1 DEFINIREA I EVALUAREA FIABILITII 1.1 Terminologie Teoria fiabilitii studiaz procesul de apariie a defectelor n produsele tehnice i procedeele de combatere a acestor defecte. Prin produs tehnic se nelege orice component (electric sau mecanic), bloc, subansamblu, echipament, subsistem sau sistem ce poate fi analizat de sine stttor i poate fi ncercat individual. Orice produs tehnic (dispozitiv) este destinat s ndeplineasc anumite funciuni care contribuie la ndeplinirea misiunii ncredinate de utilizator. Aceste funciuni se clasific n eseniale i neeseniale. Sunt considerate ca fiind funciuni eseniale acele funciuni ale produsului care sunt indispensabile pentru ndeplinirea misiunii. Prin opoziie, sunt considerate funciuni neeseniale acele funciuni a cror absen nu pericliteaz ndeplinirea misiunii (funciuni estetice, funciuni legate de comoditatea exploatrii sau confortul personalului etc.). Dac un produs asigur ndeplinirea tuturor funciunilor eseniale se spune c el este n capacitate de funcionare (este funcional) sau c este n stare de funcionare normal. Rezult de aici c starea de funcionare normal (capacitatea de funcionare) reprezint acea stare a produsului care i permite acestuia s-i ndeplineasc misiunea ncredinat. Ea trebuie deosebit de starea n care sunt asigurate toate funciunile (eseniale i neeseniale) i care este denumit bun stare. Despre un produs care nu este n stare de funcionare normal (nu este funcional) se spune c este n stare de nefuncionare sau, pe scurt, c este defect. Deci defectul reprezint acea stare a produsului n care el nu asigur ndeplinirea tuturor funciunilor solicitate, respectiv n care el nu asigur ndeplinirea misiunii ncredinate. Trecerea produsului din starea de funcionare normal n starea de nefuncionare se numete ieire din funcionare sau, pe scurt, defectare i este un eveniment ntmpltor (momentul producerii sale nu poate fi anticipat cu certitudine). Pentru a putea constata dac un produs se afl sau nu n stare de funcionare se procedeaz la definirea pentru fiecare funcie a unui numr de parametri ce caracterizeaz aceast funcie i se asociaz fiecrui parametru o gam de valori admise din considerente tactic-operative. Constatarea faptului c un produs se afl n stare de funcionare sau nefuncionare rezult, deci, dintr-un proces de msurare a parametrilor de baz i compararea acestora cu valorile admisibile.

Pe timpul funcionrii, un produs poate trece din starea de funcionare n starea de nefuncionare i invers. Trecerea din starea de nefuncionare n starea de funcionare se poate face sub aciunea msurilor ntreprinse de personalul de exploatare sau sub aciunea unei aparaturi special destinate i se numete restabilire. n raport cu viteza de apariie, defectrile se clasific n brute i progresive. Defectrile brute (instantanee) apar ca rezultat al modificrii n salturi a parametrilor funcionali ai produsului, sub aciunea factorilor interni i externi, i nu pot fi anticipate prin supraveghere sau examinare preliminar. Defectrile progresive (treptate) apar ca rezultat al unor modificri lente i continue a parametrilor funcionali ai produsului (dup legi ntmpltoare) i pot fi deci anticipate cu ocazia verificrilor periodice sau prin supraveghere. n raport cu nivelul de defectare (cu gradul de reducere a capacitii de funcionare) defectrile (defectele) se clasific n totale i pariale. Defectrile totale sunt sinonime cu pierderea total a funciunii solicitate, n timp ce defectrile pariale sunt caracterizate de nendeplinirea funciunii solicitate la parametrii de calitate (funcionali) impui. Defectrile brute i totale mai sunt denumite i catastrofale (catalectice), n aceast categorie intrnd scurtcircuitul, ntreruperea circuitului, defecte structurale ale unui sistem etc. Defectrile progresive i pariale mai sunt denumite i defecte prin degradare sau parametrice ntruct se produc prin degradarea treptat a parametrilor funcionali ai produsului. Clasificarea menionat este esenial din punct de vedere metodologic, caracteristicile probabilistice ale defectrilor parametrice putndu-se deduce din caracteristicile probabilistice ale derivelor parametrilor funcionali. Fiabilitatea reprezint proprietatea unui produs de a nu se defecta un timp dat, n condiiile de exploatare determinate. Cu alte cuvinte, fiabilitatea reprezint acea proprietate a produsului de a asigura ndeplinirea n anumite condiii de utilizare i de durat, a tuturor funciilor eseniale solicitate i din acest motiv mai este privit i ca o stabilitate a performanelor sale. Rezult deci c fiabilitatea poate fi privit i ca acea proprietate a produsului de a asigura misiunea ncredinat un timp dat (durata misiunii) n condiii de exploatare determinate (subnelegnd aici c doar defectrile pot periclita ndeplinirea misiunii). Pentru evaluarea numeric a acestei proprieti au fost introdui mai muli indicatori numerici (probabiliti) denumii n literatura de specialitate indicatori (indici) de fiabilitate, parametri de fiabilitate sau caracteristici de fiabilitate.

1.2 Indicatori de fiabilitate Principalii indicatori de fiabilitate ai unui produs sunt: funcia de fiabilitate, intensitatea defectrilor i timpul mediu de funcionare normal i sunt de esen probabilistic. Dintre acetia, primii doi sunt funcii de timp (fapt ce justific denumirea de caracteristici de fiabilitate), n vreme ce ultimul este o constant (fapt ce justific denumirea de parametru de fiabilitate). Un produs pus s funcioneze n anumite condiii de exploatare se defecteaz dup un anumit timp , ce reprezint timpul de funcionare normal (timpul de funcionare fr defecte) i care din punct de vedere matematic este o variabil aleatoare caracterizat printr-o funcie de repartiie continu ( )F t . ntruct prin definiie, (1) ( ) ( )F t P t= < iar 0 , rezult c ( ) 0F t = dac 0t . Se tie din teoria probabilitilor c ( )F t este, n plus, o funcie continu i monoton cresctoare avnd limita la

dreapta egal cu 1 (adic ( )lim 1t

F t

= ). ntruct ( )F t semnific probabilitatea de defectare a produsului n decursul unei misiuni cu durat t, aceste proprieti arat c ansele de defectare ale produsului cresc continuu, de la 0 la 1, cnd durata misiunii crete de la 0 la + , fapt ce concord cu intuiia fizic a experimentului. Evident, ( )F t se modific odat cu modificarea condiiilor de exploatare. Este util s ncercm a determina indicatorii de fiabilitate ai produsului din funcia de repartiie ( )F t ntruct relaiile de legtur astfel obinute permit transferarea proprietilor acesteia (bine cunoscute din teoria probabilitilor) noilor indicatori. 1.2.1 Funcia de fiabilitate Se noteaz cu ( )P t , ( )R t (de la cuvntul reliability) sau ( )F t i este, prin definiie: (2) ( ) ( )R t P t= . ntruct evenimentul ( ) { }X t t= semnific funcionarea fr defecte (normal) pe toat durata misiunii ( )t rezult c ( )R t semnific probabilitatea

de funcionare normal sau probabilitatea de succes a misiunii. Este indicatorul cel mai utilizat pentru a caracteriza fiabilitatea echipamentelor i sistemelor de bord (avion, rachet etc.) pentru care funcionarea fr defecte pe toat durata misiunii reprezint prima condiie. ntruct { }t < i { }t sunt evenimente contrare rezult c: (3) ( ) ( )1R t F t= , relaie care permite transferarea ctre funcia de fiabilitate a proprietilor definitorii ale funciei de repartiie i justific, totodat, notaia ( )F t . n particular, ( )R t este o funcie continu i monoton descresctoare care variaz de la 1 la 0 atunci cnd t variaz de la 0 la + . Menionm, de exemplu, c n unele lucrri (n special n literatura american, care prefer definiiile cantitative) indicatorul ( )R t este identificat cu nsi noiunea de fiabilitate (fiabilitatea este definit ca probabilitatea de funcionare fr defecte un timp dat, n condiiile specificate i este privit ca o msur a stabilitii performanelor produsului). 1.2.2 Intensitatea defectrilor Se noteaz cu ( )t , ( )r t (de la cuvntul rat) sau ( )z t i este, prin definiie,

(4) ( ) ( )0

1lim |t

t P t t t tt

= < +

.

Deci ( )t reprezint derivata probabilitii de defectare a produsului la momentul t, condiionat de funcionarea normal a produsului pn la momentul t. Din acest motiv mai este denumit i pericol de defectare sau rata hazardului. ntruct raportul care apare n (4) i care reprezint probabilitatea pe unitatea de timp ca un produs care a funcionat normal pn la momentul t s se defecteze n intervalul [ ], t t t+ , mai este denumit rata defectelor, funcia ( )t mai este denumit rata instantanee a defectelor. Relaia (4) arat c intensitatea defectrilor (defectelor) este o caracteristic local a fiabilitii, care caracterizeaz cel mai bine evoluia n timp a fiabilitii unui produs (reamintim c ( )R t este monoton descresctoare). Valorile mari ale funciei ( )t evideniaz perioadele de fiabilitate sczut ale unui produs, care necesit aplicarea unor msuri preventive sau corective.

Printr-un calcul elementar, probabilitatea condiionat care apare n (4) poate fi adus la forma:

(5) ( ) ( ) ( )( )

|R t R t t

P t t t tR t

+ < + = ,

care, substituit n (4), conduce la relaia:

(6) ( ) ( )( )

R tt

R t

= .

care este adevrat n toate punctele t n care ( )R t este derivabil (funcia de repartiie ( )F t fiind de tip continuu, rezult c ( )R t este derivabil 0t , cu excepia unei mulimi de puncte cel mult numrabil). Relaia (6) corelat cu (3) servete la determinarea intensitii defectrilor i la evidenierea principalelor ei proprieti pornind de la o funcie de repartiie ( )F t specificat (de exemplu o lege clasic de repartiie). Reciproc, dac ( )t este cunoscut, atunci (6) devine o ecuaie diferenial liniar cu coeficieni variabili, care, integrat pentru condiia iniial ( )0 1R = (care semnific faptul c produsul este funcional n momentul punerii sale n funciune), conduce la soluia:

(7) ( )( )

0

d

e

t

x x

R t

= .

Relaia (7) este util pentru proiectare, deoarece n general n aceast faz este mai uor de calculat ( )t . Dac notm cu ( ),r t t rata defectrilor, ea este potrivit definiiei:

(8) ( ) ( ) ( )( )

,R t R t t

r t tR t t

+ =

.

Rezult c ( ) ( ),r t t t dac t este suficient de mic. Aceast echivalen a celor dou rate are consecine mult mai profunde. Astfel, cu ajutorul ratei hazardului se pot defini dou clase fundamentale de repartiii: una pentru care ( )t este cresctoare i care este denumit n literatura american IHR

(Increasing Hazard Rate) i alta pentru care ( )t este descresctoare i care este

denumit DHR (Decreasing Hazard Rate). Similar, cu ajutorul ratei ( ),r t t pot fi definite alte dou clase: una pentru care ( ),r t t este funcie cresctoare de t i care este denumit IFR (Increasing Failure Rate) i alta pentru care ( ),r t t este funcie descresctoare de t i care este denumit DFR (Decreasing Failure Rate). Aceste dou clase de repartiii (IFR, DFR) sunt fundamentale pentru caracterizarea fiabilitii produselor tehnice, aa dup cum se va arta n paragraful 4. 1.2.3 Timpul mediu de funcionare normal

(12) ( )0

m R t dt

= , care permite exprimarea duratei medii de funcionare normal direct prin funcia de fiabilitate. 1.3 Legi de repartiie Utilizarea, n teoria fiabilitii, a unor legi de repartiie studiate de teoria probabilitilor contribuie la evidenierea unor proprieti suplimentare pentru caracterizarea fiabilitii unui produs, care confer fiecrei legi un domeniu de aplicare bine conturat. Vom prezenta n continuare cteva dintre legile de repartiie care sunt cele mai utilizate n teoria fiabilitii pentru a caracteriza timpul de funcionare normal a unui produs. 1.3.1 Legea exponenial Este definit, pentru 0t , de funcia de repartiie

(13) ( ) 1 tF t e= , unde este un parametru pozitiv i creia i corespunde densitatea de repartiie:

(14) ( ) tf t e= .

Folosind relaiile (3), (6) i (12) din paragraful precedent, rezult urmtorii indicatori de fiabilitate:

(15) ( ) tR t e= , (16) ( )t = , (17) 1m = . Graficele funciilor (15) i (16) sunt artate, calitativ, n figura 1a:

Repartiia exponenial caracterizeaz n mod biunivoc defectrile de rat constant, fapt pentru care se mai spune c legea exponenial este legea defectrilor accidentale. Termenul accidental folosind aici trebuie neles n sensul de accidental n timp, adic o apariie brusc a defectrii, care nu este precedat de simptome de deteriorare sau, dimpotriv, de ameliorare a fiabilitii produsului. Importana practic a acestei proprieti este aceea c produsul are aceleai anse de defectare n orice interval finit de lungime t , dac el a funcionat normal pn la nceputul acestui interval. Legea exponenial caracterizeaz fiabilitatea produselor tehnice o bun perioad de timp din viaa acestora (denumit perioada de exploatare normal). Aa dup cum ne arat i relaiile (15), (16) i (17), ea are avantajul de a fi extrem de comod pentru calcule. 1.3.2 Legea normal Funcia ei de repartiie are expresia, bine cunoscut,

(21) ( )( )2

221

2

x mt

F t e dx

= ,

n care m i sunt parametri pozitivi, semnificnd valoarea medie i respectiv abaterea medie ptratic. Pentru a putea utiliza (aproximativ) aceast lege, ca lege de repartiie a timpului de funcionare normal este necesar (ntruct ( )F t trebuie s fie nul la stnga originii) ca ea s aib un coeficient de variaie m , de maxim 0.3. Intensitatea defectelor, ce corespunde acestei repartiii este:

(22) ( ) ( )( )

f tt

R t = ,

n care

(23) ( )( )2

221

2

t m

f t e

=

este, bine-cunoscutul clopot al lui Gauss, iar ( )R t este

(24) ( )( )2

221

2

x m

t

R t e dx

=

. Graficele celor trei funcii sunt artate, calitativ, n figura 1b:

Dintre acestea, graficul intensitii defectelor arat c legea normal aparine

clasei IFR i c pentru t el se apropie asimptotic de dreapta 2

t m

. Ca

urmare, legea normal poate fi utilizat pentru a caracteriza repartiia timpului de funcionare pentru acele defectri care se produc din cauza uzurii, respectiv mbtrnirii produsului (uzura respectiv mbtrnirea fac s creasc pericolul de defectare). Prentmpinarea apariiei n exploatare a defectelor de uzur poate fi realizat prin nlocuirea preventiv a produsului care se apropie de durata medie de uzur ( )m . O nlocuire n intervalul [ ]3 , 3m m + asigur, practic, eliminarea din exploatare a defectelor de uzur. 1.3.3 Legea Weibull Este definit de funcia de repartiie:

(28) ( )1

1 , 0at

bF t e t

= , unde a i b sunt parametri pozitivi. A fost introdus de Weibull n anul 1951 i are proprietatea remarcabil de a fi cea mai simpl lege de repartiie care depinde de doi parametri (dependena de doi parametri asigur o mai mare flexibilitate a repartiiei, n raport cu legea exponenial, i deci posibilitatea de a cuprinde un numr mai mare de cazuri particulare, n aplicaii). Este tot o repartiie continu, avnd densitatea de repartiie:

(29) ( )1

1at

a ba

f t t eb

= .

Folosind relaiile (3), (6) i (12) rezult urmtorii indicatori de fiabilitate:

(30) ( )1 atbR t e

= ,

(31) ( ) 1aat tb

= ,

(32) 1

11am b

a

= +

.

n care este funcia lui Euler de spea a doua, adic este definit de integrala improprie:

(33) ( ) 10

xx e dx

= .

Graficele funciilor ( )f t , ( )R t i ( )t sunt artate, calitativ, n fig. lc:

Din ele se constat c parametrul b este parametrul de scar n vreme ce parametrul a este parametrul de form. Mai mult, pentru 1a = se obine chiar legea exponenial n timp ce pentru 1a < repartiia aparine clasei DFR iar pentru 1a > ea aparine clasei IFR, (n particular, pentru 2a = se regsete o alt lege de repartiie i anume legea Rayleigh). Ca i n cazul legii normale, cazul 1a > permite caracterizarea timpului de funcionare normal pentru defectrile din cauza uzurii sau mbtrnirii dar ntr-o gam de viteze mai mare. Cazul 1a < permite caracterizarea timpului de funcionare normal pentru defectrile care sunt specifice perioadei de rodaj a unui produs (aceast perioad va fi, de asemenea, descris n paragraful urmtor). 1.4 Legea standard de defectare a produselor tehnice Experiena acumulat, statistic, n decursul mai multor ani, pe un mare numr de tipuri de echipamente, a pus n eviden faptul c intensitatea defectelor unui

produs tehnic are aspectul artat n figura 2. Acest grafic, denumit curba cad de baie, pune n eviden trei zone caracteristice n viaa unui produs.

Fig. 2. Indicatorii de fiabilitate ai produselor tehnice (reale); a) intensitatea defectrilor; b) densitatea de repartiie a defectrilor; c) funcia de fiabilitate.

Zona I, denumit zona defectelor timpurii (perioada de rodaj) sau perioada de tineree a produsului, se ntinde pe o perioad relativ scurt (zeci, sute de ore) i are specific faptul c n decursul ei ies n eviden defectele ascunse, care au scpat controlului de calitate (produse cu defecte interne, asamblri de slab calitate, reglri necorespunztoare etc.). Componentele produsului care prezint defecte ascunse se defecteaz ntr-un timp relativ scurt, de la punerea n funciune a produsului, ceea ce face ca n aceast perioad intensitatea defectelor produsului s aib un pronunat caracter DFR. Din acest motiv aceast zon este denumit n unele lucrri perioada de ajustare. Aceast perioad (care coincide, de obicei, cu perioada de garanie a echipamentului) poate s nu existe, la acele produse care sunt prevzute a fi supuse unui rodaj n uzin. Intensitatea defectelor specifice acestei perioade poate fi descris de una din legile aparinnd clasei DFR (legea Weibull cu 1a < sau legea Gamma .a.), iar panta caracteristic ( )t din aceast perioad poate constitui un indicator al calitii produciei. Zona II denumit i perioada de exploatare normal sau perioada de maturitate a produsului, se ntinde pe o perioad mai lung (mii de ore) i are caracteristic faptul c defectele apar n decursul ei, mai rar, spontan i fr a se putea stabili o cauza sistematic a apariiei lor. Ca urmare, intensitatea defectrilor este mai mic n aceast perioad i este, practic, constant, ceea ce face ca defectrile s urmeze o lege exponenial de repartiie. Din acest motiv ea mai este denumit i perioada defectrilor accidentale. Zona III, denumit perioada de uzur sau perioada de btrnee a produsului, are caracteristic faptul c fenomenele fizico-chimice ireversibile conduc la uzura, respectiv mbtrnirea, produsului. Defectrile sunt tot mai numeroase i ca urmare intensitatea defectelor are n aceast perioad un pronunat caracter IFR. Faptul c toate componentele produsului sunt, de obicei, tipizate (standardizate) i c sunt produse de mare serie, face ca legea de repartiie normal sau Weibull, Gamma (cu 1a > ), s fie potrivite pentru a descrie aceast perioad. Cele expuse anterior arat c intensitatea defectelor produselor poate fi descris analitic ca o superpoziie de trei componente specifice: componenta ( )1 t , specific defectelor din zona I, componenta ( )2 t , specific defectelor din zona II i componenta ( )3 t , specific zonei III (a se vedea i reprezentarea lor din graficul prezentat n figura 2). Ca atare, exist relaia: (39) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3t t t t = + +

care, n virtutea relaiei dintre funcia de fiabilitate i intensitatea defectrilor, conduce la relaia: (40) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3R t R t R t R t= n care ( )iR t este funcia de fiabilitate corespunztoare componentei ( )i t . Cunotinele despre legea standard de defectare a produselor tehnice sunt folosite, apoi, pentru stabilirea politicilor raionale de urmat, corespunztoare celor trei perioade i care constituie, mpreun, legea de aur a fiabilitii. Pentru perioada I defectele au o cauz sistematic existena lacunelor n procesul tehnologic de fabricaie, care face ca n produs s existe componente cu defecte ascunse. Combaterea acestor defecte se realizeaz prin dou metode: selecia prealabil a componentelor naintea ncorporrii lor n produs i planificarea unei perioade de ncercri a produsului nainte de introducerea lui n exploatare. Prin aplicarea lor se elimin, practic, zona I iar produsul este introdus n exploatare, la beneficiar, ncepnd cu zona II. n zona II, defectrile au un caracter accidental n timp i ca atare nu pot fi prevenite. Politica cea mai raional de urmat, n acest caz, o constituie nlocuirea (repararea) componentelor defecte i restabilirea funcionrii produsului, dup fiecare defectare n parte. n sfrit, n zona III defectrile apar cu preponderen ca rezultat al uzurii i ca urmare politica cea mai raional de urmat, pentru aceast zon, o constituie nlocuirea preventiv a produsului (sau componentelor sale) care se apropie de durata medie de uzur. Prin planificarea convenabil a momentului de nlocuire preventiv se realizeaz eliminarea practic a defectelor de uzur. Astfel prin aplicarea consecvent a politicilor specifice celor trei perioade caracteristice se realizeaz o utilizare a produsului la nivel maxim de fiabilitate,

corespunztor intensitii de defectare din perioada de exploatare normal.