A

1Curs de Fizic Conf. univ.dr. Vasile Mrza

A. DESCOMPUNEREA OSCILAIILOR PERIODICE

S-au studiat pn acum cazuri clasice de compunere de micri oscilatorii armonice i s-a constatat c n cazul general micarea rezultant nu este o micare oscilatorie armonic.

Operaia invers compunerii const n descompunerea unei micri oscilatorii complexe, n componente mai simple, cum sunt micrile oscilatorii armonice. Soluia matematic pentru asemenea descompunere ne-o indic teorema lui Fourier, numit dup numele autorului ei, fizicianul i matematicianul francez Jean Fourier (1768-1830).

Conform acestei teoreme o funcie y=f(t) continu n intervalul de la t1 la t2=t1+T poate fi reprezentat printr-o serie cu termeni trigonometrici de forma: y=f(t)=A0+{A1cos((t)+B1sin((t)}+............+{Ancos(n(t)+Bnsin(n(t)} (SF)

Aceast operaie se mai numete analiz armonic, iar termenii Ai, Bi se pot determina.

n cazul n care funcia f(t) este periodic, avnd perioada T=t2-t1, atunci dezvoltarea acestei funcii n serie Fourier este valabil i n afara intervalului t2-t1, chiar dac la limitele intervalului funcia prezint discontinuiti.

Aadar orice funcie periodic nearmonic care reprezint o micare oscilatorie periodic oarecare, poate fi descompus ntr-o serie de funcii n cosinus i n sinus, reprezentnd micri oscilatorii armonice componente, care formeaz termenii seriei Fourier. Aceast descompunere nu poate fi fcut dect n modul artat mai sus.

Constanta A0 poate fi considerat ca fiind termen de ordinul zero, numrul n reprezentnd ordinul micrii oscilatorii armonice, pe scurt ordinul armonicei. Termenul de ordinul nti A1cos((t)+B1sin((t), are frecvena f1 cea mai mic, termenul de ordinul doi cu frecvena f2=2f1 etc. Termenul de ordinul nti reprezint oscilaia sau armonica fundamental, iar termenul de ordinul doi, trei, patru, etc. reprezint armonice de ordin superior.

Determinarea coeficientului A0 Fcnd pe n = 0 [n expresia seriei Fourier (SF) se obine

A0=

Cunoscnd y(t) se poate determina A0 prin integrare.

Determinarea coeficienilor An n relaia :

y=f(t)=A0+(A1cos((t)+B1sin((t))+............+(Ancos(n(t)+Bnsin(n(t))

se nmulete i la stnga i la dreapta cu cos(n(t) i se integreaz pe o perioad.

y(t)cos(n(t)dt=Ancos2(n(t)=An

de unde

An=

EMBED Equation.2 ycos(n(t)dt=

EMBED Equation.2 f(t)cos(n(t)dt.

Determinarea coeficienilor BnSe procedeaz ca mai sus, multiplicand relaia de la dezvoltarea n serie Fourier, cu termenul sin(n(t) i integrm pe o perioad

Bn=

EMBED Equation.2 f(t)sin(n(t)dt.

n acest fel putem determina toi termenii seriei Fourier. Seria Fourier, este o serie convergent, iar coeficienii An i Bn devin din ce n ce mai mici n raport cu frecvena. Aceast scdere poate fi n unele cazuri mai rapid, n altele mai lent. De aceea se poate aproxima aceast dezvoltare n serie cu mai puini sau mai muli termini ai seriei. Operaia de descompunere a unei funcii periodice oarecare se numete analiz armonic.PAGE 42

_1047722264.unknown

_1047722265.unknown

_1035433117.unknown

_1035433135.unknown

_1035433232.unknown

_1035433069.unknown

_1035433025.unknown

_1035432987.unknown