Exercitii - Algebra liniara si elemente de statistica

1) Aratati ca

(a) V = {(x, y, z) ∈ R3| x+ y + 2z = 0} este subspatiu al lui R3.

(b) V = {A ∈M(R3)| A+ 2At = 0} este subspatiu al lui M(R3).

2) Studiati care dintre urmatoarele sisteme de vectori formeaza (i) un sistem de generatori,

(ii) un sistem de vectori liniar independenti (iii) o baza.

(a) B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0,−1, 1), v3 = (0, 0, 1)} ⊆ R3

(b) B = {v1 = (1, 2 + i, 3), v2 = (3, 3, 4− i), v3 = (1, 2, 3 = 2i)} ⊆ C3

(c) B = {X2 +X, 2X − 2, X2 − 2x− 4} ⊆ R3[X]

(d) B = {v1 = (1, 1), v2 = (1, 2), v3 = (1, 0)} ⊆ R2

(e) B = {v1 = (2, 3, 4), v2 = (1, 4, 0)} ⊆ R3

(f) B = {v1 = (2, 3, 3), v2 = (1, 2, 0), v3 = (1, 0, 6)} ⊆ R3

3 Aratati ca urmatoarele aplicatii sunt operatori liniari

(a) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (2x− y, x+ 2y, z)

(b) T : C3 → C3, T (x, y, z) = (4x− y − 2z, 2x+ y − 2z, x− y + z)

(c) T : C2 → C2, T (x, y) = (x+ (2 + i)y, (2− i)x+ y)

(d) T : C3[X]→ C3[X], T (P ) = 2P − (X + 1)P ′ + P ′′

(e) T : M2(R)→M2(R), T (M) = M +M t

(f) T : C3 → C3, T (x, y, z) = (x+ y,−x+ y, 2z)

Definiti notiunea de vector propriu si valoare proprie a unui operator liniar. Pentru fiecare

dintre operatorii de mai sus

1

(1) Determinati µB(T ) unde B este baza cannonica a spatiului pe care e definit T ;

(2) Calculati σ(T ) - multimea valoriilor proprii;

(3) Determinati spatiile proprii Vλ, pentru fiecare λ ∈ σ(T );

(4) Decideti daca T este sau nu este diagonalizabil; in caz afirmativ precizati o baza B′

in raport cu care matricea lui T este diagonala si determinati µB′(T );

(5) Care este defintia adjunctului unui operator pe un spatiu euclidian ? Ce inseamna

operator autoadjunct?

(6) Daca pentru spatiile R3, C2 si C3 consideram produsele scalare canonice, determinati

adjunctul T ∗ pentru operatorii de la (a), (b), (c) si (f). Care dintre operatorii de la

punctele (a), (b), (c) si (f) sunt autoadjuncti?

4) Aratati ca formula 〈P |Q〉 =∫ 1

−1 P (x)Q(x)dx defineste un produs scalar pe R[X].

Relativ la acest produs scalar, ortonormalizati sistemele de vectori

(a) S1 = {1, X,X2}

(b) S2 = {1 +X,X,X2 − 1}

cu ajutorul procedeului Gramm-Schmidt.

5) Ortonormalizati urmatoarele baze cu ajutorul procedeului Gramm-Schmidt:

(a) B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0,−1, 1), v3 = (0, 0, 1)} ⊆ R3

(b) B = {v1 = (1, i, 3), v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, 0, 2i)} ⊆ C3

6) X o variabila aleatoare normala cu media µ = 105 si dispersia σ2 = 25. Determinati

P (X < 112, 5), P (X ≥ 100) si P (110, 4 < X < 111, 25).

7) Fie X o variabila aleatoare normala cu media µ = 3 si σ2 = 4. Determinati P (X < 5),

P (X ≥ 1) si P (3 < X < 6).

8) Fie X o variabila aleatoare normala cu µ = 50 si σ2 = 9. Determinati c astfel incat

P (X < c) = 0, 05, P (X > c) = 0.01 respectiv P (50− c < X < 50 + c) = 0, 5.

2

9) Consideram o variabila aleatore discreta X cu repartitia

1 4 5 7

0, 1 0, 2 0, 2 0, 5

Determinati functia de repartitie F (x) si calculati media si dispersia.

10) Consideram X o variabila aleatoare a carei densitate de probabilitate este

(a) f(x) =

0 daca x < 0,

e−x daca x ≥ 0

(b) f(x) =

0.5(1− x) daca − 1 ≤ x ≤ 1,

0 altfel.

Determinati media si dispersia si functia de repartitie a variabilei aleatoare X. Calclulati

P (1 < X < 2) si P (X > 1).

11) Determinati un interval de incredere de nivel 95% pentru media unei variabile normale

cu σ = 4 avand la dispozitie urmatoarele date: 39, 51, 49, 43, 57, 59. Determinati apoi

un interval de incredere de 99% pentru medie.

12) Determinati un interval de incredere de nivel 95% pentru media unei populatii normale

cu disperia σ2 = 16 utilizand o selectie de volum 200 cu media 74.81.

13) Determinati un interval de incredere de nivel 95% pentru media unei populatii normale

normale avand la dispozitie datele: 66, 66, 65, 64, 66, 67, 64, 65, 63, 64.

14) Determinati un interval de incredere de nivel 95% pentru media unei populatii normale

normale avnd la dispozitie urmatoarele date: 9500, 9800, 9750, 9200, 9400, 9550.

15) Fie X o variabila repartizata normal. Se face selectia: −2, −1, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0. Sa

se gaseasca un interval de ncredere pentru medie cu nivelul de incredere de 80%.

16) Notam cu X varsta n ani la care un om devine bunic. Presupunem ca X are distributia

normala cu diapersia 225. 9 persoane luate la nmplare au declarat ca au devenit bunici

la: 42, 56, 68, 56, 48, 36, 45, 71 si 64 ani. a) Calculati media si dispersia de selectie. b)

Gasiti un interval de incredere de 90% pentru medie. c) Gasiti un interval de incredere

de 95% pentru medie.

3

1

2

3

4

5

Figura 1

17) O fabrica produce piese cilindrice de diametru d = 10 mm. Abaterile de la acest

diametru impus respectiva o lege normala de dispersie egala cu 0,04 mm (practica a

aratat acest lucru). Se face un sondaj pe 100 de piese si se gaseste ca media de selectie

este de 10,01 mm. Sa se gaseasca un interval de incredere pentru media reala cu nivelul

de incredere de 90%.

17) Consideram graful reprezentat in Figura 1. Scrieti matricea de adiacenta a grafului.

Care sunt gradele varfurilor grafului? Dati exemplu de un ciclu elementar.

18) Fie

A =

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

1 1 0 1 0

.

Poate fi A matricea de adiacenta a unui graf? In caz afirmativ desenati graful corespun-

zator.

19) Aratati ca daca un arbore are 5 varfuri de grad 4 si m varfuri de grad 1 atunci m = 12.

Recapitulare si consultatii

Joi 28 Mai 14.00-18.00 - R2; Vineri 29 Mai de la ora 12.00 - R1 sau R2.

4