Sisteme nedecompozabile n subsisteme serie i/sau paralel

Lucrarea nr.8.

Sisteme nedecompozabile n subsisteme serie i/sau paralel. Metoda utilizrii formulei probabilitii totale. Funcia de structur. Simularea fiabilitii sistemelor cu o metod Monte-Carlo

A. Relaii de calcul

A.1. Formula probabilitii totale:

(1)

A.2. Funcii de structur

Fie un sistem S compus din elemente ei( E .

Fiecrei componente ei se ataeaz o variabil xi , iar sistemului o variabil y, astfel :

(2)

i :

(3)

Sistemului S se ataeaz o funcie de structur ( ,

y = ( ( x1 , x2 , ..xn ) cu ( :

unde :

- L2 = ( 0 , 1 (- ( este funcia de structur a sistemului .

Echivalene pe L2 ntre operaiile logice ( , ( i algebrice ( + ( , ( ( (:

x1 ( x2 = x1(x2x1 ( x2 = x1 + x2 - x1(x2

(4)

A.3. Legtur

L ( E este legtur dac:

(5)

A.4.Tietur

T ( E este tietur dac:

(6)

A.5. ntre numrul legturilor ( tieturilor ) lk ( tk ) cu k componente al unui sistem cu n componente exist relaia:

(7)

A.6. Fie legturile minimale ale lui S : L1 , L2Lk . Atunci :

(8)A.7. Fie tieturile : T1 , T2Tk , incluznd tieturile minimale ale lui S. Atunci :

EMBED Equation.3

(9)

A.8. Media variabilei xi :

Conform (2),

cu media :

(10)

A.9. Dac

( ( x ) = (a xi1 xi2 xim

(11)

atunci valoarea funciei de fiabilitate RS a sistemului este:

(12)

A.10. Un algoritm de enumerare a legturilor

Fie mulimea literelor unui alfabet, mulimea cuvintelor scrise cu literele lui generate prin operaia de concatenare astfel: fie un cuvnt : i . Atunci:

(13)

unde este cuvntul vid din W.

Fie mulimea matricilor ptrate de ordinul n, cu elemente ca cuvinte din . Operaia induce pe mulimea operaia:

(14)

(15)

Pe reeaua , cu , fie n numrul nodurilor reelei.

Fie , respectiv definite dup cum urmeaz:

(16)

(17)

Atunci, cile de lungime k ale reelei se obin cu relaia de recuren:

(18)

A.11. Simularea ( Monte Carlo( a funcionrii sistemelor [5]

Fie sistemul dat prin funcia de structur (

Fie zk este un ir de numere aleatoare de repartiie uniform n intervalul [ 0 , 1 ] .

Asociem componentei o variabil aleatoare xi .Generarea valorilor variabilei aleatoare xi , asociate componentei , se face prin transformarea :

(19)

Se calculeaz :

(20)

Fiabilitatea esimat a sistemului este :

(21)

Precizia evalurii lui RS se calculeaz prin coeficientul de variaie al variabilei YN este:

(22)

B. Aplicaii

B.1. Fie un sistem de distribuie al energiei electrice compus din linii n serie i n paralel, conform figurii. Fiabilitatea componentei i are valoarea Ri. Nodurile schemei reprezint staii de transformare. n ipoteza c fiabilitatea sistemului depinde numai de ceea a liniilor, s se calculeze:

a) Calcularea fiabilitatea sistemului de distribuie ntre punctele Ai B cu formula probabilitii totale;

b) Dac s se compare cu , n vecintatea punctului

Rezolvare

Pentru a aplica formula probabilitii totale (1), considerm c exist patru moduri de funcionare a schemei de mai sus, astfel ca sistemul acestor patru evenimente s fie un sistem de evenimente complet:

Probabilitile acestor evenimente sunt:

La E1 se nlocuiesc componentele 7,8 cu puni, aadar E1 este echivalent cu evenimentul componentele 7 i 8 n stare de bun funcionare. Deci . De asemenea, nlocuind pe 8 cu punte i eliminnd componenta 7, E3 este echivalent cu evenimentul cu componenta 7 defect i 8 n stare de bun funcionare, Deci . Analog:

Probabilitile

din formula probabilitii (1) reprezint probabilitile de funcionare a sistemului n ipoteza Ei, adic fiabilitile sistemelor respective, care sunt sisteme serie/paralel .Avem consecutiv:

Expresiile calculate se nlocuiesc n formula probabilitii totale (1):

c) nlocuind valorile lui , fiabilitatea sistemului devine:

EMBED Equation.3

Aadar, componentele 16 au o influen mai mare asupra variaiei fiabilitii sistemului.

B3. Fie reeaua de fiabilitate din figur;

a) S se scrie legturile minimale ale reelei

b) S se scrie legturile i tieturile de lungime 2 i s verifice relaia (7) :

c) S se scrie funcia de structur a reelei.

Rezolvare

a) Cile de parcurgere ale reelei de la origine(O)la acesteia (Z) sunt: OAZ, OACZ, OABCZ, OBCZ, OBCAZ; nlocuind arcele orientate cu etichetele asociate, se obin legturile (mulimile):

pentru OAZ: {e1, e3}, {e1, e5}

pentru OACZ: {e1, (e1), e2}

pentru OABCZ: {e1, e5, (e1), e2}

pentru OBCZ: {e2, e1, (e2)}

pentru OBCAZ; {e2, e1, (e1), e3}, {e2, e1, (e1), e5}

Legturile de sus se restrng la legturile minimale: {e1, e3}, {e1, e5}, {e1, e2}, deoarece celelalte legturi, avnd ca submulimi, una din legturile selectate, nu mai sunt legturi minimale(exemplu: {e1, e2}({e2, e1, e5})

b) Legturile cu lungime 2 sunt n numr de trei, aadar ; exist dou tieturi de lungime : {e2, e3, e5}, {e1, e3, e5} deci . Cum numrul componentelor este .

c) Conform relaiei (8), funcia de structur a reelei este:

B.4. Fie reeaua de fiabilitate din figur.

a) Folosind metoda matricial, s se scrie toate cile de la O la Z

b) S se scrie funcia de structur asociat reeleic) S se calculeze valoarea exact a fiabilitii sistemuluiB.5. Fie reeaua de fiabilitate din problema precedent. Fiabilitile componentelor sunt:

a) S se evalueze valoarea a fiabilitii prin modelarea procesului de funcionare-defectare cu metoda Monte Carlo, scriind cel puin cinci rnduri ale simulrii.b) S se aprecieze numrul necesar de simulri N (vezi relaia 22) pentru obinerea unei precizii de 1.5 %c) S se evalueze valoarea a fiabilitii prin modelarea procesului de funcionare-defectare cu metoda Monte Carlo, cu un program Matlab similar cu cel din anexa I, n care numrul de simulri N este cel rezultat de la punctul c). d) Comparai rezultatul cu cel obinut la pct. c) al problemei B.4.1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

E1

E2

E3

E4

EMBED Mathcad

e5

e3

C

B

A

O

e1

e5

e1

e2

e1

e2

Z

e4

e3

Z

E

C

B

A

O

e1

e5

e3

e1

e5

e4

e2

e1

e2

D

134

_1093694031.unknown

_1157479708.unknown

_1157538842.unknown

_1157734124.unknown

_1157734639.unknown

_1157734705.unknown

_1157814811.unknown

_1157734651.unknown

_1157734196.unknown

_1157552608.unknown

_1157553368.unknown

_1157551388.unknown

_1157545564.bin

_1157481899.unknown

_1157482829.unknown

_1157483297.unknown

_1157483386.unknown

_1157483175.unknown

_1157482035.unknown

_1157481445.unknown

_1157481558.unknown

_1157481628.unknown

_1157480850.unknown

_1157470458.unknown

_1157471709.unknown

_1157478706.unknown

_1157478793.unknown

_1157477909.unknown

_1157471227.unknown

_1157471636.unknown

_1157470528.unknown

_1093874753.unknown

_1093875469.unknown

_1093875494.unknown

_1093876860.unknown

_1093874864.unknown

_1093694077.unknown

_1093694201.unknown

_1093694051.unknown

_1093102959.unknown

_1093607877.unknown

_1093608939.unknown

_1093693840.unknown

_1093609825.unknown

_1093608228.unknown

_1093103525.unknown

_1093597815.unknown

_1093598261.unknown

_1093105339.unknown

_1093103301.unknown

_1002369927.unknown

_1002370305.unknown

_1024967953.unknown

_1024967996.unknown

_1031255500.unknown

_1002964360.unknown

_1024936203.unknown

_1002545384.unknown

_1002364760.unknown

_1002368150.unknown

_1002368533.unknown

_1002363742.unknown