Euclid Etapa 3 Clasa 12 2 2015
2
Concursul National “EUCLID” 17 05 2015 Clasa a XII -a PROGRAMA I NOTĂ. La subiectul I există un singur răspuns corect .La subiectul II se va da direct răspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore SUBIECTUL I(20p) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunzătoare răspunsului corect) (4p) 1) Produsul rădăcinilor polinomului este: 1 2 3 + + + = X X X f a)0 b) 1 c) 1 − d) 2 (4p) 2) Suma rădăcinilor polinomului este: 1 2 3 + + + = X X X f a) b) 0 c) 4 d) 1 1 − (4p) 3) Numărul rădăcinilor reale ale polinomului este 1 2 3 + + + = X X X f a)0 b) 1 c) 3 d) 2 (4p) 4) ( ) ∫ + 2 0 cos sin π dx x x este egală cu a) π b) 1 c) 2 π d) 2 (4p) 5) este egală cu ∫ ∞ → 1 0 lim dx x n n a) 1 b) ∞ c) 0 d) 0,5 SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numărul exerciţiului şi rezultatul corespunzător) (4p) 1) Care este elementul neutru al grupului ( ) , R , unde 5 − + = y x y x , ? R ∈ ∀ y x, (4p) 2) Cât este produsul în corpul 6 ˆ ... 3 ˆ 2 ˆ 1 ˆ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ⋅ +, , 7 Z ? (4p) 3) Daţi un exemplu de inel cu 10 elemente . (4p) 4) Daţi un exemplu de corp cu 11 elemente. (4p) 5) Care dintre numerele şi este mai mare? ∫ = π 0 sin xdx a ∫ = π 0 xdx b (4p) 6) Cât este dx x x e ∫ 1 2 ln ? (4p) 7) Cât este dx x x ∫ + 1 0 3 2 1 ? (4p) 8) Cât este dx x x ∫ − + 1 1 2 1 sin ? (4p) 9) Cât este 2 0 0 lim x dt t x x ∫ → ? (4p) 10) Câte rădăcini raţionale are polinomul ? 1 2 3 + − = X X f CONCURSUL NATIONAL „EUCLID” - Clasa a XII -a PROGRAMA I Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
-
Upload
dragomir-radu -
Category
Documents
-
view
219 -
download
3
description
Fise matematica
Transcript of Euclid Etapa 3 Clasa 12 2 2015
-
Concursul National EUCLID 17 05 2015
Clasa a XII -a PROGRAMA I
NOT. La subiectul I exist un singur rspuns corect .La subiectul II se va da direct rspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvrile complete. Se acord 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore
SUBIECTUL I(20p) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunztoare rspunsului corect)
(4p) 1) Produsul rdcinilor polinomului este: 123 +++= XXXf a)0 b) 1 c) 1 d) 2
(4p) 2) Suma rdcinilor polinomului este: 123 +++= XXXf a) b) 0 c) 4 d) 1 1
(4p) 3) Numrul rdcinilor reale ale polinomului este 123 +++= XXXf a)0 b) 1 c) 3 d) 2
(4p) 4) ( ) +20
cossin
dxxx este egal cu
a) b) 1 c) 2 d) 2
(4p) 5) este egal cu 1
0
lim dxxnn
a) 1 b) c) 0 d) 0,5 SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul
corespunztor)
(4p) 1) Care este elementul neutru al grupului ( )D,R , unde 5+= yxyx D , ? R yx,(4p) 2) Ct este produsul n corpul 6...321 ( )+,,7Z ? (4p) 3) Dai un exemplu de inel cu 10 elemente .
(4p) 4) Dai un exemplu de corp cu 11 elemente.
(4p) 5) Care dintre numerele i este mai mare? = 0
sin xdxa = 0
xdxb
(4p) 6) Ct este dxx
xe1
2ln ?
(4p) 7) Ct este dxx
x +1
03
2
1?
(4p) 8) Ct este dxxx
+1
121
sin ?
(4p) 9) Ct este 20
0lim
x
dttx
x
?
(4p) 10) Cte rdcini raionale are polinomul ? 123 += XXf
CONCURSUL NATIONAL EUCLID - Clasa a XII -a PROGRAMA I Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro
1
-
SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet)
Se consider polinomul , cu rdcinile 13 23 += XXf C321 x,x,x . Notm , , nnnn xxxS 321 ++= Nn 30 =S .
(4p) a) S se calculeze , ,( )3f ( )1f ( )0f i ( )1f . (4p) b) S se arate c toate rdcinile polinomului f sunt reale.
(2p) c) S se arate c polinomul f nu are rdcini raionale.
(1p) d) S se verifice c , i Z0S Z1S Z2S . (1p) e) S se arate c 03 23 =+ ++ nnn SSS , Nn . (1p) f) Utiliznd metoda induciei matematice, s se arate c ZnS , Nn . (1p) g) S se arate c ( ) ( ) Z++ nn 2121 , Nn . (1p) h) S se arate c pentru orice , , i orice interval nevid, deschis, I, exist
, astfel nct ,
Np 2pQ-21 Ia,...,a,a p Q+++ npnn aaa ...21 Nn .
SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet)
Se consider numerele reale i funciile , ,
i
naaa ,...,, 21 RR :f RR :Fnxaxaxaxf n cos...2coscos)( 21 +++= nxn
axaxaxF n sin...2sin2
sin)( 21 +++= ,
unde , . Notm cu S , . Nn 2n = 20
coscos),( dxqxpxqp Nq,p(4p) a) S se arate c funcia este o primitiv a funciei pe F f R .
(4p) b) S se verifice c ( )xF)kx(F =+ 2 , k Z , Rx . (2p) c) S se arate c dac ,0)( xf Rx , atunci funcia este constant . F(2p) d) Utiliznd formula: )cos()cos(coscos2 bababa ++= , R b,a , s se arate c
S , dac 0),( =qp qp , . Nq,p(1p) e) S se arate c =),( ppS , . Np(1p) f) S se demonstreze c dac ( ) 0xf , Rx , atunci 0...21 ==== naaa . (1p) g) S se arate c, dac , atunci ( ) =2
0
2 0dxxf 0...21 ==== naaa . Test conceput de Ion Savu i Gheorghe Stoianovici
CONCURSUL NATIONAL EUCLID - Clasa a XII -a PROGRAMA I Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro
2
SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul corespunztor)b) S se arate c toate rdcinile polinomului f sunt reale.
