Exercitiile AM Ianuarie

7/25/2019 Exercitiile AM Ianuarie

1/71

Exercitii de Analiza Matematica

January 10, 2016

1 Siruri si serii de numere reale

1.1 Sa se stabileasca daca sirul cu termenul generalxn=. . . este sau nu fundamental

1.1.1 Pentru a arata ca sirul este fundamental:

Pentru a arata ca sirul este fundamental:

(1) Se determina sirul (yn)nN astfel ncat|xn+pxn| yn pentru oricen, p N si lim

nyn= 0.

1.1.2 Pentru a arata ca sirul nu este fundamental:

(1) Se arata sirul nu este marginit, sau

(2) Pentru oricen N se seterminap(n) N astfel nct: limn

|xn+p(n) xn| = 0.

1.2 Sa se studieze convergenta sirului cu termenul gen-eral xn=. . .

1.2.1 Pentru a arata ca sirul este convergent:

(1) Se arata ca sirul este monotan si marginit, sau

(2) Se arata ca este sir fundamental.

1


2/71

1.2.2 Pentru a arata ca sirul nu este convergent:

(1) Se arata ca exista subsiruri ale sale cu limite diferite, sau

(2) Se arata ca nu este marginit, sau

(3) Se arata ca nu este fundamental.

1.3 Sa se determine limitele extreme ale sirului cu ter-menul general xn=. . .

(1) Se determina multimea punctelor de acumulare ale sirului dat, deter-

minand limitele n Rale subsirurilor componente;

(2) Se determina margineaa superioara si marginea inferioara a acesteimultimi.

1.4 Sa se studieze natura seriein0

xn unde xn = . . . si

sa se calculeze suma sa n caz de convergenta

In exercitiile din aceasta categorie, sumele partiale au o expresie analiticasimpla si se poate realiza efectiv studiul convergentei sirului (sn)nN.Pentru

rezolvare se procedeaza astfel:

(1) Se scrie sn

(2) Se prelucreazasn,de exemplu prin descompunerea lui xnin fractii sim-ple sau prin utilizarea unor formule cunoscute, obtinandu-se o expresieanalitica simpla;

(3) Se studiaza convergenta sirului (sn)nN,determinand, daca exista, limitasa, care, daca este finita, reprezinta suma seriei.

1.5 Sa se studieze natura seriei generata de sirul xn =. . . , n N.

In aceast tip de probleme sumele partial nu au expresii analitice simple, iarstudiul direct al sirului (sn)nN nu este posibil. De aceea, pentru studiulseriei date, se ncearca aplicarea unui criteriu de convergenta convenabil:

2


3/71

(1) Daca seria are toti termenii pozitivi, se ncearca aplicarea unui criteriu

adecvat pentru serii cu termeni pozitivi;

(2) Daca seria are termeni arbitrari, se studiaza convergenta absuluta;

(3) Daca seria este absolut convergenta, atunci este si convergenta, iar dacanu este absolut convergenta, nu se poate spune nimic, n general, despreconvergenta sa, ncercandu-se n aces caz aplicarea criteriului lui Abelsau Leibniz;

(3) Daca limn

xn= 0, atunci serian0

xn este divergenta.

Exercitiul 1.1 Sse calculeze urmatoarele limite:

(1) xn=

n4 + 2 n 13 ;(2) xn=

2n2 3 n+ 5;

(3) xn=

n2 + 2n+ 1

n2 2n+ 1;(4) xn= 5

n 7n;(5) xn= 5

n n4;

(6) xn=n+ 3 n+ 2

n+ 5 n+ 4 ;

(7) xn= 2n n5;

(8) xn=1 + 2 +. . .+n

n n

2;

(9) xn=

n 2n+ 1 + n+ 2;

(10) xn= 2n + 3n

2n+2 + 3n+2;

(11) xn= (n+ 1)1

n

2n

3n+ 1 n+ 2

8n 1 ;

(12) xn=

1 +

1

5+. . .+

1

5n

1 +

2

3+. . .+

2

3

n;

3


4/71

(13) xn= 2n n+ 52n+2

n+ 3;

(14) xn=3n

n!;

(15) xn= n2

n3 + 1+

n2

n3 + 2+. . .+

n2

n3 +n;

(16) xn=1 + 4 + 42 +. . .+ 4n

n ;

(17) xn=13 + 23 + 33 +. . .+n3

n4

+ 1

;

(18) xn=

n

en ;

Exercitiul 1.2 Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt fundamentale:

(1) xn= n+ 2

3n+ 5, nN;

(2) xn= 1 + 1

2+

13

+. . .+ 1

n, n N;

(3) xn= 1 + 1

22+. . .+

1

n2, n N;

(4) xn=n

k=1

cos(k!)

k(k+ 1), nN;

(5) xn= n2

n+ 1, n N;

Exercitiul 1.3 Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt convergente:

(1) xn= n+ 1n2 + 2

, n N;

(2) xn= n2

n+ 1, n N;

Exercitiul 1.4 Determinati limitele extreme ale sirurilor:

4


5/71

(1) xn=1 + (1)n

2 + (

1)n

n

2n+ 1, n

N;

(2) xn=n2(1)

n

n , n N;

Exercitiul 1.5 Sa se studieze nature seriilor urmatoare si sa se calculezesuma n caz de convergenta:

(1)n1

1

n+ 1;

(2) n1

lnn+ 1n

;Exercitiul 1.6 Sa se studieze nature seriilor urmatoare :

(1)n1

7n

n2 + 3n+ 5;

(2)n1

1

n(1 +a+a2 +. . .+an), a >0;

(3) n1

1 3 5 . . . (2n 1)2 4 6 . . . (2n)

;

Exercitiul 1.7 Demonstrati ca urmatoarele siruri sunt fundamentale:

(1) xn= n+ 3

5n+ 4, n N;

(2) xn= 1 + 1

23+. . .+

1

n3, nN;

(3)n

k=1cos(2k+ 3)

k2 , nN;

(4)n

k=1

arctan(kx)

k3 , nN;

(5)n

k=1

2k

(k+ 2)k!, n N;

5


6/71

Exercitiul 1.8 Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt convergente:

(1) xn= n+ 3

2n+ 1, nN;

(2) xn= n3 + 2

3n2 + 1 n N;

(3) xn=n

k=1

1

k3 n N;

(4) xn=n

k=1

cos(k!)

k2

n

N;

Exercitiul 1.9 Determinati limitele extreme ale sirurilor:

(1) xn= 1

n n(1)n + sin

n

2

, nN;

(2) xn=n(1 + (1)n), nN;

(3) xn=(1)n

n +

1 + (1)n2

, n N;

Exercitiul 1.10 Determinati limitele sirurilor:

(1) xn=n+ 1

2n

nk=1

2k

k, n N;

(2) xn= 1

ln(n)

nk=1

1

k, n N, n2;

(3) xn= 1

n ((n+ 1)(n+ 2) . . . (2n)) 11 , nN, n2;

Exercitiul 1.11 Sa se studieze natura seriilor urmatoare si sa se calculeze

suma n caz de convergenta:

(1)n1

1

(+n)(+n+ 1), 0;

(2)n1

n

n,|| 1;

6


7/71

(3) n0

1

n+ 1 + n,

0;

(4)n2

a

1

n a 1n+1

, 0;

(5)n1

n2 +n+ 1

(n+ 1)2 , 0;

Exercitiul 1.12 Folosind criteriul radacinii sa se studieze convergentaurmatoarelor serii:

(1)n1

arctann

1n

;

(2)n1

n an, a >0;

(3)n1

tann

1 +1

n

;

(4) n1

sinn

4

+1

n;

(5)n1

n

3n 12n1

;

Exercitiul 1.13 Folosind criteriul raportului, sa se studieze convergentaurmatoarelor serii:

(1)n1

ann!

;

(2)n1

(n!)2

(2n)!;

(3)n1

2n 1(

2)n;

7


8/71

(4) n1

n3

en;

(5)n1

n!

2n + 1;

Exercitiul 1.14 Sa se studieze convergenta urmatoarelor serii alternante.In caz de convergenta, sa se precizeze daca seriile sunt semiconvergente:

(1)n1

(1)n12n 1 ;

(2)n1

(1)n1n

;

(3)n1

(1)n1n2

;

(4)n1

(1)n1 2n+ 1n(n+ 1)

;

Exercitiul 1.15 Sa se determine suma seriei de termen general xn daca:

(1) xn= 2n+ 1

n2(n+ 1)2, n N;

(2) xn= ln

1 +

2

n(n+ 3)

, n N;

Exercitiul 1.16 Sa se stabileasca natura seriilor urmatoare:

(1)n1

cos(n)

np , p >0, (0, );

(2)n1

(1)n+1 2n+ 13n

;

(3)n1

2n n!nn

;

8


9/71

(4) n1

n2

sin

2n;

Exercitiul 1.17 Sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri (n N):

(1) an=

n!

n

1n

;

(2) an=

(n+ 1) . . . 2n

n

1n

;

(3) a

n= ln(n!)

n

1

n

;

(4) an=1p + 2p +. . .+np

n n

p+ 1;

(5) an=1p + 2p +. . .+np

np+1 ;

Exercitiul 1.18 Sa se determine natura seriilor urmatoare si sa se cal-culeze sumele n caz de convergenta:

(1)

n=1

1

n(n+ 1);

(2)n=1

1

(n+ 1)

n+n

n+ 1;

(3)n=1

n2 n 1(n+ 1)!

;

(4)

n=11

16n2 8n 3;

(5)n=1

2n 12n

;

(6)n=1

n+a+ 1 2n+a+ n+a 1;

9


10/71

(7)

n=1

ln n2 + 2nn2 + 2n+ 1

;

(8)n=1

(1)n;

(9)n=1

1n+ 1 +

n

;

(10)

n=2

n2 3n+ 1(n+ 1)!

;

(11)n=1

3n+ 1

3n ;

Exercitiul 1.19 Sa se stabileasca natura seriilor urmatoare folosind cri-teriile pentru serii cu termeni pozitivi:

(1)n=1

2n+ 3

3n+ 2

n;

(2)n=1

4n+ 33n+ 2

n;

(3)n=1

2n+ 1

2n+ 3

n;

(4)n=1

a

n2 +n+ 1

n2

n, a >0;

(5)

n=1

(n+ 1)(n+ 2) n

n

;

(6)n=1

n!

nn;

10


11/71

(7)

n=1

an

np, a >0, p

R;

(8)n=1

an

n!, a >0;

(9)n=1

n22 + 1

n

n ;

(10)

n=1

n

n+ 1n2

;

(11)n=1

np

3n + 4n, p R;

(12)n=1

(n!)2

(2n)!;

Exercitiul 1.20 Folosind criteriul coparatiei, studiati natura seriilor:

(1)

n=1

n2 +n+ 1

2n4 + 7n 3 ;

(2)n=1

n

n+ 3n+ 1

2n2 + 5n+ 3;

(3)n=1

7n1

3 + 1

n2 + 3n+ 2;

(4)

n=1

3n2 + 7n+ 2

n3 + 5n+ 1;

Exercitiul 1.21Folosind criteriul lui Cauchy, aratati ca urmatoarele seriisunt convergente:

(1)n=1

1

n2;

11


12/71

(2)

n=1

sin12n;

(3)n=1

cos(nx)

3n ;

(4)n=1

sin(nx)

n2 ;

(5)

n=11

nsin

1

n;Exercitiul 1.22Folosind criteriul lui Cauchy, aratati ca urmatoarele serii

sunt convergente:

(1)n=1

1

n2;

(2)n=1

sin

1

2n

;

(3)

n=1

cos(nx)

3n ;

(4)n=1

sin(nx)

n2 ;

(5)n=1

1

nsin

1

n

;

Exercitiul 1.23 Sa se stabileasca natura seriilor urmatoare folosind cri-teriile pentru serii cu termeni pozitivi:

(1)n=1

(2n)!

4n(n!)2;

(2)n=1

n!

(x+ 1)(x+ 2) (x+n) , x >0;

12


13/71

(3)

n=1

a1+1

2+...+ 1

n , a >0;

(4)n=1

1 4 7 (3n 2)2 5 8 (3n 1)

2;

(5)n=1

n!

(2 +

1)(2 +

1) (2 + n) ;

(6)

n=1

1

nsin

1

n;

(7)n=1

ln

1

n2+ 1

;

Exercitiul 1.24 Sa se stabileasca natura urmatoarelor serii alternante:

(1)n=1

(1)n+1 1n

;

(2)

n=1

(

1)n+1

2n+ 1

3n+ 1n;

(3)n=1

(1)n+1

2n

2n+ 1

n;

(4)n=1

(1)n 1n(n+ 1)

;

(5)

n=1

(1)n+1 2n sin2n(x)

n+ 1 , x

2, 2 ;

(6)n=1

(1)n+1 2n+ 13n

;

Exercitiul 1.25 Sa se calculeze:

13


14/71

(1) limx1

1 xcot

x2

(2) limx

x x2 ln

1 +x

x

(3) limx

x( 2 arctan(x))

(4) limx

2

sin(x)tan(x)

(5) limx0

x e 1x

tan2

(x)

(6) limx

x2 + 1

x

12x

2 Serii de puteri reale. Dezvoltari n serie

2.1 Sa se determine multimea de convergenta si sumaseriei de puteri

n0anx

n

(1) Se determina raza de convergenta r (cu formula Cauchy-Hadamard) si(r, r)Ac;

(2) Se studiaza separat x= r si x=r;

(3) Dacan0

anrn este convergenta, atunci rAc;

(4) Dacan0

an(r)n este convergenta, atuncirAc;

(5) Se stabileste multimea de convergenta;

(6) Dacan0

anrn e convergenta, atunci rAc;

14


15/71

(7) Pentru calculul sumei se folosesc formule cunoscute, sau se deriveaza

(integreaza) seria termen cu termen. Din continuitatea sumei inrsaur (daca acestea sunt puncte de convergenta), se decuce valoarea san aceste puncte.

2.2 Sa se arate ca f :I R, f(x) =. . .este dezvoltabilan serie de puteri

(1) Se scrie Rn(x) si se arata ca Rn(x)0 pentru orice xAc sau(2) Se arata ca existaM R astfel ncat |f(n)(x)|< Mpentru oricexAc

si orice nN

.

2.3 Sa se dezvolte n serie de puteri functia f(x) =. . .

(1) Se determina multimea pe care f este dezvoltabila n serie de puteri;

(2) Se calculeaza f(x), f(x), . . . , f (n)(x) demonstrand prin inductie for-mula lui f(n)(x), si se scrie dezvoltarea, sau

(3) Se fac substitutii cunoscute (pentru 11x

, ex, sin(x), cos(x), etc.

(4) Se scrie functia ca suma finita de functii a caror dezvoltare este cunos-

cuta si se nsumeaza termen cu termen dezvoltarile.

(5) Se dezvolta n serie de puteri f(x) si se integreaza rezultatul, deter-minand constanta de integrare cu ajutorul valorii f(0).

2.4 Sa se calculeze f(a) cu k zecimale exacte

(1) Se arata ca feste dezvoltabila n serie de Taylor in jurul lui x0 pe omultime care l contine pe a;

(2) Se scrie dezvoltarea n serie de Taylor

(3) Se considera seria numerican0

f(n)(x0)

n! (a x0)n si se evalueaza seria

sumei, care este de fapt f(a) cu k zecimale exacte (dupa modelul de laserii numerice reale).

15


16/71

Exercitiul 2.1Sa se determine multimea de convergenta si sume seriilor de

puteri:

(1)n1

(1)n+1 xn

n

(2)n1

(1)n+1 x2n+1

2n+ 1

Exercitiul 2.2 Sa se determine multimea de convergenta a seriei:

(1) n1

(

1)n n+ 1

n2 +n+ 1x2 21 2x2 , x

2

=

1

2

Exercitiul 2.3 Fie f : (0, +) R, f(x) =n=1

nenx.

(1) Aratati ca f este continua pe (0, +)

(2) Calculati

ln 3ln 2

f(x)dx

Exercitiul 2.4 Sa se arate ca functiile f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) si

h(x) =ex, x Rsunt dezvoltabile n serii de puteri pe R si sa se determineseriile coprespunzatoare.

Exercitiul 2.5 Sa se dezvolte n serie de puteri functia f(x) = (1 +x),cu x >1, R

Exercitiul 2.6 Sa se dezvolte n serie de puteri functiaf(x) = ln

x+

1 +x2

,

cu xR

Exercitiul 2.7 Sa se calculeze cu trei zecimale exacte 10

cos(x2)dx

Exercitiul 2.8 Sa se determine multimea de convergenta a seriilor urmatoare:

(1)n1

xnn!, x R

16


17/71

(2) n1

(

1)n+1 x2n1

(2n 1)(2n 1)!, x

R

(3)n1

xn

n(n+ 1), x R

(4)n1

n+ 1

n

n2, x R

Exercitiul 2.8 Sa se determine multimea de convergenta si suma seriilorurmatoare:

(1)n1

x4n3

4n 3 , x R

(2)n1

(1)n+1 xn+1

n(n+ 1), xR

Exercitiul 2.9 Sa se determine sumele urmatoare, folosind seriile deputeri:

(1)

n=1

(

1)n+1 1

3n 2;

(2)n=1

(1)n+1 14n 3 ;

(3)n=1

(1)n+1 1n(2n 1) ;

(4)

n=1(1)n+1 1

3n

2

;

(5)n=1

(1)n+1 16n+ 1

;

Exercitiul 2.10 Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarelorserii de puteri:

17


18/71

(1) n0

(n+ 1)xn;

(2)n1

1

n(n+ 1)(n+ 2)xn+2;

(3)n1

1

n

x+ 2

x 2n

;

(4)n1

2n+ 2

2n+ 1x2n+1;

Exercitiul 2.11 Sa se dezvolte n serii de puteri urmatoarele functiiindicand si multimile de convergenta:

(1) f(x) = ln(1 +x);

(2) f(x) = 2x 3(x 1)2 ;

(3) f(x) = 3x 5

x2 4x+ 3 ;

(4) f(x) =xe2x;

(5) f(x) = sin(3x) +x cos(3x);

(6) f(x) = ln

1 +x

1 x

;

Exercitiul 2.12 Sa se calculeze cu trei zecimale exacte integrala

20

sin(x)

x dx.

Exercitiul 2.13Sa se studieze convergenta punctuala si uniforma pentruurmatoarele siruri de functii:

(1) (fn)nN fn: [3, 5] R fn(x) = nx

n+x

(2) (fn)nN fn: [3, +) R fn(x) = nxn+x

(3) (fn)nN fn: [0, 1] R fn(x) =xn(1 xn)

18


19/71

(4) (fn)nN fn: [0, 1]

R fn(x) =x

n(1

x)n

(5) (fn)nN fn: [1, +) R fn(x) = x2

n2 +x4

(6) (fn)nN fn: [0, 1] R fn(x) = xn

1 +x2n

(7) (fn)nN fn: [0, 1] R fn(x) = nx1 +n2x2

(8) (fn)nN fn: [1, 1] R fn(x) =xn

Exercitiul 2.14 Sa se determine raza de convergenta si multimile deconvergenta pentru:

(1)n1

nn xn

(2)n0

2n+ 3

n! xn

(3)n1

(1)n 1n 2n x

n

(4)n1

nn2 +n+ 1

xn

(5)n1

(1)n 2n + 3n

n xn

(6)n1

2n

nn xn

(7) n1

n

n3

+ 1xn

Exercitiul 2.15 Sa se determine formula lui Taylor cu rest Lagrange npunctele indicate si ordinul cerut:

(1) f(x) =ex2+x, a= 0, n= 2

19


20/71

(2) f(x) =x arctan(1

x

), a= 1, n= 2

(3) f(x) =x ln(x2 + 1), a= 0, n= 3

Exercitiul 2.16 Sa se calculez folosind formula lui Taylor:

(1) limxa

sin(x) sin(a)x a

(2) limx0

ex sin(x) x x2x3

(3) limx0

tan(x)

sin(x)

x3

(4) limx0

cos(x) ex22x4

Exercitiul 2.17 Sa se dezvolte n serie de Taylor n origine, functiile:

(1) f(x) =ex2

(2) f(x) = sin(2x3)

(3) f(x) =

1

x+x 6(4) f(x) = arctan x

3 Functii continue de mai multe variabile reale

3.1 Sa se studieze convergenta sirului (xn)nN de ele-mente din Rp

(1) Se studiaza sirurile componente:

(2) Daca toate sirurile componente sunt convergente atunci sirul dat esteconvergent;

(3) Daca cel putin un sir component nu este convergent atunci sirul nu esteconvergent;

20


21/71

3.2 Sa se determine limita sirului (xn)nN de elemente

din Rp

(1) Se determina limita fiecarui sir component. Dacaxn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn),

atunci limn

xn= ( limn

x1n, limn

x2n, . . . , limn

xpn).

3.3 Pentru of functie f : A Rp R si a A sa sedetermine lim

na f(x)

(1) Inlocuire directa, daca nu se obtin operatii fra sens;

(2) Folosind diverse substitutii se transforma ntr-o limita a unei functii deo variabila, apoi se folosesc limite fundamentale sau metode specificecunoscute din liceu;

(3) Folosrea criteriului cu siruri: se considera un sir (xn)nN cu limn

xn = a

si se determinal = lim f(xn); apoi, daca |f(x)l| g(x) ntr-o vecintatea punctului a si lim

xag(x) = 0,atunci l= lim

xaf(x).

3.4 Pentru of functie f : A Rp R si a A sa se

arate ca f

nu are limita n punctula

(1) Se arata ca exista doua siruri (an)nN si (bn)nN din A\{a} cu

limn

an = limn

bn= a

astfel ncat limn

f(an)= limn

f(bn).

3.5 Sa se arate ca functia f : A Rp R, f(x) = . . .este continua n punctul aA A.

(1) Daca f, g :ARp R, aA A daca eista U V(a) astfel ncatpentru oricexUAavem|f(x)f(a)| g(x) si daca lim

ng(x) = 0,

atunci, evident, f este continua n punctul a.

21


22/71

3.6 Pentru o functie f :A

Rp

R, f(x) =. . . nu este

continua n punctul aA A.(1) Daca exista un sir (an)nN de elemente din A cu lim

nan= a, astfel

ncat limn

f(an)=f(a),atunci, evident, fnu este continua n punctula.

3.7 Sa se studieze continuitatea functieif :A Rp R(1) Se determina domeniul de definitie al functiei f;

(2) Se identifica multimea de puncte n care functia este continua pentru

ca este obtinuta prin operatii cu functii continue

(3) Se studiaza continuitatea functiei n fiecare din punctele domeniului dedefinitie exceptate la pasul anterior calculand limita corespunzatoare

(4) Se precizeaza multimea de continuitate.

3.8 Sa se arate ca functiaf :A Rp R este continuadupa orice directie n punctul aAA dar nu estecontinua n acest punct

(1) Se arata ca limt0

f(a+tv) =f(a),pentru orice v;

(2) Se arata apoi cafnu are limita n punctul a sau caf(a) nu este limitafunctiei f n punctul a;

3.9 Sa se studieze continuitatea uniforma a functiei fpe multimea A

(1) Se verifica daca Aeste compacta;

(2) Daca A este compacta, din continuitatea lui f pe A rezulta continui-tatea uniforma pe aceasta multime;

(3) DacaAnu este compacta, se verifica ndeplinirea conditiei din definitie;

(4) Oricum ar fiA,dacafnu este continua peAatunci nu este nici uniformcontinua.

22


23/71

3.10 Se da f : A

Rp

R. Sa se arate ca ecuatia

f(x) = 0 are cel putin o solutie n A

(1) Se arata ca Aeste o multime conexa;

(2) Se arata ca f este continua pe A;

(3) Se identifica a, b A astfel ncat f(a) f(b) < 0. Rezulta, ca ecuatiaf(x) = 0 are cel putin o solutie n A.

3.11 Pentru o functie data f :A Rp Rm si aA sa

se determine limxaf

(x

).

(1) Se determina limita pe componente;

3.12 Pentru o functie data f :A Rp Rm si aA sase arate ca f nu are limita n punctul a.

(1) Se arata ca macar o componenta ca nu are limita n punctul a;

3.13 Sa se arate ca functia f : ARp Rm, f(x) =. . .este continua n punctul aA A.

(1) Se arata ca fiecare componenta este continua;

3.14 Sa se arate ca functia f : ARp Rm, f(x) =. . .nu este continua n punctul aA A.

(1) Se arata ca macar o componenta nu este continua n a;

3.15 Sa se studieze continuitatea functiei f :A

Rp

Rm.(1) Multimea de continuitate a functiei f este intersectia multimilor de

continuitate ale componentelor;

Exercitiul 3.1 Studiati convergenta urmatoarelor siruri din R3:

23


24/71

(1) xn= n2n+ 1

, n2

n2 + 1,1

n;

(2) xn=

1 1

n, 3n, cos

1

n

;

(3) xn=

1

2 +n, (1)n+1,n+ 1

n

;


(1) lim(x,y)(0,0)

tan(x2 +y2)

x2 +y2;

(2) lim(x,y)(0,0)

1 cos

x2 +y2

x2 +y2 ;

Exercitiul 3.3Sa se demonstreze ca urmatoarele functii nu au limita n(0, 0):

(1) f(x, y) = x yx+y

, x+y= 0;

(2) f(x, y) = y e 1x2

y2

+e

2x2

, x= 0;

Exercitiul 3.4 Sa se demonstreze ca urmatoarele functii sunt continuen (0, 0):

(1) f(x, y) =

x2 +y2

(2)

f(x, y) =

y2 ln

1 +

x2

y2

, y= 0, x R

0 y= 0, xR(3)

(x2 +y2)sin

1x2 +y2

, (x, y)= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

24


25/71

Exercitiul 3.5Sa se demonstreze ca urmatoarele functii nu sunt continue

n (0, 0):

(1)

f(x, y) =

x yx+y

, x+y= 0

0, x+y = 0

(2)

x3y2

x2 +y2, (x, y)= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

Exercitiul 3.6 Sa se studieze continuitatea functiilor:

(1)

f : R2 R, f(x, y) =

sin(x3 +y3)

x2 +y2 , (x, y)= (0, 0)

a, (x, y) = (0, 0)

(2)

f : R3 R, f(x,y,z) =

1

1 +x2 +y2 +z2

x2 +y2 +z2 , (x,y,z)= (0, 0, 0)

a, (x , y , z ) = (0, 0, 0)

Exercitiul 3.7 Fie

f : R2 R, f(x, y) =

x3y

x6 + |y3| , (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).Sa se demonstreze ca functia feste continua dupa orice directie n origine,dar fnu este continua n origine.

Exercitiul 3.8 Sa se studieze continuitatea uniforma a urmatoarelorfunctii pe multimile A indicate:

25


26/71

(1)

f(x) = x2x2 + 1

+ x, x R, A= R

(2)

f(x) =

x sin

1

x

, x= 0

0, x= 0, A=

0,

1

Exercitiul 3.9 Sa se arate ca functiaf(x) =xax

1, a >1,se anuleaza

ntr-un punct (0, 1).Exercitiul 3.10 Sa se arate ca functiaf(x, y) = x3 +y3 3x 2y+ 1,

se anuleaza ntr-un punct din multimeaA={(x, y) : x2 +y2 1}.

Exercitiul 3.11Demonstrati ca functiaf : R2\{(0, 0)} R2, f(x, y) = x2y3

x2 +y2,x2 y2x2 +y2

nu are limita in (0, 0)

Exercitiul 3.12 Sa se studieze continuitatea functiei f : R R3:

f(x) =

sin(5x)

x ,1 cos(x)

x2 ,e

x

1x

, x= 0

5, 1

2, 1

, x= 0

Exercitiul 3.12 Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri din R3:

(1) xn=

2n

3n+ 1,

n

n+ 1,

1

n2

(2) xn=

1 + 1n

n, n 1n , sin

n

(3) xn=

1 + (1)n

n , (1 + (1)n),1

n

Exercitiul 3.13 Sa se demonstreze ca:

26


27/71

(1) lim

(x,y)

(0,0)

xy

x2

+y2

= 0

(2) lim(x,y)(0,0)

sin(x3 +y3)

x2 +y2 = 0

(3) lim(x,y)(0,0)

(x 1)2y3(x 1)2 +y2 = 0

(4) lim(x,y)(0,0)

x2 +y2

|x| + |y| = 0

Exercitiul 3.14 Sa se demonstreze ca functia f(x, y) = xy

x2 +y2nu are

limita n punctul (0, 0).

Exercitiul 3.15 Sa se studieze daca urmatoarele funct ii au limita norigine:

(1) f(x, y) = x2y

x4 +y2

(2) f(x, y) = x2 y2x2 +y2

(3) f(x,y,z) = x2 +yz

x2 +y2 +z2

(4) f(x,y,z) = (2x+y)sin(x2 +y2)

x2 +y2

Exercitiul 3.16 Sa se studieze continuitatea functiilor:

(1)

f(x, y) =

x3y2

x2 +y2, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(1)

(2)

f(x, y) =

2xy2

(x2 +y2)3

2

, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(2)

27


28/71

(3)

f(x, y) =

1 cos(x3 +y3)(x2 +y2)2

, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(3)

(4)

f(x, y) =

y2 ln

1 +

x2

y2

, y= 0

0, y = 0

(4)

(5)

f(x, y) =

1

x y e1

xy , x=y

0, (x, y) = (0, 0)

(5)

(6)

f(x, y) =

(x+y)cos

1

x

, x= 0

0, x= 0

(6)

Exercitiul 3.17 Sa se studieze continuitatea uniforma a functiilor urmatoarepe multimile indicate:

(1) f(x) = x

1 +x+x, x [0, +)

(2) f(x) = x

1 +x+x, x(1, +)

(3) f(x) = sin(x2), x R

Exercitiul 3.18 Sa se arate ca functia f(x) = x5

2x 1 se anuleazacel putin o data ntre x= 1 si x= 2.

Exercitiul 3.19 Sa se calculeze limitele iterate, limita dupa directie,limita globala pentru functiile:

(a) f(x, y) = x yx+y

, (0, 0)

28


29/71

(b) f(x, y) =3x+ 2y

2x 3y, (0, 0)

(c) f(x, y) = xy4 +xy 2 , (0, 0)

(d) f(x, y) =sin(x2y)

y , (0, 0)

(e) f(x, y) =sin(x2y)

y , (3, 0)

(f) f(x, y) = xy

x2

+y2

, (0, 0)

(g) f(x, y) = x2 +y3

x4 +y4, (0, 0)

(h) f(x, y) = (x2 +y2)sin1

xcos

1

y, (0, 0)

(i) f(x, y) = (x2 +y2)sin 1

xy, (0, 0)

(j) f(x, y) = (x+y)cosx

y

, (0, 0)

(k) f(x, y) =tan(x4 +y4)

x2 +y2 , (0, 0)

(l) f(x, y) = x3

x3 +y2sin

1

x, (0, 0)

(m) f(x, y) =sin(x5 +y3)

x4 +y2 , (0, 0)

(n) f(x, y) = (1 +xy)1

x+y , (0, 0)

(o) f(x, y) =

1 x2 y2 1

x2 +y2 , (0, 0)

(p) f(x, y) = (1 +

xy)xy

x+y , (0, 0)

29


30/71

Exercitiul 3.20 Sa se studieze continuitatea partiala si globala pentru

urmatoarele functii, n punctele indicate:

(a)

f(x, y) =

x2y

x4 +y2, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

n (0, 0);

(b)

f(x, y) =

(x2 +y2)sinxy

, y= 0

0, y= 0

n (0, 0);

(c)

f(x, y) =

x3y2

x2 +y4, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

n (0, 0);

(d)

f(x, y) =

tan(x3 +y5)

x3 +y4 , (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

n (0, 0);

30


31/71

4 Functii diferentiabile. Extreme locale

4.1 Sa se calculeze derivatele partiale ale functiei f nx0

(1) Pentru a calcula derivata partiala n raport cuxi,se considera constantetoate celelalte variabile si se deriveaza f ca si cum xi ar fi singuravariabila. Se folosesc regulile de derivare cunoscute.

(2) Se foloseste definitia.

4.2 Sa se demonstreze ca functiaf(x) =. . .este diferentiabilape A si sa se scrie diferentiala sa

(1) Daca f : A R R se arata ca f este derivabila pe A si df : AL(R,R) este data de dfx(h) =f(x) h;

(2) Daca f : A Rp R se calculeaza derivatele partiale pentru fiecarepunct din A:

(3) Daca ele sunt functii continue pe A, deducem ca f este diferentiabilape A;

(4) Daca exista macar o derivata partiala discontinua n x0 A, atuncidiferentiabilitatea se studiaza astfel:

(5) Se considera functia liniaraLx0(h) = f

x1(x0) h1+ f

x2(x0) h2+. . .+ f

xp(x0) hp

unde h= (h1, h2, . . . , hp).

(6) Se determina raportul R(h) = |f(x0+h) f(x0) Lx0(h)|

||h|| pentruorice h= Rp.

(7) Se studiaza existenta limitei lui R(h) n Rp

. Daca R(h) nu are limitan Rp ,sau daca limita este nenula, rezulta ca fnu este diferentiabilan x0, iar daca limita este 0 rezulta ca f este diferentiabila n x0si dfx0 = Lx0 . Daca f este diferentiabila pe A, atunci: dfx0(h) =f

x1(x0) h1+ f

x2(x0) h2+. . .+ f

xp(x0) hpundeh= (h1, h2, . . . , hp).

31


32/71

(8) Daca f : A

Rp

Rm se demonstreaza ca toate componentele lui f

sunt diferentiabile pe A. In acest caz dfx(h) =Jf(x) h.

4.3 Sa se arate ca functiaf(x) =. . .nu este diferentiabilan x0A

(1) Daca f nu este continua n x0 rezulta ca nu este diferentiabila n x0sau, daca fe continua n x0,se procedeaza astfel:

(2) Daca f :A R Rse arata ca fnu este derivabila n x0.(3) Daca f : A

R

Rm se arata ca cel putin una din componentele lui

fnu este derivabila n x0.

(4) Dacaf :A Rp Rse arata cafnu este derivabila partial n raportcu una din variabile nx0.Daca exista toate derivatele partiale n x0,se

considera functiaLx0(h) = f

x1(x0) h1+ f

x2(x0) h2+. . .+ f

xp(x0) hp

si se arata ca raportul R(h) = |f(x0+h) f(x0) Lx0(h)|

||h|| nu arelimita cand||h|| 0 sau, daca limita exista, aceasta este diferita de 0.

(5) Daca f :A

Rp

Rm se arata ca cel putin una din componentele lui

fnu este derivabila n x0.

4.4 Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul doiale functiei f :A Rp, f(x1, . . . , xp) =. . .

(1) Se calculeaza derivatele partiale de ordinul nai si apoi derivatele partialeale acestora, folosind regulile de derivare uzuale sau folosind definitia.

4.5 Sa se determine punctele de extrem local ale functiei

f :D Rp

R, f(x1, . . . , xp) =. . .(1) Se determina D1D pe care f este de clasaC2

(2) Se calculeaza f

xj:D1 R, j= 1, 2, . . . , p

32


33/71

(3) Se rezolva sistemul f

xj= 0, j = 1, 2, . . . , p ,obtinandu-se coordonatele

punctelor stationare.

(4) Se calculeaza 2f

xixj:D1 R, j = 1, 2, . . . , p

(5) Se scrie matricea hessiana a functiei f n fiecare punct stationar.

(6) Cu ajutorul valorilor proprii sau a minorilor principali decidem dacaun asemenea punct este sau nu extrem local pentru f.

(7) Pentru punctele care se afla n D

\D1se studiaza direct semnul cresterii

f(x)f(x0) si se decide daca punctul este de extrem local folosinddefinitia.

Exercitiul 4.1 Sa se demonstreze ca functiaf : R R

f(x) =

sin2(x), x


34/71

Exercitiul 4.5 Sa se demonstreze ca functiaf : R2

R

f(x) =

xyx2 +y2

, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(9)

nu este diferentiabila n (0, 0).

Exercitiul 4.6 Fie f : R2 R2

f(x, y) =

xyx2

y2

x2 +y2,

(x, y

)= (0,

0)

0, (x, y) = (0, 0).

(10)

Demonstrati ca 2f

xy(0, 0)=

2f

yx(0, 0).

Exercitiul 4.7 Sa se determine punctele de extrem local pentru functiaf : R3 R, f(x,y,z) =x2 +y2 +z2 xy+x 2z.

Exercitiul 4.7Sa se demonstreze ca originea este punct de minim global

pentru functiaf : R2 R,

f(x, y) =

y2 ln

1 +

x2

y2

, y= 0

0, y= 0.

(11)

Exercitiul 4.8 Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul ntai aleurmatoarelor functii, precizand si domeniul lor de definitie:

(1) f(x, y) =x2 +y2 3xy

(2) f(x, y) = x yx+y

(3) f(x, y) = ln

x+

x2 +y2

34


35/71

(4) f(x, y) = sin 1

x2 +y2

(5)

f(x, y) =

xy2

x2 +y2, (x, y)= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

(12)

Exercitiul 4.9 Demonstrati ca functia z(x, y) = y (x2 y2) verificaecuatia

1

x z

x+

1

y z

y =

z

y2unde este o functie de clasaC1 pe R.

Exercitiul 4.10Demonstrati ca functiaz(x, y) =xy +x y

x

verifica

ecuatiax zx

+y zy

=xy +zunde este o functie de clasaC1 pe R.

Exercitiul 4.11Sa se calculeze 2z

x2 si

2z

y2 dacaz(x, y) =f(x2 + y2, x2

y2, xy) unde feste o functie de clasaC2 pe R3.

Exercitiul 4.12 Sa se determine extremele locale ale urmatoarelor functii:

(1) f(x) =x3 3x+ 2;

(2) f(x) = arctan

1 x1 +x

;

(3) f(x) =1 x+x21 +x x2 ;

(4) f(x, y) =x3 +y3 3xy;

(5) f(x, y) =x3 + 8y3 6xy+ 1;(6) f(x, y) = 2x3 xy2 + 5x2 +y2;(7) f(x, y) =xy2exy;

Exercitiul 4.13

35


36/71

(a) Sa se calculeze derivata functiei f(x , y , z ) =xy + yz+ xz nM(2, 1, 3),

dupa directiaM N ,unde N(5, 5, 15).(b) Sa se calculeze derivata functiei f(x, y) = 5x2 3x y 1 n M(2, 1),

dupa directiaM N ,unde N(5, 5), si apoi dupa directiile axelor.

(c) Sa se calculeze derivata functieif(x,y,z) = 2x33y2+6xyz nM(1, 1, 0),dupa directia

M N ,unde N(2, 2, 3), si apoi dupa directiile axelor.

Exercitiul 4.14 Sa se detrmine punctele de extrem si extremele functiilorurmatoare:

(a) f(x, y) =x3 + 3xy2 15x 12y.(b) f(x, y) =2x2 + 2xy 5y2 + 6x+ 6y

(c) f(x, y) =xy +50

x +

20

y

(d) f(x, y) =x 2y+ ln(

x2 +y2 + 3)arctan(y

x)

(e) f(x, y) =x4 +y4 2x2 + 4xy 2y2

(f) f(x, y) = (x+ 1)(y+ 1)(x+y)

(g) f(x, y) =xy2exy, x >0, y >0

(h) f(x, y) = (x2 +y2)e2x+3y, x0, y0(i) f(x, y) =x3 +y3 3xy

(h) f(x, y) = 3xy2 x3 15x 36y+ 9

5 Functii implicite. Extreme conditionate

5.1 Sa se determine y si y daca y=y(x) este o functiedefinita implicit de ecuatia F(x, y) = 0

(1) Teorema 1 Fie ecuatia F(x, y) = 0 unde F : D R este o functiedata, definita pe multimea deschisa D R2. Fie (x0, y0) D. Dacasunt ndeplinite conditiile:

36


37/71

(1) F(x0, y0) = 0;

(2) F este de clasaC1 pe o vecinatate a punctului(x0, y0);(3)

F

y(x0, y0)= 0,

atunci

(1) Exista U V(x0), V V(y0) si o explicitare unica f : U V(n raport cuy) a ecuatieiF(x, y) = 0 astfel nc atf(x0) =y0;

(2) Explicitareaf este de clasaC1 peU si pentru oricexU,

f(x) =F

x

(x, f(x))

F

y(x, f(x))

.

(2) Daca sunt ndeplinite conditiile teoremei precedente, se aplica formula

y(x) =F

x(x, f(x))

F

y(x, f(x))

.

(3) Se calculeazay folosind regula de derivare a catului si regula de derivarea functiilor compuse.

5.2 Sa se determine derivatele partiale de ordinul ntaisi doi ale functiei z = z(x, y) definita implicit deecuatia data F(x , y , z ) = 0

Teorema 2 Fie ecuatia F(x, y) = 0 unde F : D R este o functie data,definita pe multimea deschisa DRp+1. Fie(x0, y0) = (x01, x02, . . . , x0p; y0)D. Daca sunt ndeplinite conditiile:

(1) F(x0, y0) = 0;

(2) F este de clasaC1 pe o vecinatate a punctului(x0, y0);

(3) F

y(x0, y0)= 0,

atunci

37


38/71

(1) Exista U

V(x0), V

V(y0) si o explicitare unica f : U

V (n

raport cuy) a ecuatieiF(x, y) = 0 astfel nc atf(x0) =y0;

(2) Explicitarea f este de clasaC 1 pe U si pentru orice x U, si oricej= 1, 2, . . . , p avem:

f

xj(x) =

F

xj(x, f(x))

F

y(x, f(x))

.

(1) Daca sunt ndeplinite conditiile Teoremei 2, se aplica formulele

zx

(x, y) =F

x (x,y,z(x, y))F

z(x,y,z(x, y))

,

z

y(x, y) =

F

y(x,y,z(x, y))

F

z(x,y,z(x, y))

,

(2) Se calculeaza 2z

x2,

2z

xy,2z

z2 folosind regula de derivare a functiilor

compuse. Daca F este de clasaC2

atunci z este de clasaC2

si deci2z

xy =

2z

yx.

5.3 Sa se determine extremele unei functii y = y(x)definita implicit de ecuatia data F(x, y) = 0

(1) Se studiaza aplicabilitatea Teoremei 1

(2) Se pune conditia necesara y(x) = 0,care este echivalenta cu

F(x, y) = 0

F

x(x, y) = 0

F

y(x, y)= 0.

(13)

38


39/71

Se obtin astfel punctele critice.

(3) Se afla semnul lui y n fiecare punct critic si se precizeaza ce fel deextrem este.

5.4 Sa se determine extremele unei functii z = z(x, y)definita implicit de ecuatia data F(x , y , z ) = 0

(1) Se studiaza aplicabilitatea Teoremei 2.

(2) Se determina punctele critice rezolvand sistemul

zx

= 0

z

y = 0.

(14)

care este echivalent cu

F(x,y,z) = 0

F

x

(x,y,z) = 0

F

y(x,y,z) = 0

F

z(x,y,z)= 0.

(15)

(3) Se retin punctele criticex0, y0 n care 2 =

2z

x22z

xy

2

zxy

2

zy2

este pozi-

tiv. Aceste sunt puncte de extrem. Pentru acestea se determina semnul

lui 2z

x2. Daca

2z

x2(x0, y0) > 0 atunci (x0, y0) este punct de minim iar

daca 2z

x2(x0, y0)< 0 atunci (x0, y0) este punct de maxim.

39


40/71

Teorema 3 Fie f(x, y) de clasa

C3 ntr-o multime deschisa U

R2. Un

punct(x0, y0)este un minim local (strict) a luifdaca se satisfac urmatoareletrei conditii:

(1) f

x(x0, y0) =

f

y(x0, y0) = 0;

(2) 2f

x2(x0, y0)> 0;

(3) D=

2f

x2

(x0, y0)

2f

y2

2f

xy

2>0.

Daca in (2) avem < 0 n loc de > 0, fara a schimba conditia(3), avem unmaxim local (strict).

Teorema 4 (Teorema multiplicatorului lui Lagrange) Fief :U Rn R si g : U Rn R functii suave date. Fie x0 U si g(x0) = c si fieSmultimea de nivel pentrug cu valoareac (aceasta este multimea punctelorx Rn cu g(x) = c). Sa presupunem cag(x0)= 0. Daca f|S reprezintaf restransa la S, are un maxim sau un minim n S, n x0, atunci existaun numar real asfel nc atf(x0) =g(x0).

Exercitiul 5.1 Sa se determine y

si y

daca y = y(x) este o functiedefinita implicit de ecuatia (x2 +y2)3 3(x2 +y2) + 1 = 0.

Exercitiul 5.2Sa se determine derivatele de ordinul ntai si al doilea aleunei functiiz definita implicit de ecuatiax2 2y2 + 3z2 yz+y = 0.

Exercitiul 5.3Sa se calculeze 2z

xy(1, 2) daca zeste definita implicit

de ecuatiax2 + 2y2 + 3z2 +xy z 9 = 0 si de conditiaz(1, 2) = 1.

Exercitiul 5.4Sa se determine extremele unei functii implicitey =y(x)

definita de ecuatiax3 + 8y3 6xy= 0.

Exercitiul 5.5 Fie f : R2 R definita prin f(x, y) = x2 y2, si fie Scircumferinta de raza 1, cu centrul in origine. Sa se gaseasca extremul luif|S.

40


41/71

Exercitiul 5.6 Sa se determine inf f(A) si sup f(A) daca f : R2

R

este f(x, y) = 5x2 + 3xy+y2 si A={(x, y) R :x2 +y2 1}.Exercitiul 5.7Sa se determiney siy dacay =y(x) este functia definita

implicit de ecuatiay5 +x2y3 +x2 +y = 0 n vecinatatea punctului (0, 0).

Exercitiul 5.8 Sa se determine z

x si

z

y daca z= z(x, y) este functia

definita de ecuatiax2 + 2y2 + 3z2 1 = 0 si punctul

1

2,1

2,

112

.

6 Integrala simpla. Integrala cu parametru

6.1 Sa se demonstreze ua functia f : [a, b] R esteintegrabila pe [a, b]

(1) Se arata ca feste monotona;

(2) Se arata ca fare un numar finit de puncte de discontinuitate;

(3) Se arata ca f este continua;

(4) Se utilizeaza (mai rar) criteriul lui Darboux;

6.2 Sa se demonstreze ua functia f : [a, b]R nu esteintegrabila pe [a, b]

(1) Se arata ca f este marginita sau

(2) Se arata ca exista doua siruri de sume de Riemann cu limite diferitesau

(3) Se arata (mai rar) ca fnu satisface conditia din criteriul lui Darboux;

6.3 Folosind integrala simpla, sa se calculeze limitasirului an = . . . , n N

(1) Se precizeaza o functie f : [a, b] R, o diviziune dn a intervalului[a, b] si un sistem de puncte intermediare astfel ncat an = n(dn, )

41


42/71

este suma Riemann asociata, de obicei dn se considera astfel ncat:

xi xi1 = b an

, i= 1, 2, . . . , n iar sistemul se obtine punand i =

xi1 sau i=xi, i= 1, 2, . . . , n

(2) Se demonstreaza ca f este integrabila pe [a, b] (aratandu-se ca estemonotona, sau ca este continua);

(3) Utilizand notiunea de functie integrabila, se deduce ca limn

an=

ba

f(x)dx

6.4 Sa se demonstreze ca f :I

R are primitive

(1) Se arata ca f este continua;

(2) Se construieste o functie F : I R pentru care se arata ca F(x) =f(x), xI;

6.5 Sa se demonstreze ca f :I R nu are primitive(1) Se arata ca fnu are proprietatea lui Darboux;

(2) Se presupune cafare primitive si se gaseste forma generalaF(x, c) uti-lizand functii elementare, pe subintervale si continuitatea primitivelor;

(3) Se arata ca exista x0I ncat Fnu este derivabila inx0 sau F(x0)=f(x0).

6.6 Sa se demonstreze ca f : [a, b]R este integrabilape [a, b] dar nu are primitive pe [a, b]

(1) Se arata ca feste monotona si ca nu are proprietatea lui Darboux.

6.7 Sa se demonstreze ca f : [a, b]

R are primitive pe[a, b] dar nu este integrabila pe [a, b]

(1) Se construieste o functieF : [a, b] Rastfel ncat F(x) =f(x), x[a, b]

(2) Se arata ca fnu este marginita

42


43/71

6.8 Sa se demonstreze ca ba f(x)dx

b

a g(x)dx

(1) Se arata ca f(x) g(x), x [a, b] si se foloseste proprietatea demonotonie a integralei

6.9 Sa se demonstreze ca A ba

f(x)dxB(1) Se determina M= supx[a,b]f(x) si m= infx[a,b]f(x)

(2) Se tine seama de inegalitatea evidentam(b a) b

af(x)dxM(b a);

(3) Se arata ca Am(b a) si ca M(b a)B

6.10 Sa se calculeze

ba

f(x)dx

(1) Se determina o primitiva a functiei fpe intervalul [a, b];

(2) Se aplica formula lui Leibniz-Newton: b

a

f(x)dx= F(b)

F(a)

6.11 Sa se determine aria domeniului D R, marginitde graficul functiei f : [a, b] R, f(x) = . . ., axaOx si dreptele x= a si x= b

(1) Se aplica formula a(D) =

ba

|f(x)|dx.

6.12 Sa se determine volumul corpului

R3, obtinut

prin rotirea graficul functiei f : [a, b] R, f(x) =. . ., n jurul axei Ox

(1) Se aplica formula v() =

ba

f2(x)dx.

43


44/71

6.13 Sa se determine lungimea graficului functiei f :

[a, b] R, f(x) =. . .(1) Se aplica formula l() =

ba

f2(x)dx.

6.14 Fie A R, J = [a, b], f : A J R, si F : A R,F(x) =

ba

f(x, t)dt.Sa se arate caFeste derivabila

pe A si sa se determine derivatele ei

(1) Se arata ca f este continua pe A J;(2) Se calculeaza

f

x;

(3) Se arata ca f

x este continua pe A J;

(4) Se aplica formula F(x) =

ba

f

x(x, t)dt pentru orice xA.

6.15 Utilizand integralele cu parametru, sa se calculeze b

a

g(t)dt.

(1) Se cauta o functief(x, t), xA, t[a, b],asfel ncatg(t) =f(x0, t), x0Acunoscut;

(2) Se determinaF(x) =

ba

f(x, t)dt si apoi se nlocuiestexcux0,obtinandu-

se valoarea integralei cerute.

Exercitiul 6.1Sa se demonstreze ca functiile urmatoare sunt integrabilepe intervalele de definitie precizate:

44


45/71

(1) f : [0, 1]

R,

f(x) =

0, x 0,13

1, x

1

3, 1

(16)

(2) f : [0, 1] R,

f(x) =

1, x=1

3

0, x=

1

3

(17)

(3) f : [0, 1] R,

f(x) =

sin(x)

x , x= 0

1, x= 0

(18)

Exercitiul 6.2 Sa se demonstreze ca functia urmatoare nu este integrabilape intervalul de definitie precizat: f : [0, 1] R,

f(x) =

x2, x=

1

n, n

N

n, x= 1

n, nN

(19)

Exercitiul 6.3 Folosind integrala simpla, sa se calculeze

limn

1

np+1(1p + 2p +. . .+np), p >0.

Exercitiul 6.4 Sa se arate ca functia urmatoare admite primitiva:

f : R R, f(x) =

e 1x2 sin1x

, x= 0

0, x= 0

(20)

Exercitiul 6.5 Sa se arate ca functiile urmatoare nu admit primitive peR:

45


46/71

(1)

f : R R, f(x) =

1, x >0

0, x= 0

1, x 21

x1 +x

.

Exercitiul 6.8 Sa se calculeze urmatoarele integrale:

(1)

10

4 x2dx

(2)

12

0

exdx

(3)

2

0

sin(2x)

1 + sin2(x)dx

(4)

2

0

1

2sin(x) cos(x) + 5 dx

46


47/71

(5) 20

x2

4

x2dx

(6)

32

dx

(1 +x)

x2 1dx

Exercitiul 6.10 Sa se determine volumul corpului R3 obtinut prinrotirea n jurul axei Ox a graficul functiei f(x) : [0, ] R, f(x) = cos(x).

Exercitiul 6.11 Sa se determine lungimea graficul functiei f(x) : [0, 1]R, f(x) = arcsin(ex).

Exercitiul 6.12 Sa se arate ca functiaF : (1, +) R, F(x) =

2

0

ln(x2 sin2(t))dteste continua pe (1, +).

Exercitiul 6.13FieF : (1, 1)R, F(x) =

2

0

1

cos(t) ln(1 +x cos(t))dt.

Sa se arate ca F este derivabila pe (1, 1) si sa se determine derivata ei.

Exercitiul 6.14Folosind posibilitatea de derivare n raport cu parametrul,

sa se calculeze integrala: F(x) =

2

0

1

cos(t)ln1 +x cos(t)

1 x cos(t) dt, x (1, 1).

Exercitiul 6.15 Sa se demonstreze ca functiile urmatoare sunt integrabiledar nu poseda primitive:

(1) f : [0, 1] R,

f(x) =

sin(x), x

0,1

2

1, x 1

2 , 1

(24)

(2) f : [1, 1] R,

f(x) =

x, x[1, 0]

1 x, (0, 1 ](25)

47


48/71

(3) f : [

1, 1]

R,

f(x) =

cos

1x

, x= 0

1

2, x= 0

(26)

Exercitiul 6.16 Sa se demonstreze ca functiile urmatoare poseda prim-itive pe R si sunt integrabile pe orice interval compact:

(1)

f(x) =

sin(x)

x

, x

= 0

1, x= 0

(27)

(2)

f(x) =

x cos21x

, x= 0

0, x= 0.(28)

Exercitiul 6.17Fara a calcula integralele, sa se cerceteze care dintre eleare valoarea mai mare:

(1) I1=

1

0

ex2

dx, I 2=

2

1

exdx;

(2) I1=

102

arctan(x)dx, I 2 =

102

ln(1 +x2)dx.


(1)

2

sin(x+ |x|)dx;

(2)

3

4

dxsin(2x)

(3)

2

4

dx

sin3(x)

48


49/71

(4) 30

max(x, x2)dx

(5)

2

0

min(sin(x), cos(x))dx

(6)

54

sin(2x)

sin4(x) + cos4(x)dx

(7)

4

0

ln(1 + tan(x))dx

(8) 20

cos3

(x)sin3(x) + cos3(x)

dx

(9)

10

ln(1 +x)

1 +x2 dx

(10)

2

0

1 + sin(x)

1 + cos(x) exdx

(11)

0

dx

3 + 2 cos(x)dx

(12)

3

1

dx

x

x2 + 5x+ 1dx

(13)

a1

ax x2dx

Exercitiul 6.19 Sa se determine aria domeniului marginit de:

(1) f(x) =

x 1x+ 1,axa Ox, x= 0, x= 2;

(2) f(x) = cos(x)

1 + cos(x)

,axa Ox, x= 0, x=3

4

;

Exercitiul 6.20 Sa se determine volumul corpului R3 obtinut prinrotirea n jurul axei Ox a graficul functiei f(x) : [1, e]R, f(x) =x ln(x).

Exercitiul 6.21 Sa se determine lungimea graficul functieif(x) : [0, 4] R, f(x) =x 32 .

49


50/71

7 Integrala improprie

7.1 Sa se studieze natura integralei improprii

ba

f(x)dx

si sa se determine valoarea sa n caz de convergenta

In problemele din aceasta categorie se poate determina o primitiva a functieifcu metode elementare si se poate sudia efectiv existenta limitei din formulaLeibniz-Newton. Pentru rezolvare, se procedeaza astfel:

(1) Se verifica daca functia f este integrabila pe orice interval compactinclus n [, ) ;

(2) Se determina o primitiva F a functiei fpe intervalul [, ) ;

(3) Se studiaza existenta limitei limx

F(x);

(4) In cazul limitei finite, cu formula lui Leibniz-Newton se afla valoareaintegralei;

(5) In unele cazuri, problema se simplifica, aplicand direct formula de in-tegrare prin parti sau formula schimbarii de variabila.

7.2 Sa se studieze natura integralei improprii

b

a

f(x)dx

O asemenea problema apare n situatia n care nu este posibil sa se determineo primitiva pentru f, si, prin urmare, aplicarea directa a formulei Leibniz-Newton nu este posibila. Intr-o asemenea situatie nu se mai pretinde a se gasivaloarea integralei n caz de convergenta. Pentru a preciza natura integralei,se ncearca aplicarea unui criteriu de convergenta convenabil.

Teorema 5 Fie a > 0 si f : [a, +

)

R+ o functie integrabila pe orice

interval compact inclus n [a, +) . Presupunem c u exist u a R nc atfunctiaxxf(x) are limita candx . Fie l= lim

xxf(x),

(1) Daca >1 si0l , atunci a

f(x)dx este convergenta;

50


51/71

(2) Daca

1 si0< l

, atunci

a

f(x)dx este divergenta;

Teorema 6 Fie f : [a, +) R+ o functie integrabila pe orice intervalcompact inclus n [a, +) . Presupunem c u exist u a R nc at functiax(b x)f(x) are limita candxb. Fie l = lim

x(b x)f(x),

(1) Daca 0 si: [a, +)R+ o functie continua care admiteo primitiva marginita pe [a, +) . Atunci, pentru orice > 0, integralaimproprie

a

(x)

x dx este convergenta.

Teorema 8 Fie : [a, +)R+ o functie continua care admite o prim-itiva marginita pe [a, +) . Atunci, pentru orice >0, integrala improprie a

(b x) (x)dx este convergenta.

(1) Daca fare numai valori pozitive, se aplica Teorema 5 sau Teorema 6;

(2) Daca fare numai valori negative, se aplica Teorema 5 sau Teorema 6pentruf;

(3) Daca f nu are semn constant pe intervalul de integrare, se studiazaconvergenta absoluta (utilizand, dupa caz, Teorema 5 sau Teorema 6);

(4) Daca integrala este absolut a convergenta, atunci ea este si convergenta;

(5) Daca integrala nu este absolut a convergenta, nu se poate spune nimic,

n general, despre convergenta; n acest caz se ncearca Teorema 7 sauTeorema 8.

(6) Daca integrala nu este convergenta n sensul valorii principale Cauchy,atunci ea este divergenta.

51


52/71

7.3 Sa se determine Vp

f(x)dx

Definitie 1 Fie f : [a, b ) \{c} R o functie nemarginita, integrabila peorice interval compact [a, c ] [a, c ) sau [c+ , b] (c, b ] . Daca existalim0

ca

f(x)dx+

bc+

f(x)dx

si este finita, atunci integrala

ba

f(x)dx

se numeste convergenta n sensul valorii principale Cauchy iar aceasta limitase numeste valoarea principala Cauchy a integralei. Se noteaza:

V p b

a

f(x)dx= lim0

c

a

f(x)dx+ b

c+

f(x)dx.Definitie 2 Fie f : R R o functie integrabila pe orice interval compact[b, b] R.Daca exista lim

b

bb

f(x)dxsi este finit a, atunci integrala impro-

prie

f(x)dx se numeste convergenta n sensul valorii principale Cauchy.

Se noteaza:

V p

f(x)dx= limb

bb

f(x)dx.

(1) Se verifica daca integrala se ncadreaza n conditiile Definitiilor 1 sau2.

(2) Se determina o primitiva a functiei f;

(3) Se calculeaza, dupa caz,

c

f(x)dx si

c+

f(x)dx sau

bb

f(x)dx;

(4) Se studiaza, dupa caz, existenta n R a limitelor:

lim0

c

a

f(x)dx+ b

c+

f(x)dxsau lim

b

bb

f(x)dx.

52


53/71

7.4 Fie A

R, J = [, ) ,

R si fA

J

R o functie

data. Sa se demonstreze ca integrala

f(x, t)dt

converge simplu (punctual) pe multimea A

(1) Se presupune x A fixat si se aplica un criteriu de convergenta con-venabil ales;

(2) In unele cazuri, pentruxA fixat sib [, ) ,se calculeaza integralasimpla

f(x, t)dt;

(3) Se calculeaza apoi limb

f(x, t)dt, n caz ca exista. Daca limita exista

si este finita, integrala este convergenta, iar limta este tocmai F(x);daca pentru un x A limita nu exista, sau nu este finita,atunci inte-grala nu este punctual convergenta pe A.

7.5 FieA R, J= [, ) , R sif :AJ Ro functiedata. Sa se demonstreze ca integrala

f(x, t)dt

converge uniform pe multimea A

(1) Daca este posibil, se determina, pentru fiecarexA, F(x) =

f(x, t)dt;

(2) Se obicei se ncearca o majorare

|f(x, t)| g(t), (x, t)A J

ncat

g(t)dt sa fie convergenta si se aplica criteriul lui Weierstrass;

7.6 Fie A R, J = [, ) , R si f : AJ R ofunctie data. Fie F :A R, F(x) =

f(x, t)dt. Sa

se demonstreze ca F este continua pe multimea A

(1) Se arata ca f este continua pe A J;

53


54/71

(2) Se arata ca

f(x, t)dt este uniform convergenta pe A;

7.7 Fie A R, J = [, ) , R si f : AJ R ofunctie data. Fie F :A R, F(x) =

f(x, t)dt. Sa

se demonstreze ca F este derivabila pe multimeaA si sa se calculeze F

(1) Se arata ca

f(x, t)dt converge punctual pe A, deci functia F este

bine definita;

(2) Se arata ca f este continua pe A J;

(3) Se calculeaza f

x;

(4) Se arata ca f

x este continua pe A J;

(5) Se arata ca

f

x(x, t) este uniform convergenta pe A;

(6) Se obtine F(x) =

f

x(x, t).

Teorema 9 FieA R, J= [, ) , R sifA J Ro functie continuapeA J, cu derivata partiala n raport cu parametrulx continua peA J.Daca integrala

f(x, t)dt converge punctual pe multimea A catre functia

F : AR iar integrala

f(x, t)dt converge uniform peA, atunciF este

derivabila peA si are loc egalitatea:

F(x) =

f

x(x, t)dt

pentru oricexA. In plus, F este continua peA.

54


55/71

7.8 Utilizand Teorema 9, sa se calculeze f(x, t)dt, x

A

(1) Se arata ca

f(x, t)dt converge punctual pe A;

(2) Se arata ca integrala

f(x, t)dt converge punctual pe A;

(3) Se noteaza

f(x, t)dt, xA;

(4) Se obtine F(x) =

f

x(x, t), xA si se calculeaza aceasta inte-

grala.

7.9 Utilizand Teorema 9, sa se calculeze

h(t)dt, R

(1) Se arata ca integrala este convergenta;

(2) Se cauta o functief(x, t) ncat sa existex0astfel cah(t) =f(x0, t), t[, );

(3) Se determina F(x) =

f(x, t)dt;

(4) Se nlocuieste x cu x0 si se obtine:

h(t)dt= F(x0)

7.10 Sa se exprime valoarea unei integrale improprii

h(t)dt convergente, cu ajutorul functiei sau

ale functiei B

(1) Se utilizeaza o schimbare de variabila convenabilat= (s) ncath((s))(s) =sx0 es (pentru un anumex0 >0), lim

s0(s) =, lim

s(s) = .

55


56/71

In acest caz se obtine;

h(t)dt= (x0);

(2) Se utilizeaza o schimbare de variabila convenabilat= (s) ncath((s))(s) =sx01 (1 s)y01 (pentru anumex0 >0, y0 >0), lim

s0(s) =,

lims1

(s) = . In acest caz se obtine;

h(t)dt= B(x0, y0);

Exercitiul 7.1 Sa se studieze natura urmatoarelor integrale improprii:

(1)

1

cos(x)

x3 dx

(2)

ba

dx(x a)(b x)

(3) 10 ln

2

(x)dx

(4)

2

dx

x ln(x)

(5)

10

1

xcos

1

x

dx

(6)

1

x2

3 + 1

xdx

Exercitiul 7.2Sa se studieze natura urmatoarelor integrale improprii sisa se determine valorile acestora n caz de convergenta:

(1)

11

dx1 x2

56


57/71

(2) 10

arcsin (

x)x(1 x)

dx

(3)

3

1

x2sin

1

x

dx

(4)

0

cos(x)dx

Exercitiul 7.3 Sa se calculeze

2

0

ln(sin(x))dx (integrala lui Euler).

Exercitiul 7.4 Sa se demonstreze ca integrala 3

4

cot(x)dx este diver-

genta, dar converge n sensul valorii principale Cauchy.

Exercitiul 7.5 Fie f : (0, +)(0, +)(0, 1) (0, +) functiadefinita prin f(x , y , t) = tx1(1 t)y1. Sa se demonstreze ca integrala(x) =

10

f(x , y , t)dt converge simplu (punctual) pe (0, +) (0, +).Functia este cunoscuta sub numele de functia gama a lui Euler.

Observatie 1 Se poate defini integrala improprie cu doi parametri, B :(0, +) (0, +)(0, +) prin

B(x, y) =

10

tx1(1 t)y1dt

cunoscuta sub numele de functia beta a lui Euler.

Exercitiul 7.6Sa se demonstreze ca integrala

0

xdt

1 +t2x2, x Rcon-

verge simplu (punctual) dar nu converge uniform pe R.

Exercitiul 7.7 Sa se demonstreze ca funtia : (0, +)(0, +)(0, +) definita prin (x) =

0

tx1etdt este derivabila pe (0, +) si

(x) =

0

tx1et ln(t)dt.

57


58/71

Exercitiul 7.8 Folosind functiile beta si gama. sa se calculeze:

(1)

10

xp1(1 xm)q1dx, p,q,m >0.

(2)

0

xpexq

dx, p >1, q >0.

Exercitiul 7.9 Sa se studieze natura urma torelor integrale improprii sisa se calculeze valorile acestora n caz de convergenta:

(1)

0

eax cos(bx)dx, a >0, b R;

(2)

3

0

1

x2sin

1

x

dx;

(3)

dx

x2 +x+ 1

Exercitiul 7.10Sa se demonstreze ca urmtorele integrale improprii sunt

convergente si sa se detrmine valorile acestora:

(1)

10

ln(x)dx;

(2)

dx

x2 + 1.


(1) V

p

dx

x2

+ 9

dx;

(2) V p 51

dx

x 2 .

58


59/71

Exercitiul 7.12 Demonstrati ca

0

et2

cos(2xt)dt=

2 ex

2

;

Exercitiul 7.13 Utiliand Teorema 9 pentru integrala

0

1 extt

cos(t)dt, x >0,

sa se calculeze

0

1 ett

cos(t)dt.

Exercitiul 7.14 Fie : (0, +)(0, +)(0, +) definita prin (x) = 0

tx1etdt.

Demonstrati ca (x + 1) =x(x), x >0, si deduceti ca (n + 1) =n!, nN.

Exercitiul 7.15 Folosind functiile beta si gama, sa se calculeze

(1)

1

xp lnq(x)dx, p,q >1;

(2)

2

1

sinp(x)cosq(x)dx,p, q >1;

Exercitiul 7.16 Sa se studieze natura urmatoarelor integrale improprii:

(1) 0

11 +x2

dx

(2)

0

eax sin(x)dx, a >0

(3)

x

1 +x4dx

(4)

12

0

1

x ln2(x)dx

(5)

0

eax cos(x)dx, a >0

(6)

1

x23 + 1

x

dx

59


60/71

Exercitiul 7.17Folosind criteriile de convergenta, sa se studieze natura

urmatoarelor integrale improprii:

(1)

10

11 x2 dx

(2)

10

13

1 x4 dx

(3)

10

11 x4 dx

(4)

0

11 +x4

dx

(5)

1

1

x

1 +x4dx

(6)

10

1

5x2 x3 dx

(7)

0

x

x3

x7 + 1dx

(8)

10

13

x2 2x+ 1 dx

(9)

10

1x+ 3

x+ 4

x

dx

(10)

1

1x+ 3

x+ 4

x

dx

(11) 1

0

sin(1 x2)(1 x)3

dx

(12)

1

x3

x7 +x3 + 1dx

(13)

0

1

x2 +

xdx

60


61/71

(14)

1

13

x4 1dx

(15)

0

1

x

x2 + 4dx

Exercitiul 7.18 Folosind functiile lui Euler, sa se calculeze:

(1)

10

1 x

x dx

(2) 10 1 x

5

dx

(3)

0

x4

3 exdx

(4)

1

ln(x)

x2 dx

(5)

1

(x 1)3e(x1)2dx

(6) 2

(x 2)10e2xdx

(7)

0

e4x2

dx

(8)

10

x x2dx

(9)

01

x8(1 +x)10dx

61


62/71

8 Integrala curbilinie de primul tip

8.1 Sa se calculeze

F(x , y , z )dl

(1) Se scriu ecuatiile parametrice ale lui :

x= f(t)

y= g(t)

z=h(t), t[a, b]

(29)

(2) Daca este o curba din R2 data prin ecuatia implicita F(x, y) = 0,se poate ncerca folosirea coordonatelor polare astfel: nlocuind x =r cos(), y = r sin() n ecuatia F(x, y) = 0, se obtine o relatie ceevidentiaza legatura ntre raza polara r si unghiul polar . Rezolvandecuatia obtinuta se obtine r= r(),cu [a, b][0, 2] si deci

x= r cos()

y= r sin(), [a, b](30)

care reprezinta ecuatiile parametrice ale curbei. n unele probleme se

precizeaza direct legatura ntrer si si de aici se obtin, ca mai nainte,ecuatiile parametrice.

(3) Se transforma integrala curbilinie n integrala definita prin formula

F(x,y,z)gl =

ba

F(f(t), g(t), h(t))

[f(t)]2 + [g(t)]2 + [h(t)]2)dt

(4) Se calculeaza integrala definita.

8.2 Sa se calculeze lungimea curbeidata de acuatiile...

(1) Se scriu ecuatiile parametrice ale curbei;

(2) Se scrie lungimea conform formulei l=

dl;

(3) Se calculeaza integrala curbilinie rezultata.

62


63/71

8.3 Sa se calculeze masa firului de material care este

imaginea curbei de ecuatii..., daca densitatea nfiecare punct este (x,y,z) =. . .


(2) Se aplica formula m=

(x,y,z)dl;


8.4 Sa se determine coordonatele centrului de greu-tate al firului material care este imaginea curbeide ecuatii..., daca densitatea sa n fiecare puncteste (x , y , z ) =...


(2) Se aplica formula

xG =

x(x , y , z )dl

(x , y , z )dl ; yG =

y(x , y , z )dl

(x , y , z )dl ; zG =

z(x , y , z )dl

(x,y,z)dl ;


8.5 Sa se determine momentul de inertie n raport cuaxaOx (sauOy sauOz) al firului material care esteimaginea curbei de ecuatii..., daca densitatea sa nfiecare punct este (x,y,z) =...



Ix =

(y2 +z2)(x , y , z )dl

Iy =

(x2 +z2)(x , y , z )dl

63


64/71

Iz =

(x2 +y2)(x , y , z )dl


8.6 Sa se determine atractia exercitata asupra punc-tului material M(x0, y0, z0) unde se afla masa m0 decatre firul material,..., avand densitatea n fiecarepunct (x , y , z ) =...



Fx=km0

(x x0)(x , y , z )[(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2]

3

2

dl

Fx=km0

(y y0)(x,y,z)[(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2]

3

2

dl

Fx=km0 (z z0)(x , y , z )

[(x

x0)2 + (y

y0)2 + (z

z0)2]

3

2

dl



xydl, unde este data de x = t,

y= 2 t, t[0, 2]


xydl, unde este data de y = x2,

x

[

1, 1]


xydl,unde :|x| + |y|= a, a >0.

64


65/71

Exercitiul 8.4 Sa se calculeze I=

(x+y+z)dl, unde este data de

x= cos(t), y= sin(t), z= t, t[0, 2].

Exercitiul 8.5 Sa se calculezeI=

(x+y+z)dl,undeeste triunghiul

cu varfurile n A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Exercitiul 8.6 Sa se calculeze lungimea curbeidefinta prin reprezentareaparametrica: x= a cos(t), y=a sin(t), z= bt, t

[0, 2]

Exercitiul 8.7 Sa se calculeze masa si coordonatele centrului de greu-tate al firului material care este imaginea curbei : x = 4t5; y =

15t4; z=

2t3, t[1, 1] daca densitatea n punctul (x , y , z ) este (x , y , z ) =12|z|

Exercitiul 8.8 Sa se calculeze momentul de inertie n raport cu axa Oza primei spirale a elicei x = a cos(t), y = a sin(t), z= bt, avand densitateaconstanta .

Exercitiul 8.9Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de primultip:

(1)

xydl; [0, 1] R2, (t) = (t, 1 t);

(2)

(x+y2)dl; [0, ]R2, (t) = (cos(t), sin(t));

(3)

4x6ydl; [0, 2]R2, (t) = (et, et);

(4)

y2dl; [0, 2] R2, (t) = (1 sin(t), 1 cos(t));

65


66/71

(5)

z(x2 +y2)dl;

[0, 1]

R3, (t) = (t cos(t), t sin(t), t);

(6)

(x+y2)ln(z)dl; [0, 1]R3, (t) = (et cos(t), et sin(t), et);

(7)

c

xydl,

c:

y = x2

x[0, 1]; (31)

(8) c

y5dl,

c:

y=

x4

4y[0, 2];

(32)

(9)

c

y(2 y)dl,

c:

x= t sin(t)y = 1 cos(t)t 0,

2 ;(33)

(10)

c

ydl,

c:

x= a cos3(t)y=a sin3(t)

t

0,

4

;

(34)

(11)

c

z(x2 +y2)dl,

c:

x= t cos(t)

y = t sin(t)z=tt[0, 1] ;

(35)

66


67/71

(12) c

1

x2 +y2 +z2dl,

c:

x= a cos(t)y=a sin(t)z= btt[0, 2] ;

(36)

Exercitiul 8.10 Sa se calculeze lungimile urmatoarelor integrale curbe:

(1) x= aekt cos(t), y = aekt sin(t), z=aekt, t[0, 1], a >0, k >0;

(2) x= tan(t), y= cot(t), z=

2 ln(tan(t)), t

4,

3;

(3) x= t, y= ln(sin(t)), t

4,3

4

;

Exercitiul 8.11 Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de tipuldoi:

(1)

c

xydx y2dy,

c:

x= t2

y=t3

t[0, 1]; (37)

(2)

c

(2a y)dx+xdy,

c:

x= a(t sin(t))y = a(t cos(t))t[0, 2];

(38)

(3)c xdx+xydy+xyzdz,

c:

x= et

y=et

z=t

2t[0, 1] ;(39)

67


68/71

(4) c

(2x+y)dx+ (3x

y)dy,

c:

triunghiul ABCA= (1, 1), B = (0, 3), C= (1, 0).

(40)

(5)

c

x2dx+xydy,

c:

patrulaterul ABCDA= (0, 0), B = (1, 0), C= (1, 1), D= (0, 1).

(41)

Exercitiul 8.12 Sa se calculeze urmatoarele integrale duble:

(1)

D

(xy2 + 2x)dxdy,

D= [0, 1] [1, 2]; (42)

(2)

D

xydxdy,

D: y= x2

y= 2x+ 3;

(43)

(3)

D

(x+y+ 2)dxdy,

D:

y=x2

y=x3; (44)

(4)

D

(x+y+ 1)dxdy,

D: y=x2

x= y2; (45)

(5)

D

xy2dxdy,

D:

y= 1y=xx=y2;

(46)

68


69/71

(6) D xydxdy,

D:

x= y2

x= y + 2; (47)

(7)

D

x2 +y2dxdy,

D:

1x2 +y2 4x0, y0;x=y2;

(48)

(8)

D

(x+ 2y)dxdy,

D= [0, 1] [2, 3]; (49)

(9)

D

xy2dxdy,

D:

y = x2

y = x; (50)

(10) D (x+ 3y 1)dxdy,

D:

y=x2

y=x+ 1; (51)

(11)

D

(x+ 3y+ 2)dxdy,

D:

y= 2x2

y=x+ 5; (52)

(12)

D

xydxdy,

D:

y = x3

y = xx0;

(53)

69


70/71

Exercitiul 8.13 Sa se calculeze urmatoarele integrale triple:

(1)

D

x2dxdydz,

D= [0, 1] [0, 1] [0, 1]; (54)

(2)

D

x2 cos(z)dxdydz,

D:

z= 0, z=y = 0, y= 1x= 0, x+y = 1;

(55)

(3)

D

(x2 +y+ 2)dxdydz,

D:

x2 +y2 = 2zz= 2;

(56)

(4)

D

(x+y+z)dxdydz,

D= [0, 1] [0, 2] [0, 3]; (57)

(5)

D

dxdydz,

D:

y= x2

y= xz= 0, z= 3;

(58)

(6)

D

xydxdydz,

D:

y=x2

y=x+ 2; (59)

(7)

D

x2 +y2dxdydz,

D:

1x2 +y2 4x0, y0;x=y2z= 0, z= 2;

(60)

70


71/71

(8) D (x+ 2y)dxdydz,

D= [0, 1] [2, 3] [0, 1]; (61)

(9)

D

xy2dxdydz,

D:

y= x2

y= xz= 0, z= 1;

(62)

(10)

D

(x+ 3y z)dxdydz,

D:

y=x2

y=x+ 1z= 0, z= 1

(63)

Exercitiile AM Ianuarie

Documents

Transcript of Exercitiile AM Ianuarie