CURSDEF I Z I C Aplicaii 2 3 MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII Universitatea Petrol-Gaze din Ploieti Departamentul de nvmnt la Distani cu Frecven Redus LIANA ANDRU CURS DE F I Z I C APLICAII Editura Universitii Petrol-Gaze din Ploieti 2010 4 5 PREFA mirevineplcutamisiunedeaprefaaocartedeosebitaunei autoaredeosebite,attcastructurintelectual,ctmaialescapregtire profesional. Autoareaestecunoscutpentruactivitateasatiinificndomeniul tehnicilor de investigare a materialelor ceramice i bazalitice, precum i n domeniul proprietilor dielectrice i feroelectrice a materialelor ceramice, n acelai timpipentrupasiuneacucareidesfoaractivitateadedascli cercettor n domeniul fizicii clasice i moderne. Carteacuprindetoatecapitoleledefiziccunoscutedelaprincipiile mecaniciiclasice,principiilemecaniciianalitice,elementedeteoria relativitiirestrnse,fizicafluidelor,termodinamicaifizicastatistic, electromagnetismielectrodinamic,elementedemecaniccuantic,fizica atomuluiimoleculei,fizicasolidului,fizicanucleuluiatomicia particulelor elementare. Cartea este util att studenilor de la nvmntul cu profil tehnic, studenilordelanvmntuluniversitardespecialitate,cticelorcare doresc s-i lrgeasc orizontul intelectual n domeniile capitolelor enumerate mai sus. Sunt convins c acest manual poate fi utilizat i de o parte a elevilor din ultima clas de liceu, care se pregtesc pentru admiterea la facultile de fizic i la cele tehnice. Prinnumeroaseleexempleipringraficadeosebitrealizatde autoare, cartea este utilizat cu mult cldur de toi cei interesai n domeniul fizicii clasice i moderne. Prof. univ. dr. Mihai Toader Universitatea Politehnic din Timioara 6 7 CUVNT NAINTE Cursulseadreseazn primulrndstudenilordelaFacultateade InginerieMecaniciElectric,formanvmntlaDistanicu Frecvan Redus.Porninddelaloculfiziciinformareaviitoriloringineri,am ncercaticredcanbunmsuramreuitsselectezacelecunotine defiziccareseintegreazarmoniosnpregtireadespecialitate,n condiiile progresului tehnic contemporan. Logicaordonriimaterialuluiprezentatnmanual,arelabaz programele analitice n vigoare i este subordonat realitilor contactului directalspecialistuluicurealizrilemodernedindomeniultehnicii.Se arenvederepregtireaspecialistuluipentruatmosferadecreaie,de gndireinginereascidedobndireauneiculturitiinificeitehnice, necesareactivitiideproiectaresaudeelaborareaunorsistemetehnice sau tehnologice. Cunotinele i deprinderile dobndite la cursul de fizic trebuie s dezvolte la studenicultura general fundamental necesar nelegerii fenomenelor la disciplinele de cultur tehnic general i de specialitate. Pentrusugestiileiobservaiilefcutecuocaziaverificrii coninutului tiinific al cursului de fizic, mulumesc urmtoarelor cadre didacticedelaUniversitateaPOLITEHNICdinTimioara: Prof.univ.dr.ing. LiviuBrndeu,Prof.univ.dr.ing.IoanFitero, Prof.univ.dr.ing.MihaiJdnean,Prof.univ.dr.mat.MihaiToader, Conf.univ.dr.fiz. AurelErcuia,UniversitateadeVestdinTimioaraidela UniversitateaPetrol-GazedinPloieti:Conf.univ.NeacuMarianief lucrri dr. Hotinceanu Mihai. Conf. univ. dr. fiz. Liana A. andru 8 9 CUPRINS MODULUL I. FIZICA CLASIC .............................................................. 14 1. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE ................................................... 14 1.1. Legile mecanicii pentru punctul material ............................... 14 1.2. Cmp de fore ....................................................................... 33 1.3. Legile mecanicii pentru sisteme de puncte materiale ............. 36 Aplicaii ....................................................................................... 39 2.PRINCIPIILE MECANICII ANALITICE .............................................. 41 2.1. Ecuaiile Lagrange ................................................................ 41 2.2. Ecuaiile Hamilton ................................................................ 42 2.3. Micarea oscilatorie armonic ............................................... 43 Aplicaii ....................................................................................... 45 3.ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITAII RESTRNSE ................. 51 3.1. Transformrile Lorenz-Einstein............................................. 51 3.2. Consecine ale transformrilor Lorentz-Einstein .................... 54 3.2.1.Contracia lungimilor .................................................... 55 3.2.2. Dilatarea intervalelor de timp ......................................... 55 3.3. Dinamica relativist .............................................................. 56 Aplicaii ....................................................................................... 58 4.FIZICA FLUIDELOR ............................................................................ 61 4.1. Statica fluidelor ..................................................................... 61 4.2. Dinamica fluidelor reale ........................................................ 62 4.3. Teoria cinetico-molecular a gazelor ..................................... 63 4.3.1. Gaze reale ...................................................................... 63 Aplicaii ....................................................................................... 67 TEST DE AUTOEVALUARE I .................................................. 68 10 MODULUL II ............................................................................................ 72 5. TERMODINAMICA .............................................................................. 72 5.1. Principiul zero al termodinamicii .......................................... 72 5.2. Principiul nti al termodinamicii .......................................... 72 Aplicaii ...................................................................................... 77 5.3. Principiul al doilea al termodinamicii.................................... 79 Aplicaii ...................................................................................... 82 5.4. Principiul al treilea al termodinamicii ................................... 83 Aplicaii ...................................................................................... 84 TEST DE AUTOEVALUARE II................................................. 87 MODULUL III ........................................................................................... 90 6. ELECTROMAGNETISM ...................................................................... 90 6.1. Electrostatica ........................................................................ 90 6.1.1. Legea lui Gauss pentru medii omogene .............................. 90 6.1.2. Vectorul inducie electric ............................................. 93 6.1.3. Energia cmpului electric ............................................... 95 6.2. Electrocinetica ...................................................................... 98 6.2.1. Legea conservrii sarcinilor electrice ............................. 98 6.2.2. Legea lui Ohm pentru densitatea de curent ..................... 99 6.3. Magnetostatica ................................................................... 100 6.3.1. Legea circuitului magnetic ........................................... 101 Aplicaii .................................................................................... 103 6.3.2. Substana n cmp magnetic ......................................... 104 6.4. Electromagnetism ............................................................... 107 6.4.1. Energia cmpului magnetic .......................................... 107 6.4.2. Curentul de deplasare. Inducia magnetoelectric ......... 109 Aplicaii .................................................................................... 111 Aplicaii .................................................................................... 115 TEST DE AUTOEVALUARE III ............................................. 116 11MODULUL IV. FIZICA MODERN ...................................................... 121 7.BAZELE FIZICE ALE MECANICII CUANTICE ............................... 121 7.1. Natura corpuscular a radiaiei ............................................ 121 Aplicaii ..................................................................................... 124 7.2. Natura ondulatorie a particulelor ......................................... 135 Aplicaii ..................................................................................... 140 8.MECANICA CUANTIC ................................................................... 142 8.1. Postulate ale mecanicii cuantice .......................................... 142 8.2. Momentul cinetic n mecanica cuantic ............................... 144 8.3. Ecuaia lui Schrdinger pentru micarea nerelativist .......... 145 Aplicaii ..................................................................................... 147 9. FIZICA ATOMULUI I MOLECULEI ................................................ 150 9.1. Serii spectrale ..................................................................... 150 9.2. Atomul lui Bohr .................................................................. 151 9.3. Experiena FranckHertz. Insuficienele teoriei lui Bohr ..... 154 Aplicaii ..................................................................................... 155 9.4. Atomul hidrogenoid ............................................................ 157 9.5. Atomii alcalini .................................................................... 158 9.6. Momentul magnetic orbital al electronului .......................... 159 9.7. Momentul cinetic propriu al electronului ............................. 162 9.8. Momentul vectorial al atomului .......................................... 163 9.9. Structura fin a liniilor spectrale .......................................... 166 Aplicaii ..................................................................................... 167 9.10. Emisia i absorbia radiaiei ............................................... 169 9.11. Radiaia Rentgen ............................................................. 173 Aplicaii ..................................................................................... 174 10. FIZICA SOLIDULUI .......................................................................... 176 10.1. Defecte n reea ................................................................. 179 Aplicaii ..................................................................................... 183 10.2. Clasificareasolidelornmetale,semiconductorii izolatori .......................................................................... 184 Aplicaii ..................................................................................... 187 1211.FIZICA NUCLEULUI ATOMIC ....................................................... 189 11.1. Energia de legtur a nucleului.Fore nucleare ................ 189 11.2. Spinul nuclear ................................................................... 191 11.3. Modele nucleare ............................................................... 191 11.4. Radioactivitatea. Legile emisiei nucleare .......................... 193 Aplicaii .................................................................................... 194 11.5. Interaciunea radiaiilor nuclearecu substana .................. 194 11.6. Reacii nucleare ................................................................ 196 Aplicaii .................................................................................... 200 TEST DE AUTOEVALUARE IV ............................................. 202 SOLUIILE TESTELORDE EVALUARE ............................................ 203 BIBLIOGRAFIE ...................................................................................... 204 13 MODULUL I OBIECTIVELE MODULULUI I Cunoaterealegilormicriicorpurilorconsiderateca:puncte materialesausistemedepunctematerialenfunciedeproblema studiat. FunciileiecuaiileLagrangeiHamilton,careduclaomai complet cunoatere a micrii sistemului mecanic.Definirea unor mrimi fizice astfel ca legile s rmn invariante n orice sistem de referin inerial. Compararea fluidelor ideale, luate ca model, cu cele reale. CONINUTUL MODULULUI I 1. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE ................................................... 14 1.1. Legile mecanicii pentru punctul material ............................... 14 1.2. Cmp de fore ....................................................................... 33 1.3. Legile mecanicii pentru sisteme de puncte materiale ............. 36 Aplicaii ....................................................................................... 39 2.PRINCIPIILE MECANICII ANALITICE .............................................. 41 2.1. Ecuaiile Lagrange ................................................................ 41 2.2. Ecuaiile Hamilton ................................................................ 42 2.3. Micarea oscilatorie armonic ............................................... 43 Aplicaii ....................................................................................... 45 3.ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITAII RESTRNSE ................. 51 3.1. Transformrile Lorenz-Einstein............................................. 51 3.2. Consecine ale transformrilor Lorentz-Einstein .................... 54 3.3. Dinamica relativist .............................................................. 56 Aplicaii ....................................................................................... 58 4.FIZICA FLUIDELOR ............................................................................ 61 4.1. Statica fluidelor ..................................................................... 61 4.2. Dinamica fluidelor reale ........................................................ 62 4.3. Teoria cinetico-molecular a gazelor ..................................... 63 Aplicaii ....................................................................................... 67 TEST DE AUTOEVALUARE I .................................................. 68 BIBLOGRAFIE 1.Irimiciuc N. Mecanica E.D.P., Bucureti, 1965 2.Liana andru, Fizica, E.D.P., Bucureti, 1994. 3.Liana andru, Fizica, Ed. U.P.G., Ploieti, 2005 14 MODULUL I. FIZICA CLASIC 1. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE 1.1. Legile mecanicii pentru punctul material Punctulmaterialestemodelulfiziccreatpentruuncorpalcrui dimensiuniiformpot fineglijate, n anumite condiii, astfelnctpoatefi asimilat cu un punct geometric, n care este concentrat ntreaga sa mas. Poziiaunuipunctmaterial(fig.1.1)estedeterminatdevectorulde poziierrceuneteorigineasistemuluidecoordonatecupunctulmaterial consideratialecruicomponentesuntdeterminatedecoordonatele carteziene x, y, z adic: k z j y i x rr r rr+ + = .(1.1) Vitezaunuipunctmaterialestedatdevectorulv (esteorientatdup tangenta la traiectoria punctului material) definit prin relaia: trvddrr= .(1.2) Acceleraia unui punct material este dat de expresia vectorial: 22ddddtrtvar rr= = .(1.3) Este situat n planul oscilator al traiectoriei i ndreptat spre interiorul concavitiitraiectoriei.ngeneralvectorulacceleraieinuestetangentla traiectorie (exceptnd cazul micrii rectilinii). Legeaineriei.Unpunctmaterialrmnenstareaderepaussaude micare uniform i rectilinie (acceleraie nul) dac asupra sa nu acioneaz nici o for, adic0 = acnd0 = F . Legea fundamental a dinamicii. Viteza de variaie a impulsului unui punctmaterialesteproporionalcuforaceacioneazasupracorpului. Definim impu1sul cav m , unde m este masa i v este vectorul vitez. a mtvmtv mtpFrr r rr= = = =ddd) ( ddd. (1.4) 15n S.I. masa m se msoar n kg, acceleraiaa n m/s2, iar foraFn N. Un newton este fora care acionnd asupra unui corp cu masa de un kilogram i imprim o acceleraie de 1m/s2. Principiulaciuniiireaciunii.Oridecteoriinteracioneazdou corpuri, fora21 Fpe care corpul1 o exercit asupra corpului2este egal i desenscontrarcufora12 F pecarecorpul2 oexercitasupracorpului1, adic: 21 12F Fr r = .(1.5) Principiulsuprapuneriiforelor.Dacmaimulteforeacioneazn acelaitimpasupraunuipunctmaterial,fiecareforproducepropriasa acceleraie,nmodindependentdeprezenacelorlaltefore,forarezultant fiind suma vectorial a forelor individuale Aceastlegerezultdinecuaia(1.4):dacforarezultantFeste nul,atunci0dd=tp,adicimpulsulpunctuluimaterialrmneconstantn timp. Figura1.1 AceastlegesereferlamomentulcineticalunuipunctmaterialN(fig.1.1),nraportcuunpunctfixO(centru).Prindefiniie,momentul cinetic este mrimea fizic vectorial p r Lv rr = ,(1.6) underestevectoruldepoziiealpunctuluimaterialfadecentrulO.Dac asuprapunctuluimaterialacioneazforarezultantF,atuncimomentul forei, n raport cu punctul O, este dat de relaia: 16F r Mrrr = , (1.7) unde M depinde de alegerea punctului O. Derivnd expresia (1.10), n raport cu timpul, se obine: ( )tpr ptrp rt tLddddddddrr rrr rr + = = .(1.8) Deoarece n relaia (1.11) tpr v m v ptrdd0ddrr r r rr + = = , se obine expresia: M F rtLr rrr= =dd.(1.9) Momentulcineticrmneconstantntimpdacmomentulforei rezultante M este nul, deoarece0dd=tLr. Legeadeconservareamomentuluicineticestevalabilattpentru micareapeotraiectorienchis, ctipentrutraiectoriideschiseiprocese de ciocniri ntre particule. Figura1.2 Fore conservative. n cazul n care lucrul mecanic efectuat de o for ntre dou puncte, nu depinde de curba pe care se deplaseaz punctul su de aplicaie, fora se numete conservativ. Astfel de fore sunt deci caracterizate prin condiia: 17 = BABAC Cr F r F) 2 ( ) 1 (d d ,(1.10) unde(C1) i (C2) sunt dou curbe ce unesc punctele A i B (fig. 1.2). Dinrelaia(1.10)rezultclucrulmecanicefectuatdeofor conservativ pe un contur nchis (C) este nul: 0 d) (= r FCrr. (1.11) Folosind teorema lui Stokes, relaia (1.10) se poate scrie sub forma = = ) ( ) (0 d ) ( dC SS F r F , (1.12) unde S este o suprafa arbitrar mrginit de curba (C). z y xF F Fz y xk j iF rot F= = . (1.13) Suprafaa S fiind arbitrar, din relaia (1.11) rezult 0 = F . (1.14) Forelesuntneconservativedaclucrulmecanicalacestorfore,ntre dou puncte, depinde de curba pe care se deplaseaz punctul lor de aplicaie. Unexempludeforeneconservativesuntforeledefrecare.Astfelncazul micriicufrecareaunuicorpopartedinenergiacineticaacestuiase transformncldur.Datoritacestuifaptlegeaconservriienergiei mecanice nu este ndeplinit. Energiacineticesteomrimecarecaracterizeazstareademicare a unui punct material. Deoarece: t v ttrr d dddd = = iartpFdd= , lucrul mecanic elementar (1.14) se poate scrie sub forma: ||

\|= = =221d ) ( d dddd v m v v m t vtpLr r rr. (1.15) 18Mrimeamv2/2 senumeteenergiecineticapunctuluimaterialise noteaz prin T. Expresia: dL = dT,(1.16) reprezint legea variaiei energiei cinetice sub form local (sau diferenial). PrinintegrarentrepuncteleAiBseobineformasaglobal(sau integral): 2 22122) (v m v mLB A =.(1.17) Lucrul mecanic efectuat de foraFntre puncteleAiBeste egal cu variaiaenergieicineticeapunctuluimaterialntreaceleaipuncte.Relaia (1.14)sugereazposibilitateadefiniriiuneifuncii) , , ( ) ( z y x U r U =r,astfel nct foraFs derive din gradientul acestei funcii: |||

\|+ + = = kzUjyUixUU Fr r r r.(1.18) Deoarecerotorulunuigradientestentotdeaunanul,expresia(1.18) satisfacecondiia(1.14).Funcia) (r Urastfeldefinit,senumeteenergie potenia1apunctuluimaterial,devectordepoziierr.Dacsefolosete expresia(1.18)pentruforaconservativ,atuncilucrulmecanicefectuatde aceasta, ntre dou puncte infinit vecine este: r U r F L d d d = = . (1.19) Avnd n vedere c: U zzUyyUxxUr U d d d d d =++= , relaia (1.19) devine: U L d d = ,(1.20) ( )( ) rrAL r F r U = = d .(1.21) Energiapotenialapunctuluimaterialntr-unpunctdevectorde poziierresteegalculucrulmecanic.efectuatdeforaF ,luatcusemn schimbat,cndpunctulmaterialestedeplasatdinpunctuldereferin 19(punctul de la infinit) n punctul respectiv. n cazul forelor conservative, prin compararea relaiilor (1.16) i (1.20) se obine: d (T + U) = 0,(1.22) adic T + U const., exprim legea conservrii energiei mecanice. Aplicaii 1.1. Micareaunuicorpestedescrisdeecuaiiledemicare, kt x = & &, 0 = y& & . 0 = z& & S se calculeze spaiul parcurs de corp cnd t crete de la 0 la 1s, presupunnd c la0 = t ,, 0 = x& 1 = =o oz y & &m/s. Se cunoate6 = km/s2. Rezolvare: 3o61kt x x + = t y y yo o& + = t z z zo& + =Spaiul S n funcie de timp:( ) ( ) ( )202020) ( z z y y x x t S + + = =( )2 20206 236t z yt k+ + . Pentru 0 = x& ,10 0= = z y & &m/sik = 6 m/s2 => S = 1,73 m. 1.2. Un punct material se mic dup legea,n n nB v A s =undeB A,suntconstanterealepositive,iarn numrnatural,cucondiiileiniiale, , , 00v v t = = respectiv. 0 = s Ssedeterminedupceintervaldetimp, viteza devine. 1 ,0> k kv Rezolvare:Din condiiile iniiale: ABv =0 Se difereniaz legea spaiului i se obine: dt v nA vdt dsn n 1 = =Prin integrare: dv v nA dtvvn nt =020 ( )1011 =n nnv vnnAtDup intervalul de timp de la nceputul micrii, viteza PM devine . 0kv( )101011 =n n nnv v knnA20( ) 111 10= n nnk vnnA( ) 1111=nnknnAB . 1.3. Micarea unui punct material este descris de ecuaiile parametrice , 1 4 + =te xrespectiv. 1 3 =te yDeterminai dependena de timp a vitezei i acceleraiei, precum i traiectoria punctului material. Rezolvare: Componentele vitezei sunt: tytxe y v e x v 3 , 4 = = = = & & ty xe v v v 52 2= + = . / s mComponentele acceleraiei sunt: tytxe y a e x a 3 , 4 = = = = & & & &. / 52 2 2s m e a a aty x= + =Pentru determinarea traiectoriei se elimin timpul ntre cele dou ecuaii parametrice de micare i se obine: ( ) 7 341 = x y , careesteecuaiauneisemidreptecepornetedinpunctul( ) 2 , 5i are panta.43 1.4.Ecuaiileparametricedemicarealeunuipunctmaterial sunt: ( )( ) ( ) kt B t ykt A t xsin 1sin == Descriei micarea punctului material. Rezolvare:Se elimin timpul ntre cele dou ecuaii parametrice de micare i se obine: ||

\| =AxB y 1 , care este ecuaia unui segment de dreapt cu. A x Punctulmaterialvaexecutaomicareoscilatoriede-alungulacestui segmentdedreapt.Sedifereniazecuaiileparametricedemicareise obine: dt kt kB dydt kt kA dx = =coscos ( ) ( ) dt kt B A k dy dx ds + = + = cos2 2 2 2 21C kt B A s + + = sin2 2 Pentrudeterminareaconstanteideintegraresefolosesccondiiile iniiale.Sepresupuneclamomentuliniial,0 00= = s t iseobine . 0 = Ckt B A s sin2 2+ = , ce descrie micarea oscilatorie a PM, ce pornete din origine. 1.5. Un punct material aruncat cu viteza 0vsub unghiulcu orizontala ntmpindin partea aerului o acceleraiek v k a ;r r =fiind o constant de proporionalitate. Ecuaiile parametrice de micare sunt: ( )( )kekvg kyeg kvxt g kt g k111sin11cos00 ||

\|+== S se determine: a) ecuaia traiectoriei; b) spaiul parcurs de punctual material pe orizontal; c) nlimea maxim la care s-a ridicat punctual material. Rezolvare:a) Se elimin timpul ntre cele dou ecuaii parametrice de micare i se obine ecuaia traiectoriei: ( )|||

\| ++= xvg kg kxkvkvx y cos1 ln1cossin 10200 b) Se impune( ) 0 = x yi se obine01 = x , |||

\| ++=202200cos1 ln1cossin 10 xvg kg kxkvkv , ecuaiealgebriccareprinrezolvarefurnizeazcoordonata 2x ce reprezint chiar valoarea spaiului parcurs de PM pe orizontal. c) Punctul material va urca pn cnd: 0 0 = =dtdyvy ( )( ) sin 1 ln1 sinsin 1 ln1020min0 minkvg k g kvykvg kt+ = +=

1.6.Oparticuldemasmsemicnplanulx0z,avndvectorulde poziiej t b i t a rr rr + = sin cos , unde a, b i sunt constante pozitive i a > b. a)S se arate c particula se mic pe o elips; 22b)S se arate c fora care acioneaz asupra particulei este orientat spre origine; c)Ssescrieexpresiaenergieicineticeaparticuleinpunctelede intersecie ale elipsei cu semidreptele 0x i 0y; d)S se arate c lucrul mecanic efectuatasupra particulei n timpul unei rotaii complete a acestuia pe elips este nul. Rezolvare: a)j t b i t a j y i x rr r r rr + = + = sin cos ; x = acos t;y = bsin t; 1 t tbyax2 22 2= + = ||

\|+ ||

\|sin cos ; b)[ ] r m j ) t b ( i ) t a (t ddmt dr dm F22222rr rrr = + = = sin cos ; c)) t b t a ( m21t dr dm21E2 2 2 2 2 22c + =|||

\|= cos sinr. n punctele de intersecie t = 0, respectiv 2t= . d)( ) 0 t sin b a m21r d F L/ 202 2 2 2/ 20= = = rr. 1.7. Calculai lucrul mecanic efectuat de fora variabil F(x) = 8N, unde x este exprimat n metri, iar F n newtoni, ntre punctele A(xA = 0,2 m) i B(xB = 0,5 m). Rezolvare: J 84 , 0 ) x x ( 4 dx x 8 dx ) x ( F L2A2BxxxxABBABA= = = = . 1.8. Corpul cu masa m = 0,16 kg se lanseaz cu viteza 0vntr-un fluid vscos la care rezistena mecanic este r = 0,32 Ns/m. Spaiul de oprire este de 3,2 m. Se cere s se calculeze viteza 0v . Rezolvare: Modulul forei de rezisten opuse de fluid la naintarea corpului este: rv Fr=Legea a doua a dinamicii este: vdxdvmdtdxdxdvmdtdvm rv = = =Deci: 23vdxdvrv =Dup separarea de variabile se obine: dvrmdx =Dup integrare: C vrmx + =unde:C-constant de integrare care se gsete cu condiiile iniiale: 0 0 00 , 0 vrmC v x = = =Dependena( ) v f x =este: ( ) v vrmx =0 Pentru0 , = = v x xoprire (corpul se oprete0, deci: ( ) m r x vop/0 = = s m/ 4 , 6 1.9.Vectoruldepoziiealuneiparticulecumasam=0,4kg,carese mic n planul orizontal xOy este: j t i t rr rr + = 3 sin 3 3 cos 5 ( ) mSe cere: a)s se deduc ecuaia traiectoriei; b)ssecalculezeforacareacioneazasupraparticuleinpunctele de intersecie ale traiectoriei cu axele Ox i Oy; c)ssecalculezeenergiacineticaparticuleinpunctelede intersecie ale traiectoriei cu axele Ox i Oy; d)ssecalculezelucrulmecanicefectuatdeforacareacioneaz asupra particulei n curs de o perioad. Rezolvare: a); j y i x rr rr + = ; 3 cos 5 t x = ; 3 sin 3 t y == t 3 cos2252x;;93 sin22yt =19 253 sin 3 cos2 22 2= + = +y xt t (elips) b)j t i t r vr r&r r + = = 3 cos 9 3 sin 15j t i t r ar r& &r r = = 3 sin 27 3 cos 45( ) r r j t i t ar rr rr29 3 sin 3 3 cos 5 9 = = + =r a m Fr rr6 , 3 = =(fora este centripet) n punctul de intersecie al traiectoriei cu axa Ox,0 = t iar n punctual deinterseciecuaxaOy,2 / = t .Acesteaimplic; 51i rrr = j rrr32 = , respectiv; 181i Fr r = j Fr r = 8 , 102. 24 c) ; 3 sin 15 t vx = t vy3 cos 9 =, / 9 , 0 , 0 s m v v ty x= = = J Ec2 , 161 =, 0 , / 15 , 2 / = = =y xv s m v t J Ec452 =d) = r d F Lrr ( ) dt j t i t r d + =r rr3 cos 9 3 sin 15Perioada micrii este: 3 / 2 / 2 = = T( ) s ( )( )dt j t i t j t i t L + + =3 / 203 cos 9 3 sin 15 3 sin 3 3 cos 5 6 , 3 r r r r = =3 / 200 3 cos 3 sin 8 , 172dt t t L 1.10.Pe o pist fa de care4 , 0 = , un atlet fuge pe duratas t 3 =i sare n lungime. nlimea maxim pe care o poate atinge fa de centrul su degreutateesteh=0,50m.Ssecalculezelungimeamaximposibila sriturii neglijnd frecarea cu aerul (g = 102/ s m ). Rezolvare: Pentruasrinlungime,vitezasportivuluitrebuiesaibdou componente: xv peorizontal,cares-lducnaintei yv peverticalcare s-iasiguretimpuldezborg v ty s/ 2 = iargh vy2 = .Pedurata 1t ncare fuge pe orizontal pentru a atinge viteza xv , asupra atletului acioneaz fora defrecare,mg .Pedurata 2t ,( )1 2t t t = ncareseopintetecasfac sritura, asupra sa acioneaz fora normalNr. Legea conservrii impulsului pe axele Ox i Oy conduce la relaiile: xmv Nt mgt = +2 1 ( )ymv t mg N = 2 Din aceste relaii i din expresiile: 2 1t t t + = , gh vy2 = , se obine viteza de avans: ( ) gt gh vx+ = 2 . Lungimea sriturii este: s xt v x = , undeg h ts/ 2 2 = . nlocuim expresiile pentru xvi sti obinem: ( ) gt gh g h x + = 2 / 2 2 , . 4 , 8 m x = 1.11.Osaniedemaskg M 240 = sepoatemicapeosuprafa orizontal, fr frecri,0 = . Pe mas se afl un sac cu nisip,kg m 4 = . La 25momentuliniial00 = t ,asuprasanieiincepeaciuneaofor, 12N F =iar nisipul ncepe s curg din sac cu debituls g q / 2500 = . S se afle viteza saniei cnd nisipul s-a scurs din sac. Rezolvare: ( ) ( ) t q M t q m M t Mi 0 0 0 = + =Durata curgerii nisipului este: s m m t 16 /0 = = t q MFdtdvai 0= =dtt q MFdvi=0 Prin integrare:( ) C t q MqFvi+ =00ln Introducnd condiiile iniiale n ecuaie: iMqFC ln0= Rezult: t q MMqFvii0 0ln= Pentru t = 16 s,v = 7,4 m/s. 1.12.Unvagonsepoatemicapeosuprafaorizontalcufrecare, . 3 , 0 = nvagonlacellalcaptsegseteuntuncarelamomentul iniial ( ) 0 ; 00 0= = v t setrageunproiectilcareselipetedepereteleopusal vagonului. Aflai distanele parcurse de vagon pn la oprirea sa considernd urmtoarele secvene ale micrii: a)delalansareaproiectiluluipnla ciocnireaplastic aacestuiacu peretele opus al vagonului; b)delaciocnireaplasticaproiectiluluicuperetelepnlaoprirea vagonului. Se cunosc: masa vagonului i a tunului, 3t M =masa proiectilului , 120kg m = duratatragerii, 1 , 0 s t = vitezaproiectiluluifadesol , / 1202s m v = lungimeavagonului, 120m l = durataciocniriipereteproiectil . 1 , 0's t t = = Rezolvare:Teorema de variaie a impulsului la lansarea proiectilului: t Mg mv Mv = 2 1 s m v / 5 , 41 =Timpul n care proiectilul ajunge la captul opus al vagonului: 26 2 11v vlt+= ; s t 96 , 01 =Teorema de variaie a impulsului la ciocnirea proiectil-perete: ( ) ( )3 1 1 2v m M t Mg gt v M mv + = s m v / 76 , 23 = Distanele parcurse de vagon pn la oprire sunt: 21 1 1 121gt t v s = ; m s 04 , 21 = gvs 2232 = ; m s 44 , 12 = 1.13.Delasuprafaapmntului,la, 00 = t selanseazpevertical corpul cu masa m=3kg i viteza. / 500s m v =Fora de rezisten cu care aerul se opune micrii este proporional cu viteza i opus acesteia. Coeficientul rezistenei mecanice a aerului este r = 0,03 . S se afle: a) ecuaia vitezei; b) timpul de urcare; c) ecuaia spaiului. Rezolvare:a) Ecuaia fundamental a dinamicii: ; a m v r g mr r r= + ; / dt v d ar=n proiecie pe axa Oy: dtdvm rv mg = Separ variabilele: rv mgdvm dt+ =Integrm: ( ) C rv mgrmt + + = lnConstantadeintegrareseaflnlocuindcondiiileiniialenrelaia precedent: ( )0ln rv mgrmC + =Introducnd constanta C n ecuaia timpului: ; ln0rv mgrv mgrmt++= tmrerv mgrv mg=++0 Deoarece1 01 , 0 /