FIŞĂ DE LUCRU PROGRESII

1. Într-o progresie aritmetică (an )n≥1 primul termen este a1=5 , iar raţia este 4 . Arătaţi că a1 ∙ a2 ∙⋯ a20 se divide cu 3125 .

2. Într-o progresie aritmetică (an )n≥1 se ştie că 3a12+a4

2+6a1−10a4+28=0 . să se determine a10 .

3. Într-o progresie geometrică (an )n≥1 se ştie că raţia este q=2 , iar suma primilor n termeni

este egală cu 3069 , n∈N ,n≥3. Să se determine a8 .4. Determinaţi trei numere întregi , în progresie aritmetică cu raţia 4 , ştiind că produsul lor este

egal cu 1989 .5. Se consideră şirul (xn )n∈N , unde x0=a , x1=b , cu a<b , iar xn+1=3xn−2xn−1 , ∀ n∈N⋇

. Să se arate că şirul ( yn )n≥ 1 este o progresie geometrică , unde

yn=xn−xn−1.

SOLUŢII :1. Se observă că ultima cifră se repetă din 5 în 5 , iar a1 , a6 , a11 , a16 sunt singurii termeni

divizibili cu 5 .Dintre aceştia , a6=25 . Deci produsul se divide cu 55 .2. Egalitatea se scrie 3 (a1+1 )2+(a4−5 )5=0 . Rezultă că a1=−1 , a4=5 . Deci raţia este r ¿2 .

Atunci a10=17 .

3. a1 (2n−1 )=3069 .Rezultă că a1 , adică a1∈ {1,3,9,341 } . Se verifică aceste cazuri şi se

obţine că a1=3 şi n=10 .Atunci a8=384 . 4. Dacă se notează cu x numărul cel mai mic se obţine ecuaţia x (x+4 ) ( x+8 )=1989 . Se

descompune în factori ( x−9 ) (x2+21x+221 )=0 . Rezultă x=9 . Deci numerele sunt 9 ,13 ,17 .

5. Prin inducţie matematică se obţine xn=(2n−1 ) (b−a )+a , ∀n∈N . Atunci

yn=2n (b−a ) , ∀n∈N ¿ .