fizica 41-42
3
A. DESCOMPUNEREA OSCILAŢIILOR PERIODICE S-au studiat până acum cazuri clasice de compunere de mişcări oscilatorii armonice şi s-a constatat că în cazul general mişcarea rezultantă nu este o mişcare oscilatorie armonică. Operaţia inversă compunerii constă în descompunerea unei mişcări oscilatorii complexe, în componente mai simple, cum sunt mişcările oscilatorii armonice. Soluţia matematică pentru asemenea descompunere ne-o indică teorema lui Fourier, numită după numele autorului ei, fizicianul şi matematicianul francez Jean Fourier (1768-1830). Conform acestei teoreme o funcţie y=f(t) continuă în intervalul de la t 1 la t 2 =t 1 +T poate fi reprezentat printr-o serie cu termeni trigonometrici de forma: y=f(t)=A 0 +{A 1 cos(t)+B 1 sin(t)}+............+{A n cos(nt) +B n sin(nt)} (SF) Această operaţie se mai numeşte analiză armonică, iar termenii A i , B i se pot determina. În cazul în care funcţia f(t) este periodică, având perioada T=t 2 -t 1 , atunci dezvoltarea acestei funcţii în serie Fourier este valabilă şi în afara intervalului t 2 -t 1 , chiar dacă la limitele intervalului funcţia prezintă discontinuităţi. Aşadar orice funcţie periodică nearmonică care reprezintă o mişcare oscilatorie periodică oarecare, poate fi descompusă într- o serie de funcţii în cosinus şi în sinus, reprezentând mişcări oscilatorii armonice componente, care formează termenii seriei Fourier. Această descompunere nu poate fi făcută decât în modul arătat mai sus. Constanta A 0 poate fi considerată ca fiind termen de ordinul zero, numărul n reprezentând ordinul mişcării oscilatorii armonice, pe scurt ordinul armonicei. Termenul de ordinul întâi A 1 cos(t)+B 1 sin(t), are frecvenţa f 1 cea mai mică, termenul de ordinul doi cu frecvenţa f 2 =2f 1 etc. Termenul de ordinul întâi reprezintă oscilaţia sau armonica fundamentală, iar termenul de 41 Curs de Fizică Conf. univ.dr. Vasile Mârza
-
Upload
neculae-liviu-cristian -
Category
Documents
-
view
216 -
download
1
description
DESCOMPUNEREA OSCILAŢIILOR PERIODICE
Transcript of fizica 41-42
A
1Curs de Fizic Conf. univ.dr. Vasile Mrza
A. DESCOMPUNEREA OSCILAIILOR PERIODICE
S-au studiat pn acum cazuri clasice de compunere de micri oscilatorii armonice i s-a constatat c n cazul general micarea rezultant nu este o micare oscilatorie armonic.
Operaia invers compunerii const n descompunerea unei micri oscilatorii complexe, n componente mai simple, cum sunt micrile oscilatorii armonice. Soluia matematic pentru asemenea descompunere ne-o indic teorema lui Fourier, numit dup numele autorului ei, fizicianul i matematicianul francez Jean Fourier (1768-1830).
Conform acestei teoreme o funcie y=f(t) continu n intervalul de la t1 la t2=t1+T poate fi reprezentat printr-o serie cu termeni trigonometrici de forma: y=f(t)=A0+{A1cos((t)+B1sin((t)}+............+{Ancos(n(t)+Bnsin(n(t)} (SF)
Aceast operaie se mai numete analiz armonic, iar termenii Ai, Bi se pot determina.
n cazul n care funcia f(t) este periodic, avnd perioada T=t2-t1, atunci dezvoltarea acestei funcii n serie Fourier este valabil i n afara intervalului t2-t1, chiar dac la limitele intervalului funcia prezint discontinuiti.
Aadar orice funcie periodic nearmonic care reprezint o micare oscilatorie periodic oarecare, poate fi descompus ntr-o serie de funcii n cosinus i n sinus, reprezentnd micri oscilatorii armonice componente, care formeaz termenii seriei Fourier. Aceast descompunere nu poate fi fcut dect n modul artat mai sus.
Constanta A0 poate fi considerat ca fiind termen de ordinul zero, numrul n reprezentnd ordinul micrii oscilatorii armonice, pe scurt ordinul armonicei. Termenul de ordinul nti A1cos((t)+B1sin((t), are frecvena f1 cea mai mic, termenul de ordinul doi cu frecvena f2=2f1 etc. Termenul de ordinul nti reprezint oscilaia sau armonica fundamental, iar termenul de ordinul doi, trei, patru, etc. reprezint armonice de ordin superior.
Determinarea coeficientului A0 Fcnd pe n = 0 [n expresia seriei Fourier (SF) se obine
A0=
Cunoscnd y(t) se poate determina A0 prin integrare.
Determinarea coeficienilor An n relaia :
y=f(t)=A0+(A1cos((t)+B1sin((t))+............+(Ancos(n(t)+Bnsin(n(t))
se nmulete i la stnga i la dreapta cu cos(n(t) i se integreaz pe o perioad.
y(t)cos(n(t)dt=Ancos2(n(t)=An
de unde
An=
EMBED Equation.2 ycos(n(t)dt=
EMBED Equation.2 f(t)cos(n(t)dt.
Determinarea coeficienilor BnSe procedeaz ca mai sus, multiplicand relaia de la dezvoltarea n serie Fourier, cu termenul sin(n(t) i integrm pe o perioad
Bn=
EMBED Equation.2 f(t)sin(n(t)dt.
n acest fel putem determina toi termenii seriei Fourier. Seria Fourier, este o serie convergent, iar coeficienii An i Bn devin din ce n ce mai mici n raport cu frecvena. Aceast scdere poate fi n unele cazuri mai rapid, n altele mai lent. De aceea se poate aproxima aceast dezvoltare n serie cu mai puini sau mai muli termini ai seriei. Operaia de descompunere a unei funcii periodice oarecare se numete analiz armonic.PAGE 42
_1047722264.unknown
_1047722265.unknown
_1035433117.unknown
_1035433135.unknown
_1035433232.unknown
_1035433069.unknown
_1035433025.unknown
_1035432987.unknown
