericeOglinda sferic are un singur focar, ca o consecin a revesibilitii razelorde lumin. Focarul este punctul n care se afl o surs luminoas punctiform astfel nct dup reflexia razelor de lumin pe oglind acestea sunt paralele cu axa optic principal sauestepunctul ncareseintersecteaz, dupreflexiapeoglind, razeleincidente, paralele, cu axa optic principal.Observaii: - relaia punctelor conjugate se mai poate scrie:481x1 + 2x1 = R2f1 = f2 = f = 2R1x1 + 2x1 = f1 - mrirea liniar transversal pentru oglinzi sferice este:Definiie: Oglinda plan este o suprafa neted reflecttoare plan.Oglinda plan poate fi considerat un caz particular al oglinzii sferice, dara crei raz de curbur R .Formula oglinzilor plane Formula oglinzilor plane se obine din cele ale dioptrului plan punnd condiia formaln2 = n1. Se obine:

Observaii: - oglinda plan (R ) nu are focare f - mrirea liniar transversal pentru oglinda plan este: - oglinda plan creeaz doar o imagine dreapt, virtual, egal ca dimensiune cu obiectul - x1 = x2: punctul imagine i punctul obiect sunt simetrice fa de oglind. Dependena poziiei imaginii de poziia obiectului este dat de relaia urmtoare:I.3 Lentilele i asociaii de lentileDefiniie:Lentilaopticesteunobiect transparent i omogen, separat demediul exterior prin doi dioptri sferici sau cmbinaie de dioptri sferici i plani. Lentila poate fi considerat un sistem optic centrat de dioptri. Dac grosimea d a lentilei este neglijabil n raport cu razele de curbur ale celor doi dioptri, se considercvrfurileacestoracoincidcucentrul optici lentila senumetelentil subire; n caz contrar lentila este groas.Lentilele se clasific n: 1) lentile reale (groase) ideale (subiri) 2) lentile convergente divergenteLentile convergente: 49 = 12yy = 12xxx2 = x1 = 1x2 = 1xf1fBiconvexeplanconvexemenisc convergentSimbolul lentilei convergente este:Lentile divergente:Biconcavplanconcavmenisc divergentSimbolul lentilei divergente este: Elementele lentilei:- vrfurile V1 i V2 ale celor doi dioptri sferici;- centrele de curbur C1 i C2 ale celor doi dioptri sferici;- centrul optic O al lentilei; - axa optic principal dreapta care trece prin centrele de curbur C1 i C2. Dac un dioptru este plan, atunci axa optic principal va fi dreapta ce trece prin centrul de curbur al dioptrului sferic i perpendicular pe dioptrul plan.- axa optic secundar orice dreapt care trece prin centrul optic O, exceptnd-o pe cea care trece prin centrele de curbur.Relaii fundamentale ale lentilei subiri:1) Relaia punctelor conjugate n cazul lentilei subiri50

unde: - n1 i n2 unt indicii de refracie ai celor dou medii cu care lentila este n contact;- n3 este indicele de refracie al materialului lentilei;- R1 i R2 sunt razele de curbur ale celor doi dioptri;- x1 i x2 sunt distanele lentil obiect, respectiv lentil imagine.Dac n1 = n2 =next i n3 = nlentil atunci n = extlentil nn i obinem:2) Relaia punctelor conjugate n cazul lentilei groase:Dac lumina se propag printr-un sistem de doi dioptri, de raze R1 i R2, distanai cu D, care separ medii cu indici de refracie n1, n3(la mijloc) i respectiv n2, atunci relaia punctelor conjugate pentru lentile groase se scrie sub forma:unde: - x1 este poziia obiectului fa de primul dioptru;- x2 este poziia imaginii fa de primul dioptru;- x2 este poziia imaginii finale fa de al doilea dioptru;- D este grosimea lentilei;- R1 i R2 sunt razele de curbur ale celor doi dioptri. Dac n1= n2=nextatunci lentila (n3= nlentil)este n contact cu acelai mediu pe ambele fee:Focarele lentilei subiriDefiniie:Focarul principal obiecteste punctul n care se afl un izvor punctiform, astfel nct dup refracia razelor de lumin prin lentil, acestea sunt paralele cu axa optic principal.5122xn 11xn = 11 3Rn n 22 3Rn n 2x1 1x1 = (n 1)

,_

2 1R1R123 211 32 2311'22Rn nRn n) D x ( xD nxnxn + next

,_

1'2x1x1 nlentil ) D x ( xD2 2 = (nlentil next )

,_

2 1R1R1 Pentru x2 f1 =

,_

2 1R1R1) 1 n (1Definiie:Focarul principal imagineeste punctul n care se intersecteaz, dup refracia razelor de lumin prin lentil, razele incidente paralele cu axul optic principal. Pentru x1 f2 =

,_

2 1R1R1) 1 n (1Notnd cu: f =

,_

2 1R1R1) 1 n (1 =

,_

,_

2 1 mediulentilR1R11nn1 distana focal a lentilei, se constat c f = f2= f1, adic focarele sunt ajezate simetric de o parte i de alta a lentilei. Relaia punctelor conjugate se poate scrie acum sub forma: Definiie:ConvergenaC(sauputerea opticPalentilei)este inversul distanei focale a lentilei subiri:Unitatea de msur pentru convergen este: [C]SI = [ ]SIf1 = m 1 = (dioptria)Definiie:Dioptriareprezint convergena (sau puterea optic) unei lentile cu distana focal de 1m.Lentilele subiri pot fi: - convergente dac C>0 sau f >0 i au focare reale. - divergente dac C 0 deci sunt : - convergente dac nlentil >nexterior - divergente dac nlentil < nexteriorLentilele mai groase la mijloc au factorul

,_

2 1R1R1< 0 deci sunt :52f1x1x11 2 C = f1 - divergente dac nlentil >nexterior - convergente dac nlentil < nexteriorDefiniie:Mrirea liniar transversaleste mrimea care ne arat de cte ori se modific dimensiunea y2 a imaginii fa de dimensiunea y1 a obiectului:Asociaii de lentile subiri sunt formate din dou sau mai multe lentile subiri centrate (au acelai ax optic). ntr-un astfel de sistem, imaginea dat de prima lentil devine obiect pentru urmtoarea lentil, i aa mai departe pn la ultima lentil.Mrirea liniar transversala sistemului este dat de produsul mrimilor liniare transversale ale componentelor:sistem = 1 2 3 n = n1 kkDefiniie: Sistemele de lentile alipite (acolate) sunt sistemele pentru care distana dintre lentilele componente este neglijabil (d 0). n acest caz convergena sistemului este suma convergenelor lentilelor componente:C = n1 kkC sau F1 = n1 k kf1Observaii: 1)Proprietateadeaditivitateaconvergenelor estegeneralsistemelor cu componente lipite. 2)Cele dou sume sunt algebrice, deoarece termenii pot fi pozitivi sau negativi, dup cum lemtilele sunt convergente, respectiv divergente.Un sistem centrat format din dou lentile subiri esteafocal sau telescopic dac focarul principal imagine F2 al primei lentile coincide cu focarul principal obiect F1al celei de-adoualentile. Distanadintrelentile esteegal cusumaalgebric a distanelor focale al celor dou lentile: d = f1 + f2.Caracteristica general a acestui sistem const n faptul c orice fascicul paralel cu axa optic principal, incident pe sistem, este la ieire, tot parael cu axa optic principal, fiind doar deplasat fa de acesta. Raportul diametrelor fasciculelor este:Observaii: 1) Acest sistem nu poate fi compus doar din lentile divergente.53 = 12yy = 12xx = 1'2yy = 12ff 2) Dac are n componen doar lentile convergente, produce rsturnarea imaginii.Curs 11+12FIZICA ATOMIC I MECANICA CUANTICI. Modele atomice i cuantificarea energieiS-a dovedit c electronii sunt particule constituente ale atomilor. Deoareceatomii sunt electricneutri, nconstituialor trebuiesintrei sarcini pozitive, carescompenseze sarcinileelectricenegativedatorate electronilor. Masa electronilor fiind pe de alt parte foarte mic, rezult c masa atomic ar fi concentrat n alte componente ale atomilor, pe care pot fi repartizate i sarcinile pozitive corespunztoare.Atomii, departe de a fi nite corpusculi simpli asimilabili unor sfere mici, rigide, trebuies posede o structur, o organizare intern, caracterizat printr-oanumitaranjareaelectronilor i sarcinilor electrice pozitive, a centrelor n care sunt concentrate masele lor.Pentru cercetarea structurii atomilor, deosebit de eficace s-a dovedit metodaprincaremateriasebombardeazcuparticuleanimatedeviteze mari electroni, particule care pot patrunde astfel n interiorul atomilor. Din modificrile pe care le sufer micarea acestor particule, la trecerea prin materie, se pot trage concluzii cu privire la structura atomilor.54SpectreleopticealeatomiloriderazeXfurnizeazdatepreioase despre structura atomilor i fenomenele care se petrec n interiorul lor.1. Difuzia particulelor . Modelul atomic al lui Rutherford.Foarte bogat n rezultate s-a dovedit difuzia particulelor prin substan, metodfolositcudeplinsuccesdeRutherfordi colaboratorii si.Particulele sunt emise de numeroase substane radioactive, care pot servi casursepentruaobinerealor. Traiectoriilelor pot fi urmriten camera Wilson, n care se introduce aer sau alt gaz saturat cu vapori de ap. n trecerea lor particulele ionizeaz gazul, iar pe ionii formai se condenseazvapori deap. Traiectoriileparticulelor marcateastfel, prin picturi fine de ap, pot fi fotografiate.Particulelesunt atomi deheliucudousarcini electricepozitive ( )+ +He, n urma pierderii celor 2 electroni disponibili. Viteza lor ajunge pna la 1/15 1/20 din viteza luminii, dup natura preparatului radioactiv din care povin.n orientarea experientelor sale i n explicarea rezultatelor obinute, Rutherfords-acondusdupconcepiacunatomtrebuiesfiealctuit dintr-un nucleu ncrcat electric pozitiv, foarte mic n comparaie cu dimensiunileatomului ncareesteconcentratpracticntreagamas. n jurul nucleului semicelectronii, formndinveliul electronic, al crui numr este de terminat de condiia sa ca sum a sarcinilor electrice s fie egalcu sarcina pozitiv a nucleului.Particulelefiindde7320deori mai greledect electronul, ele patrund n nveliul electronic fr a fi practic influenate.Dac o astfel de particul ajunge n apropiereanucleului atomic, mult mai greudect ea, pecareesteconcentratputernicosarcinelectric pozitiv, atunci traiectoria sa sufer o deviaie sensibil.n experimentele de difuzie efectuate de Geiger i Marsden (1909), cola boratorii lui Rutherford, folosind foiede aurau constatat c pe lng particulele nedeviate se obin i particule deviate sub unghiuri foarte mari fa de direcia incident.Pornind de la aceste premise, Rutherford a dezvoltat teoria cantitativ a difuzieiparticulelor prin substa.ncalculelepecareurmeazsledezvoltm, vomfaceoseriede aproximri. Vompresupunecatt particulelect i nucleelecucare 55interacioneazsunt suficient demici astfel ncat spoatfi considerate punctiforme. n plus vom admite c ntre particulele i nucleu acioneaz numai fore electrostatice de respingere. Nucleul, find mult mai greu dect particula , il vom presupune imobil. Deoarece fora de respingere electrostatic ce acioneaz asupra particulei este invers proporional cu ptratuldistanei pnalanucleu, traiectoriaurmatdeparticulavafio hiperbol, n focarul careia se afl nucleul.Atomul fiindneutruposedZsarcini electricepozitive. Pentru studiul micrii i deducerea deviaiei vomfolosi legea conservrii energiei i a momentului cinetic. BvA 0va mb cb MCndparticulaseafllaodistanfoartemaredenucleu(A), energiasasereducelaenergiacinetic220mv, 0vfiindvitezainiiala particulei. Laodistanmicdenucleu, deexemplunpunctul B, cand vitezaparticulei estev, laenergiacinetic22mvsemai adaugenergia potenial ) ( 4202c aZe+ .56Legea conservrii energiei ne va conduce la ecuaia:(1)) ( 422 202 202c aZe mv mv++ Legea conservrii momentului cinetic pentru aceleai poziii ale particulei se scrie sub forma:(2)) (0c a mv b mv + Distanabdelanucleuladireciainiialatraiectoriei esteaanumitul parametrude ciocnire. Valoarea sa minim se produce pentrucea mai apropiat trecere a particulei n vecintatea nucleului.Unghiul , ntre direcia particulei incidente i asimptota la traiectoria particulei difuzate se numete unghi de difuzie.innd cont de proprietile hiperbolei i de relaiile (1) i (2) se poate stabili o relaie ntre unghiul de difuzie i parametrul de ciocnire b.(3) 20 02212 mvZeb batg Aceastecuaie(3)nusepoateverificaexperimental deoarecenusepot cunoate parametrii de ciocnire individuali. Pentru a ajunge la o relaie care s poat fi verificat experimental, Rutherford a fcut o serie de consideraii statistice. El a completat ipotezele precedente cu urmtoarele:- distana a, dintre 2 nuclee difuzante este mai mare dect parametrul b;- stratul mprtietor (difuzat) este destul de subire pentru ca numrul particulelor care sufer dou sau mai multe ciocniri s fie neglijabil.dn+d0n57Pentru numrul particulelor care au fost mpratiate ntre unghiul i + d obinem:(4) dmvZec d n dn2sin2cos4322020

,_

unde: 0n- numrul de particule , dn - numrul de particule ce sunt difuzate sub un unghi cuprins ntre unghiul i+d; d - grosimea foiei; c - numrul de nuclee coninut de foi n unitatea de volum.Aceast relaie nu este nc adecvat verificrilor experimentale.Numrul de particule mpratiate prin unitatea de unghi solid ndiferite direcii este dat de raportul dn / d, atunci:(5),_

,_

2sin422020mvZec d nddnreprezint relaia de mpratiere a lui Rutherford care a fost verificat experimental, confirmnd modelul nuclear al atomului.Formularealui Rutherfordestenbunconcordancuexperiena pentru nuclee grele i particule de energii relativ mici.Pentru nuclee uoare formula nu mai concord cu experiena. Dac nc n acest caz se ine seamac n timpulinteraciunii i nucleul sufer o deplasare, atunci trebuiesnlocuimmasacumasaredusM mmM+ i viteza 0vprinvitezeleiniialealecelor douparticule. Cutoateaceste modificri divergenele ntre teorie i experien se menin mai ales pentru valori mici aleparametrului deciocnire. Putemfaceobservaiacpentru valori ale parametrului de ciocnire R b (R - raza nucleului) ntre nucleu i paticulelemai apar i altfel deforedect celeelectrostatice. Aceast situaie limit ne va permite s evalum valoarea critic corespunzatoare a parametrului b i s obinemun ordin de mrime aproximativ pentru dimensiunea nucleului.58n cazul nucleului s-a gasit: m b Rcritic1510 , valoare care acord cu ordinul de mrime al razelor nucleelor.Dintre mrimile care figureaz n relaia (5) o parte sunt cunoscute din nsuirile sursei radioactive i a metalului din foie folosite:0n, d, c,0v, m, altele sunt determinate experimental ddn i .Ecuaia permite astfel s se deduc Z. Aplicnd ecuaia (5) la foiele de cupru, argint, platin, Chadwick a gasit pentru numrul de sarcini nucleare Yvalorile: 29,3; 46,3; 77,4. Cifrele concord foarte bine cu numereledeordinealeacestorelemente, aacumlegasimntabelul lui Mendeleev: 29, 47, 78.Studiul difuziei particulelor conduce deci la concluzia c numrul sarcinilor pozitivedin nucleul unui atom este egal cu numrul de ordine al elementului respectiv.Pe baza acestor rezultate, Rutherforda propus unmodel atomic, conform cruia atomul const dintr-un nucleu de raz m1510 de sarcin +Ze i n care este concentrat aproape ntreaga mas a atomului. n jurul nucleului se rotesc Z electroni care compenseaz sarcina pozitiv a nucleului, astfel nct atomul ntotalitateasaesteneutrudinpunct de vedere electric.Dac electronii se rotesc njurul nucleului pe anumite orbite, fora de atracie colombian este compensat de fora centrifug. Este suficient n acest scop sa i se atribuie electronului o vitez de rotaie convenabil.n asemenea condiii ns sistemul nu prezint stabilitate termodinamic. Parcurgnd o traiectorie curb, electronul, posed acceleraie i dup legile electrodinamicii clasice el trebuie sa iradieze energie. Cum energia iradiat nu poate proveni dect din energia potenial a sistemului nucleuelectroni dinenergia cinetic a electronului, prin iradiere, electronul s-arapropiamereudenucleu, parcurgndundrumn spiral, pn cnd s-ar prabui pe nucleu. Deoarece viteza ar crete continuu sistemul ar trebui s iradieze un spectru continuu, de frecvene, ceea ce ar fi ntotaldezacordcuexperiena. Neconcordanalacares-aajunspebaza modelului lui Rutherford, nupoatefinlturatdect admindclegile clasice ale micrii nu sunt aplicabile la dimensiunile atomului.2. Spectrele atomului de hidrogen. Modelul atomic al lui Bohr59Corpurile n stare condensat emit radiaii al cror spectru este continuu.Substanele n stare gazoas aduse la incadescen, pot emite radiaii a cror spectru este discret, coninnd numai anumite lungimi de und. Spectrele atomice de emisie se obin descopunnd radiaia emis de o surs convenabilcuajutorul unui aparat spectral (spectroscopsauspectograf). Radiaia ptrunde n aparat printr-o fant liniar ngust, iar spectrul atomic rezultant seprezintcaosuccesiunedeimagini liniarealefantei, fiecare radiaie de o anumit lungime de und din radiaia incident corespuzndu-i o linie spectral. Spectrul obinut se numete spectru de linii.S-a stabilit experimental c atomii gazelor incandescente emit spectre de linii i c aceste linii formeaz grupuri bine definite, numite serii spectrale.nfiecareseriespectralliniilesendesescnpartealungimilorde und mai mici inznd ctre o limit unde ncep s se suprapun dnd un spectru continuu.Cel mai simplu spectru este emis de atomul de hidrogen. Prima serie spectralobservat n spectrulatomului dehidrogen a fost descoperitde Balmer (1885) i este cunoscut n prezent sub denumirea de seria Balmer. Ea cuprinde radiaii din vizibil i din ultravioletul apropiat. n vizibil seria Balmer prezint 4 linii, linia cu lungimea de und:- cea mai mare:AH6563 ;- cea mai mic: AH4102 .Balmer astabilitoformul empiriccu ajutorulcreiase puteaucalcula lungimiledeundaleliniilorspectraledinaceastserie.Aceastformul este:(6) 122nnB undeBesteoconstantiar nunnumr ntregcarencepecu3, .. . nlocuindn formula (6) n = 3, 4, 5 i 6 se obin cu exactitate lungimile de und pentru cele 4 linii din domeniul vizibil al spectrului hidrogenului. Dac naceeiai formulfacemn=7, 8, 9obinemlungimiledeunddin domeniul ultraviolet, apropiat al aceluiai spectru.Constanta B, numit constanta Balmer s-a determinat ca fiind egal cu B = 3645,7.Formula lui Balmer a fost scris ulterior de Rydberg sub o alt form, introducnd nlocullungimiideundmarimeainvers a acesteia,numit numr de und:60(7) c 1~care arat cte lungimi de und sunt cuprinse pe unitatea de lungime. Formula lui Rydberg este deci:(8)

,_

2 2121 1~nR; n = 3, 4, 5Constanta Rse numete de aceast dat constanta lui Rydberg i are valoarea acceptat n spectroscopia atomic(9) 1 510 677 , 109 m RDac se daului nvalorile 3, 4, se obinnumerele de und pentru ... , H H. Pentrunseobinelimitaseriei Balmer4~R nbun concordan cu valoarea determinat experimental.n afar de seria Balmer au mai fost descoperite i alte serii spectrale ale hidrogenului. Ele corespund urmtoarelor formule:- seria Lyman: .... 4 , 3 , 2 ;111~2 2 ,_

nnR n ultraviolet;- seria Balmer: .... 4 , 3 ;121~2 2 ,_

nnR n vizibil;- seria Paschen: .... 6 , 5 , 4 ;131~2 2

,_

nnR n infrarou;- seria Brackett: .... 7 , 6 , 5 ;141~2 2 ,_

nnR n infrarou;- seria Pfundt: .... 8 , 7 , 6 ;151~2 2

,_

nnR n infrarou;Pentru n se obine limita seriilor atomului de2H.2~kR Deci putem scrie expresia lui Rydberg sub o form general astfel:(10)

,_

2 21 1~n kR 61S-aobservat c modelul atomului lui Rutherfordeste instabil din punct devedereal electrodinamicii clasice. Pedealtparteexperienele directe au dovedit c n realitate atomul se poate afla ntr-o serie de stri stabile (staionare) caracterizate prin valori bine determinate ale energiei. Se constatcproceselecareaulocninteriorul atomului urmeazaltelegi dect cele prevzute de electrodinamica clasic. Prima ncercare de a lmuri lucrurile a fost fcut de fizicianul danez Niels Bohr (1913). Bazndu-se n partepemodelul Rutherford, Bohr aelaborat teoriaatomului de 2Hcu ajutorul creia se poate explica spectrul acestuia i se poate da o interpretare fizic a formulei Balmer. Ulterior aceast teorie a fost dezvoltat de catre Sommerfeld (1915) permind explicarea spectrelor i la alte elemente.Pentru aceasta Bohr a presupus c electronii, care alcatuiesc nveliul nucleului, sedistribuienstraturi, fiecarestrat fiindcaracterizat printr-o anumit valoare a energiei.Aceastenergienupoateluaoricevaloare(nusemodificnmod continuu) ci numai anumite valori discrete:2 1,W W. Energia atomului este deci cuantificat.DupBohr, cel mai simpludintreatomi, atomul dehidrogen, este alctuit dintr-un nucleu care posed sarcina electric +e, n jurul cruia se rotete un electron (-e).Nucleul atomului dehidrogensenumeteproton. Masaprotonului fiind de 1837 de ori mai mare decat cea a electronului, putem considera c ntreaga mas a atomului se afl concentrat n nucleu.Teoria atomului de hidrogense bazeaz pe urmtoarele postulate formulate de Bohr:1)Electronul sepoateroti njurul nucleului numai peaceleorbite pentrucaremomentul sucineticesteunmultipluntregde 2h. Acest numr poate fi considerat ca momentul cinetic elementar. Exprimm acest postulat prin relaiile:(11) nhn r mv In n w 2n aceast relaie m este masa electronului,nv este viteza acestuia pe orbita n permis de primul postulat, nreste raza orbitei;n este un numr ntreg (1,2,3) denumit numr cuantic principal.Pe astfel de orbite staionare, unde momentul cinetic orbital este cuantificat, electronul nu emite i nu absoarbe energie.Al doilea postulat afirm c:622) Atomul emite o radiaie numai cnd electronul trece dintr-o stare caracterizat de enrgie mare (de pe o orbit mai ndeprtat de nucleu) ntr-o alt stare caracterizat printr-o energie mai mic (pe orbit mai apropiat de nucleu). Energia cuantei emise este egal cu diferena energiilor celor dou stri:(12)k n k nW W h ,unde n i k sunt numerele orbitelor staionare permise de primul postulat (n>k),nW ikW energiile electronilor pe aceste orbite, iark n,, frecvena radiaiei emise.Energia pe care o posed atomul, cnd electronul se mic pe o orbit staionar reprezint energia de legtur ntre nucleu i electron.Niveleleenergeticealeatomului se prezintprinlinii orizontale. Nivelul celui mai jos i corespunde prima orbit permis cu numrul cuantic principal n =1. Acest nivel va avea energia cea mai mic. Nivelele energetice reprezint strile staionare ale atomului. Atomul aflat n una din aceste stri nu emite i nu absoarbe radiaii.

n=4n=3 n=2n=163nmodnormal atomul segsetepenivelul energeticcel mai jos. Dac atomul absoarbe energie din exterior el poate trece pe unul din nivelele energetice superioare. Un astfel de atom este excitat. Procesul poate decurge i nsensinvers. Atomulexcitat poatetrecepenivelulenergeticinferior, emindnacest timp, conformcelui de-al doileapostulat al lui Bohr, o cuant de energie.3) Experiena lui Franck i HertzConcepia lui Bohr despre existena n atom a unor nivele discrete de energie a fost verificate experimental pentru prima oar de Franck i Hertz.Aparatul este format dintr-un tub de sticl n care se introduce elementul de studiat, aflat fie n stare gazoas, fie n stare de vapori. Electronii emii de filamentul F sunt accelerai de ctre grila C, de ctre o diferen de potenial V, care poate fi variat ntre anumite limite. Anoda A este negativfa grila C, deci electronii sunt frnai ntre gril i anod. Cei care posed suficient energie ajung la anod, iar galvanometrul G indic un anumit curent. Pe msur ce potenialul accelator Vcrete, numrul electronilor care ajung la anod este mai mare, deci intensitatea curentului prin G crete. Determinrile experimentale au artat ns c, pentru anumite valori ale potenialului V, intensitateacurentului anodic scade brusc.ntre filament i gril electronii se ciocnesc cu atomii gazului din tub. n timpul acestor ciocniri electronii comunic atomului o parte din energia lor, determinndtrecereaatomului ntr-ostareexcitat. Dar, electronii atomului pot asorbi numai cantiti bine determinate de energie , corespunztoare trecerii ntre diferite nivele energetice.CF A+- G - + + -V0V64

I

04,9 2x4,93x4,9V Dac energia electronului proiectil, care ciocnete un electron orbital, este insuficientpentruadeterminatrecereaacestuiapeoaltorbit, atunci electronul orbital nu va absorbi aceast energie. n acest cazciocnirea este elastic i energia electronului nu se modific. Dac ns energia electronului proiectil este suficient de mare, atunci electronul orbital absorbind o parte din ea, poate trece pe un nivel energetic superior. O astfel de ciocnire se numete neelastic, deoarece dup ciocnire energia electronului proiectil scade.S presupunem c mrim progresiv diferena de potenial V, deci i energia cinetic a electronilor. Att timp ct energia lor este mai mic dect cea necesartreceriiatomuluidepe unnivel energeticpealtul,ciocnirile sunt elastice, fra absorbie de energie, curentul anodic crete.65Experiena arat c n momentul n care V atinge o anumit valoare kW , curentul anodic ncepe s scad. n acest caz au loc ciocniri neelastice ntre electronii proiectili i atomi, energia electronilor proiectil scade i ca atare ei nu mai pot ajunge la anod; intensitatea curentului anodic scade. Dac se mrete tensiunea Vn continuare, curentul anodic crete, deoarece ciocnirile devin din nou elastice. n momentul n care V = 2 kW curentul anodic se micoreaz din nou, ceea ce aratc s-au produs din nou ciocniri neelastice.Experiena confirm deci existena nivelelor energeticediscreten interiorul atomului.4) Spectrele atomilor hidrogenoizi dup teoria lui BohrPrin atom hidrogenoid se ntelege un sistem format dintr-un nucleu cu sarcina Ze (Z fiind numr ntreg) i un electron.Pentru Z = 1 acest sistem reprezint atomul de hidrogen; pentru Z = 2, un atom de heliu, odat ionizat,+eH; pentru Z = 3, un atom de litiu dublu ionizat+ +Li . Masa nucleului fiind foarte mare n comparaie cu a electronului,acesta se poate considera imobil. Dimensiunile nucleului (m1410) i ale electronului ( m1510) fiind foarte mici n comparaie cu cea a atomului( m1010) le putem considera pe ambele drept sarcini punctuale. Pe bazaacestor considerenteBohr adeterminat razeleorbitelorstaionarei energiile posibile ale electronului atomilor de hidrogenoizi.-e +ZeElectronul se va roti n jurul nucleului pe o orbit circular de razanr,daca forta centrifuga, ce actioneaza asupra sa, devine egala cu fora 66culombian de atractie dintre electron i nucleu, astfel nct s se asigure stabilitatea dinamic a sistemului.(13) 202 24n nnrZermvPebazaprimului postulat, micareaelectronului sepoatefacenumai pe orbitele pentru care:(14) 2hn r mvn nDin aceste relaii deducem:(15) nhZevn022 i220 2mZehn rn(16)Se observ c razele orbitelor permise 2n . Pentru atomul2H, Z = 1, raza primei orbitei Bohr are valoarea:(17) Ae mha r 532 , 020200 1 Energiatotal, aunui atomdehidrogen, aflat ntr-oanumitstare staionar, va fi egal cu suma dintre energia cinetic i cea potenial. Deci:(18)U T W + dar:2 2 2004 22 2 204 20208 4 2 2 h nm e Zh ne Z m v mTn 2 2 2004 2202020202444 h nm e ZZe mh nZerZeUn Deci energia total este :67(19) 2 204 20281he Z mnW Ca i la oscilatorul armonic, energia ionuluihidrogenoid nu poate lua dect un ir discret de valori.Energia hidrogenoidului are valoarea cea mai mare n starea fundamental, decin aceast stare posed cea mai mare stabilitate.nconformitatecucel de-al doileapostulat al lui Bohr, electronul, trecnd de pe orbita n pe orbita k, va radia o cuant de energie de valoare:(20)

,_

2 2 2 204 20,1 18 n k he Z mW W hk n k nDeci frecvena radiaiei emise este:(21)

,_

2 2 3 204 20,1 18 n k he Z mk nNumrul de unde corespunztor pentru atomul de hidrogen este:(22),_

2 21 1~n kRcH,undec he mRH 3 20408Introducnd valorile corespunztoare se obine pentruHR:(23) 1 510 737 , 109 m RHValoarea obinut este apropiat de cea experimental i diferena mai mic dintre acestea a fost explicat de Bohr, datorit faptului c nucleul s-a presupus nrepaos ntimpul micrii electronului njurul su.Dacse raporteazmicarea la sistemul centrului de mas, nlocuindu-semasa0m a electronului cu masa redus M mM m+00 a sistemului, se obine pentru HR o valoare n corcondan cu cea experimental.5. Insuficienele teoriei lui Bohr68Teroria lui Bohr a fost dezvoltat n continuare de Sommerfeld care a postulatc,electroniise pot mica i peorbite eliptice n jurulnucleului, care pot avea diferite orientri n spaiu.n astfel de condiii, relaiile lui Bohr, care exprim primul postulat, au fost generalizate la forma:(24) s i h n dq pi i i,...... 2 , 1 ; unde s este numrul gradelor de libertate ale sistemului considerat, iar ,..... ,2 1n n sunt numere ntregi numite numere cuantice. n particular, dac micarea are loc pe o orbit circular drept coordonat generalizat se alege unghiul la centru ) (1 q. Relaia (24) devine:h n d r v m 201sau h n r v m 12care este chiar condiia lui Bohr pentru cazul orbitelor circulare. r -e

Teoria lui Bohr-Sommerfeld se lovete ns de o serie de dificulti de principiu. nprimulrndreguliledecuantificarecarestaulabazateoriei sunt introduse artificial i sunt ntr-o total contradicie cu legile din fizica clasic. Deasemenea nu se poate explica de ce atomul nu radiaz energie ntr-o stare staionar. Nu pot fi corect explicate spectrele atomilor cu mai muli electroni.Insuccesul teoriei lui Bohr-Sommerfeld n explicarea unor date experimen