Flonlru AruTOHE MnnIus ATTONEScU

GHTonGHE lncovrA

FISE DE LUCRU DIFERENTIATE

ALGEBRA, GEOMETRIEGlasa a Ul-a

Partea a ll-a

ffiC""t""R@6.ooscdEDUCATTONAT

r:&

l:qIt; to

r3(r.'BPrtD+D cnq

f,r

, lf,h

fh!

itd#8,Icnicqictlarft

Gupnrrus

Planif icare calendaristici

Fige de luou diferenfiate, pe leolii

Teste finale

Pregitire pentru olimpiade 9i concurcuri gcolare

5

I7l

77

83

8t

FISA DE TUCRU NR. 1

MurlrMEA NUMERELoR imrnre t; 0pusuL uNUr wunltAn irurnre ;

REPREZENTAREA PE AXA NUMERELOR; MODULUL UNUI NUMAR INTREG;

c0MpARAREA sr oRDoNAREA NUMEREIon irurREGt

#*'.F

ffi, lngelegl

Mallimea numerelor tntregi se noteazd cuZ: Z: {..., - 3; -2; - 1; 0; l;2;3; ...}.Dacd numlru] este precedat de simbolul ,,+", spunem cE" numdrul tntreg este pozitiv, iar daci este

precedat de simbolul,;", spunem cdnumdrulintreg este negativ.Axa numerelor este o dreapti pe care fixlm un punct O, numit origine, un sens indicat de slgeati, numit

sens pozitiv, Si o unitate de mdsurd.

-2 -l 01_ -]

sensul negativ sensul pozitivValoarea absolutd sa'u modulul unui numdr intreg reprezinti distan{a de la origine pdn6 la pozilra

acestuia pe axa numerelor.Exemple: Valoarea absoluti sau modulul numirului -2 este 2 gi vom scrie:

l1l:2;valoareaabsolut5alui+3este3gisescriel+31:3;valoareaabsohslalui0este0qiscrie,ml0l:0.Valoarea absolutb fiind o distanfi, este totdeauna nenegativl, adic5: lal >- 0, oricare ar fi a e Z.

I a,dacda>0I

Definilia anterioar[ se poate transpune sub forma: t"l : I O,dacd a =0

l-a,dacd a <0

Opusul unai numdr intreg se obline schirnbdnd semnul din fafa num[rului.Exemplu: Opusul lui (-3) este *3 : 3; opusul lui 4 este -4.Ordonarea numerelor intregi. Num[ru] intreg 0 este mai mic decdt orice numdr intreg pozitiv.. Dintre dou[ numere intregi pozitive este mai mare acela care are valoarea absolut[ mai mare.. Numdrul intreg 0 este mai mare decdt orice num6r intreg negativ.. Dintre dou[ numere intregi negative este mai mare acela care are valoarea absoluti mai mici.. Orice numir intreg pozitiv este mai mare decdt orice numir intreg negativ.intre doua numere intregi oarecaf,e a qi b existl numai una dintre rela{iile:a<b,a:b,a>b.Spunem c[ mul{imea numerelor tntregi Z este ordonatd.Orice numir intreg are tn predecesor Siun saccesor.Nu existd un num[r intreg care si fie cel mai mic Ai nici un numdr intreg care s[ fie cel mai mare. Spunem

cdmalfimea nurnerelor tntregi este inftnitd.Exemple: -3 < -1; 0 > -2; I > 4; 3 > l.

-3

D'C'B'A'OABCD

Fige de lucru diferenfiate - clasa a Vl-a * 1 1

# €rers6mt

1. Reprezintii pe ax[ numerele: -2; +3; 0;4; 4; 5.

2. Scrie opusul numerelor: +3; -5; 0; +108; -l12.3. Scrie valorile absolute (modulele) numerelor de la exerciliul2.

{. Determintr elementele mullimilor:a)A: {x eZl-2 < x<2); b)B: {x eZ' /hl < 1}.

5. Compar5numerele:a) +3 gi +2;d)1t ei-19;s) l-31 qi l+31;

Gilr:ry""T r. .

{l , Ftxornr.#*

l. pie mulfimea M= {4; + 2; -3; *}; :;0}. Determin[ mugimile:

b) +1 9i -1;e) 0 9i -8;h) -7 ei -l-7lr;

b) |4 l: 2 + l-51-1;e) (-4l+ l-sl): l-31;

c) -3 9i -5;D l-elsi 10;i) l+slei l-sl.

a) Mn N; b) M aZ; c) M- N; d) M-v".

2. Ordoneaze cresc[tor numerele: +6; -5; -8; +4; 0;1; +2.

3. Ordoneaze descrescdtor numerele: -9; +7; +5; -7; -21; +14.

4. Determinn elementele mullimilor: A -- {x e.Z I 1<r ( 1}; B : {x e V"' / | x + I I < 4}.

5. Activitate in echiptr. Scriefi:a) cel mai mic numdr intreg cle 2 cifre diferite; b) cel mai mare numdr inheg negativ de 3 cifre;c) cel.mai mic numdr intreg de 3 cifre diferite; d) cel mai mic numfu intreg negativ de 2 cifre identice;

o e) cel mai mic numlr intreg negativ de 3 cifre; f) cel mai'mare numlr intreg de 2 cifre.

Wu-iric6mt1. Determine elementele mullimilor:

a)A:{xeZ/l2l-ll<3};2,. Ordoneaz[ crescltor numerele:

a)-5;+2;0; -3; 1; 1;+4;3. Ordoneazl descresc[tor numerele:

a) 4; +4;3; -2;0;4; l;4. Efectueazl:

a) l-31 +laEd) (8 - 6l+ 17 - aD : Fsl;

c) l-81 :l-21- l-31 . l-tl;D 124: l-31- l-51 . l-81.

c)x:13a2 -2utl;f) x: l6s - 8'ul.

IilATA PROFES0flULUI : -. -*. -- --.-.1

5. Determinb numlrul intregx, gtiind c5:a)x:133-521; b)x:1222 -(2g.s)ttl;d) x : l8t' - 4tol; e) x:1gn - 8o'h

,,t/,

wi Arrf 0 Ap BEC| E:,1.........i.........1

1 2 * fi9. de lucru diferenliate - clasa aVl-a

b)B: {xeZll3x+ ll<2}.

b) -12; l-81; +5; 1;6;-l-L0l;2.

b) +l-171; la3l; 19; -2e; 24.

FI$A DE LUCRU NR.2A0urunREA NUMEREIon irurREGt. pRopRrerAl

@ hlebsr

. Regyh: L Pents a aduna douE numere intregi care au acelagi semn, se adunl modulele celor dou6 numere,I iar rezultatul are semnul comun.Exemple: 1) (+2) + (+3) :+ (2 + 3): +5:5;

2) (4)+ (-5) : - (4 + 5) : _9.

II. Pentru a aduna douE numere intregi de semne diferite, se scad modulele lor gi se d6 semnulnumdnrlui al cdrui modul este mai mare.

Exemple: 1) (-8) + (+5) : - (8 - 5) : -3;2) (+6) + (-5): + (6 _ 5) : +1.

Obsewalie: Suma a doub numere intregi este tot un numir intreg.Proprietllfile adunlriil. Comutafivitatea

Adunarea numerelor intregi este comutativ[:

a * b =6 * c, oricare ar ft a, b e Z.Exemplu: (-4) + (+7) : (+7) + (-4) : +3.2. Element neufiuNumirul intreg 0 este element neutru la adunarea numer€lor intregi.

c * 0 = 0 * 4=q, oricare ar ft a e Z.Exemplu: (-5) + 0 : 0 * (-5) : -5.3. AsociativinteaAdunarea numerelor intregi este asociativ[:

. a + (, + c)=(a+ b)+ c, oricare arfra,b, c eZ.Exemplu: t(-8) + (+s)l + (-3): (-8) + [(+s) + (-3)];

(-3) + (-3) : (-8) + (+2) <+ 4:4.4, Suma a doud namete opuse esteD.. a + (fl)= 0, oricare ar fr a e Z,Exemplu: (+7) + (1): (i7) + (+7;:9.

4@ €rers6ml

1. Calculeazil:

^) (-z) + (-s); b) (+s) - (-3); c) (+7) + (-e);

d)(-8)+(-4)+(+7); e)L-2+3-4+5-6:2.2. Complete az6, spaliilepunctate:

a) (+6) +.....: -2; b) (-5) + (+l l) :...... c) -8 +..... : 1.

3. Completeazl spafiile punctate cu termenii care lipsesc:a) -9; -6; ...; 0. b) t5; 8; l; -6; -13; ...; -27. c) 1;3;-4;5; -6;7; ...;9.

4. fie x: -6 + 15 9i y : 12 + (-15). Atpnci: ,,a)x+y: .....' t 8)y +(-x):...,.i c)-x+(-y):...... .

Fige de lucru diferenliare -clasa a Vl-a s 1 3

5. Propoziliile de mai jos sunt adevdrate sau false? incercuiegte!a) 13 + (+8) + (-11) : 10;b)-2s +(+12) +(-7):20;c) 18 + (+6) + (+6;:39.

Fir6ml

1. Calguleazda) +11 + 3;

+ 6 + (+6);(+3) + (_8);(+10) + (-7);(-13) + (-2);

2. Calculeazi, folosind proprietl{ile adun[rii:a)23+(-16)+27+(2$;c) 15 + (-9) + 2s + (-11) + 10;

b) 10 + (+3) + (+2);(-1s)+(+s)+(+8);4+(-7)+(-3);(-s)+(-3)+(-1);(+4)+(-8)+(+2).

b) (-18) + (+31) + (-r2) + 49;d) -33 + (+22) + (-17) + 38.

b) -5 + (-8) + (-11);d) +6 + (-8) + (-15) + (+12);f) +r4 + (-le) + (-17);h) (+102) + (-8e) + (-14) + (+1).

FFF

AAA

@.iK'

3. em suma dinfie cel mai mic numir intreg format din 3 cifre gi cel mai mare numdr intreg format din 3 cifredistincte.

4. Calculeazd:a) 3l-101 -L+24 +(-l-1sl+ l+41)+(+18)l; b)32: l-81+ l-341 : (+17) -6e:23.

5.: Activitate in echiptr. Efectua(i:a) +4 + (-6) + (+3);c)9+(-7)+(+3)+(-13);e) 4 + (-8) + (-r7)*(-2);s) -17 + (-11) + (+23) + (+7);

Wu.rific6mlJL1. Calculeaz[, folosind proprietS]ile adunlrii:

a) ll +(-18)+ (-Il+3a; b)-2+ (-7)+(-8)+(-13) +45 +(-15).

2. Calct;/reaz6a) -1 009 + (2 - 4 + 6 - 8 *... + 2014 - 2016 + 201 8 - 2020);b) 1 * 3 + 5 - 7 + 9 -... - 20II + 2013 - 2015 + 2017 - 20t9;c) 1 + 3 + 5 +... + 2015 + 2017 -2 - 4- 6 -... -2016- 2018.

3. Suma a 8 numere intregi consecutive este egall cu -16. Care sunt numerele?

4. Efectteazd sumele algebrice:

^) s2 - {[14 + (25 - 33) -72]+ r29] + (6 - 13);

b) -1 0 - {(4 - 3 1 + 13) - 12 - (8 1 - 1 17) - 6el\ - [(1 8 - 5e + 23) - (63 - 47)].

5. Calculeaz6:

a) 12" - 3l - 11 - 2'1, unde n e N; b) 1'- 2n + 3" - 4" + ... + 99'- 100', n e N, r ( 1.

IMA AUTnA4BEC| E2 ....................1

14 * Fige de lucru diferentiate - clasa a Vt-a

WATA PBOFES 0 BU LU I : ................... )1

FI$A DE TUGRU NR.3ScAornEA NUMERELoR irurnee r

G!* A

ffi ln[eleg!

Diferenla numerelor tntregi a gi D se noteazl a - b gi se obfine adundnd num6rul a cu opusul numdrului 6.a - b = a + (-b)ounde a, b e Z.

Exemple: 1) (-9) - (+6) : (-9) + (-6) : -15;2) (+n ) - (-4): (+11) + (+4): *15.

obsemalii: 1) Diferenta a doud numere intregi este tot un num[r intreg.2) in mulgimea numerelor intregi, orice diferenfl este posibil[.

Pentru a efectua un calcul in care avem o succesiune de aduniri gi scdderi de numere ?ntregi, transformlmfiecare scidere in adunare cu opusul scdzltorului gi efectuim calculele de la st6nga la dreapta, grupdndtermenii cu acelagi semn.

Exemplu: (-3) - (+8) + (-7) - (-10) :: (-3) + (_8) + (_7) + (+10):: (_18) + (+10):

o- -6.

Pentru a efectua un calcul in care avem o succesiune de adunlri gi sclderi de numere infregi gi aparparanteze, se elimin[ patantezele precedate de semnul ,,+", scriind termenii din paranteze co semo"le lor,larpararfiezele precedate de semnul ,j' se elimin[ scriind termenii din paranteze cu semne contrare. Apoi, secalculeazA suma algebricl dupi regula semnelor de la adunarea numerelor intregi.

Exemplu: (+11) + (13) - (+9) - (1)::ll-23-9+7:=-I2-9+7:=1I+7:: -14.

t.

2.

b) 16 + (-11) - (+r2\;

- (+13) - (-10) - (+3);2t-(+t6)+(-s);- (-40) + (-17) + (-18);2s+(+r1)+(-31)-(+s).

b)(7-11)-(-6);e) 13 - (10 - 18) + (-t2);

c) -e - 0a - I7);f)-(-3 +17)- (-e+ 13).

3.

4.

kffi €rers6m!W,

Efectueaz[:a) 11 - (+3);

4-(+4);8 - (-a);

- (-6) - (+4);t2 - (+t3);

Efectteaz5;a) 13 - G-e);d) (11 - 24) + (-12 + 35);

Scrie sub form[ de suml algebricd, apoi efectueaz[:a)(-6)-(+e)-(-13)+(-6)+(+3); b) 17+(3-6-8)-(-s +7 +2- t8).

Afll diferen{a dintre cel mai mic numdr ?ntreg de doui cifre gi cel mai mare numdr infeg de doui cifre diferite.

Fige de lucru diferenfiate - clasa a Vl-a * 1 5

5. ln Ooue nopfi din luna decembrie s-au inregistrat temperaturi de -16oC gi, respectiv, -19"C.a) Afl6 diferenla dintre cele doui temperaturi.b) Daci ln zilele respective temperaturile au fost de -7"C, respectiv -9oC, afl[ diferenfa dintre cea mai

mare gi cea mai mic[ temperaturi inregistrati in cele patnr momente.

l. ane cifra x din scdderea; 45a- - v33 = -182 (numerele sunt scrise in baza l0).

2. Efectueazd:

gt Fh6mr

3. Calculeaz5:a) I - {-7 + K3 - 1l)-(la -31)l};b) 3 - {K2 - t5) - (3 - 28)l + (23 - st + 17)};c){6- 16)- {<2'.3- 14) +2-lr1 +(31 -7s)-231\ -(t4-67).

4. Scrie num[ru] intreg 9 ca diferenJi a doui numere intregi. Cate cazuri pot fi? Exemplifici!

5. lctivitate ln echiptr. Efectuati:a) (4 - 8) - [3 - (12 - l6)];

a)(4-8)+(1-ll);c)27 + (18 -22) - (13 - l8);

Wi AwoAPnEcEz ....................1

1 6 * Fige de lucru diferenliate - clasa a Vl-a

b)(6-15)-(3-8);d)16-(21-18+11)-4.

b) r - ltz+[4-(6-8)]hc) 16-(-3+ 14)-(16- 18+3)+(10- ls)l; d) {-10-[-9-(-8+7)+6]+5] +4;e) 2 - [-10 - (1 - 7)1- {12- [3 + (ls - 21)] - 7].

ffu.rtftc6mlrt\1. Calculeazil:l -4 + 7- 10 + 13 - 16 +... +2017 -2020.2. Detennine a - b, dacdlal:3 9i lbl : 9.

3. Calculeaz* {[(63 :18-272: 8t).23 -4']'-3' .(2t - l)]tott -2olg.f. Efectueaza:

a) - {(ll - 14) - U3 - (r2- le) - 16l} - 1?;b) I - (4 - t4) - 12 + (1 I - 3l)l - {3 - [1 I - (4 - e)]\ - aa;c) 16 - {[31 - (- 16 + 42)]-3s\ + 124 - (13 - l8)l;d)[15 + (4 - 23)]- {1 - [3 + (6 - e) - (ll - 6)] - 27);e)-25 + {-11-[- 14+(-3 + 10)]- t2] - {31-[6+(3- 14)- 18]+4] - 11.

5. Calculeazi:a) llal - (31 - l-541) - 16 - l47ll;b) t4q : [4[ + l-181 : (3 + l-3D] : (6- l-l1l + 10);c) 202 + l(52 : l-l3l - l-19D - Ol : l-zl - 403.

W$A ffiOFESO nU LU t: .............,.. *..y

nal FISA DE LUCRU NR.4?'nI ITI IvI u IrI R EA N U M E R E LO R 1NTR EG I . P n o P R I ETATI

@ffi lngelegl

Reguli: 1) Pentru a inmulli dou[ numere intregi care au acelaqi seflln, punem semnul ,,*" $i inmulfimi modulele 1or.

Exemple: a) (+3) ' (+5;: -'1t'b) (-9) - (-3): +2t.

2) Pentru a inmulti doul numere intregi care au semne diferite, punem semnul ,, - " $i inmullimmodulele lor.

Exemple: a) (+8) .(-\: aa;b) (-2) . (+6): -12.

Proprietifile inmu[irii numerelor intregil" Comutativitatea

Oricare ar fr a, b e Z: a' b : b' u.

Exemplu: (-7) ' (+5) : 1+5) . (-7) e -35 : -35.

2. Asociativitateu

Oricare ar fr a, b, c e Z: (a. b\ . c = a. (b . c).

Exernplu:K-3)'(+7)l'(-4):(-3).K+7).(-4)le(-21)'(-4):(-3).(-28)€84:84.3. Element neutruNumdrulintreg 1 este elementneutrupentruArmul{ireanumerelorintregi: a.l=1. a:a"oicarearfi.a eZ.Exemplu: (-6)' 1:1 '(-6):-6.4. Distributivitatea tnmullirii fald de adunare Si scddereinmullirea este distributivdfa\h de adunare gi scddere.

Oricare arfra,b, c e Z; a " (b + c): a'b + a'c qia'(b - c\: s'b -a'c.i nxemplu:) (1) . K+7) + (-4)l : (-2) . (+7) + (1) . (4) <+ (-2) . (+3) : (-14) + (+8) <> -6 : *6.

0hsewatrii:1. Produsul unui numir par de factori negativi este un numdr intreg pozitiv.2. Produsul unui numdr impar de factori negativi este un num6r intreg negativ.3. Produsul unui numdr intreg qi -1 este opusul acelui numdr: a ' (-D: (-1) ' a: -ot oricare ar fr a e Z .

4. Mul{imea multiplilor unui numir intreg a este Mo: {ko I k e Z).

ffitBffi*€xers6m!

l. Calculeazl:t) (+2). (+5); b) (-6) . (+3); c) (+4) . (-3); d) (-7) . (-8).

2. Calculeazd:a) (+2) . (-7) . (+3); b) (-4) . (-2) . (+1);c) (+s) . (a). @2); d) (-8) . (-7) . (-s);e) (+17) '(aT.o; 0 (-7) .(-8) .(-1).

Fige de lucru diferenliate - clasa aUl-a w 17

Folosind proprietifile inmulfirii numerelor intregi, calculeazd:a) (+6) . (-7) . (+s); b) (-2) . (+8) . (_s);c) (-6) . (+2) .(-s) . (_10); d) r+) esj (4t (_10).Folosind distributivitatea inmulfirii fa{[ de adunare gi sc6dere, calculeazd:a) a'(b +c), $tiind cda:-5 9i D + c:-9; b)2a.(b-c),qtiindcd a:*7 9i b-c:-g;c) -a ' (c - b),gtiind c[ ab: -I2 9i ac: -18.

5. Scoate factor comun gi calculeaz[:a)(-3)-4+(1)-(a); b) 12.(-6) + (-6) . (-8);

Fir6ml

1. Calculeazd:a) (+3) . (-s); b) (-4) .(a\; c) (+2) .(+8) . (-6); d) (-3) . (+1) . (-7).Folosind proprietifile ?nmulfirii numerelor intregi, calculeaz[:

1) (*ql (-3) '(+s); b) (+6) . (-4) . (ail; c) (-e) .(+2) . (_10) . (+s);

d) (+25) . (-3) . (a). g7); e) (+15) . 1_ty:gzj. (_s); D (_8i (_6i iro) .(_r).3. Scoate factor comun gi calculeaz[:

a)s'(-3)-5.(-4) +5.7; b) 11 .(-4)-(-4).8+3.(_6); c)12. (_s)_5.8+ s.20.4. Calculeazl:

t) ab + ac, dacd a . (b + c): -!4;c) 2ab - 2bc, daed b: - 7 Si a - c : *6;

5. lctivitate in echipi. Scriefi num[rul:a) 15 ca produs de douE numere intregi diferite; b) 18 ca produs de trei numere intregi diferite;c) -24 ca produs de trei numere intregi diferite.Cdte solufii existi in fiecare caz?

ffiu.rtfic6mtl. Dac[:

a) x + y : 7 gi z : -3, calculeazl xz * yz;c) xy - yz : - 7 gi x - z : -1, determin[y.

2. Calculeazd:a) ab + ac, dacd a - (b + c) : -15;c) 3ab - 3be, dacd b : -4 $i a - c : -1.

3. Scoate factor comun gi calculeazd:a) 12 . (1) -(+13) . (J) - (a) . 2 -7;c) 6 . (-12) + 12. (-8)- 12. (-s) + 12.

4. Efectueazl:a) i6 - 2tl . 1-s'l : 25 + 49 : 721 - 22;

5. anA numerele intregi a gib,gtiind cI:a) (a + L)'(b - 2): 6;c) (a - 2).(2b + I) : 1;

IMA AWnApBECIE: ....................1

18 t* Fige de lucru diferentiate - clasa a Vl-a

b) ac - bc, dacd a - b :+ 8 gi c : -7;d) - ab - ac, dacd a : - 9 gi b * c : -8.

b) xy : -14 gi xz - -21, calculeazd x . (y + z);

b) ac - bc, dacd, a - b:4 gi c: -9;

b) 4' (-e) -e . (-7)+ e . (+11)_e;

b) -7 + (1) . 11- (_s + 7)1. (_7).

b) (2a - 1).(b + 3) : -15;d) (3a - 4).(2b + 3) : 9.

I N 0TA PEO FESO B U Lll t: ....................1