Laborator 2 – I.S.A.

Sisteme liniare de ordinul I şi II

1. Introducere 1

2. Sistemul de ordinul I cu timp continuu 1

3. Sistemul de ordinul II cu timp continuu 3

3.1 Exemple 4

4. Cerinţele lucrării de laborator 4

1. Introducere

Acest laborator urmăreşte: • Prezentarea sistemelor liniare de ordinul I şi II • Analiza şi simularea răspunsului sistemelor liniare de ordinul I şi II la mărimi de intrare

standard de tip: treaptă, rampă şi sinusoidal

2. Sistemul de ordinul I cu timp continuu

Un sistem liniar cu timp continuu de ordinul I are funcţia de transfer de forma:

���� � ���·� (2.1)

unde: k este factorul de amplificare;

τ este constanta de timp a sistemului.

Răspunsul sistemului de ordinul I cu timp continnuu la o intrare treaptă unitară este:

�� � � ��� � ����·��·�� � ��� ��

� � ����

�� � � · �1 � ���

�� (2.2)

2 Ingineria Sistemelor Automate – Laborator 01

Figura 2.1 prezintă evoluţia răspunsului în cazul particular când k = 2.

Figura 2.1 Răspunsul unui sistem de ordinul I la o intrare treaptă unitară

De remarcat faptul că tangenta la grafic în origine este �������� �!" � �

. Prin urmare tangenta

atinge valoarea finală (în exemplul din Figura 2.1 aceasta este y(t) = 2) după un timp egal cu constanta de timp a sistemului. Această proprietate se poate folosi pentru a determina parametrii unui sistem de ordinul I analizând răspunsul lui la o intrare treaptă:

a) se identifică factorul de amplificare k = (valoarea finală a răspunsului)/comandă; b) se identifică constanta de timp τ ca fiind abscisa (timpul) punctului unde tangenta în

origine intersectează valoarea finală.

Alternativ, τ se poate obţine ca fiind timpul necesar răspunsului să ajungă la 63% din

valoarea finală, deoarece �� � � ��1 � ���� # 0.63 · � .

Regimul tranzitoriu se poate considera încheiat după circa 4 constante de timp, când răspunsul ajunge la �� � � ��1 � ��(� # 0.98 · �, adică la 98% din valoarea finală.

Notă: În forma cea mai generală, un sistem cu timp continuu de ordinul I are funcţia de

transfer (2.3) unde + � � şi , � �

. Comparativ cu (2.1), această reprezentare include şi cazul

când a = 0, adică sistemul este un integrator pur.

���� � -��. (2.3)

Ingineria Sistemelor Automate – Laborator 01 3

3. Sistemul de ordinul II cu timp continuu

Un sistem de ordinul II cu timp continuu şi amplificare unitară (H(0) =1) are funcţia de transfer de forma:

���� � /0�0�1·2·/·��/0 (2.4)

unde: ω este pulsaţia naturală a sistemului;

ξ este factorul de amortizare.

Relaţia (2.4) este forma cea mai generală de reprezentare a unui sistem de ordinul II. Dacă:

• 3 4 1 , H(s) are 2 poli reali (identici când 3 � 1 ), în zona de stabilitate C-. În acest caz, H(s) se poate descompune în 2 funcţii de transfer de ordinul I.

• 0 5 3 5 1, H(s) are 2 poli complex conjugaţi, în zona de stabilitate C-:

��,1 � �3 · 7 8 9 · 7 · :1 � 31 (2.5)

• 3 � 0 , H(s) are 2 poli complex conjugaţi ��,1 � 89 · 7 pe axa imaginară, sistemul fiind oscilant

• 3 5 0 , H(s) are poli în C+ , deci în zona de instabilitate.

În cele ce urmează se va analiza cazul 0 5 3 5 1, care corespunde unui sistem de ordinul II, cu poli complex conjugaţi plasaţi în zona de stabilitate.

În acest caz, răspunsul sistemului la o intrare treaptă unitară este:

�� � � 1 � ;<=>�:��20 �?@ A7 :1 � 31 B ,CD E :��20

2 F (2.6)

şi are alura din Figura 2.2.

Figura 2.2 Răspunsul unui sistem de ordinul II la o intrare treaptă unitară

4 Ingineria Sistemelor Automate – Laborator 01

� Suprareglajul σ , adică cu cât depăşeşte răspunsul valoarea finală, care depinde de factorul de amortizare prin relaţia:

G � �� H=

I�<=0 (2.7)

� Timpul tranzitoriu de stabilizare tt, până când răspunsul se încadreză într-o bandă în jurul semnalului de intrare. Dacă alegem, de exempul, o bandă de 2% vom obţine:

�� 2/� J 0.02 L � 37 � J ln�0.02� L � 4 �ln �0.02�37 L � 4 4

37

Functia (2.4) se poate pune şi sub forma alternativă:

���� � �0�0�1·2··��� (2.8)

unde τ = 1/ω este constanta de timp a sistemului de ordin 2.

3.1 Exemple

1. Să se scrie în Matlab un program care afişează răspunsul sistemului de ordinul II la o

intrare treaptă unitară pentru factorii de amortizare ξ = 0; 0.1; 0.2; 0.4; 0.6; 0.707 şi 1.5.

2. Să se compare răspunsul a trei sisteme de ordinul I cu timp continuu când:

a. Factorul de amplificarea este 1 şi constantele de timp sunt τ1 = 0.2 sec, τ2 = 1 sec, τ3 = 3 sec;

b. Constanta de timp este τ = 1 şi factorii de amplificare sunt: k = 0.2; k = 1; k = 3.

4. Cerinţele lucrării de laborator

4.1. Simulaţi răspunsul sistemului de ordinul I:

���� � 1��".�·�

pentru o intrare treaptă unitară şi 4 intrări sinusoidale având pulsaţiile: ω = 1, 5, 10, 100 rad/s. Identificaţi pentru care dintre aceste pulsaţii semnalul de ieşire este atenuat cu cel mult 3dB (0.707 din amplitudinea semnalului de intrare). 4.2 Simulaţi răspunsul sistemului de ordinul II:

���� � "."��0�".1·2·��"."�

la o intrare treptă de valoare u(t) = 2 pentru ξ = 0.1, 0.4, 0.707, 1, 2. Afişaţi toate răspunsurile pe acelaşi osciloscop. 4.3. Simulaţi răspunsul sistemului de ordinul II de la punctul precedent la intrări sinusoidale având pulsaţiile: ω = 1, 5, 10, 20, 100 şi amplitudineaAi = 10. Pentru fiecare pulsaţie ω, afişaţi răspunsurile pentru toate valorile ξ = 0.1, 0.4, 0.707, 1, 2 pe acelaşi osciloscop. Notaţi valorile amplitudinii semnalului de ieşire Ae pentru fiecare pulsaţie ω şi factor de

amortizare ξ. Pentru fiecare factor de amortizare ξ, trasaţi graficul PQPR � S�7�.