final

MERIDIANREVISTA DE MATEMATICĂ A ELEVILOR DIN ROVINARI

FONDATORI REDACTORI COORDONATORI

INST. RADU DORINA PROF. PRUNESCU ROMEO PROF. POMANĂ LIVIU

COLECTIV DE REDACŢIE

REDACTOR ŞEF: Elev. TUDOSIE ROBERT REDACTOR ŞEF ADJ: Elev. CURICI CRISTIAN

SECRETAR: Elev. MARIN ANDRA REDACTORI: Elev. MORENCIU IONUŢ

Elev. TATARCIUC ELENA Elev. LUCULESCU DAMIAN Elev. COMAN ANA MARIA Elev. AILINCĂI ALINA Elev. ANTON FLAVIUS Elev. MUNTEANU ALEXANDRU

DIRECTOR REVISTĂ: INST. RADU DORINA TEHNOREDACTARE: INST. LUCA SIMONA

ŞCOALA GENERALĂ NR. 1LOC. ROVINARI, JUD. GORJ

TEL: 0253/371255 http://www.didactic.ro/index.php?cid=reviste&page=4

PUBLICAŢIE PERIODICĂANUL II / NR. 2

MAI 2006

Articole şi note matematice ………………………………… 3Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă …… 3 Jocul didactic şi lecţia de matematică ……………… 6

Principiul lui Dirichlet ………………………………… 7 Medalion: Blaise Pascal …………………………………………. 12 Probleme rezolvate ………………………………………….. 16 Probleme propuse ………………………………………….. 26

Ciclul primar …………………………………………… 26 Ciclul gimnazial ………………………………………….. 36

Probleme de concurs …………………………………………… 46 Ciclul primar ……………………………………………. 46 Ciclul gimnazial …………………………………………… 47

Testarea Naţională ……………………………………………. 51 Teste recapitulative …………………………………………… 56

Ciclul primar ……………………………………………. 56 Ciclul gimnazial …………………………………………… 61

Matematica distractivă …………………………………………… 68 Probleme distractive …………………………………. 68 Curiozităţi …………………………………………… 71 Pentru cei isteţi …………………………………………… 72 Ştiaţi că … …………………………………………… 74

DIN SUMAR

EDITURA AXIOMA TEOMSNIC ISSN 1584 - 8434

REVISTA DE MATEMATICĂ „MERIDIAN”

3

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

Metoda figurativă constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute şi fixarea în acest desen a relaţiilor dintre ele sau dintre ele şi mărimile date în problemă.

Rolul acestei metode este asemănător cu cel al simbolurilor algebrice în rezolvarea algebrică: ne ajută să formăm schema problemei, să ţinem în atenţie toate condiţiile problemei, să ne concentrăm asupra lor.

În rezolvarea mai departe a problemei se introduce o deosebire categorică faţă de algebră: nu aplicăm în mod mecanic un procedeu de rezolvare, ci ne sprijinim tot pe raţionament, folosind înţelesul concret al operaţiilor.

Modul în care se realizează figura depinde şi de nivelul celui care rezolvă. Figura trebuie să însemne o schematizare a enunţului, pentru a se păstra în atenţie relaţiile matematice şi nu toate aspectele concrete ca într-o ,,fotografie“.

Dacă la începători, schematizarea păstrează o legătură cu partea concretă a enunţului, desenul fiind cât mai detaliat, la cei avansaţi, schematizarea este mai depărtată de concret, mai unitară, reprezentarea mărimilor făcându-se prin segmente de dreaptă.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi împărţite în două mari categorii şi anume:

1. Cu date sau mărimi ,,discrete“, unde mărimile pot fi numărate câte una şi se pot pune în corespondenţă după anumite categorii.

În acest caz, mărimile sunt ,,figurate“ prin simboluri. 2. Cu date sau mărimi ,,continui“, mărimile fiind reprezentate

prin segmente. Problemele din prima categorie nu sunt deloc uşoare. Cu toate

acestea, pot fi rezolvate şi cu elevii din ciclul primar.

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE


4

Exemplificare: Problema 1: Dacă se aşează câte un elev într-o bancă, rămân

14 elevi în picioare. Dacă se aşează câte 2 elevi într-o bancă, rămân 3 bănci libere.

Câţi elevi şi câte bănci sunt în clasă? Scriem datele problemei pe tablă:

1 elev……………….1 bancă………………..14 elevi în picioare 2 elevi………………1 bancă………………..3 bănci libere

Câţi elevi şi câte bănci sunt în clasă ? Din datele problemei se desprinde că mulţimea elevilor şi

mulţimea băncilor pot fi astfel organizate: fiecărui elev îi corespunde o bancă, situaţie în care 14 elevi rămân în picioare. Reprezentăm prin desen: Dacă aşezăm câte doi elevi în bancă vom reprezenta astfel:

.

.

.

14 elevi în picioare

.

.

.

0 elevi în picioare


5

Cei 14 elevi rămaşi în picioare vor ocupa 14 bănci cu câte 2 elevi.

14 x 2 = 28 ( elevi în cele 14 bănci ) Băncile rămase libere, au avut şi ele câte un elev. Cei trei elevi vor ocupa şi ei alături de cei 14 elevi alte 3

bănci a câte 2 elevi. 3 x 2 = 6 ( elevi în cele 3 bănci )

Putem afla numărul băncilor şi numărul elevilor. 14 + 3 + 3 =20 ( bănci )

28 + 6 = 34 ( elevi ) Problemele din categoria a doua de rezolvare au mărimile

reprezentate prin segmente, iar tipurile de probleme sunt de aflare a numerelor cunoscând suma şi diferenţa lor sau cunoscând suma sau diferenţa lor şi raportul lor.

Exemplificare: Câţi băieţi şi câte fete sunt într-o clasă de 35 de elevi, dacă

numărul fetelor este de 4 ori mai mare decât al băieţilor. Reprezentăm grafic fetele şi băieţii:

1 + 4 = 5 ( părţi egale )

35 : 5 = 7 ( băieţi ) 7 x 4 = 28 ( fete )

Acest tip de probleme este mai simplu, iar desenul bine realizat ajută mult în rezolvarea problemei şi evidenţiază personalitatea rezolvitorului. Metoda figurativă este bine primită de ,,mintea elevilor” şi antrenează minţile acestora în rezolvări corecte şi rapide.

Inst. Radu Dorina - Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

Băieţi:

Fete:


6

Jocul didactic şi lecţia de matematică În procesul instructiv educativ, eficienţa activităţii didactice

determină obţinerea performanţelor şcolare prin aplicarea metodelor şi procedeelor didactice, combinându-le şi ţinând seama de particularităţile psihopedagogice ale vârstei şi personalităţii elevilor.

Jocul didactic este o metodă de învăţământ care solicită creativitate şi participare activă din partea elevilor. Prin jocul didactic, şcolarul mic învaţă cu plăcere, devine interesat de activitatea desfăşurată mai activ şi capătă încredere în capacităţile proprii, mai multă siguranţă.

Folosirea jocului este importantă nu doar prin prisma lipsei intereselor obiective, ci şi prin faptul că apare ca necesitate când în procesul de predare-învăţare intervine scăderea concentrării elevilor, când intervine monotonia datorită formelor stereotipe ale exerciţiilor, când se instalează plictiseala, aspecte care vor determina scăderea dorinţei de a învăţa, a interesului şi a atenţiei elevilor şi, în final, refuzul de a acumula cunoştinţe. Jocul este mijloc de destindere, de odihnă, dar şi modalitate de promovare a relaţiilor interumane. Şcolarul mic învaţă să accepte reguli, să realizeze ordinea structurală, să îndeplinească o datorie. Se produce permanent în timpul jocului, trecerea de la coordonare la subordonare, dezvoltându-se spiritul de echipă. Activităţile matematice solicită gândire, atenţie, voinţă, memorie, interes, participare activă din partea copilului.

Jocul didactic prezentat în cadrul orei de matematică fie ca activitate organizată, fie ca moment al lecţiei trebuie să fie foarte bine pregătit de către dascăl, iar concordanţa între tema jocului şi materialul didactic folosit să fie deplină.

La clasa I se pot utiliza diverse imagini şi jetoane pentru a reconstitui o planşă model.

Copilul va opera cu aceste jetoane pentru a compune şi descompune un număr, folosind şi scrierea operaţiilor matematice în cadrul unui joc – concurs desfăşurat pe echipe sau individual în care fiecare descompunere corectă este punctată cu bulinuţe.


7

Jocurile didactice sunt eficiente dacă beneficiază de un bogat material didactic confecţionat din timp, sau de scurte poezii cu conţinut matematic, însoţite de reprezentarea imaginistică a acestora. Elevii vor discuta imaginile şi vor ,,traduce” în limbaj matematic imaginea prezentată.

La clasele III – IV jocul didactic se poate organiza individual, pe echipe sau colectiv. Exemplificare: Jocul didactic: ,,Aşi în matematică”: fiecare elev din grupă primeşte o fişă de lucru cu sarcini didactice adecvate capacităţilor lor intelectuale şi un tip de exerciţiu / problemă care implică un efort intelectual mai mare din partea lor.

Toţi elevii participă la concurs, chiar şi cel mai ,,slab” care, pentru a fi stimulat, va primi un număr de puncte mai mare pentru sarcinile rezolvate. Coechipierii au voie să îşi ofere cel mult trei candidaţi.

Foarte interesant este şi jocul ,,Carnavalul formelor geometrice” în cadrul căruia elevii vor avea de calculat perimetre şi alte dimensiuni pentru figurile geometrice expuse.

Elevul cu rezolvări corecte va fi câştigătorul concursului. Jocurile didactice sunt variate şi permit învăţătorului să

decidă locul şi rolul acordat acestora în cadrul lecţiilor de matematică pentru obţinerea performanţei elevilor.

Înv. Cornescu Mariana Daniela – G.S.I. Turceni Principiul lui Dirichlet Să considerăm următoarea problemă. Problema 1. Într-o pădure de conifere cresc 800000 de brazi. Fiecare brad are cel mult 500000 de ace. Să se demonstreze, că există cel puţin doi brazi cu acelaşi număr de ace. Soluţie. Presupunem contrariul, adică presupunem că nu există doi brazi din această pădure cu un număr egal de ace. Atunci cel mult un brad (un brad sau nici unul) va avea un ac. La fel, cel mult un brad va avea doua ace, s.a.m.d, cel mult un brad va


8

avea 499999, cel mult un brad va avea 500000 ace. Deci, cel mult 500000 au un număr de ace între 1 si 500000. Cum în total sunt 800000 brazi, şi deoarece fiecare brad are cel mult 500000 ace, rezultă că vor fi cel puţin doi brazi cu acelaşi număr de ace. Observaţie: Se observă cu uşurinţa, că soluţia nu ţine esenţial de numerele concrete 800000 (numărul de copaci) şi 500000 (numărul maximal de ace). Principial a fost utilizat faptul, că 800000 este strict mai mare decât 500000. În demonstraţie s-a presupus că nu există brad fără ace, deşi problema şi demonstraţia este adevărata şi în acest caz. Acum să formulăm principiul Dirichlet: În n cutii sunt plasate k obiecte. Dacă obiectele sunt mai multe decât cutiile (k > n), atunci există cel puţin o cutie care conţine cel puţin două obiecte. Nota: Menţionam, că nu ţinem cont de faptul care cutie conţine cel puţin două obiecte. La fel nu este important câte obiecte sunt în această cutie, precum şi câte aşa cutii avem. Este important că există cel puţin o cutie cu cel puţin două obiecte (două sau mai multe).

În literatură acest principiu poate fi întâlnit şi cu denumirile: ”principiul sertarelor şi obiectelor”, ”principiul iepurilor şi cuştilor” etc. Revenim din nou la problema 1. Să rezolvăm această problemă utilizând principiul Dirichlet. Fie avem 500000 cutii numerotate respectiv 1,2,3,...,500000. Plasăm (virtual) în aceste cutii 800000 brazi în modul următor: în cutia cu indicele s se repartizează brazii cu s ace. Deoarece brazii, adică ”obiecte”, sunt mai multe decât cutii, rezultă că cel puţin o cutie va conţine cel puţin două obiecte, adică cel puţin doi brazi. Deoarece în una şi aceeaşi cutie sunt brazi cu număr egal de ace, deducem că există cel puţin doi brazi cu acelaşi număr de ace. Desigur problema 1 fiind evidenta, după cum s-a văzut, uşor poate fi rezolvată şi fără principiul Dirichlet. Astfel, natural apare întrebarea: ”Pentru ce mai este nevoie de principiul Dirichlet?” În cele ce urmează vom vedea că unele


9

probleme nu sunt atât de evidente la soluţionarea directă, şi totodată suficient de simplu se rezolvă utilizând principiul Dirichlet. Simplitatea rezolvării în mare măsura depinde de faptul pe cât de reuşit vor fi alese ”cutiile” şi ”obiectele”. Deci, pentru aplicarea principiului Dirichlet este necesar de indicat cine (ce) sunt ”cutiile” şi cine (ce) sunt ”obiectele”. Pentru consolidarea cunoştinţelor în continuare vom da rezolvării o serie de probleme.

Problema 2. Să se demonstreze, că printre orice şase numere întregi există două numere diferite a căror diferenţă este divizibila prin 5.

Soluţie. Considerăm 5 cutii etichetate cu numerele 0,1,2,3,4, care reprezintă resturile împărţirii la 5. Repartizăm în aceste cutii şase numere întregi arbitrare, în dependenţă de restul împărţirii la 5, adică în aceeaşi cutie se plasează numerele cu acelaşi rest la împărţirea cu 5. Cum numere (”obiecte”) sunt mai multe decât cutii, conform principiului Dirichlet, există o cutie ce conţine mai mult decât un obiect. Deci, există (cel puţin) două numere plasate în aceeaşi cutie. Prin urmare, există două numere cu acelaşi rest de împărţire prin 5. Atunci, diferenţa lor este divizibila prin 5.

La rezolvarea unor probleme este util de aplicat principiul Dirichlet generalizat.

Daca plasăm pn + 1 obiecte în n cutii, atunci cel puţin o cutie va conţine cel puţin ”p+1” obiecte.

Problema 3. Într-o clasă sunt 40 elevi. Există oare aşa o lună a anului, în care cel puţin 4 elevi sărbătoresc ziua de naştere?

Soluţie. Fie ”cutiile” lunile anului şi ”obiectele” sunt elevii. Repartizăm ”obiectele” în ”cutii” în dependenţă de luna de naştere. Aşa cum luni, adică cutii, sunt 12, iar elevi, adică obiecte

431240 +⋅= conform criteriului Dirichlet există o cutie, o lună, cu cel puţin 413 =+ obiecte (elevi).

Problema 4. Fie M o mulţime formată din n numere întregi. Să se demonstreze, că există o submulţime a lui M, astfel încât suma elementelor sale este divizibilă prin n.

Soluţie. Fie { }n21 a;...;a;aM = . Considerăm următoarele


10

sume: 11 aS = , 212 aaS += , … , n21n a...aaS +++= . Dacă unul din numerele S1, S2, …, Sn este divizibil prin n

atunci problema este rezolvată. Dacă nici unul din numerele S1, S2, …, Sn nu este divizibil

prin n, atunci resturile lor la împărţirea cu n vor fi 1, 2, …, n-1. Cum sunt n numere şi n-1 resturi, atunci cel puţin două vor da la împărţirea prin n acelaşi rest. Fie Sk şi Sm ( nmk1 ≤<≤ ) două dintre acestea. Atunci km SS − se divide prin n şi mulţimea căutată este { }m1k a,...,a + .

Problema 5. Să se demonstreze că dintre n + 1 numere naturale diferite, mai mici ca 2n, pot fi extrase 3 numere, astfel încât un număr este egal cu suma celorlalte două.

Soluţie. Fie 1n21 a...aa +<<< numerele date. Considerăm diferenţele: 12 aa − ; 13 aa − ; … ; 11n aa −+ .

Aceste numere sunt pozitive, diferite şi mai mici ca 2n. Astfel avem 2n+1 numere naturale ( )11n121n21 aa,...,aa,a,...,a,a −− ++ , fiecare fiind mai mic ca 2n. Conform principiului Dirichlet cel puţin două numere coincid. Mai mult, unul dintre aceste două numere aparţine mulţimii 1n21 a,...,a,a + şi celălalt mulţimii 12 aa − ; 13 aa − ; … ; 11n aa −+ . Fie aceste numere ak şi am-a1. De aici 1mk aaa −= şi deci 1km aaa += .

Problema 7. În 500 cutii se află mere. Se ştie că în fiecare cutie se află cel mult 240 mere. Să se demonstreze că există cel puţin 3 cutii ce conţin acelaşi număr de mere.

Soluţie. Fie că în primele 240 cutii se află un număr diferit de mere (1, 2, …, 240) şi în următoarele 240 de cutii la fel (adică se examinează cazul extrem). Astfel au rămas 202402500 =⋅− cutii, în care trebuie să plasăm merele de la 1 la 240.

Problema 8. În interiorul pătratului de latura 1 sunt aşezate câteva cercuri, având suma lungimilor egala cu 10. Să se arate că există o dreaptă, care să intersecteze cel puţin patru din aceste cercuri.


11

Soluţie. Se proiectează cercurile pe una din laturile pătratului. Proiecţia fiecărui cerc este un segment cu lungimea egală cu lungimea diametrului cercului respectiv. Suma tuturor

acestor segmente este 1,310>

π. Conform principiului Dirichlet,

există cel puţin patru segmente ce au un punct comun. Perpendiculara ridicată în acest punct pe laturile pătratului va intersecta cel puţin 4 cercuri.

Probleme propuse

1. Să se demonstreze că din 11 cifre pot fi selectate două cifre identice.

2. Să se demonstreze, că într-o şcoală cu 400 elevi există doi elevi cu ziua de naştere în aceeaşi zi a anului.

3. În campionatul naţional de fotbal participă 30 echipe. Să se demonstreze, că în orice moment există două echipe cu număr egal de jocuri jucate în campionat.

4. Să se arate, că printre orice (n + 2) numere naturale există două numere cu suma sau diferenţa divizibilă prin 2n.

5. Într-un dreptunghi cu lungimea 4 şi lăţimea 3 sunt plasate 6 puncte. Să se demonstreze că printre acestea există două cu distanţa dintre ele mai mică decât 5 .

6. Într-un cerc de raza 16 sunt plasate 650 puncte. Să se arate, că există un inel cu raza mare 3 şi raza mică 2, care conţine mai mult de 10 puncte din cele date.

7. Să se arate că nu se pot vopsi feţele unui cub, folosind numai două culori, astfel încât oricare două feţe vecine să aibă culori diferite.

8. Să se arate că în orice poligon convex cu 2n laturi, există o diagonală neparalelă cu niciuna din laturi.

9. Să se arate, că din orice trei numere prime, mai mari decât 3, se pot alege două cu proprietatea că suma sau diferenţa lor se divide cu 12.

Prof. Prunescu Romeo, Şc. Gen. Nr. 1, Rovinari


12

Blaise Pascal

Dintre contemporanii lui Descartes, nici unul nu a arãtat un geniu natural mai bine decât Pascal. Reputaţia lui în matematicã constã mai mult în ceea ce ar fi putut face decât in ceea ce a fãcut efectiv, deoarece o lungã perioadã din viaţã a considerat cã datoria lui este de a se concentra asupra exerciţiilor religioase.

Blaise Pascal s-a nãscut pe 19 iunie 1623 în Clermont şi a murit la Paris în 19 august 1662. Tatãl lui, un judecãtor din Clermont, având la rândul sau un anumit renume în ştiinţã, s-a mutat

în Paris în 1631, pentru a-şi continua propriile studii pe o parte, şi pentru a-şi educa unicul sãu fiu care dovedise deja abilitãţi excepţionale. Micul Blaise a fost ţinut acasã pentru nu se obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui a fost mai întâi restrânsă la învãţarea limbilor strãine, neincluzând evident matematica. Acest program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o zi, la doisprezece ani, a întrebat ce este geometria. Învãţãtorul lui i-a rãspuns cã este ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinãrii proporţiilor dintre diferite parţi ale lor. În curând Pascal se apucã de studiat geometria, sacrificându-şi timpul de joacã şi în ciuda restricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva sãptãmâni descoperã singur multe proprietãţi ale figurilor. Cea mai importantã este aceea privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care este egalã cu douã unghiuri drepte, res-pectiv 180 de grade. Se pare cã dovada consta simplu în împãturarea unghiurilor peste figurã astfel încât vârfurile lor sã se întâlneascã în centrul cercului înscris în triunghi. O demonstraţie similarã se poate obţine prin împãturarea unghiurilor astfel încât ele sã se întâlneascã pe piciorul perpendicularei duse din vârful unghiului cel mai mare pe latura opusã. Impresionat de aceastã demonstraţie inteligenţã, tatãl sãu i-a dat o copie a cãrţii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeşte cu interes pânã când o învaţã.

La vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirile sãptãmânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi de alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţe se naşte Academia Francezã. La vârsta de şaisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construieşte prima maşinã aritmeticã, un calculator rudimentar, pe care o

MEDALION


13

va îmbunătăţii peste opt ani. În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea religiei, aşa cum zice în Pensées, "contempleazã mãreţia şi misterul omului".

În 1653 a trebuit sã administreze moşia tatãlui sãu. Acum a adoptat iarãşi vechile lui ocupaţii şi a fãcut câteva experimente asupra presiunii exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadã a inventat triunghiul aritmetic, şi împreunã cu Fermat a creat calculul probabilitãţilor.

Medita asupra cãsãtoriei când un accident l-a determinat iarãşi sã se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal unde a trãit pânã în 1662.

Singura lucrare matematicã care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloidã în 1685. Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, lucrând fãrã oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ completã despre geometria cicloidei.

Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisã în 1639, a fost publicată doar în 1779. Conica este o curbã planã rezultatã din intersecţia unui con circular cu un plan. Se pare cã a fost scrisã sub îndrumarea lui Desargues. Douã rezultate sunt deopotrivã importante şi interesante. Primul este o teoremã cunoscutã sub numele de Teorema lui Pascal :

Dacã un hexagon poate fi înscris într-o conicã atunci punctele de intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptã). A doua care i se datoreazã în mare parte lui Desargues spune urmãtoarele:

Dacã un patrulater poate fi înscris într-o conicã şi ducem o dreaptã care intersecteazã laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q atunci:

QD·QBQC·QA

PD·PBPC·PA

= .

Pascal şi-a îmbunãtãţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu existã nici o consemnare a metodei lui pânã în 1665. Triunghiul este o figurã simplã (ca cele douã şi se poate continua la infinit). Fiecare linie este formatã din numere egale cu suma numerelor din stânga poziţiei de pe linia precedentã. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacã aşezãm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai uşor sã vedem cã un numãr este egal cu suma celor douã numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numãrul din stânga şi cel de deasupra în prima figurã. vârful triunghiului fiind 1. Cele douã reguli sunt echivalente.


14

Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor demonstra cã a m-lea numãr de pe al n-lea rând este:

(m+n-2)!(m-1)!·(n-1)! .

Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din 1657 în care a stabilit principiile probabilitãţii. Totul a pornit de la o problemã propusã lui Pascal de un jucãtor numit Chavalier de Méré (Cavalerul Marii). La rândul sãu acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era urmãtoarea: Doi jucãtori de valori egale vreau sã plece de la masã înainte de a termina o partida. Dacã se cunoaşte scorul (în puncte) şi numărul punctelor până la care vroiau sã joace (adicã numãrul turelor dacã o turã câştigată înseamnã un punct) se cere sã se afle în ce proporţie trebuie sã împartã miza. Fermat şi Pascal au dat acelaşi rãspuns dar demonstraţi diferite. Urmãtoarea este demonstraţia celui din urmã:

Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecãrui jucãtor când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32 de galbeni.

Sã zicem cã primul jucãtor a câştigat douã puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie sã joace ultima turã pentru un punct. Dacã primul jucãtor ar câştiga ar lua toatã miza adicã 64 de galbeni, în timp ce dacã al doilea ar câştiga fiecare ar avea douã puncte şi ar trebui împărţită miza, adicã 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacã primul jucãtor ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacã nu ar lua 32 de galbeni. Atunci dacã cei doi jucãtori doresc sã se oprească aici primul ar zice: "Am asigurat un câştig de 32 de galbeni chiar dacã pierd tura urmãtoare, cât despre ceilalţi 32 poate îi voi câştiga eu poate tu, şansele sunt egale. Haide sã împãrţim cei 32 de galbeni rãmaşi egal iar eu voi lua şi pe cei 32 care îmi sunt asiguraţi." Primul jucãtor va avea 48 de galbeni iar al doilea 16.

Mai departe sã zicem cã primul jucãtor a obţinut douã puncte iar al doilea nici unul şi sunt pe cale să mai joace o turã pentru un punct. Dacã primul jucãtor câştigă acest punct va câştiga şi jocul şi va lua 64 de galbeni, iar dacã al doilea câştigã atunci jucãtorii vor fi în situaţia analizatã anterior. Dar, dacã nu mai doresc sã joace, primul jucãtor ar zice: "Dacã mai obţin un punct câştig 64 de galbeni, dacã pierd tot primesc 48 (ca înainte). Dã-mi 48 de galbeni pe care îi am sigur şi restul de 16 îi împãrţim în douã egal cum şansele sunt egale." Aşadar primul jucãtor ia 56 de galbeni iar al doilea 8.


15

Şi în sfârşit primul jucãtor are un punct şi al doilea nici unul. Dacã mai joacã pentru un punct şi primul jucãtor ar câştiga s-ar afla în situaţia anterioarã în care el are dreptul la 56 de galbeni, iar dacã al doilea ar câştiga fiecare ar avea un punct şi câştigul ar fi împãrţit. Dar dacã nu ar mai dori sã continue primul ar zice: "Da-mi 32 de galbeni pe care îi iau sigur, şi împarte restul din 56 respectiv 24 (deoarece am deja 32) în douã." Atunci primul va avea 32+12=44 de galbeni şi în consecinţã, al doilea va avea 20 de galbeni.

Pascal continuã rezolvând probleme asemãnãtoare când jocul este câştigat de cine obţine m+n puncte. Rãspunsul este dat de triunghiul său aritmetic. Soluţia problemei generalizate în care valoarea jucãtorilor este diferitã poate fi gãsitã în majoritatea cãrţilor de algebrã şi este în concordanţã cu răspunsul lui Pascal, deşi notaţiile pot fi diferite.

Pascal a folosit aceastã nouã teorie în al nouãlea capitol al cãrţii sale Pensées. El spune urmãtoarele: Dacã valoarea fericirii eterne este infinitã chiar dacã probabilitatea ca o viaţã religioasã sã asigure fericirea eternã este micã, totuşi speranţa perspectivã, mãsuratã prin produsul celor douã, trebuie sã fie destul de mare pentru a merita să fi religios. Dacã se poate trage vreo concluzie din afirmaţia aceasta este neclaritatea obţinutã când se aplicã formule matematice întrebărilor morale ale cãror date nu sunt de obicei în sfera ştiinţelor exacte, de aceea afirmaţia nu a fost apreciatã pozitiv.

Ultima lucrare matematicã a lui a fost Cicloida. in 1658. Cicloida este linia curbã trasatã de un punct de pe circumferinţa unui cerc care se roteşte fãrã alunecare pe o dreaptã. În 1630 Galileo a atras atenţia asupra acestei forme de altfel graţioase, şi sugerase ca arcele podurilor sã fie construite astfel. Patru ani mai târziu Roberval a aflat aria determinatã de cicloidã. Descartes nu a apreciat aceastã soluţie şi l-a provocat la aflarea tangentelor, aceeaşi provocare i-a fost trimisã lui Fermat care a rezolvat-o numaidecât. Câteva întrebãri au fost puse de alţi matematicieni. Acestea se refereau la curbã şi la suprafaţa şi volumul determinate de cicloidã la rotirea în jurul axei, bazei şi tangentei. Acestea la un loc cu aflarea poziţiei centrului de greutate al corpurilor solide formate au fost rezolvate de Pascal în 1658.


16

CLASA a V-a

1. Simplificaţi fracţiile:

a) ;5064249531

++++++++

K

K

b) .5030159106533020966432⋅+⋅+⋅+⋅⋅++⋅+⋅+⋅

K

K

Soluţie: Avem 1 + 3 + 5 + ... + 49 = (1 + 2 + 3 + ... +50) – (2 + 4 + 6 + ... + 50) = ( )252122:5150 K++⋅−⋅ = 2:262525125 ⋅⋅−⋅ = ( )265125 −⋅ =

225 . Am văzut că 2 + 4 + 6 + ... + 50 = 2625 ⋅ .

Aşadar, fracţia noastră devine (

.2625

26252525 25

=⋅⋅

2. Arătaţi că următoarele fracţii sunt ireductibile:

a) ;3n45n7

++ b) ;

2n31n2

++ c) .

5n64n5

++

Soluţie: a) Fie d = ( 7n + 5, 4n + 3), atunci avem că d | (7n + 5) şi d | (4n + 3). Înmulţind prima relaţie cu 4 şi a doua cu 7 obţinem d | (28n + 20) şi d | (28n + 21). Atunci d divide şi diferenţa lor, adică d divide pe 1, rezultă că d = 1, adică fracţia este ireductibilă.

b) Analog, înmulţind prima relaţie cu 3 şi a doua cu 2. c) Analog, înmulţind prima relaţie cu 6 şi a doua cu 5.

3. Arătaţi că fracţia 2n3n

n5n2

2

+++ este reductibilă oricare ar fi Nn∈ .

Soluţie:

Obţinem ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) .2n1n

5nn1n21nn

5nn2n2nn

5nn2 +⋅+

+⋅=

+⋅++⋅+⋅

=+++

+⋅

Indiferent dacă n este nr. par sau impar, obţinem şi numărătorul şi numitorul numere pare, aşadar fracţia se simplifică prin 2.

PROBLEME REZOLVATE


17

4. Determinaţi Nn∈ astfel încât fracţiile următoare să fie numere naturale:

a) ;1n2

18+

b) ;n

6n + c) .4n8n

++

Soluţie:

a) ( ) { }18,9,6,3,2,1D1n2N1n2

1818 =∈+⇒∈

+, şi scăzând 1 şi împărţind

la 2, şi ţinând cont că n este nr. natural, obţinem că { }.4,1,0n∈

b) Avem { }.6,3,2,1DnNn61

n6

nn

n6n

6 =∈⇒∈+=+=+

c) Avem

( ) { }⇒=∈+⇒∈+

+=+

+++

=++ 4,2,1D4nN

4n41

4n4

4n4n

4n8n

4

.0n =⇒

5. Arătaţi că: .212

21

81

41

211 100100 −=+++++ K

Soluţie: Avem

⇔=++++⇔=+++++ 222

41

2112

21

21

41

211 100100100 KK

221

21

41

211 9999 =+++++⇔ K K⇔ ( ).A2

21

211 =++⇔

6. Dacă 20001284500321

ba

++++++++

=K

K arătaţi că b2a10a2b5x

−−

= este pătrat

perfect. Soluţie:

Avem ( )( )5003214

500321ba

++++⋅++++

=K

K şi simplificând cu paranteza

obţinem ⇒=⇔= a4b41

ba 9

a2a18

a42a10a2a45x ==

⋅−−⋅

= care este

pătrat perfect.


18

7. Aflaţi elementele mulţimii .cifrăx,N3x

xx3xA⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∈+

=

Soluţie: Avem

( )=

++

++⋅

=+++

=+

++=

+ 3x267

3x3x11

3x26733x11

3xxx10300

3xxx3

⇒∈+

+= N3x

26711 ( ) { }267,89,3,1D3x 267 =∈+ , scăzând 3 şi ţinând

cont că x este cifră, obţinem x = 0.

8. Cercetaţi dacă N6xx9x

7x89xx∈

+++ , unde x este cifră.

Soluţie:

Avem N196x11196x111

6x10x90x1007x809x10x100

∈=++

=+++++++++ , oricare ar fi x

– cifră.

CLASA a VI-a

1. Ştiind că a, b, c sunt direct proporţionale cu 2, 3 şi 5 arătaţi că ac - ab şi bc + ac sunt pătrate perfecte.

Soluţie:

Avem ⇒===⇒=== k5c,k3b,k2ak5c

3b

2a

( )2222 k2k4k6k10abac ==−=−⇒ - care este pătrat perfect şi ( )2222 k5k25k10k15acbc ==+=+ - care este pătrat perfect.

2. Determinaţi a, b, c ştiind că sunt invers proporţionale cu 2, 3 şi 6 şi

.46c6

b2

a2

=++

Soluţie:

Avem ⇒===⇒===6kc,

3kb,

2kak

61c

31b

21a

.61c,

31b,

21a1k46

k4646

k36

k6

k4

===⇒=⇒=⇒=++⇒


19

3. Aflaţi a, b, c, d ştiind că: d80c,c50b,c75a 00

00

00 ⋅=⋅=⋅= şi

2a + b + 3c + 4d = 400. Soluţie:

Avem

⇒==⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⋅=

=⋅=

=⋅=

5d2b,

5d3a

5d4d

10080c

2cc

10050b

4c3c

10075a

a doua relaţie devine:

.40c,20b,30a,50d2000d40400d45d12

5d2

5d6 )5)5 ====⇒=⇒=+++

4. Într-o urnă sunt 50 de bile numerotate cu numere de la 1 la 50. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul bilei extrase să fie divizibil cu 2 şi 3?

Soluţie: Ca numărul să fie divizibil cu 2 şi 3, trebuie să fie divizibil de fapt cu 6.

De la 1 la 50 avem 8 numere divizibile cu 6 .254

508P ==⇒

5. În triunghiul ABC, ( ) ( ).Bm90Cm +°= Se construieşte ,BCAD ⊥ .BCD∈ Arătaţi că .DCADAB ≡

Soluţie: Avem

°=+⇒°=+°+⇒°=+ 90BDCA180B90DCA180BCADCA. Dar

.DABDCA90BDAB ≡⇒°=+ 6. În triunghiul ABC înălţimile AD şi BE se intersectează în H. Dacă

,HEHD ≡ arătaţi că triunghiul este isoscel. Soluţie:

Avem ⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

°=≡

≡≡

90CDHCEH

HCHCHDHE

⇒≡⇒Δ≡Δ⇒ ECHDCHHDC.drHEC.dr ⇒ CH este bisectoare şi cum CH este şi înălţime,


20

rezultă că triunghiul ABC este isoscel. 7. Fie triunghiul isoscel ABC, ( )BCD,ACAB ∈≡ şi ( ) °= 20DACm .

Ştiind că ( )ABE,ADAE ∈≡ , calculaţi ( )EDBm . Soluţie:

Avem =−−°= CDAEDA180EDB

=−°−°−−°−°= )C20180()2

DAB90(180

=+°+°−+°−°= C201802

DAB90180

°−+= 702

DABC .

Dar −°+=⇒−°=°−−°=°−= 80CEDBC216020C218020CABDAB

.1070C °=°−− 8. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC, iar B’ şi C’ picioarele înălţimilor din

B şi C. Dacă M este mijlocul laturii BC demonstraţi că triunghiul MB’C’ este isoscel.

Soluţie: Avem triunghiurile BB’C şi CC’B care sunt dreptunghice şi cum B’M şi C’M sunt mediane

.isoscel'C'MB2

BCM'CM'B −Δ⇒==⇒

CLASA a VII-a

1. Dacă 5a1a =+ să se calculeze .

a1a 2

2 +

Soluţie: Avem

.23a1a25

a12a

a1

a1a2a

a1a 2

22

22

22

=+⇒=++=+⋅⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2. Dacă 1a3a 2 −=+ să se calculeze .2a9a12a6a 234 ++++ Soluţie:


21

Avem ( ) 1a6a11a6aa6a2a61a9a1a3a 234232422 ++++=+++++=++= 0. Dar

.01a3a1a6a11a6a2a9a12a6a 2234234 =+++++++=++++

3. Aflaţi valorile lui n astfel încât: .N12n12 ∈−− Soluţie:

Cum ce se află sub radicalul mare trebuie să fie pătrat perfect şi mai mic sau egal cu 12 { } { }3,8,11,1212n9,4,1,012n12 ∈−⇒∈−−⇒

( ) { } { }.21,76,133,156n9,64,121,14412n ∈⇒∈−⇒ 4. Rezolvaţi ecuaţia .1x12 =−−

Soluţie: Avem 1x121x12 =−−⇒=−− sau 1x11x12 =−⇒−=−− sau

( ) { } { }.4,2,2,0x3,3,1,1x13x1 −∈⇒−−∈−⇒=− 5. Dacă în triunghiul dreptunghic ABC, AD este înălţime, iar E şi F sunt

proiecţiile punctului D pe catetele AB şi AC, să se demonstreze relaţia: .EAEBFAFCDCDB ⋅+⋅=⋅

Soluţie: Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul DAE, obţinem

22222 DFDEAEDEAD +=+= . Cum AD, DE şi DF sunt înălţimi în triunghiurile dreptunghice ABC, ABD şi ACD, aplicând teorema înălţimii, obţinem:

.EAEBFAFCDCDB ⋅+⋅=⋅

6. Într-un trapez ABCD raportul bazelor este 53 , iar înălţimea este 6 cm.

Dacă laturile neparalele se intersectează în F, aflaţi distanţele de la F la bazele trapezului.

Soluţie: Din AB || CD, şi aplicând teorema fundamentală a asemănării, obţinem:

Δ DFC ~ Δ BFA ⇒==⇒53

ABCD

FMFN


22

⇒==⇒ k5

FM3

FN FN = 3k, FM = = 5k. Cum FN + FM = h = 6

.4

15FM,49FN

43k6k8 ==⇒=⇒=⇒

7. Într-un triunghi dreptunghic ABC, ( ) ,90Am °= paralela dusă prin punctul D,

mijlocul ipotenuzei BC, la cateta AB întâlneşte înălţimea dusă din vârful A în punctul E. Arătaţi că .CEAD⊥

Soluţie: Avem ED || AB şi ACEDACAB ⊥⇒⊥ şi cum ⇒⊥ AEBC E este ortocentrul Δ ADC

.CEAD⊥⇒ 8. Triunghiul echilateral ABC şi triunghiul dreptunghic BCD,

( ) ,90Dm °= au latura BC comună, iar BC = 18 cm, DC = 9 cm. Să se calculeze AD.

Soluţie: Avem

( ) ( ) °=⇒°=⇒−Δ= 90DBAm30DBCm.drBCD,2

BCCD

, şi aplicând teorema lui Pitagora, obţinem: .BDABAD 222 +=

Dar ⇒=⇒=−= 567AD243CDBCBD 2222 .79567AD ==⇒

CLASA a VIII-a

1. Să se determine funcţia liniară f : R → R care îndeplineşte condiţia: ( ) ( ) 1x4x1f3xf2 −=−+ , pentru orice ∈x R.

Soluţie: Fie ( ) baxxf += . Atunci ecuaţia din enunţ devine: ⇒−=+−++ 1x4b3ax3a3b2ax2

( ) ⇒∈∀−−−=+−⇒−−−=−−⇒ Rx,a3b514axa3b51x4ax


23

04a =+⇒ şi ( ) .5

11x4xf5

11b,4a0a3b51 +−=⇒=−=⇒=−−−

2. Să se determine funcţia liniară al cărei grafic conţine punctele A(-3,-1) şi B(2,4).

Soluţie: Fie ( ) .baxxf,RR:f +=→

Din ( )( )

( )( ) ⎩

⎨⎧

=+−=+−

⇒⎩⎨⎧

=−=−

⇒∈⎭⎬⎫−−

4ba21ba3

42f13f

G4,2B

1,3Af . Înmulţind prima

ecuaţie cu (-1) şi adunând ambele ecuaţii membru cu membru obţinem: 1a5a5 =⇒= şi înlocuind în a doua ecuaţie pe a = 1 obţinem:

( ) 2xxf2b +=⇒= .

3. Să se rezolve ecuaţia: .1x31

23

x21

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Soluţie:

Notăm ⇒=⇒−=−⇒=−+−⇒=51y7y351

2y9

23

3y4

32y

x1 )6

)3)3)2)2

.5x =⇒

4. Să se rezolve ecuaţia de gradul al doilea: ( ) .01x212x 2 =+++ Soluţie:

Avem .1c,21b,2a =+== Atunci

( ) ⇒−=+−=−++=−=Δ22 212221242221ac4b

.1x,22x

22

2121

a2bx 212,1 −=−=⇒

−±−−=

Δ±−=

5. O prismă are baza un paralelogram cu dimensiunile 6 cm şi 8 cm şi unghiul ascuţit egal cu 60°. Ştiind că înălţimea prismei este 10 cm să se afle volumul prismei.

Soluţie: Fie A’B’C’D’ABCD prisma dată. Ştiind că .A10hAV BB ⋅=⋅= Avem ABDEAA ABCDB ⋅== , unde

.ABDE ⊥ În triunghiul dreptunghic ADE

⇒=⇒=⇒=⇒ 33DE6

DE23

DADEAsin


24

.cm3240Vcm324A 32B =⇒=

6. Printr-una din laturile bazei unei piramide triunghiulare regulate cu înălţimea 34 cm şi latura bazei 5 cm, se duce planul perpendicular pe muchia opusă. Să se calculeze aria secţiunii.

Soluţie: Fie α planul perpendicular astfel încât

.VC,AB ⊥αα⊂ Fie { } .MBVC,AMVCMVC ⊥⊥⇒=α∩ Cum

⇒Δ≡Δ VABVAC AM ≡ MB, adică Δ AMB este isoscel. Avem

=⋅

+⋅

=+=3ACM

3AVM

VVV AMBAMBCAMBVAMBVABC

.VC

AVOA

3AVC

3AVO

3AVC ABC

AMBAMBABCAMB ⋅

=⇒⋅

=⋅

⇒⋅

=

Dar 4

3254

3lA2

ABC == şi .3

3533lOC == Aplicând teorema lui

Pitagora în triunghiul dr. VOC, obţinem .3

313VC = Atunci

13320A AMB = .

7. Un trunchi de piramidă are bazele pătrate cu laturile de 3 cm respectiv 5 cm. Volumul său este de 196 cm 3 . Să se calculeze înălţimea trunchiului precum şi înălţimea piramidei din care provine.

Soluţie:

Avem ( ) ( ) 12h159253h196AAAA

3hV bBbBt =⇒++=⇒⋅++= .

Avem ,Ll

Hh p = unde ph - înălţimea piramidei mici, iar H- înălţimea

piramidei mari .30HH360H5Ll

HhH

=⇒=−⇒=−

⇒

8. Ariile bazelor unui trunchi de piramidă patrulateră regulată sunt S şi s, iar aria secţiunii diagonale este semidiferenţa ariilor bazelor. Să se afle: a) Unghiul pe care muchia laterală îl formează cu planul bazei;


25

b) Aria totală a trunchiului. Soluţie:

a) Aria secţiunii diagonale = ( )2

sS2

h'D'BBDA 'B'BDD−

=⋅+

= . Avem

⇒==⇒== s2'D'B,S2BDsl,SL ( ).2

sS2h −= Cum

( ) BB,ml =∠ şi ducând =−

==⇒⊥'OBOB

hEB

E'BBtgOBE'B

( ).45B1

sS22

h°=⇒=

−

=

b) Avem bBlt AAAA ++= , ( )

.2

aPPA tbB

l

⋅+=

Fie .2l'M'O,

2LOM'MMa t ==⇒= Fie hN'MOMN'M =⇒⊥ şi

.2

lLONOMMN −=−= Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul

dreptunghic M’NM ( ) .2

3sSM'M32

lLM'M2

2 −=⇒⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒

Atunci ( ) ( ) .sSsS3AsS3A tl ++−=⇒−=


26

CLASA I

1. Se dau numerele 10 şi 15.

a) Scrie numerele cuprinse între ele, în ordine crescătoare şi află suma lor.

b) Măreşte cu 5 diferenţa numerelor date. c) Care este cel mai mare număr cuprins între numerele date? Dar cel

mai mic număr impar cuprins între acestea? Înv. Argintaru Adriana, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

2. La suma numerelor 41, 20 şi 16 adaugă diferenţa numerelor 39 şi 27. Cât ai obţinut?

Inst. Ciobanu Ileana, Colegiul Tehnic Mătăsari 3. Care este cel mai mic număr care trebuie adunat cu 10 pentru a obţine

un număr mai mare decât 15, dar mai mic decât 19? Inst. Sorlea Elena Ramona, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 4. Într-un tren cu patru vagoane sunt 99 de călători. Câţi călători au

coborât la prima staţie dacă acum mai sunt în primul vagon 21 călători, în al doilea vagon 32 călători, în al treilea 12 călători, iar în ultimul vagon 10 călători.

Inst. Pînîşoară Oana Cornelia, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 5. Aflaţi suma numerelor cuprinse între 0 şi 11. Scădeţi din rezultatul

obţinut cel mai mic număr impar scris cu două cifre. Înv. Chiţoran Nicoleta, Şc. Gen. Ocniţa – Vîlcea

6. Mama a pus în fructieră un număr par de fructe. Irina a venit şi a luat 3 fructe, Matei 5 fructe, iar Alina cât cei doi fraţi la un loc. Dacă acum în fructieră mai sunt 4 fructe, află câte fructe a pus mama în fructieră.

Inst. Luculescu Ileana, G.S.I – Tismana 7. Adună un număr natural cu răsturnatul său astfel încât să obţii cel mai

mare număr natural de două cifre. Inst. Pînişoară Oana Cornelia,Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

8. Calculaţi a, b, c, d din egalităţile: a + 1 = b; b + 1 = c; c + 1 = d; a + 1 = 10

Înv. Argintaru Adriana, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

PROBLEME PROPUSE


27

9. Află care este diferenţa dintre suma numerelor naturale impare de o cifră şi suma numerelor pare de o cifră.

Înv. Chiţoran Nicoleta, Şc. Gen. Ocniţa –Vîlcea 10. Ce număr adunăm la suma numerelor 21, 13 şi 32 pentru a obţine cel

mai mare număr natural scris cu două cifre consecutive? Inst. Radu Dorina, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

11. Bunica are trei gâşte. Fiecare gâscă face câte un ou pe zi. Câte ouă va avea bunica de la cele trei gâşte după 5 zile ?

Inst. Luculescu Ileana, G.S.I – Tismana 12. Dacă primul termen al unei scăderi este 98, iar al doilea termen este cât

suma numerelor 41 şi 17, află diferenţa. Înv. Ciobanu Ileana, Colegiul Tehnic Mătăsari

13. Doi copii aleargă unul spre celălalt. După ce primul a alergat 25 m, iar celălalt a parcurs cu 10 m mai mult, între ei mai rămân 40 metri. Ce lungime are drumul dintre copii?

Inst. Sorlea Elena Ramona, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 14. Află care este diferenţa dintre suma vecinilor mai mari ai numerelor 11,

32 şi 43 şi suma vecinilor mai mici ai numerelor 5, 13 şi 31. Înv. Chiţoran Nicoleta, Şc. Gen. Ocniţa –Vîlcea

15. Completează cu numărul care lipseşte pentru a fi adevărate egalităţile: a) 9 + 20 – 17 + 32 – x = 23 b) 28 – 15 + 32 – 34 + x = 58

c)100 – 60 + 48 – 35 + x = 79 Inst. Luca Simona, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

16. Asociază termenii adunărilor următoare pentru a rezolva mai uşor: 3 + 21 + 7 = 6 + 35 + 4 = 8 + 45 + 2 = 5 + 81 + 5 = 9 + 44 + 1 = 3 + 7 + 28 =

Inst. Sorlea Elena Ramona, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 17. Află suma a trei numere consecutive, ştiind că unul dintre numere

poate fi 23. Găsiţi toate posibilităţile! Inst. Luculescu Ileana, G.S.I -Tismana

18. Dacă aş mânca 5 bomboane, sora mea ar avea cu o bomboană mai mult decât mine. Dacă i-aş da ei trei bomboane de la mine, atunci ea ar avea 12 bomboane. Câte bomboane am eu? Dar sora mea? Inst. Pînişoară Oana Cornelia, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

19. Mama are 33 ani, tata 37 ani, bunica 68 ani, bunicul 75 ani, iar Irina 12 ani. Câţi ani avea fiecare când s-a născut Irina? Câţi ani va avea fiecare peste 4 ani?

Inst. Popeangă Ancuţa, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari


28

20. În două coşuri erau 100 mere. După ce din fiecare coş Maria a luat câte 25 de mere, în primul coş a rămas cel mai mic număr de două cifre de mere, cu cifra zecilor 2. Află câte mere erau la început în fiecare coş.

Înv. Vasiloiu Constantin, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 21. Dacă a = 11, b = 30 şi c = 50 , află :

a + b + 5 = ? b + b + b – c = ? a + b + c = ? (c + c ) – b = ? ( a + a ) + ( b + b ) – c = ?

Inst. Banţa Nicoleta, Şc. Primară Bâlta

CLASA a II-a 1. Aflaţi suma dintre cel mai mic număr natural de două cifre şi cel mai

mare număr natural impar scris cu două cifre. Inst. Ionaşcu Alice, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

2. Se dau numerele: a = 145; b = 213 şi c = 521. Calculează:

c – a + b = ? a + b + c = ? b – a + c = ? c – b – a = ?

Inst.. Surovcek Ion, Şc. Gen. Ocniţa – Vîlcea 3. Află numărul de forma abc ştiind că suma cifrelor numărului este 21,

diferenţa primelor două cifre este 5, iar suma ultimelor cifre este 12. Înv. Dădălău Ileana, Colegiul Tehnic Mătăsari

4. Calculează: ( a + a + a + a ) – ( b + c ) – ( a + b + c ), cunoscând că: a + b + c = 92 şi 100 – ( b + c ) =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 10

Inst. Radu Dorina, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 5. Din suma numerelor 145 şi 84 luaţi diferenţa lor. Micşoraţi apoi

rezultatul obţinut cu suma numerelor 47 şi 39. Cât aţi obţinut? Înv. Vasiloiu Constantin, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 6. Mă gândesc la un număr, îi adaug 15, scad apoi 21 şi voi obţine

răsturnatul numărului 92. La ce număr m-am gândit? Inst. Ionaşcu Alice, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

7. Într-un autobuz sunt 15 fete, băieţi dublu faţă de numărul fetelor, iar persoane mature cu 11 mai puţine decât numărul băieţilor. Câte persoane sunt în autobuz?

Inst. Ţogoe Silvia, Şc. Primară Fărcăşeşti


29

8. Află toate numerele naturale de trei cifre care să îndeplinească simultan condiţiile: a) la unităţi să fie un număr par; b) suma unităţilor şi a zecilor este 13; c) suma dintre zeci şi sute este 9.

Înv. Dădălău Ileana, Colegiul Tehnic Mătăsari 9. Care sunt numerele de forma abc cu suma cifrelor 5 ?

Inst. Tudor Mirela, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 10. Silviu are 10 ani iar Marin jumătatea vârstei lui Silviu. Ce vârstă va

avea Marin când Silviu va avea 13 ani ? Inst. Teică Loredana, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

11. Bunicul are cu 60 de ani mai mult decât vârsta nepotului său. Ştiind că împreună vârstele lor însumează 74 ani, află vârsta bunicului şi vârsta nepotului.

Inst. Ţogoe Silvia, Şc. Primară Fărcăşeşti 12. Ce număr este mai mic cu 69 faţă de suma dintre suma numerelor 32,

24 şi 43 şi diferenţa numerelor 61 şi 19. Inst. Popeangă Ancuţa, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

13. Un număr este 31, al doilea cu 19 mai mic, iar al treilea cât suma primelor două. Află celor trei numere.

Inst. Şcheau Mihaela, Şc. Gen. Roşiuţa –Motru 14. La naşterea fiicei sale, mama avea 28 de ani, iar la naşterea fiului său

avea 32 de ani. Află ce vârstă va avea mama şi când fiica va împlini 18 ani. Dar fiul, ce vârstă va avea?

Inst. Surovcek Ion, Şc. Gen. Ocniţa –Vîlcea 15. Dacă iau dintr-un coş 15 mere şi le pun în alt coş , în fiecare coş vor fi

câte 51 mere. Află câte mere au fost la început în fiecare coş. Inst.Ciobanu Dorel, Şc. Gen. Croici –Mătăsari 16. Care este lungimea gardului unei grădini dreptunghiulare care are

lăţimea cu 14 cm mai mică decât lungimea a cărei măsură este de 40 cm?

Inst. Şcheau Mihaela, Şc. Gen. Roşiuţa – Motru 17. Cât voi obţine, dacă adaug la suma tuturor numerelor de două cifre

egale mai mici decât 69, diferenţa dintre cel mai mare număr impar şi cel mai mare număr de sute?

Inst. Surovcek Ion, Şc. Gen. Ocniţa –Vîlcea


30

18. Bunicul împrejmuieşte o grădină în formă de pătrat cu un gard de sârmă. Află câţi metri de sârmă s-au folosit dacă a lăsat două porţi, fiecare de 2 m, iar latura pătratului este de 123 m.

Inst. Ciobanu Dorel, Şc. Primară Croici Mătăsari 19. Află a, b şi c, în condiţiile următoare:

a + b + c =792 b + c = 619 a + c = 345

Inst. Luca Simona, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 20. În clasa a II-a A sunt 28 elevi, iar în clasa a II-a B numărul elevilor este

cu 4 mai mare decât al celor din clasa a II-a A. Dacă numărul fetelor este 37, află câţi băieţi sunt în cele două clase. Inst. Stancu Floarea, Şc. Gen. Nr 14 Al. Davila –Piteşti

21. Dacă adunăm 315 unui număr , iar din rezultatul obţinut scădem dublul numărului 45 vom obţine 310. Aflaţi numărul.

Inst. Şurcă Adriana, Şc. Gen. Sf. Nicolae Tg - Jiu CLASA a III-a

1. La produsul numerelor 7 şi 9 adună triplul câtului numerelor 40 şi 8.

Cât ai obţinut? Înv. Arpezeanu Cristina, Şc. Gen. Ţînţăreni

2. Calculaţi suma a cinci numere naturale pare consecutive, ştiind că suma dintre primul şi ultimul număr este 28. Înv. Argintaru Adriana, Şc.. Gen. Nr 1 Rovinari

3. Andreea are trei fraţi, 2 surori şi o bunică. Câte furculiţe şi câte cuţite va aşeza la masă, ştiind că la masă sunt prezenţi şi părinţii?

Înv. Tudor Maria, Şc. Gen. Floreşti 4. Doru şi Ileana au împărţit 30 de timbre astfel încât Doru a primit de

atâtea ori câte 2 timbre, de câte ori Ileana a primit câte 3 timbre. Câte timbre a primit fiecare?

Înv. Ion Tudoriţa, Şc. Gen.Ţînţăreni 5. Aflaţi numerele naturale a, b, c ştiind că:

a + b = 28 ; b + c = 37; a + c = 35. Înv. Diaconescu Mariana, Şc. Gen. Nr 5 Tg – Jiu 6. Suma a trei numere naturale este 92. După ce din primul se scade 28,

din al doilea 17, iar din al treilea 35, cele trei numere devin egale. Află fiecare număr.

Inst. Teică Loredana, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari


31

7. - Andra, cum ai aflat numărul care îmi poartă mie ghinion? - Foarte simplu! La jumătatea dublului lui 8 am adăugat sfertul lui 20. - Şi care este acest număr? - Ghiceşte!

Inst. Vlădoiu Claudia, Şc. Primară Văcarea – Dăneşti 8. Numărul 8 este jumătatea sfertului jumătăţii unui număr. Care este

numărul? Înv. Catrinescu Cornelia, Şc. Gen. C-tin Săvoiu – Tg-Jiu

9. Ce numere pot înlocui pe a pentru a face adevărată expresia numerică: 6 · 3 > a ≥ 7 · 2

Înv. Arpezeanu Cristina, Şc. Gen . Ţînţăreni 10. Află suma numerelor x, y, z ştiind că:

- x este dublul lui 4; - y este de 5 ori mai mare decât x; - z este cu 4 mai mic decât y.

Inst. Tudor Mirela, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 11. Aflaţi numărul necunoscut:

( 6 x 4 : 3 + a ) : 7 = 16 : 4 ( 8 x 8 – 32 – 12 : a ) – ( 40 – 2 x 10 ) = 3 x 3

Inst.Popescu Cornelia, Şc. Gen. C-tin Săvoiu – Tg-Jiu 12. Lucian a citit în primele trei zile ale vacanţei de Paşte o carte cu

poveşti. În prima zi a citit 30 de pagini, a doua zi o treime din numărul paginilor citite în prima zi, iar a treia zi un sfert din numărul paginilor citite în prima şi a doua zi. Câte pagini are cartea citită de Lucian? Inst. Vlădoiu Claudia, Şc. Primară Văcarea – Dăneşti

13. Doi fraţi au acum 59 de ani. Când primul avea 18 ani, al doilea avea 5 ani. Câţi ani are fiecare? Înv. Diaconescu Mariana, Şc. Gen. Nr 5 - Tg-Jiu

14. Bogdan şi Laura au împreună un număr de ani, ceea ce înseamnă cât diferenţa dintre vârsta tatălui şi a mamei. Ştiind că Bogdan are dublul vârstei Laurei, iar mama de 4 ori vârsta lui Bogdan şi că Laura frecventează grădiniţa, aflaţi vârsta fiecărui membru al familiei.

Înv. Tudor Maria, Şc. Gen. Floreşti 15. Suma a trei numere pare consecutive este jumătatea numărului 24. Care

sunt numerele? Înv. Mihăilă Lăcrămioara, Şc. Gen. Strâmba – Jiu

16. Găseşte suma dintre şeptimea numărului 126, optimea numărului 208 şi sfertul numărului 52.

Inst. Popescu Cornelia, Şc. Gen. C-tin Săvoiu – Tg-Jiu


32

17. Află trei numere pare care îndeplinesc următoarele condiţii: b > a de 4 ori, b : 2 = c, a + b + c = 98.

Inst. Luca Simona, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari 18. Lungimea unei grădini în formă de dreptunghi întrece cu 5 m dublul

lăţimii. Adunând lungimile şi lăţimile grădinii obţinem 124m. Află dimensiunile laturilor grădinii. Inst. Ciobanu Dorel, Şc. Primară Croici –Mătăsari

19. Aflaţi două numere naturale consecutive ştiind că, dacă mărim suma lor de 5 ori obţinem 45.

Înv. Diaconescu Mariana, Şc. Gen. Nr 5 Tg – Jiu 20. Cei 48 de elevi ai claselor a treia dintr-o şcoală au participat la un

concurs de cultură generală. O parte din numărul elevilor a luat premiul I, cu 6 elevi mai mult au luat premiul al II-lea şi al III-lea şi cu 2 elevi mai mult decât triplul numărului celor care au luat premiul I, nu au primit premiu. Câţi elevi au fost premiaţi?

Înv. Catrinescu Cornelia, Şc. Gen. C-tin Săvoiu – Tg-Jiu 21. Dacă a : b = 9 rest 3 şi a – b =115, află care este valoarea numerică a

numerelor a şi b. Inst. Stancu Floarea, Şc. Gen. Nr 14 Al. Davila - Piteşti

CLASA a IV-a

1. Aflaţi numerele a, b, c, d din egalităţile:

a : 4 = 2006 b + a = 10000 c : b = 1 a + b + c + d = 100000

Inst. Bivolaru Cristina, G.S.I Turceni 2. Suma a trei numere naturale este 2135. Dacă primul număr ar fi mai

mare cu 5, el ar fi de două ori mai mic decât al doilea număr şi de 17 ori mai mic decât al treilea număr. Care sunt cele trei numere?

Inst. Vladu Ana Nicoleta, Şc. Gen. Bolboşi 3. Produsul a două numere naturale este 70. Aflaţi cele două numere

ştiind că unul este cu 3 mai mic decât celălalt. Inst. Priescu Nicoleta, Liceul Roşia Jiu

4. Află numărul necunoscut: 520 – [( 103 x 8 – 824 : 4 ) · x ] · 2 = 108 {[( x + 5 ) x 5 - 5 ] : 5 + 5 } · 5 - 5 = 1400

Înv. Pîrvulescu Maria, Şc. Gen. Al. Ştefulescu - Tg- Jiu


33

5. Află cifra ,,a“ din egalitatea: aaa + 2 · aaa + 3 · aaa = 2664 Înv. Pecingină Carmen, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

6. La un concurs au participat trei echipe, de la trei şcoli. La sfârşitul concursului, acestea au totalizat 600 de puncte după cum urmează:

prima echipă a câştigat 63

din totalul punctelor, a doua echipă a obţinut

64

din rest, iar a treia echipă restul punctelor.

Câte puncte a obţinut fiecare echipă? Înv. Mihăilă Lăcrămioara, Şc. Gen. Strâmba Jiu- Turceni

7. Un număr de trei cifre are cifra zecilor cât dublul cifrei sutelor şi de trei ori mai mare decât cifra unităţilor. Suma celor trei cifre este 11. Care este numărul ?

Inst. Vladu Ana Nicoleta, Şc. Gen. Bolboşi 8. Suma a patru numere este 225. Dacă adunăm 4 la primul număr,

scădem 4 din al doilea număr, pe al treilea număr îl înmulţim cu 4, pe al patrulea număr îl împărţim la 4, vom obţine aceleaşi numere. Care sunt cele patru numere?

Inst. Bivolaru Cristina, G.S.I Turceni 9. Radu cumpără un caiet, o gumă , un creion şi plăteşte 21 lei. Vasilica

cumpără un caiet, trei gume, trei creioane şi plăteşte 39 lei, iar Angela cumpără două caiete, două gume, un creion şi plăteşte şi plăteşte 40 lei. Aflaţi preţul fiecărui obiect. Înv. Pecingină Carmen, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

10. La grădina zoologică a sosit într-o zi cel mai mare număr de vizitatori cuprins între 90 şi 100. Un bilet de intrare costă 10000 lei vechi, elevii

şi studenţii având reducere la jumătate. Ştiind că 31

din numărul

vizitatorilor a plătit integral biletul, iar restul la preţ redus, aflaţi suma încasată în acea zi.

Înv. Pîrvulescu Maria, Şc. Gen. Al. Ştefulescu – Tg –Jiu 11. Află latura unui pătrat care are perimetrul egal cu perimetrul unui

dreptunghi care are lăţimea 31

din lungime, iar lungimea cu 30 cm mai

mare decât latura unui triunghi echilateral care are suma laturilor egală cu 126 cm.

Inst. Bivolaru Cristina, G.S.I Turceni


34

12. Într-o curte sunt oi şi găini, în total 35 de capete şi 94 de picioare. Câte oi şi câte găini sunt în acea curte ?

Înv. Ion Tudoriţa, Şc. Gen. Ţînţăreni 13. Diferenţa dintre triplul triplului unui număr şi treimea sa este 2028.

Aflaţi numărul. Inst. Şurcă Adriana, Şc. Gen. Sf. Nicolae Tg -Jiu

14. La întrebarea ,,câţi copii are“ Sfânta Duminică i-a răspuns fetei astfel: jumătate din copii mei au coadă stufoasă, o pătrime din ei nu au coadă, o optime din ei au ţepi, iar restul de 6, nu au picioare. Câţi copii are Sfânta Duminică?

Înv. Pecingină Carmen, Şc.Gen. Nr 1 Rovinari 15. Pe malul unui lac de agrement se află un grup de tineri. Aceştia doresc

să închirieze nişte bărci şi îşi fac următorul calcul: dacă se vor urca câte doi într-o barcă, vor rămâne pe mal 4 tineri, iar dacă se vor urca câte 3 într-o barcă, un tânăr va fi singur în barcă. Câte bărci şi câţi tineri au fost?

Înv. Pîrvulescu Maria, Şc. Gen. Al. Ştefulescu –Tg – Jiu 16. Câtul a două numere este 4, iar restul 3. Suma dintre deîmpărţit şi

împărţitor, cât şi rest este 35. Aflaţi cele două numere. Inst. Vladu Ana Nicoleta, Şc. Gen. Bolboşi

17. Determinaţi trei numere naturale x, y, z ştiind că: x + y + z =114 z – y = y – x = x

Inst. Priescu Nicoleta, Liceul Roşia – Jiu 18. Dacă împărţim un număr la alt număr vom obţine câtul 2 şi restul 34.

Aflaţi numerele dacă suma lor este 1204. Inst. Popeangă Ancuţa, Şc. Gen. Nr 1 Rovinari

19. Calculează: 101 + 5x ( 1 + 2 + 3 + 4 +……………..+ 99 + 100 ) = Inst. Stancu Floarea, Gen. Nr 14 Al. Davila –Piteşti 20. Perimetrul unui triunghi este de 156 cm, iar măsurile laturilor sale sunt

exprimate prin numere naturale consecutive pare. Care sunt măsurile laturilor triunghiului? Inst. Scheau Mihaela, Şc. Gen. Roşiuţa – Motru

21. Află două numere ştiind că au câtul 10 şi restul 9, iar diferenţa lor este egală cu ,,cel mai mare număr natural de trei cifre”.

Inst. Banţa Nicoleta, Şc. Primară Bîlta


35

22. Efectuaţi: a) ( ) ( ) 2:02564:805065:255 ⋅−−− b) ( )[ ] 10:251082105102 3 ⋅⋅−⋅⋅−⋅

c) ( )

958:998754 −⋅+

Inst. Popescu Zorica, G.S.I. Turceni 23. Aflaţi valorile lui x din egalităţile:

a) ( )[ ] 1146324x:6646834 =+⋅+⋅− b) ( ) 300753:2415x =⋅−+ c) ( )[ ] 19855432:260x =⋅+⋅+

Inst. Enache Constantin, G.S.I. Turceni

24. Determinaţi numerele naturale „n” pentru care fracţia 9

2n + este:

a) subunitară b) echiunitară c) supraunitară

Inst. Miroiu Domnica, G.S.I. Turceni 25. Suma a trei numere naturale este 986. Să se afle numerele, ştiind că al

doilea este cu 2 mai mare decât primul şi de 2 ori mai mic decât al treilea.

Inst. Enache Maria, G.S.I. Turceni 26. Media aritmetică a două numere este 12. Jumătatea celui de-al doilea

număr mărită de 3 ori este 9. Care este primul număr? Inst. Enache Constantin, G.S.I. Turceni

27. Opt caiete costă cu 1000 lei mai mult decât 3 caiete de acelaşi fel. Aflaţi câţi lei costă 109 caiete.

Inst. Miroiu Domnica, G.S.I. Turceni 28. Bogdan are de rezolvat un număr de probleme. Dacă ar rezolva câte 15

probleme pe zi le-ar termina într-un număr de zile, dacă ar rezolva câte 20 probleme pe zi ar termina cu 4 zile mai devreme. Câte probleme are de rezolvat Bogdan?

Inst. Popescu Zorica, G.S.I. Turceni 29. După ce a parcurs 38 km şi încă jumătate din drumul rămas, un

automobilist mai are de mers 2/5 din distanţa ce şi-a propus să o străbată. Câţi kilometri a parcurs în total?

Inst. Enache Maria, G.S.I. Turceni


36

30. Rezolvând următoarea expresie: ( ) 9

325:1002525

⋅−⋅

obţineţi suma

a trei numere naturale consecutive. a) Aflaţi cele trei numere; b) Considerând că primul număr reprezintă perimetrul unui pătrat

(exprimat în metri) aflaţi aria acestuia. c) Considerând că al doilea reprezintă lungimea unui dreptunghi, iar

ultimul de două ori lăţimea acestuia, calculaţi perimetrul şi aria acestuia.

Inst. Enache Constantin, G.S.I. Turceni CLASA a V-a

1. Determinaţi fracţiile subunitare de forma .Nn,21

6n5∈

+

Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni

2. Determinaţi fracţiile echiunitare de forma .Nn,10n36n4

∈++

Prof. Puzdrea Claudia, G.S.I. Turceni

3. Determinaţi fracţiile supraunitare de forma .Nn,7n2

23∈

+

Prof. Pomană Liviu, Şc Gen.Nr.1 Rovinari

4. Determinaţi numerele xy astfel încât fracţia 22 yx13+

să fie

echiunitară. Prof. Dădălău Florea, Colegiul Tehnic Mătăsari

5. Determinaţi fracţiile de forma y25x , subunitare ştiind că 5x este pătrat

perfect şi y2 este divizibil cu 3. Prof. Prunescu Romeo, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari

6. Simplificaţi fracţia .535

3433n1n

n1n2n

⋅−⋅−−

+

++

Prof. Tatarciuc Gieta, Şc.Gen.Nr.14 Piteşti


37

7. Arătaţi că fracţia 5n37n4

++ este ireductibilă.

Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni 8. Simplificaţi fracţiile:

a) ;4064239531

K

K

+++++++

b) .6040181212864

40301298643⋅++⋅⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅+⋅K

K

Prof. Mergea Maria, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari

9. Arătaţi că fracţia 452752

1nn

n1n

+⋅+⋅

+

+

este reductibilă oricare ar fi n număr

natural. Prof. Mihăilescu Delia, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari

10. Simplificaţi fracţia: .105252

124343n1nnn2n

1nnnn1n

+⋅+⋅+⋅+⋅++

++

Prof. Strinu Daniel, Lic. Roşia - Jiu 11. Determinaţi numărul natural n astfel încât fracţiile următoare să fie

numere naturale: a) 1n2

23+

; b) ;n

5n + c) .2n7n2

++

Prof. Dădălău Florea, Colegiul Tehnic Mătăsari

12. Calculaţi: .121

4523

46451

2372

2018:

1071

323 ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +


13. Efectuaţi: .2115:

321

332

776511

21

711

531

34110

523

5049

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+−⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−+

Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni

14. Calculaţi: ( )

( ).

3223

813

5,2375,141,0:4,45

61,03125,35,3:8325,8

+⋅−−−

⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −



38

15. Aflaţi x din egalitatea: .11121x21

21

21

21

=+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Prof. Puzdrea Claudia, G.S.I. Turceni 16. Dintr-un rezervor s-a scos la început jumătate din apa care se afla în el,

plus 21 hl, pe urmă, jumătate din rest plus

21 hl; în sfârşit, încă o

jumătate din rest plus 21 hl. După aceste operaţii rezervorul mai

conţine 6 hl de apă. Câtă apă a fost la început în rezervor? Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni

17. Să se determine toate numerele naturale nenule n al căror rest al

împărţirii prin 53 este egal cu 31 din pătratul câtului.

Prof. Tudor I. Gheorghe, Şc.Gen. Floreşti-Gorj 18. Arătaţi că dacă numărul natural x este un număr par, atunci numărul

x844x3 ++ este număr par. Prof.Pop Paraschiva, Şc.Gen..Nr.3,Rovinari

19. Într-un port erau ancorate patru vapoare. În ziua de 2 ianuarie 2006, la amiază, toate patru au părăsit în acelaşi timp portul. Se ştie că primul vapor revine în portul respectiv din 4 în 4 săptămâni, al doilea din 8 în 8 săptămâni, al treilea la fiecare 12 săptămâni, iar al patrulea la 16 săptămâni. La ce dată se vor întâlni din nou toate cele patru vapoare?

Prof.Pop Paraschiva, Şc.Gen..Nr.3,Rovinari 20. Alegeţi 13 numere naturale, dintre care 11 diferite şi 2 identice şi

scrieţi-le în cerculeţele din figură în aşa fel încât suma numerelor din fiecare rând să fie 20.

Prof.Pop Paraschiva, Şc.Gen..Nr.3,Rovinari

CLASA a VI-a

1. Aflaţi x din: a) 54

25x= ; b)

35

91x=

+ ; c) ( )( ) ( ) .1,0

x2,03,0=


2. Dacă 43

ba= , calculaţi .

b3a4b2a3

++



39

3. Dacă ,27

b3a2b5a4=

−+ aflaţi .

ba

Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni 4. Împărţiţi numărul 144 în părţi direct proporţionale cu 2, 3 şi 7.

Prof. Prunescu Romeo, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 5. Împărţiţi numărul 39 în părţi invers proporţionale cu 2, 3 şi 4.

Prof. Puzdrea Claudia, G.S.I. Turceni 6. Într-o urnă sunt 100 de bile numerotate cu numere de la 1 la 100. Se

extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul bilei extrase să fie pătrat perfect?

Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni 7. 10 muncitori termină o lucrare în 20 de zile. 20 de muncitori în câte

zile termină aceeaşi lucrare? Prof. Tatarciuc Gieta, Şc.Gen.Nr.14 Piteşti

8. 6 muncitori fac o jumătate de lucrare în 12 zile. Mai vin apoi 3 muncitori. În câte zile se termină lucrarea?

Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni 9. Determinaţi a, b, c invers proporţionale cu 2, 3 şi 4 ştiind că:

.29c4

b3

a2

=++


10. Să se afle x din proporţia: ( ) ,0016,0

6,16

2ba

abx ⋅=

+ ştiind că .

501b,

21a ==

Prof. Tudor I. Gheorghe, Şc.Gen. Floreşti-Gorj 11. Pe baza BC a triunghiului isoscel ABC se construieşte pătratul BCC’B’

şi { } { }.NBC'AC,MBC'AB =∩=∩ Să se arate că [ ] [ ]M'CN'B ≡ .

Prof. Mihăilescu Delia, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 12. În triunghiul isoscel ABC, [ ] [ ]ACAB ≡ , fie ND mediatoarea laturii AB

( )ACD∈ şi BD bisectoarea unghiului B.

Să se arate că: ( ) ( ) ( )°=

+= 36

4CmBmCABm .



40

13. Fie AD bisectoarea unghiului A ( )BCD∈ iar simetricele punctului D faţă de AC şi AB, sunt respectiv M şi N. Să se arate că [ ] [ ]DNDM ≡ .

Prof. Strinu Daniel, Lic. Roşia - Jiu 14. Se dă triunghiul ABC în care ( ) °= 60Bm iar ( ) °= 30Cm . Bisectoarea

interioară a unghiului B intersectează pe AC în D. Din punctul D se duce perpendiculara DM pe BC ( )BCM∈ . Prelungirea lui MD intersectează pe AB în N. Să se arate că triunghiul BNC este echilateral.

Prof. Pomană Liviu, Şc Gen.Nr.1 Rovinari 15. Să se arate că dacă două unghiuri au două laturi paralele şi celelalte

două perpendiculare, suma sau diferenţa măsurilor lor este egală cu măsura unui unghi drept sau cu măsura a trei unghiuri drepte.

Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni 16. Într-un triunghi ABC, măsura unghiului A este de două ori mai mare ca

măsura unghiului B. Bisectoarea unghiului A intersectează pe BC în D, iar bisectoarea unghiului ADC intersectează pe AC în E. a) Să se arate că DE || AB; b) Ce fel de triunghiuri sunt ABD şi ADE?

Prof. Tatarciuc Gieta, Şc.Gen.Nr.14 Piteşti 17. Să se arate că picioarele perpendicularelor duse din centrul unui romb

pe laturile sale sunt vârfurile unui dreptunghi. Prof. Dădălău Florea, Colegiul Tehnic Mătăsari

18. Fie triunghiul ABC isoscel, [ ] [ ] .ACD,ACAB ∈≡ Se prelungeşte latura AB cu [ ] [ ] { }.FBCDE,CDBE =∩≡ Să se arate că F este mijlocul lui DE.

Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni 19. În triunghiul ABC se duce bisectoarea AA’, iar prin A’ se duc A’M şi

A’N paralele la laturile AB şi AC ale triunghiului; .ACN,ABM ∈∈ Să se arate că AMA’N este romb.

Prof. Mergea Maria, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 20. Într-un trapez isoscel ABCD, ( BC baza mare şi AD baza mică) latura

neparalelă AB este egală cu baza mică şi cu jumătate din baza mare. Se cer: a) unghiurile trapezului; b) ce fel triunghi este ABC.

Prof. Nanu Ion, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari


41

CLASA a VII-a 1. Efectuaţi:

a) ( ) ( );xxz3yx2:zyx6 2224 −⋅+− b) ( ) ( )334234 xy:xy4yxyx −+− .

Prof. Pomană Liviu, Şc Gen.Nr.1 Rovinari 2. Calculaţi:

a) ( ) ( ) ( )( );y2x5y2x5y3x4y2x3 22 +−−−++

b) ( ) ( ) ( )( )37371102522

−+−−++ . Prof. Traşcă Liviu,G.S.I. Turceni

3. Descompuneţi în factori: a) ;yx15yx10yx5 452336 −+ b) ;5x6x 2 ++ c) ;10x7x 2 +− d) ;6xx 2 −+ e) 12xx 2 −− .


4. Dacă 7a1a =+ , calculaţi 2

2

a1a + .

Prof. Puzdrea Claudia,G.S.I. Turceni 5. Dacă 2a4a 2 −=+ , calculaţi 4a16a20a8a 234 ++++ .

Prof. Traşcă Liviu,G.S.I. Turceni 6. a) Dacă 321

cifren

11...11a−

= , atunci 321cifren2

2 11...11a2a9−

=+ .

b) Arătaţi că expresia nnn 432 ++ nu este pătrat perfect pentru orice număr natural n > 1 impar.


7. Rezolvaţi ecuaţia: 10x

57

757

13845

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

.

Prof. Strinu Daniel, Lic. Roşia - Jiu

8. Rezolvaţi ecuaţia: 121

21x

61

44x

32x

+−

=+−

−+ .



42

9. Rezolvaţi sistemul:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=−−

52

4y4x

51

1y1x

.


10. Să se rezolve sistemul:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

2y3

x5

7y4

x3

.

Prof. Mihăilescu Delia, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 11. Suma cifrelor unui număr de două cifre este 11. Dacă adăugăm la acest

număr 63, obţinem un număr format din aceleaşi cifre, dar aşezate invers. Să se afle numărul.

Prof. Mergea Maria, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 12. Triunghiul isoscel ABC, AB = AC = 8 cm şi înălţimea AD = 6,4 cm,

este înscris într-un cerc de centru O. a) Să se calculeze raza cercului; b) Să se determine aria triunghiului.

Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni 13. Catetele unui triunghi dreptunghic au 8 şi 15 cm. Cât este raza cercului

înscris în acest triunghi? Prof. Puzdrea Claudia,G.S.I. Turceni

14. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt de 8 dm şi 18 cm. Să se determine raza cercului circumscris.

Prof. Traşcă Liviu,G.S.I. Turceni

15. Perimetrul unui dreptunghi ABCD este de 3218 cm. Raportul dintre

dimensiunile dreptunghiului este 43 . Din vârful A al dreptunghiului se

duce o perpendiculară pe diagonala BD care intersectează pe BD în O şi pe BC în F. Să se determine: a) perimetrul triunghiului BOF;

b) valoarea raportului OAOF ; c) aria AFCD.



43

16. Să se calculeze aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 65 cm, 40 cm şi 87 cm.

Prof. Dădălău Florea, Colegiul Tehnic Mătăsari 17. Un coş de fabrică înalt de 30 m lasă o umbră de 45 m. Să se afle

înălţimea soarelui deasupra orizontului, în momentul când s-a măsurat umbra.

Prof. Mihăilescu Delia, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 18. Într-un trapez isoscel, diferenţa lungimilor bazelor este de 2 cm, iar

linia mijlocie are lungimea de 6 cm. Latura neparalelă face cu baza un unghi de 60°. Să se calculeze lungimea bazelor trapezului şi aria sa.


19. Raportul lungimilor catetelor unui triunghi dreptunghic este 43 , iar

lungimea ipotenuzei este de 175 cm. Să se afle lungimile celor două catete şi diferenţa dintre cele două segmente determinate pe ipotenuză de înălţimea ce pleacă din vârful unghiului drept.

Prof. Puzdrea Claudia,G.S.I. Turceni 20. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 12,5 cm, iar diferenţa catetelor

2,5 cm. Să se afle catetele şi razele cercurilor înscris şi circumscris triunghiului.

Prof. Tudor I. Gheorghe, Şc.Gen. Floreşti-Gorj 21. Să se afle unghiurile unui triunghi dreptunghic care are aria egală cu

8n din pătratul ipotenuzei, unde { }3,2,1n∈ .

Prof. Tudor I. Gheorghe, Şc.Gen. Floreşti-Gorj CLASA a VIII-a

1. Fie f : R → R, definită prin ( )

( ]( ]

( ]( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞∈−∈+−

−∈−∞−∈−

=

,5x,2x35,1x,1x

1,2x,42,x,3x

xf .

Să se calculeze: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7f;5f;23f;1f;2f;3f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−− .



44

2. Fie f :{ } R4,2,0 → , ( ) 2x3xxf 2 −+−= , să se determine mulţimea valorilor lui f.

Prof. Pomană Liviu, Şc Gen.Nr.1 Rovinari 3. Fie f : R → R, f(x) = 3x - 1. Care dintre punctele următoare aparţin

graficului funcţiei: A(0,-1), B(2,6), C(-1,-4), D(3,10)? Prof. Puzdrea Claudia,G.S.I. Turceni

4. Reprezentaţi grafic funcţia: f : R → R, ( ) 23xxf −= .


5. Reprezentaţi garfic funcţia: f : R → R, ( ) ( ]( )⎩

⎨⎧

∞∈∞−∈−

=,1x,x2

1,x,1xxf .

Prof. Strinu Daniel, Lic. Roşia - Jiu 6. Să se determine funcţia liniară f : R → R care îndeplineşte condiţia:

( ) ( ) 14xx2f2xf3 +=−+ , pentru orice număr real x. Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni

7. Să se determine funcţia liniară al cărui grafic conţine punctele A(-2,-3) şi B(1,3).


8. Să se rezolve ecuaţiile:

a) ;04x

12x

12x

12 =−

+−

++

b) x

2x3x2x −=

+− .

Prof. Dădălău Florea, Colegiul Tehnic Mătăsari 9. Să se discute în funcţie de parametrul real m ecuaţiile:

a) 2mx + 6 = 4x – 12m; b) (m – 1)x – 3 = 0.

Prof. Mihăilescu Delia, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 10. Rezolvaţi ecuaţiile de gradul doi:

a) ;02x5x2 2 =++ b) ( ) 01x31x3 2 =+++ .

Prof. Mergea Maria, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 11. Fie ABC un triunghi echilateral cu latura BC conţinută în planul α . Fie

BCD proiecţia triunghiului ABC pe planul α . Ştiind că ariile


45

triunghiurilor ABC şi BCD sunt egale cu a şi b, a > 0, b > 0, să se arate

că: 3a

baAD22

⋅−

= .

Prof. Tudor I. Gheorghe, Şc.Gen. Floreşti-Gorj 12. Un paralelipiped dreptunghic are volumul de 480 3dm , lungimea şi

lăţimea bazei respectiv de 8 dm şi 6 dm. Să se calculeze: a) aria totală; b) diagonala paralelipipedului; c) măsura unghiului dintre diagonala bazei şi diagonala paralelipipedului.

Prof. Nanu Ion, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari 13. O piramidă regulată are ca bază un triunghi înscris într-un cerc de rază

12 cm, iar aria laterală 1080 2cm . Să se afle volumul piramidei. Prof. Pomană Liviu, Şc Gen.Nr.1 Rovinari

14. O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei 6 dm. Înălţimea piramidei este cât înălţimea triunghiului de bază. Să se calculeze volumul piramidei.

Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni 15. O piramidă regulată are ca bază un pătrat cu diagonala 230 cm, iar

înălţimea de două ori cât apotema bazei. Să se afle volumul piramidei. Prof. Tatarciuc Gieta, Şc.Gen.Nr.14 Piteşti

16. O piramidă hexagonală regulată are latura bazei de 8 cm. Ştiind că înălţimea este triplul apotemei bazei, să se afle volumul piramidei.

Prof. Dădălău Florea, Colegiul Tehnic Mătăsari 17. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 4 cm

şi 6 cm. Volumul său este de 44 3cm . Să se calculeze aria totală. Prof. Mergea Maria, Şc.Gen.Nr.1 Rovinari

18. Secţiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu diagonala 26 cm. Să se calculeze volumul şi aria laterală a cilindrului.

Prof. Badea Elena Steluţa, G.S.I. Turceni 19. Înălţimea unui con este de 12 cm, iar volumul său este de 1024π cm 3 .

Să se afle aria laterală şi aria totală a conului. Prof. Traşcă Liviu, G.S.I. Turceni

20. Într-un trunchi de con, înălţimea este de 8 m. Ea este media aritmetică a celor două raze. Să se afle volumul trunchiului, ştiind că generatoarea este de 28 cm.



46

CICLUL PRIMAR

1. Cu cât este mai mare suma numerelor impare cuprinse între 10 şi 30 decât suma numerelor pare cuprinse între 10 şi 30 ?

2. Aflaţi numărul necunoscut x, ştiind că : a) 178 – ( x + 21 ) = 46; b) ( 80 – x ) + 68 = 111. 3. Am adunat 13 numere naturale distincte şi am obţinut 92. Care sunt numerele ? 4. Diferenţa a două numere este 120. Care sunt numerele dacă unul

dintre ele este de 6 ori mai mare decât celălalt ? 5. În timp ce Eliza mănâncă două prăjituri , Corina mănâncă 3.

Fetele au mâncat împreună 20 prăjituri. Câte prăjituri au mâncat fiecare ? 6. Află un număr , ştiind că dacă scazi din el jumătate şi încă 500

obţii 100. Numărul aflat împarte-l apoi la valoarea numărului ,,x “ din egalitatea următoare :

2 + 2 · { 2 + 2 · [ 2 + 2 · ( 2 – 2 : x )]} =22 Cât ai obţinut ? 7. Dacă elevii se aşează câte doi într-o bancă rămân 10 elevi în

picioare. Dacă se aşează câte trei într-o bancă , rămân două bănci libere şi una ocupată de un singur elev.

Câte bănci şi câţi elevi sunt ? 8. Câte hectare are un teren în formă de dreptunghi cu lungimea de

250 m, iar lăţimea 54 din lungime ?

9. 21 din numărul 372 este egal cu

41 din alt număr. Află acel

număr. 10. Bunica mea s-a născut în al şaptelea an din deceniul al doilea al

secolului trecut._ Ce vârstă are acum bunica ?

PROBLEME PENTRU CONCURS


47

CICLUL GIMNAZIAL CLASA a V-a


2x11

2x11

x11

x13:5

−

−−

++

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

.

2. Calculaţi: 20062005

11413

11312

1⋅

++⋅

+⋅

K .

3. Să se afle ultima cifră a numărului: 200620062006 532 ++ . 4. Într-un coş sunt cu 35 de mere mai mult decât în al doilea coş şi

31 din merele din primul coş reprezintă

43 din numărul de mere

din al doilea coş. Câte mere sunt în fiecare coş?

5. Aflaţi x, y, z din egalitatea: 80222 3z21y3x5 =++ ++ . 6. Să se găsească numerele de forma ab care au proprietatea

Nba

272 ∈+

.

7. Se dau numerele a, b N∈ astfel încât 41

ba= . Arătaţi că

ba5a19b25x

−−

= este cubul unui număr natural.

8. Arătaţi că fracţia 4n5n2n3n

2

2

++++ este reductibilă, oricare ar fi

numărul natural n.

9. Demonstraţi că: ( ) 491

31

218,0 ≤+++≤ K .

10. Arătaţi că produsul a oricăror trei numere naturale consecutive este divizibil cu 6.


48

CLASA a VI-a

1. Să se arate că 211

b3a2b4a7

53

ba

=+−

⇔= .

2. Ştiind că +∈+

=+

=+

Qc,b,a;b2a

c3c3a

b2c3b2

a , calculaţi

( ) ( ) Nk,1c1

b1

a1cba 1k3 ∈−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++ + .

3. Trei numere sunt proporţionale cu 25%, 15% respectiv 20% din suma lor. Câte părţi din suma lor reprezintă fiecare număr?

4. O echipă formată din 10 muncitori poate termina o lucrare în 20 de zile. După ce echipa lucrează 10 zile, 6 muncitori sunt trimişi în altă parte să lucreze. În cât timp vor termina lucrarea muncitorii care au rămas?

5. Să se afle numerele naturale nenule n şi x din proporţia: ( )

14x

1n21nn=

++ .

6. În triunghiul ascuţitunghic ABC, înălţimea BM şi bisectoarea CN se intersectează în D. Dacă măsurile unghiurilor ACB, DMN şi DNM sunt direct proporţionale cu 6, 2, respectiv 4, arătaţi că BM = 3DM.

7. Pe dreapta d se consideră punctele A, C, D şi B în această ordine, astfel încât 7AC = 3CB şi 3AD = 2DB. Arătaţi că AB = 10CD.

8. Triunghiurile ABC şi A’B’C’ au acelaşi perimetru, BC = B’C’ şi ( ) ( )'BmBm = . Demonstraţi că triunghiurile sunt congruente.

9. Măsurile unghiurilor neadiacente AOB şi BOC sunt egale cu °70 şi respectiv cu °80 . Calculaţi măsura unghiului format de semidreptele (OA şi (OC, precum şi măsura unghiului format de bisectoarele celor două unghiuri.

10. Să se afle măsura unui unghi cu proprietatea că măsura complementului lui şi măsura suplementului complementului lui sunt direct proporţionale cu 4 şi 5.


49

CLASA a VII-a

1. Aflaţi perechile naturale (a,x) astfel încât:

( )1x2112x6a −−=−+ . 2. Numerele x şi y sunt direct proporţionale cu numerele 5 şi 6, iar

numerele y şi z sunt invers proporţionale cu numerele 3 şi 4. Verificaţi care dintre numerele 22 yx + şi 22 zy + sunt pătrate perfecte.

3. Să se rezolve în mulţimea N ecuaţia: yx,1565055 yx ≤=+ . 4. Arătaţi că nu există nici un număr raţional x cu proprietatea că:

01x3x 2005 =−− .

5. Rezolvaţi în ∗Z ecuaţia: p1

y1

x1

=+ , p număr prim.

6. În dreptunghiul ABCD, perpendiculara din C pe diagonala BD intersectează pe AB în M şi pe AD în P. Să se arate că: a)

;PBDM ⊥ b) PCDADCDB ⋅=⋅ . 7. În triunghiul ABC isoscel, ( ) °=120Am . Fie M mijlocul laturii

AB. Perpendiculara din M pe BC intersectează pe AC în D şi BCAE ⊥ , ( )BCE∈ . Arătaţi că: a) ΔDAM este echilateral; b)

DAEM este romb; c) CD = 3AD. 8. În triunghiul ABC dreptunghic în A cu AB < AC, considerăm

înălţimea AD şi mediana AM ( )BCM,D ∈ . Calculaţi măsurile unghiurilor triunghiului AMC ştiind că MADDAB ≡ .

9. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, AC = 20 cm şi BC = 25 cm. Dacă M este mijlocul laturii AC, iar N se ia pe latura BC astfel încât CN = 8 cm, arătaţi că BCMN ⊥ .

10. Fie dreptunghiul ABCD şi punctele ( ) ( )CDF,BCE ∈∈ , astfel încât EAFFAD ≡ . Arătaţi că dacă DF + BE = AE, atunci ABCD este pătrat.


50

CLASA a VIII-a 1. Ştiind că ∗∈=++ Rc,b,a,0cba , arătaţi că:

9c

bab

aca

cbba

cca

bcb

a=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++

+.

2. Fie funcţia { } B3,2,1:f → care verifică relaţia ( ) ( ) { }3,2,1x,1x2xxf2xf 2 ∈∀+=− .

a) Calculaţi valorile pe care le poate lua f(2); b) Determinaţi mulţimea B cu un număr minim de elemente care poate fi codomeniu pentru orice funcţie ce verifică relaţia dată şi apoi descrieţi toate aceste funcţii.

3. Calculaţi: 2006200620052006

3323

2212

111

4

2

4

2

4

2

4

2

+−

+++−

++−

++

K .

4. Fie Zd,c,b,a ∈ . Arătaţi că dacă:

( ) ( )2

22

2

31d3c

31b3a ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− , atunci a = c şi b = d.

5. Aflaţi restul împărţirii numărului 199103102101 6666N ++++= K la 43.

6. Fie a, b, c drepte incluse în planul α şi { }Ocba =∩∩ . Prin O trece o dreaptă m care formează de aceeaşi parte a planului α , cu dreptele a, b, respectiv c, unghiuri congruente. Să se demonstreze că α⊥m .

7. Suma laturilor unui paralelipiped dreptunghic este egală cu 68 cm. Dacă aria totală a paralelipipedului este egală cu 208 cm 2 , calculaţi diagonala sa.

8. Latura rombului ABCD este egală cu 6 cm, ( ) ⊥°= MA,60Am (ABCD) şi 33MA = cm, iar G este centrul

de greutate al triunghiului BCD. Calculaţi distanţa de la punctul M la dreapta BG.

9. Se dau punctele necoplanare A, B, C, D şi fie M, N, P, Q mijloacele segmentelor AC, BM, NC, respectiv BP. Demonstraţi că punctele A, N, Q, D sunt coplanare şi MP || (AQD).


51

VARIANTA 1 PARTEA I (45 puncte)

1. a) Rezultatul calculului 25 – 10 : 5 este egal cu ... b) 40% din 25 este egal cu ... c) Rezultatul calculului 25,14 : 0,03 este egal cu ...

2. a) Dacă 4x = 20, atunci numărul real x este egal cu ... b) Dacă 4(x + 1) = 20, atunci numărul real x este egal cu ... c) Dacă |x + 3| = 0, atunci numărul real x este egal cu ...

3. a) Cel mai mic număr natural de patru cifre este egal cu ... b) Dintre 1019 şi 1020 este mai mare numărul ... c) Dintre numerele 19 şi 23 este mai mare numărul ...

4. În figura 1, măsura unghiului ADC este de 80°, iar măsura unghiului BAC este de 30°. a) Măsura arcului mic BC este egală cu ... b) Măsura arcului ABC este egală cu ... c) Măsura unghiului ACB este egală cu ...

5. Cilindrul circular drept din figura 2 are înălţimea OO’ = 6 cm şi diametrul bazei AB = 8 cm. a) Raza cilindrului este egală cu ... cm b) Lungimea cercului, bază a cilindrului, este egală cu ... cm c) Aria totală a cilindrului este egală cu ... cm². PARTEA a II-a (45 puncte)

1. Fie numerele de forma ab , scrise în baza 10, cu a 0≠ . a) Arătaţi că numărul baab + este divizibil cu 11;

TESTAREA NAŢIONALĂ


52

b) Fie proporţia ab1

1620bab

2 =+

. Aflaţi numerele ab .

2. Fie funcţia ( ) 4x2xf,RR:f +−=→ . a) Reprezentaţi grafic funcţia; b) Calculaţi aria triunghiului determinat de graficul funcţiei şi axele de coordonate; c) Rezolvaţi inecuaţia: ( ) 02nnf ≥+ , în mulţimea numerelor naturale.

3. În figura 3, ABCA’B’C’ este un trunchi de piramidă triunghiulară regulată. Înălţimea OO’ a trunchiului are lungimea de 3 cm, iar apotemele bazelor au lungimile de 1 cm, respectiv 5 cm. a) Completaţi pe foaia de examen desenul cu triunghiul AC’B; b) Calculaţi aria laterală a trunchiului de piramidă; c) Calculaţi volumul trunchiului de piramidă; d) Calculaţi tangenta unghiului dintre planele (AC’B) şi (ABC).


1. a) 30% din 30 este egal cu ...

b) Fracţia ireductibilă egală cu 2520 este ...

c) Rezultatul calculului 54:

2520 este egal cu ...

2. a) Dacă x – 3 = 3, atunci numărul natural x este egal cu ... b) Dacă 3(x - 2) = 2(2 - x), atunci numărul natural x este egal cu ... c) Dacă 4x – 1 < 7, atunci numărul real x se află în intervalul (- ∞;...).

3. a) 1 m = ... cm; b) 4500 m = ... km; c) 2 ha = ... m².


53

4. În figura 1, triunghiul ABC este isoscel de bază BC, măsura unghiului BAC este de 120°, AB = 10 cm, iar AD şi BE sunt înălţimi. a) Măsura unghiului ACB este egală cu ... °; b) Lungimea laturii AD este egală cu ... cm; c) Lungimea bazei BC este egală cu ... cm.

5. Conul circular drept din figura 2 are VO = 3 cm şi diametrul AB = 8 cm. a) Raza bazei conului este egală cu ... cm; b) Generatoarea conului este egală cu ... cm; c) Aria laterală a conului este egală cu .. cm². PARTEA a II-a (45 puncte)

1. Fie numărul ab , scris în baza 10 cu a şi b ≠ 0. a) Arătaţi că numărul baab − este divizibil cu 9. b) Dacă împărţim numărul ba la suma cifrelor sale obţinem câtul 6 şi restul 11. Calculaţi numărul ab .

2. Considerăm funcţia ( ) x26xf,RR:f −=→ . a) Reprezentaţi grafic funcţia. b) Fie funcţia ( ) 6x4xg,RR:g −=→ . Calculaţi aria cuprinsă între reprezentările grafice ale funcţiilor f şi g şi axa Ox. c) Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia ( ) 2x4xf = .

3. În figura 3, ABCDA’B’C’D’ este un trunchi de piramidă patrulateră regulată care are AA’ = A’B’ = 4 cm. Măsura unghiului dintre BB’ şi planul (ABC) este de 45°.


54

a) Completaţi pe foaia de examen desenul cu segmentul AD’. b) Arătaţi că înălţimea trunchiului de piramidă are lungimea de 22 cm. c) Calculaţi volumul trunchiului de piramidă. d) Calculaţi tangenta unghiului dintre BB’ şi AD’.


1. a) Dublul numărului 20 este egal cu ... b) Sfertul numărului 44 este egal cu ... c) Rezultatul calculului 42 25 − este egal cu ...

2. a) Un divizor al numărului 12 este egal cu ... b) Descompus în factori primi numărul 16 este egal cu ... c) Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 şi 16 este egal cu ...

3. Fie proporţia b4

5a= .

a) produsul ab este egal cu ... b) Rezultatul calculului ab – 20 : 5 este egal cu ... c) Dacă b = 60, atunci a = ...

4. În figura 1, punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor BC, respectiv CD, AM = 8 cm, MN = 5 cm şi BN = 7 cm. a) Lungimea segmentului AB este egală cu ... cm. b) Lungimea segmentului BC este egală cu ... cm. c) Lungimea segmentului CD este egală cu ... cm.


55

5. Prisma dreaptă ABCA’B’C’ din figura 2 are baza un triunghi echilateral de latură AB = 6 cm şi AB’ = 10 cm. a) Perimetrul bazei prismei este egal cu ... cm. b) Înălţimea prismei este egală cu ... cm. c) Aria laterală a prismei este egală cu ... cm². PARTEA a II-a (45 puncte)

1. Considerăm numerele ab scrise în baza 10 cu a ≠ 0 şi a ≠ b. a) Câte astfel de numere există? Justificaţi răspunsul. b) Găsiţi toate numerele ab care îndeplinesc condiţia: baab + este pătrat perfect şi a > b.

2. Considerăm funcţia ( ) 1a2axxf,RR:f +−=→ , unde a este un număr real. a) Rezolvaţi ecuaţia f(x) = 0. b) Pentru a = 2, reprezentaţi grafic funcţia f. c) Pentru a = 2, M şi N sunt proiecţiile punctelor A(-1;f(-1)) şi D(2;f(2)) pe axa Ox a sistemului de coordonate. Calculaţi aria patrulaterului cu vârfurile în punctele M, D, N, A.

3. Secţiunea axială a trunchiului de con circular drept din figura 3 este un trapez isoscel ABCD în care măsura unghiului ADB este de 90°, BC = 40 cm şi OO’ = 24 cm. a) Completaţi pe foaia de examen desenul cu diagonala BD. b) Arătaţi că raza bazei mari OB are lungimea de 25 cm. c) Calculaţi volumul conului din care provine trunchiul. d) Calculaţi sinusul unghiului dintre dreptele AD şi BC.

Propuse de Prof. Pomană Liviu, Şc. Gen. Nr. 1, Rovinari


56

CLASA I NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Calculaţi:

5 + 20 = 86 – 25 = 2 + 2 + 20 = 7 + 32 = 99 – 46 = 3 + 3 + 30 =

2. Aflaţi numărul cu 14 mai mare decât 10. 3. Care este diferenţa numerelor 70 şi 40 ? 4. Câte zile are o săptămână ? 5. Maria are 11 găini, iar Corina 17 boboci de raţă. Câte păsări au

împreună cele două fetiţe ? NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Calculaţi:

24 + 32 = 96 – 23 = 35 + 24 – 43 = 69 + 10 = 48 – 15 = 86 – 53 + 15 =

2. Aflaţi numărul cu 25 mai mic decât 68. 3. La suma numerelor 21 şi 46 adăugaţi 30. Cât obţineţi ? 4. Câte ore are o zi ? Dar două zile ? 5. Doi muncitori au de săpat un şanţ lung de 35 m. În prima zi au săpat

10m, iar în a doua zi 14m. Câţi metri au mai rămas de săpat ? NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru – 45 min. 1. Calculaţi:

20 + 35 – 44 = 100 – ( 40 + 30 ) = 86 – 34 + 20 = 97 – ( 10 + 35 – 22 ) =

TESTE RECAPITULATIVE


57

2. Aflaţi termenul necunoscut: a + 42 = 69 87 – a = 52 a – 71 = 14

3. Luaţi din diferenţa numerelor 83 şi 40, suma numerelor 11 şi 12. Cât aţi obţinut ?

4. Care este lungimea gardului unei grădini în formă dreptunghiulară cu dimensiunile de 11 m şi de 32 m ?

5. La clasa I A sunt înscrişi 34 de elevi, iar la clasa I B sunt înscrişi cu 12 elevi mai puţin decât la clasa I A. Care este numărul total al elevilor înscrişi la cele două clase ?

CLASA a II-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru - 45 min 1. Calculează:

123 + 76 = 590 – 140 = 16 + 32 + 14 = 125 + 203 = 428 – 117 = 47 + 16 + 3 =

2. Află termenul necunoscut: a + 142 = 356 377 – m = 145 n – 140 = 296

3. Află numărul care este: a) cu 273 mai mic decât: 793; 584; 605. b) cu 135 mai mare decât: 163; 516; 234.

4. La suma numerelor 125 şi 100 adaugă diferenţa numerelor 68 şi 34. 5. Bunica are în gospodăria sa 41 de găini, 56 de gâşte şi 12 curci. Câte păsări are bunica? NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Calculează:

586 + 123 = 900 – 173 = 60 + 50 – 84 = 234 + 174 = 620 – 143 = 53 – 27 +105 =

2. Află numărul care este cu 154 mai mic decât: 169; 675; 386 şi 174. 3. Mă gândesc la un număr, îl adun cu 243 şi obţin 900. La ce număr

m-am gândit ? 4. O grădină în formă de pătrat este împrejmuită de sârmă. Dacă pentru o

latură sunt necesari 25 m se sârmă câţi metri se folosesc în total ?


58

5. Într-o vază sunt 100 de flori. Dintre acestea 31 sunt garoafe, cu 5 mai puţine frezii, iar restul sunt lalele. Câte lalele sunt?

NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Calculează:

502 – 43 + 96 = 36 + 17 – 28 = 248 – 199 + 16 = 203 + 249 – 357 =

2. Află suma, apoi diferenţa numerelor 179 şi 87. 3. Verifică egalităţile:

27 + 33 + 49 = 15 + 25 + 69 148 + 12 – 75 = 185 + 57 – 175

4. Află termenul necunoscut: a – 230 + 715 = 1000 m – 468 = 500 – 345

5. Andrei avea acasă 52 timbre cu jucării şi 42 timbre cu flori. Mama i-a mai adus 20 timbre cu flori şi cu 18 mai puţine timbre cu jucării decât numărul de timbre cu jucării avut. Câte timbre are Andrei în total?

CLASA a III-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Efectuează:

7 · 10 = 101 · 3 = 82 : 2 = 47 – 19 · 2 = 25 · 4 = 400 : 10 = 1600 : 10 = 200 – 35 · 2 =

2. 1 oră = ? min 1 an = ? zile 20 săptămâni = ? zile 1 zi = ? ore 3. Află numărul necunoscut:

a : 7 = 32 105 : m = 5 a · 8 = 24 4. Află perimetrul unui pătrat cu latura de 20 m. 5. Un gospodar are 5 raţe, de 7 ori mai multe găini şi 12 curci.

Câte păsări are gospodarul ?


59

NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Efectuează:

28 : 4 = 182 x 4 = 300 – 81 : 9 x 10 = 75 : 5 = 514 x 10 = 37 x 4 + 95 : 5 + 10 x 0 =

2. Găseşte suma dintre optimea numărului 64 şi zecimea numărului 100. 3. Calculaţi: 245 + 721 – 5 x ( 121 – 15 ) – 38 x 3 = 4. Află latura unui pătrat care are suma laturilor egală cu 204 m. 5. Într-o livadă sunt 250 de meri, peri şi pruni. Numărul merilor este 40,

iar numărul perilor este de două ori mai mare decât numărul merilor. Restul sunt pruni. Câţi pruni sunt în livadă ?

NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Calculează:

1000 – 725 : 5 + ( 3 x 92 + 24 ) : 100 = 292 x 3 + 81 : 9 – ( 7 x 7 + 25 : 5 - 129 x 0 ) =

2. Află numărul necunoscut: a : 6 = 35 (rest 2) 418 : a = 4 (rest 2)

3. Suma a trei numere consecutive pare este 48. Care sunt numerele ? 4. Perimetrul unui dreptunghi este de 120cm. Ştiind că lungimea

dreptunghiului este de două ori mai mare decât lăţimea, află mărimile laturilor dreptunghiului.

5. Dacă adunaţi un număr cu triplul său obţineţi 840. Care este acel număr?

CLASA a IV-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Efectuează:

3497 x 2 – 55800 : 100 = 1985 + 15 · ( 15 + 2025 : 15 ) =

2. Află perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 12m şi lăţimea cu 4 m mai mică decât lungimea.


60

3. Suma a trei numere consecutive este 1056. Care sunt numerele?

4. Află: 41

din 560; 71

din 42; 32

din 36.

5. Trei copii au împreună 1120000 lei. Primul copil are cu 40000 lei mai mult decât al doilea, iar al treilea cu 80000 lei mai mult decât primul. Câţi lei are fiecare copil?

NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Efectuează:

[( 50 : 10 + 25 ) + 25 ] : 5 = 9 x 5 + 20 : 2 – 3 x 7 + 202 =

2. Află numărul necunoscut: ( 75 x a – 119000 + 75 ) x 5 = 5000

3. Suma a trei numere naturale consecutive este 1032. Aflaţi numerele. 4. Mama este de patru ori mai în vârstă decât fiul său, iar tatăl are cu 6 ani

mai mult decât mama. Câţi are fiecare, ştiind că suma vârstelor lor este de 78 ani?

5. 94 din numărul de elevi ai unei şcoli primare sunt băieţi, iar restul fete.

Câţi băieţi şi câte fete sunt, dacă numărul total al elevilor este 540. NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru - 45 min 1. Calculează:

{[ 12 x 5 – ( 121 : 11 – 630 : 63 ) x 5 ] : 55 – 1 } x 9999 = 3582 – 2 x {121 + 3 x [ 5 + ( 2 + 3x8 ) : 13]} =

2. Află numărul necunoscut: (a : 5 – 4505 ) · 180 – 3012 : 12 = 66709

3. Doi copii au împreună 3020 de timbre. Unul are de 4 ori mai puţine decât celălalt. Câte timbre are fiecare?

4. Află perimetrul unui dreptunghi cu aria egală 345 cm2, ştiind că lăţimea dreptunghiului este de 15 cm.

5. Să se afle numerele a căror sumă este de 642, iar dacă din fiecare se scade acelaşi număr se obţin numerele: 69, 176 şi 148.


61

CLASA a V-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min

1. Calculaţi: a) ;21

98:

34

9127 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅ b) ( ) ( )[ ] ( )3,05,161,23,4 +⋅+ ;

c) ( ) ( )2,05,1:25,25,213,0 −⋅+ . 2. Calculaţi: a) media aritmetică a numerelor: 2; 3; 5; 7; 8; b) media aritmetică a numerelor: 5,3; 2,75; 1,(3);

c) media aritmetică a numerelor: 312;

431;

21 .

3. Transformaţi în dm: 3,7 m; 0,025 km; 11,52 mm. 4. Un teren de formă dreptunghiulară are lungimea 3,2 m şi lăţimea o

pătrime din lungime. Calculaţi perimetrul şi aria terenului. 5. Aflaţi x din: ( )[ ] 15,2:1,223,1x =−⋅+ . NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min

1. Calculaţi: ( ) ( )

( ) 85:

501:01,009,001,0

02,004,0:1:05,0:1:401:1

:531

++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.


5x31

42x

61x

−+

=++

−− .

3. Transformaţi în 2dm : 0,1 ari; 0,03 ha; 1735 2mm . 4. Suma celor două laturi mai lungi ale unei grădini în formă de

dreptunghi este de 382 m. Lăţimea este cu 8,6 dam mai mică decât lungimea. Să se afle perimetrul şi8 aria grădinii.

5. Un vapor de 23000 t pleacă la vânătoare de balene. Echipamentul şi materialele necesare ocupă 4800 3m , iar echipajul a şasea parte din echipament şi materiale. Ce volum poate ocupa vânatul, dacă 1 t are capacitatea de 283 3m ?


62

NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru - 45 min 1. Să se afle cifrele a şi b care verifică relaţia: b2aab 2 ⋅+= .

2. Pentru ce valori naturale ale lui n, ( )2

1nn + se divide cu 4?

3. Să se arate că fracţia 4x42x2

++ este ireductibilă oricare ar fi x număr

natural.

4. Să se calculeze: 20062005

1...32

121

1⋅

++⋅

+⋅

.

5. Determinaţi cifra a astfel încât: Naa

0a4a∈

⋅ .

CLASA a VI-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Să se calculeze: a) ( ) ( ) ( )32:95 −−−+− ; b) ( ) ( ) ( )1:32 23 −−+− . 2. Să se rezolve ecuaţiile: a) 51x3 −=+− ; b) 73x2 −=− . 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţiile: a) 13x4 ≤−− ;

b) 41x5 −≥+ . 4. Fiind date două paralele tăiate de o secantă, să se demonstreze că

bisectoarele unghiurilor corespondete sunt paralele. 5. Să se demonstreze că mijloacele laturilor unui patrulater convex sunt

vârfurile unui paralelogram. În ce caz acest paralelogram devine romb, dreptunghi sau pătrat?

NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Să se calculeze: a) ( ) ( ) ( ) 44545455 234 −⋅−⋅−−⋅−+− ;

b) ( ) ( ) ( ) ( )2006200520052006 2006200520062005 −⋅−−−⋅− . 2. Să se rezolve ecuaţiile: a) 53x =− ; b) 821x22 =++⋅ .


63

3. Să se rezolve inecuaţiile: a) 15x3 ≤− ; b) 513x2 ≤−+⋅ . 4. Prin vârful A al unui triunghi ABC se duce o paralelă la BC.

Bisectoarea unghiului B taie paralela dusă prin A în N. Ştiind că BN = 20 cm, AB = 6 cm, calculaţi perimetrul triunghiului ABN.

5. Se prelungesc diagonalele unui paralelogram ABCD cu segmentele [ ] [ ]CNAM ≡ şi [ ] [ ]DTBK ≡ (în sensuri opuse). Să se arate că MKNT este paralelogram.

NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru - 45 min

1. Să se afle numărul întreg x ştiind că Z2x5x3∈

++ .

2. Arătaţi că dacă x, y, z sunt numere întregi astfel încât 0z6y8x3 =−− ,

atunci numărul ( ) Z12

z2xy∈

+ .

3. Să se rezolve ecuaţia: 531x2 =−− . 4. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 9 cm. Ştiind că triunghiul are o

latură cu 3 cm mai mare decât altă latură a sa, aflaţi lungimile laturilor triunghiului.

5. În triunghiul ABC dreptunghic în A, BE bisectoare, ACE∈ . Paralela dusă prin E la AB intersectează pe BC în D, iar paralela dusă prin E la BC intersectează pe AB în H. Dacă { }FACDH =∩ , demonstraţi că: a) BDEH este romb; b) ( ) °= 90CBFm .

CLASA a VII-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ( ) ( ) ( ) 51x35x22x33x6 −+=++++ ;

b) 215

1411x6

69x2

77x8

−+

=+

−− ; c) 53x2 =− .


64

2. Să se calculeze: a) 2429885032 +−+− ;

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

231

223

85

232 .

3. Aflaţi x din proporţia: 10404

72912

576120

x=

+.

4. Trapezul dreptunghic ABCD (AB || CD) cu măsura unghiului B de 60°, AB – CD = 12 cm şi BCAC⊥ . Aflaţi: a) perimetrul şi aria trapezului; b) aria triunghiului BCD; c) lungimile diagonale; d) { }MBCAD =∩ , aflaţi aria triunghiului MCD.

5. Triunghiul ABC este înscris într-un cerc de centru O. Ştiind că măsura arcelor AB şi AC este 60° şi BC = 24 să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului şi aria triunghiului.

NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Calculaţi x din: a) ( ) ( )( ) ( ) 63x22x2x51x3 22 ++=−+−− ;

b) ( ) ( ) 255x710x32210x5 +=−−+ .

2. Aflaţi x din proporţia: x

615mm

g

a = , unde am este media aritmetică şi

gm este media geometrică a numerelor: ( )[ ]133,2412a −+= şi

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

169161,0:

325b .

3. Să se rezolve sistemul: ⎪⎩

⎪⎨⎧

++=++−

+−=−+−

12y3x223y324x

43y2x347y223x.

4. Triunghiul ABC are măsura unghiului B egală cu 60° şi măsura unghiului C egală cu 45°, iar BCAD⊥ cu cm324AD = . Aflaţi: a) perimetrul triunghiului ABC; b) lungimile înălţimilor corespunzătoare laturilor AB şi AC; c) aria triunghiului ABC.


65

5. Lungimea dreptunghiului ABCD înscris în cercul de centru O este 310AB = cm şi este egală cu latura triunghiului echilateral înscris în

acelaşi cerc, iar lăţimea este egală cu latura hexagonului înscris în acelaşi cerc. Să se calculeze aria dreptunghiului şi diagonala lui.

NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru - 45 min 1. Să se rezolve ecuaţiile: a) 48x,9...x,2x,1x,0 =++++ ; b) ( ) ( ) 32xx1x221x 2 ++=−⋅++ .

2. Rezolvaţi sistemul:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

++−

=−+

++−

25y2x3

31y3x2

2611

5y2x32

1y3x21

.

3. Demonstraţi că: 4151...

31

211 ≤++++ .

4. În triunghiul dreptunghic ABC catetele sunt 2a2AB = şi a2AC = . Să se arate că medianele AD şi BE sunt perpendiculare.

5. Demonstraţi că mediatoarea segmentului determinat de picioarele a două înălţimi ale unui triunghi împarte cea de-a treia latura a triunghiului în două părţi egale.

CLASA a VIII-a NIVEL A (minim de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ( ) ( ) 51x33x2 =+−+ ; b) 010xx2 2 =−− ;

c) 3x2

25

2x−

=+ .

2. Rezolvaţi sistemul: ( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−+=++

=+

+−

a21a1aa1b3

43

4b2

1a

2

.


66

3. Rezolvaţi inecuaţiile: a) ( ) x1x58x5 ++≥+ ; b) ( )( ) 020x21x2x2 2 ≤+−++ . 4. Un con circular drept are raza bazei egală cu 30 m şi generatoarea de

50 m. Să se afle: a) aria laterală, aria totală şi volumul conului; b) măsura unghiului sectorului de cerc obţinut prin desfăşurarea laterală a conului.

5. Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată, latura bazei mari este de 30 cm, latura bazei mici este 12 cm, iar aria laterală este egală cu

2cm3378 . Să se afle: a) apotema, înălţimea şi muchia laterală a trunchiului de piramidă; b) volumul şi aria totală a trunchiului; c) măsura unghiului diedru format de o faţă laterală cu planul bazei.

NIVEL B (mediu de dificultate) Timp de lucru – 45 min 1. Să se rezolve ecuaţiile: a) ( ) ( ) ( ) 2222 x53x22x1x =−−+++ ;

b) 32xx2

2x2x

=+−

−−+ .

2. Rezolvaţi inecuaţiile: a) 331531028x −≥− ;

b) ( ) 13

73x2−≥

−−+ ; c) ( ) 015x3x ≤−−⋅− .

3. Rezolvaţi sistemul: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+

=−

6x33y22

53

x2

y.

4. Trunchiul de piramidă ABCDA’B’C’D’ are înălţimea egală cu 21 cm,

iar raportul laturilor bazelor egal cu 52 . Ştiind că trapezul isoscel

ACC’A’ are diagonalele perpendiculare, aflaţi: a) laturile bazelor trunchiului; b) aria laterală şi volumul trunchiului; c) aria laterală şi volumul din care provine trunchiul; d) sinusul unghiului format de BB’ cu planul (C’CD).

5. Secţiunea axială a unui con circular drept este un triunghi isoscel având un unghi de 120°. Ştiind că generatoarea conului este egală cu 36 cm,


67

să se afle: a) raza şi înălţimea conului; b) aria totală şi volumul conului; c) aria laterală şi volumul trunchiului obţinut prin secţionarea conului

cu un plan paralel cu baza situat la 94 din înălţime.

NIVEL C (sporit de dificultate) Timp de lucru - 45 min 1. Pentru 1m −≥ , rezolvaţi ecuaţia: ( ) 02mx3mx 2 =++++ . 2. Se consideră mulţimile: ( ){ }3x10;2xminRxA ≥−+∈= şi

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−−

∈= 04x9xRxB

2

2

. Să se calculeze BA,BA ∩∪ ,A – B,B – A.

3. Să se rezolve sistemul:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−

+−+

−=+−

+−+

313

1yx6

3yx5

37

1yx3

3yx2

.

4. Fie ABCA’B’C’ un trunchi de piramidă regulată având AB = 12 cm, iar C'B'BC ⊥ . Ştiind că muchia laterală a piramidei din care provine trunchiul este de 56 cm, să se afle: a) latura bazei mici, apotema şi înălţimea trunchiului; b) aria laterală şi volumul trunchiului; c) aria laterală şi volumul piramidei din care provine trunchiul; d) distanţa de la D la planul (ACC’), unde D este mijlocul lui BC; e) sinusul unghiului format de planele (DAA’) şi (A’C’C).

5. Un trunchi de con circular drept are secţiunea axială un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare. Ştiind că razele sunt egale cu 23 cm şi

26 cm, aflaţi: a) volumul trunchiului de con; b) aria laterală a conului din care provine trunchiul; c) cât la sută reprezintă volumul trunchiului din volumul conului mare?


68

☺ Reconstituie adunarea alăturată, ştiind că s-au folosit cifrele o

singură dată: * * * + * * 3 * * * * ☺ O tigaie permite prăjirea simultană a 10 chiftele. Pentru prăjirea

unei chiftele sunt necesare 5 minute pentru prăjirea pe o faţă şi 5 minute pentru prăjirea pe cealaltă faţă. Care este numărul minim de minute necesare pentru a prăji 15 chiftele?

☺ Ca să nu priceapă ai casei câţi dolari va scoate de la bancă, un american trimite băncii o carte poştală cu următorul conţinut:

SEND + MORE MONEY

Adică: TRIMITE CÂŢI MAI MULŢI BANI! Câţi dolari a dorit ?

☺ În anul 1932, un tânăr şi bunicul său au împlinit fiecare tot atâţia ani cât reprezintă în fiecare caz numărul format din ultimele cifre ale anului de naştere al fiecăruia. Cu câţi ani este mai mare în vârstă bunicul decât tânărul?

☺ La o discotecă participă 21 de colegi, băieţi şi fete. Bianca a dansat cu 8 băieţi, Corina cu 9, Daniela cu 10 şi tot aşa, până când ultima fată a dansat cu toţi băieţii. Câţi băieţi au fost la discotecă?

MATEMATICA DISTRACTIVĂ

PROBLEME DISTRACTIVE


69

☺ - Câte pisici ai acasă?

- 43 din numărul lor şi

43 dintr-o pisică.

Puteţi afla câte pisici sunt? ☺ 100 de persoane intră pe stadion să vadă un meci. Adulţii plătesc

5 lei biletul, studenţii 3 lei, iar copii câte 50 de bani. În total grupul plăteşte 100 lei. Câţi adulţi, studenţi si copii erau în grup?

☺ De ziua mătuşii Filofteia au venit s-o felicite: un bunic, o bunică, patru mame, doi taţi, patru fii, patru fiice, un frate, trei surori, trei veri, o verişoară, trei nepoţi si o nepoată ai bunicilor, trei mătuşi, un unchi, trei nepoţi si o nepoată a unchiului. Mătuşa i-a invitat pe toţi la masă. De câte farfurii a avut nevoie?

☺ Astupând orificiul de scurgere şi dând drumul la robinet, cada se umple în 5 minute. Dacă scot apoi dopul, apa strânsă se scurge în 7 minute. Desigur, apa curge în cadă şi se evacuează uniform.

Într-o zi, am deschis robinetul la baie si în clipa aceea a sunat telefonul. N-am apucat să pun dopul la orificiul de scurgere si m-am dus la telefon. Am vorbit ce am vorbit si când am revenit în baie, cada tocmai se umpluse. Ştiind că de la baie la telefon fac 15 secunde, puteţi spune cât a durat convorbirea?

☺ În timpul unei excursii, la o cabană a poposit un grup format din 30 de băieţi şi fete. Seara - dans. Unul dintre băieţi a dansat cu 7 fete, al doilea cu 8 fete, al treilea cu 9 fete şi aşa mai departe. Ultimul dintre băieţi a invitat toate fetele la dans. Puteţi arăta, câţi băieţi şi câte fete erau în acel grup?

☺ Există un număr format din două cifre care are o proprietate ciudată. Astfel, dacă din acest număr se scade 6, iar ceea ce rămâne se împarte la 5, rezultatul va fi un număr format tot din două cifre. Până aici nu este nimic neobişnuit. Dar iată că dacă la numărul iniţial adăugăm 5, iar numărul obţinut se împarte de data aceasta cu 6, rezultatul va fi acelaşi, ca în primul caz. Care este acest număr "elastic"?

☺ Metroul dintr-un mare oraş are o circulaţie foarte regulată în ambele sensuri. La fiecare minut, simultan, de la cele două capete ale liniei porneşte câte o garnitură de vagoane şi fiecare din ele


70

ajunge la capătul opus exact după 24 de minute. Cu câte garnituri de metrou se întâlneşte o garnitură în timpul cât parcurge traseul într-un singur sens având în vedere că numărătoarea începe în momentul când mecanicul primeşte semnalul de plecare?

☺ Pe un lac cresc sumedenie de nuferi. Ei îşi dublează suprafaţa în fiecare zi, iar în 20 de zile acoperă în întregime lacul. În cât timp nuferii acoperă jumătate din suprafaţa lacului?

☺ Vârsta medie a celor 11 jucători ai unei echipe de fotbal era de 22 de ani. În timpul unui meci, un jucător fiind faultat a fost nevoit să părăsească terenul. Din momentul acela vârsta medie a coechipierilor săi rămaşi în joc a coborât la 21 de ani. Ce vârstă avea fotbalistul care a plecat?

☺ Într-o poiană se aflau, la un moment dat, o mulţime de veveriţe si de păsărele. Dacă le numărai capetele, erau în total 100. Dacă le numărai picioruşele, erau 120 de perechi. Câte veveriţe şi câte păsărele se aflau în acea poiană?

☺ Numerele au diferite proprietăţi pe care dacă le cunoşti poţi face numeroase "scamatorii", spre uimirea celor prezenţi. Unele sunt mai dificile şi necesită câteva calcule, altele sunt mai simple, ceea ce le face şi mai frumoase. Bunăoară, rugaţi pe cineva să scrie pe o bucăţică de hârtie - fără ca dv. să vedeţi - un număr format din trei cifre diferite, apoi să treacă alături acelaşi număr, de data aceasta inversat. Acum, cereţi să scadă numărul mic din cel mare şi să vă comunice ultima cifră a rezultatului. Cunoscând această cifră, puteţi "ghici" întreg rezultatul. Ştiţi cum?

☺ O familie, respectiv tatăl, mama şi cei doi copii - o fetiţă si un băieţel - au plecat duminica la iarbă verde, luând cu ei un coş cu mâncare. Ajungând pe malul unui râu şi vrând să treacă dincolo, au constatat că nu o pot face toţi deodată: unica barcă aflată acolo s-ar fi scufundat dacă ar fi transportat mai mult de 70 kg. Ori, tatăl avea 70 kg, mama - 60 kg, copii câte 35 kg, iar coşul peste 15 kg. Până la urmă au trecut râul şi au făcut acest lucru într-un număr minim de traversări. Dumneavoastră ştiţi cum şi în câte traversări?


71

Numărul 46 587 este interesant deoarece pătratul său este alcătuit din toate cifrele luate câte o singură dată.

Numerele lui Fibonacci aparţin şirului:1, 1, 2, 3, 5, 13, 21,…, în care fiecare termen al şirului, începând cu al treilea, este egal cu suma celor doi precedenţi. Exemplu: 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5 ; 13 = 5 + 8 etc.

Numerele lui Fermat. Fermat a fost convins că numerele de forma 12

n2 + sunt numai numere prime, astfel că aceste numere i-au interesat foarte mult pe matematicieni. Ele au rămas interesante ca generatoare de numere prime chiar şi după ce Euler a dovedit că numărul 12

n2 + nu este prim, căci se divide cu 641.

Numere compuse. Numerele de forma n4 + 4 , descoperite de Sophie Germain sunt interesante pentru că, exceptând cazul n = 1, toate celelalte cazuri furnizează numere compuse (neprime). Într-adevăr, n4 + 4 = ( n2 – 2n2 + 2 ) ( n2 + 2n2 + 2 ).

Magia numerelor: 3 x 37 = 111 si 1 + 1 + 1 = 3 6 x 37 = 222 si 2 + 2 + 2 = 6 9 x 37 = 333 şi 3 + 3 + 3 = 9

12 x 37 = 444 şi 4 + 4 + 4 = 12 15 x 37 = 555 şi 5 + 5 + 5 = 15 18 x 37 = 666 şi 6 + 6 + 6 = 18 21 x 37 = 777 şi 7 + 7 + 7 = 21 24 x 37 = 888 şi 8 + 8 + 8 = 24 27 x 37 = 999 şi 9 + 9 + 9 = 27

CURIOZITĂŢI


72

Piramide numerice: 1 x 9 + 2 = 11

21 x 9 + 33 = 222 321 x 9 + 444 = 3 333

4 321 x 9 + 5 555 = 44 444 54 321 x 9 + 66 666 = 555 555

654 321 x 9 + 777 777 = 6 666 666 7 654 321 x 9 + 8 888 888 = 77 777 777

87 654 321 x 9 + 99 999 999 = 888 888 888

Numerele 14 641 şi 69 696 sunt pătrate perfecte şi se pot citi la fel atât de la stânga la dreapta cât şi de la dreapta la stânga.

Transformaţi un dreptunghi în pătrat. Tăiaţi un dreptunghi cu lungimea de 5 cm şi lăţimea de 1 cm în oricâte părţi doriţi, astfel încât, acestea să poată fi aranjate într-un pătrat. Găsiţi cel puţin trei soluţii diferite de cea de mai jos.

Problema lui Haberdasher. Din trei tăieturi transformă un triunghi echilateral într-un pătrat. Problema a fost propusă prima dată de Dudeney (1907) şi dezbătută de Gardner (1961), Stewart (1987), şi Wells (1991). Găseşte soluţii diferite de următoarea!

PENTRU CEI ISTEŢI


73

1=2? Deplasaţi un băţ astfel încât să se obţină o egalitate adevărata:

Căsuţa din chibrituri Căsuţa din figură are uşa pe peretele din stânga. Deplasaţi doua chibrituri pentru a obţine o căsuţă cu uşa pe peretele din dreapta.

Joc cifrat

Înlocuiţi cifrele cu litere, pentru a alfa poeziile care aparţin autorului din coloana centrala.

Fracţii

Cu ajutorul a şase beţe de chibrit a fost realizată o fracţie subunitară. Deplasaţi un singur băţ pentru a obţine o fracţie cu valoarea 1.

1 = 0 (demonstratie algebrica) Fie a = 1 şi deci a - 1 = 0 (a este un număr întreg). Atunci şi a2 - 1 = 0. Cum a - 1 = 0 şi a2 - 1 = 0 rezultă că a - 1 = a2 – 1. Egalitatea se transformă în a - 1 = (a - 1)(a + 1) Simplificând obţinem 1 = a + 1 şi deci a = 0 . Dar am pornit de la ipoteza că a = 1 şi am ajuns la a = 0. Deci 1 = 0! Găsiţi unde s-a strecurat eroarea!


74

… În anul 2700 î. Hr. egiptenii introduc calendarul bazat pe 365 de zile. … În anul 2400 î. Hr.

• În Mesopotamia se dezvoltă sistemul de numeraţie poziţional în baza 60. Numărul 60 este ales, probabil, ca o consecinţă a listei mari de divizori ai acestui număr (adică 12 divizori).

• Sumerienii utilizează un calendar solar de 360 de zile împărţit în 12 luni.

… În anul 1800 î. Hr. mesopotamienii alcătuiesc primele tabele de înmulţire. … În anul 585 î. Hr. utilizând proprietăţile de divizibilitate a numerelor, Thales din Milet (636 – 546 î. Hr.) prezice o eclipsă de Soare. … În anul 500 î. Hr. pitagorienii, lucrând cu numere reprezentate prin figuri, atribuie câte un sex fiecărui număr, cele impare sunt de sex masculin, cele pare, de sex feminin. Tot ei introduc noţiunile de număr prim, număr compus, numere relative prime, numere prime perfecte, numere prietene (amiabile). Un număr este PERFECT dacă suma S a divizorilor săi (exceptând numărul însuşi) este egală cu numărul dat N. Dacă S > N, atunci numărul este SUPRAPERFECT, iar dacă S < N, numărul este IMPERFECT.

• Exemple de numere perfecte: 6 = 1+2+3;

28 = 1+2+4+7+14; 496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248.

• Exemple de numere supraperfecte: 12 < 1+2+3+4+6;

DIN ISTORIA MATEMATICII ŞTIAŢI CĂ …


75

18 < 1+2+3+6+9; 20 < 1+2+4 +5+10.

• Exemple de numere imperfecte: 14 >1+2+7;

16 > 1+2+4+8; 22 > 1+2+11.

Numerele PRIETENE (AMIABILE) sunt numerele care au proprietatea că fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt. Lui Pitagora ((570 – 500 î. Hr.) sau (580 – 496 î. Hr.)) i se atribuie găsirea primei perechi de numere prietene: 220 şi 284.

220 = 1+2+4+71+ 142; 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110.

… În anul 440 î. Hr. Meton din Atena dezvolta conceptul de ciclu metonic, o perioadă de aproximativ 19 ani, în care mişcarea Soarelui şi a Lunii observate de pe Pământ par a se suprapune. Acest ciclu stă la baza calendarelor grecesc şi evreiesc. … În anul 300 î. Hr. Euclid (330 - 275 î. Hr.) prezintă o formulă a numerelor perfecte şi anume:

2 p –1 · (2 p – 1 ), unde p si 2 p – 1 sunt numere prime. … În anul 230 î. Hr. Eratostene din Cyrene (275 - 195 î. Hr.) dezvoltă o metodă de determinare a tuturor numerelor prime mai mici decât un număr dat: Ciurul lui Eratostene. … În anul 180 î. Hr. într-o lucrare de astronomie Hypsicles introduce uzanţa împărţirii cerului în 360 de grade în matematica greacă. … În anul 46 î. Hr. Iulius Cezar introduce, la sfatul astronomului Sosinge, calendarul compus din trei ani de 365 de zile şi un an de 366 de zile … În anul 1575 d. Hr. într-o lucrare de aritmetică este inclus primul rezultat cunoscut obţinut prin inducţie matematica: suma primelor n numere impare este egala cu n 2. … În anul 1623 d. Hr. Wilhelm Schickardt construieşte prima maşină de calculat capabilă să facă adunări şi scăderi, iar ajutată de operator – înmulţiri şi împărţiri. Visul matematicienilor de a putea utiliza o maşină pentru efectuarea calculelor se apropie de realitate.


76

… În anul 1635 d. Hr. René Descartes (31.05.1596 – 11.02.1650)descoperă teorema, numită de urmaşi a lui Euler, conform căreia între numărul vârfurilor, muchiilor şi fetelor unui poliedru convex trebuie să existe relaţia:

V – M + F = 2, unde V = numărul vârfurilor M = numărul muchiilor F = numărul fetelor Această relaţie leagă proprietăţile unui corp de o relaţie numerică. … În anul 1640 d. Hr. Fermat formulează „mica teoremă” a numerelor: „Dacă p este un număr prim, atunci orice număr întreg a numărul a p – a se divide cu p”. … În anul 1766 d. Hr. prin legea lui Johann Bode, „distanţele la care se afla planetele faţă de Soare sunt proporţionale cu termenii şirului 3, 6, 12, 24, 48, 96”, se încearcă legarea astronomiei de teoria numerelor. Descoperirea, în anul 1836, a planetei Neptun va dovedi că legea e greşită. … În anul 1772 d. Hr. Christian Goldbach (8.03.1690 – 20.11.1764) emite ipoteza că orice număr par mai mare decât 2 este suma a doua numere prime. Ipoteza nu a fost nici confirmată, nici infirmată până în prezent. … În anul 1850 d. Hr. matematicianul rus Pafnutie Lvovivici Cebâşev (26.05.1821 – 12.08.1894) demonstrează afirmaţia lui Bertrand: „ Pentru orice n număr natural, n > 2, avem cel puţin un număr prim cuprins între n şi 2n – n.” … În anul 1946 d. Hr. se naşte calculatorul electronic. Încă de la început, puterea sa de calcul va fi utilizată în căutarea numerelor prime. … În anul 1959 d. Hr. W. Sierpinski (1882 - 1970) demonstrează că pentru n > 5, între numerele naturale n şi 2n avem cel puţin două numere prime.

RUBRICA REZOLVITORILOR

S-au primit soluţii corecte la problemele propuse în revista MERIDIAN Anul II, Nr.1- 2005/2006 de la următorii elevi:

CLASA I: ŞC. GEN. MOI – GORJ – înv.STROESCU PERSIDA GABRIELA: Braia Simona, Rovinaru Silviu, Sanda Andreea Cristina, Vîlceanu Elena Adriana; ŞC. GEN. OCNIŢA – VÎLCEA - înv. CHIŢORAN NICOLETA: Bănuţ Cristian, Buşe Larisa, Ioncea Daniel, Găitănaru Valentin, Hodorog Marius, Hodorog Bianca, Popescu Sebastian; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – inst. PÎNIŞOARĂ OANA: Armăşelu Denis, Buţă Răzvan, Cărăgui Adelina, Cheroiu Denisa, Dinulescu Diana, Nimară Maria, Pîrjol Andreea, Preuteasa Robert, Stanca Elena, Ţuţuianu Dalida, Vuc Cristina; inst. SORLEA RAMONA: Apostu Marina, Cavaleru Daniel, Ciobanu Sorina, Dina Andreea, Grădinaru Diana, Kui Gabriel Cosmin, Matei Gabriel Cosmin, Mirea Ionuţ, Morenci Adiţă, Pană Ana Maria, Sbera Mirela, Stănescu Alexandra, Străulea Marina; inst. TEICĂ LOREDANA: Băltăreţu Octavia, Berbecel Diana Corina, Brăiloiu Denisa, Burlan Andreea, Ionescu Adrian, Mocioi Alisa, Necoară Flavius, Sascău Maria Alexandra, Taifas Alexandru, Tălmaciu Alexandru, Ursoiu Marian, Zămârcă Alexandru; GSI TISMANA – inst. LUCULESCU ILEANA: Crăciun Dumitru Răzvan, Muciuciora Silviu, Nicolae Adriana, Pohontu Alexandra, Rakoşi Darius Mihai, Sulea Casiana Larisa; GSI TURCENI – inst. BIVOLARU CRISTINA: Ancuţa Alexandra Denisa, Cotoi Dragoş Ştefan, Dulcu Daniel, Paraschi Andrei, Rădulicea Cocuţa, Salan Daniela Corina, Vărzaru Mariana; ŞC. GEN. ALEXANDRU ŞTEFULESCU – Mihăilescu Vlad; CLASA a II-a: ŞC. GEN. MOI – înv. POPESCU LARISA CRISTINA: Peptenaru Dan Florin, Turcan Mihaela Gabriela; ŞC. GEN. OCNIŢA –VÎLCEA – inst. SUROVCEK ION: Bucşu Ion Iulian, Dicu Andrei Cătălin, Mătăcuţă Alexandra, Neacşu Ion Gabriel; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – inst. LUCA SIMONA: Armăşelu Bianca, Anuţa Dragoş, Chelaru Loredana, Cojocaru Andrada, Croitoru Georgiana, Dabu Roxana, Drăghici Andrei, Guţă Ariadna, Meiţă Cătălin, Motorga Irina, Murgu Larisa, Nebunu Adelina, Niculescu Daniela, Păulescu Adriana, Popescu Denisa, Rotunjeanu Cosmin, Sărăcin Karina, Scocâlcă Bianca; inst. DAN RALUCA: Nicola Liviu, Cioiu Ana, Manea Roxana, Merfu Andra; inst. IONAŞCU ALICE: Pătrulescu Laura Cristina, Roica Iulia Georgiana, Trifan Denisa Nicoleta; ŞC. GEN. SF.NICOLAE – TG – JIU – înv. MANCIU MARCELA: Popescu Tudor Ioan; COLEGIUL NAŢIONAL –SPIRU HARET – inst.CHERTES DIANA: Florescu Oana; ŞCOALA PRIMARĂ FĂRCĂŞEŞTI: inst. ŢOGOE SILVIA BENONIA: Bănete Iluţa Otilia Andreea, Anuţa Adela Gabriela, Păunescu Andrei, Voichiţa Gabriel Cătălin;

CLASA a III-a: ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – înv. ARGINTARU ADRIANA: Brăiloiu Ştefan, Doandeş Isabela, Andrei Bogdan, Ciopănoiu Mădălina, Geonea Andreea, Nicolăescu Robert, Trocan Florin; inst. RADU

DORINA: Bătăiosu Răzvan, Becheru Octavian, Dima Alexandra, Dina Alexe, Dumitrache Bogdan, Ionică Crina, Locic Claudiu, Mitică Larisa, Nistor Leonard, Parpală Laura, Preuteasa Ştefania, Roşca Bianca, Săvoiu Cătălin, Stanca Alexandru, Stănoiu Marian, Udrescu Diana, Vlădulescu Andreea; inst. TUDOR MIRELA: Epure Andreea, Spătaru Adelina, Popa Adelina, Cîrlescu Roxana, Pîrvu Robert, Petre Ioana; înv.CĂLCIOIU ANTONIO: Budău Ionela, Străulea Robert; ŞC. GEN. NR 1 TG – JIU – înv. PÎRJOLEANU MIOARA: Găvan Eliza Maria; ŞC. GEN. NR 5 TG – JIU – înv. DIACONESCU MARIANA: Blendea Larisa Mădălina, Laţa Florin Daniel, Moalfă Andreea, Opriţa Mihaela, Popescu Constantin, Udrescu Diana; ŞC. GEN. SF. NICOLAE – TG – JIU înv. ŞURCĂ ADRIANA: Burci Georgiana, Păunescu Raluca Eliana;

CLASA a IV-a: GSI TURCENI: inst. POPESCU ZORICA; inst. ENACHE CONSTANTIN; înv. MIROIU DOMNICA; înv. ENACHE MARIA: Galbenu Carmen Ionela; Sgurescu Maria; Giuroiu Mihai; Sain Iuliana; Bivolaru Andreea; Vilsan Cosmin; Niţă Maria; Miu Remus; Andreianu Virgil; Buzgure Daniel; Ciupitu Laurenţiu; Codreş Maria; Hobeanu Ionuţ; Grigore Emilian; Bisca Alexandru; Ţacu Alexandru; ŞC.GEN. MOI – înv. POPESCU LARISA CRISTINA: Văcăroiu Claudiu Ionuţ, Ciovică Bianca Elena, Păsărin Florin Răzvan; ŞC. GEN. OCNIŢA – VÎLCEA: inst. SUROVCEK ION: Băgălin Narcisa, Merişel Ramona, Necşulea Mihaela, Panduru Mihail, Rusu Roxana; ŞC. GEN. NR 14 ,,AL. DAVILA” PITEŞTI – ARGEŞ – inst. STANCU FLOAREA: Bâzgă Radu; ŞC. GEN. NR 19 PITEŞTI – inst. CHIRIAC MARINELA: Tatarciuc Elena; ŞC. GEN. AL. ŞTEFULESCU – TG – JIU – înv. PÎRVULESCU MARIA: Bîgiu Oana, Bîrcă Andrei, Căpitănescu Raluca Elena, Cuţitoiu Cosmina, Duroi Cristina, Fometescu Lucian, Gîrjabu Andrei, Iacob Elena Iris, Lambu Lorela, Răuţ Adina Loredana, Rovenţa Raluca, Stanciu Ciucur Ştefan; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI: inst. POPEANGĂ ANCUŢA: Grivei Giorgiana, Olteanu Andreea, Popescu Cristina, Şurcă Alexandra, Ţuţuianu Iuliana; înv.PECINGINĂ CARMEN: Bărboi Bogdan, Crăciunoiu Alina Bianca, Pleşu Alexandru Cătălin, Gheonea Angela, Credinţă Irina Maria, Mătanie Alexandra, Popescu Radu, Dănău Ana Mihaela, Rovenţa Iulian Cosmin, Vaideş Roxana, Cruceriu Georgiana, Arcanu George, Nistor Marinel, Rădăcină Claudiu, Chiriţă Alexandru, Bălu Cristian, Gronea Andrei; înv. VASILOIU CONSTANTIN: Preda Lucia, Fîciu Bogdan Claudiu;

CLASA a V-a: GSI TISMANA – prof. NIMARĂ PAVEL: Monafu Adela Florinela; prof. POPA SIMONA: Motorga Ionuţ, Motrescu Andreea, Luculescu Damian, Stanciu Romulus Mădălin; GSI TURCENI – prof. BADEA ELENA STELUŢA: Beşliu Rodica; Rădulicea Alexandra; Lupu Loredana; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – prof. PRUNESCU ROMEO: Florican Claudia Larisa; Munteanu Şontea; Caval Robert, Popescu Cristian; prof. POMANĂ LIVIU: Mareş Alisa; Rap Beatrice; Scurtu Roxana.

CLASA a VI-a: ŞC. GEN. FLOREŞTI - prof. TUDOR GHEORGHE: Popescu Mădălina, Mogoşanu Daniel; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – prof.

MERGEA MARIA: Sima Bianca; Angiu Mădălina; Petre Cristina; Bilan Aurora; Calotă Bogdan; Împuşcătoiu Daniela; Voinea Nicolae; GSI TURCENI – prof. TRAŞCĂ LIVIU: Boblea Andrei Brebenaru Raul; Gaiţă Delia; Gâlceavă Ioana; Ghiţă-Badea Cătălin; Nanu Elena; Vavă Alexandra; Vladu Aureliana; prof. BADEA ELENA: Ghencioiu Ionela Adriana; Cărăşel Gabriela; Marotinescu Adelina Alina.

CLASA a VII-a: ŞC. GEN. FLOREŞTI: prof. TUDOR GHEORGHE: Florea Cornel, Sandu Ileana; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – prof. MERGEA MARIA: Barbonie Denisa; Gârd Andreea; Coica Gabriel; Bordei Laurenţiu; prof. PRUNESCU ROMEO: Coman Ana Maria; Ailincăi Alina; Viţonesc Diana; Popa Ramona; Negrea Lavinia; Vulpe Adriana; Ghidarcea Adina; Curici Cristian; Muntenu Şontea Anamaria; prof. POMANĂ LIVIU: Dragomor Alina; Câcă Mirela; Reşteanu Alexandru; Guinea Marius; Anuţă Alexandru; Ortacu Adriana; GSI TURCENI – prof. TRAŞCĂ LIVIU: Bacov Cătălin; Dovleac Michael; Iacov Mădălina; Măndoiu Roxana; Marcu George; Sterian Robert; Tobă Simona; Dumitraşcu Ştefania; Ivaşcu Nicolae; Negrilă Constanţa; Sain Marius; prof. PUZDREA CLAUDIA: Bîscă Gheorghiţa; Flueraşu Laura; Sîrghe Cătălin.

CLASA a VIII-a: ŞC. GEN. FLOREŞTI: prof. TUDOR GHEORGHE: Istudora Geanina; ŞC. GEN. NR 1 ROVINARI – prof. MERGEA MARIA: Lungu Izabela; Stăiculescu Raluca; prof. MIHĂILESCU DELIA: Buda Bogdan Lucian; Pătru Giorgiana; Cojocaru Andreea; Bujor Cristina; Coiculescu Ionela; prof. PRUNESCU ROMEO: Tudosie Robert; Munteanu Alexandru; Morenciu Ionuţ; Tihulcă Petrică; Palatin Gabriela; prof. NANU ION: Grecu Mariana; Diaconescu Iulia; Chirilă Laurenţiu; Pană Iulia; GSI TURCENI – prof. TRAŞCĂ LIVIU: Postelnicu Eugen; Văcaru Robert; Stană Cătălina. NOTĂ: Soluţiile problemelor propuse în acest număr se primesc până la data de 20.09.2006 pe adresa Şc. Gen. Nr. 1 Rovinari. Vă aşteptăm cu rezolvări cât mai reuşite şi vă dorim mult succes!

final

Documents

Transcript of final