8/16/2019 Fisa de Lucru -Teorie Si Probleme

1/2

 Probleme de numărare: Permutări, aranjamente, combinări 

   Aspecte teoretice:

Se consideră o mulţime A cu n elemente, n ∈N: card(A)=   A A n= = .

1) Numărul total al mulţimilor ordonate  formate cu cele n elemente alemulţimii A se notează cu Pn  , se citeşte „permutări de n”  şi avem formula

! 1 ...n

 P n n= = × × ×  (citim n factorial  iar "rin convenţie #! 1= ).

) Numărul total al submulţimilor ordonate  formate cu $ elemente ( k ∈N

#   k n≤ ≤ ) din cele n ale mulţimii A se notează cuk 

n A   , se citeşte

„aranjamente de n luate câte k” şi avem formula( )

!

!

k 

n

n

 An k 

=−

.!) Numărul total al submulţimilor formate cu $ elemente ( k ∈N , #   k n≤ ≤ )

din cele n ale mulţimii A se notează cuk 

nC   , se citeşte „combinări de n luate

câte k” şi avem formula( )

!

! !

k 

n

nC 

n k k =

− ×.

 Proprietăţi ale numerelork 

nC  :

i)k n k 

n nC C 

  −

= ( formula combinărilor complementare)%

ii)1

1 1

k k k 

n n nC C C 

  −

− −= +

 ( formula de descompunere a combinărilor )%

iii)# 1

... n n

n n n nC C C C  + + + + =

  ( formula lui Pascal : Numărul total

al submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este egal cu 2n

).iv)

#1

n

n nC C = = %1 1n

n nC C n

−

= = %

 Regula produsului din combinatorică:&acă un anumit obiect A poate fi ales în m moduri  şi dacă du"ă fiecare

astfel de ale'ere, un obiect B se poate alege în n moduri , atunci alegerea perecii !A, B" în această ordine poate fi reali#ată în  m n×   moduri$

8/16/2019 Fisa de Lucru -Teorie Si Probleme

2/2

 

FISA DE LUCRU:1. te numere de ! cifre distincte "utem forma cu cifrele 1, şi *+2. te numere de ! cifre (nu nea"arat distincte) "utem forma cu cifrele 1, şi *+3. te numere de cifre distincte "utem forma cu cifrele #, 1, , - şi *+

4. te numere de ! cifre distincte "utem forma cu cifrele 1, , !, - şi +5. te numere de ! cifre distincte "utem forma cu cifrele #, , !, - şi +6. /n student are de dat ! e0amene n * zile. 2n cte moduri "ot fi "ro'ramate

aceste e0amene+ &ar dacă "rimul e0amen se dă n "rima zi+7. 3a o ntrunire, 1 "ersoane au sc4im5at foto'rafii ntre ele. te foto'rafii au

fost necesare+8. 3a o "etrecere 1 "ersoane şi6au dat mna. te strn'eri de mnă au avut loc

n total+9. 2n cte moduri "oate fi aleasă o ec4i"ă formată din elevi din totalul de "e

care i are la dis"oziţie un antrenor+10.  7umărul su5mulţimilor cu elemente ale unei mulţimi este e'al cu 1#.

&eterminaţi numărul elementelor mulţimii.11. 2ntr6o clasă sunt 1 fete şi 8 5ăieţi. 2n cte moduri "oate fi ales un comitet

format din - fete şi ! 5ăieţi+

12.te su5mulţimi are o mulţime cu 1# elemente+

13. te su5mulţimi cu cel mult elemente are o mulţime formată din elemente+

14. alculaţi:

a) 1#

1# 1# 1#...C C C + + + %

 5)1

1# 1# 1#C C C + × + %

c)

1 #1,

#19 #19C C −

.15. ezolvaţi ecuaţiile:

a)

( )

,

- % 

 % % C 

−

=

 %

 5)

1#

 %  A

+  = %

16. ;iind date n "uncte, oricare trei necoliniare, să se determine numărul dre"teloro5ţinute unind "unctele date. te triun'4iuri determină cele n "uncte+