FASCINAŢIA FRACTALILOR

MIHAI ALEXANDRA – Elevă în clasa a X-aURITA MIHAELA - Elevă în clasa a X-a

Profesor îndrumător - MIHALCEA DIANAColegiul Tehnic de Poştă şi Telecomunicaţii

“Gh.Airinei”- Bucureşti

Fractalii sunt nişte structuri geometrice care atunci cand sunt fragmentate sau divizate,rezultă forme similare care reprezintă copii

miniaturale ale întregului. Formele fractale suntprezente în toate structurile naturale, de la

frunzele copacilor până la dispunerea lanţurilormuntoase.Armonia acestor structuri fascineaza

si constituie un domeniu vast de explorare.

“Unul e în toţi, tot astfel precum una e în toate “…

Mihai Eminescu-Scrisoarea I

Fractalii sunt forme si modele geometrice extraordinare create cu ajutorul

ecuațiilor matematice .

Fractalul, ca obiect geometric, are în general urmatoarele caracteristici:

• este auto-similar : dacă se măreşte orice porţiune dintr-un fractal, se vor obţine (cel puţin aproximativ) aceleasi detalii cu cele ale fractalului întreg.

• are o definiţie simplă şi recursivă – pentru a ne imagina fractalul corespunzător unei funcţii f(x), considerăm elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.

• are detaliere şi complexitate infinită: orice nivel de magnificare pare identic şi are o structură fină la scări infinit de mici.

• este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional.

Scurt istoric

Istoria fractalilor nu este lungă. Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul XVII, când filosoful şi

malematicianul G. Leibniz a considerat autosimilaritatea ca fiind recursivă (deşi greşise gândindu-se că numai liniile

drepte sunt autosimilare în acest sens). Apoi , în 1872 cand Karl Weiestrass a dat un exemplu de

funcşie cu proprietatea că este continuă dar nediferenţiabilă, a apărut o funcţie al cărei grafic este considerat azi fractal. În

1904, Helge von Koch a dat o definiţie geometrică a unei funcţii similare, care se numeşte astăzi fulgul lui Koch.

În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul , iar un an mai târziu,covorul luiSierpinski. La origine, aceşti fractali geometrici au fost descrisi drept curbe în loc de formebidimensionale, asa cum sunt cunoscute astăzi.

Functiile iterate în planul complex au fost investigate la sfârsitul secolului 19 si începutul

secolului 20 de matematicieni precum Henri Poincare , Felix Klein, Pierre Fatou si Gaston

Giulia. Totusi, fără ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumuseţea

numeroaselor obiecte pe care le descoperiseră.

Fractalii în artă

Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni în artă, coloraţi în

manifestările lor diferite şi grupaţi în galerii de imagini fractale, pentru a ului şi pentru a

provoca imaginaţia.

• Tipare de fractali au fost descoperite în picturile artistului american Jackson Pollock. Deşi

picturile lui Pollock par a fi doar stropi haotici, analiza computerizată a descoperit tipare de

fractali în opera sa.

Pictura de Jackson Pollock

• În arhitectură, începând cu piramidele din America Centrală, continuând cu templele hinduse şi ajungând la Goticul european, o mare parte dintre construcţiile atât deadmirate astăzi au folosit principiul fractalităţii.

• Fractalii sunt de asemenea predominanţi în arta şi arhitectura africană.În Europa medievală, multe din catedrale au fost construite folosind principiul fractalilor,

spre exemplu Catedrala Notre Dame din Paris, ale cărei arce de la nivelul faţadei

sunt multiplicate şi utilizate la întreaga clădire, la diverse scări de lucru.

Apare inevitabil întrebarea: la ce ne ajută aceste structuri fractale şi care este rolul lor exprimat în mod concret ? Dincolo de o armonie estetică

uşor de remarcat de către oricine, dar de descifrat numai de către specialişti, fractalii pot fi priviţi şi din punctul de vedere al unei ordonări spaţiale.

Din anii 1990, producţii cinematografice importante care folosesc fractalii pentru efecte speciale, sistemele de redare grafică pe calculator îi folosesc pentru a creea structuri naturale, oamenii de ştiinţă şi matematicienii i-au transformat într-o unealtă indispensabilă pentru munca lor.

Fractalii în natura Fractali aproximativi pot fi observati usor in

natură: norii, fulgii de zapada, cristalele, lanturile montane, fulgerele, retelele de răuri, liniile de coastă,coralii,coada păunului,frunza de ferigă,crengile bradului,floarea soarelui.

În corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul

fractalilor: ramificaţiile venelor şi arterelor, structura rinichiului şi a scheletului, inima şi sistemul nervos.

Fractali – aplicatii in diverse domenii

Complexitatea si proprietatile uimitoare ale fractalilor le permit acestora sa modeleze lucruri

din diferite domenii: biologie, geografie, hidrologie, meteorologie, geologie, economie, medicina, psihologie,atronomie ( modelează

structura Universului, distribuţia galaxiilor, distribuţia craterelor pe lună – in filmul Apollo 13,

o imagine a lunii a fost generata folosind fractali).

Generatori de fractali

Oricine poate crea peisaje deosebite si imagini atragatoare cu ajutorul fractalilor, deoarece exista pe Internet o multime de programe software generatoare

de fractali.

Fractalii reprezintă o lume în care se întălnesc matematica,fizica, biologia

arta, economia. Ei au existat întotdeauna , dar oamenii nu au avut puterea să-I reproducă decat atunci

cand a apărut calculatorul!

Vă mulțumim pentru atentie!