Concursul National EUCLID 17 05 2015

Clasa a XII -a PROGRAMA I

NOT. La subiectul I exist un singur rspuns corect .La subiectul II se va da direct rspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvrile complete. Se acord 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I(20p) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunztoare rspunsului corect)

(4p) 1) Produsul rdcinilor polinomului este: 123 +++= XXXf a)0 b) 1 c) 1 d) 2

(4p) 2) Suma rdcinilor polinomului este: 123 +++= XXXf a) b) 0 c) 4 d) 1 1

(4p) 3) Numrul rdcinilor reale ale polinomului este 123 +++= XXXf a)0 b) 1 c) 3 d) 2

(4p) 4) ( ) +20

cossin

dxxx este egal cu

a) b) 1 c) 2 d) 2

(4p) 5) este egal cu 1

0

lim dxxnn

a) 1 b) c) 0 d) 0,5 SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul

corespunztor)

(4p) 1) Care este elementul neutru al grupului ( )D,R , unde 5+= yxyx D , ? R yx,(4p) 2) Ct este produsul n corpul 6...321 ( )+,,7Z ? (4p) 3) Dai un exemplu de inel cu 10 elemente .

(4p) 4) Dai un exemplu de corp cu 11 elemente.

(4p) 5) Care dintre numerele i este mai mare? = 0

sin xdxa = 0

xdxb

(4p) 6) Ct este dxx

xe1

2ln ?

(4p) 7) Ct este dxx

x +1

03

2

1?

(4p) 8) Ct este dxxx

+1

121

sin ?

(4p) 9) Ct este 20

0lim

x

dttx

x

?

(4p) 10) Cte rdcini raionale are polinomul ? 123 += XXf

CONCURSUL NATIONAL EUCLID - Clasa a XII -a PROGRAMA I Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

1

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet)

Se consider polinomul , cu rdcinile 13 23 += XXf C321 x,x,x . Notm , , nnnn xxxS 321 ++= Nn 30 =S .

(4p) a) S se calculeze , ,( )3f ( )1f ( )0f i ( )1f . (4p) b) S se arate c toate rdcinile polinomului f sunt reale.

(2p) c) S se arate c polinomul f nu are rdcini raionale.

(1p) d) S se verifice c , i Z0S Z1S Z2S . (1p) e) S se arate c 03 23 =+ ++ nnn SSS , Nn . (1p) f) Utiliznd metoda induciei matematice, s se arate c ZnS , Nn . (1p) g) S se arate c ( ) ( ) Z++ nn 2121 , Nn . (1p) h) S se arate c pentru orice , , i orice interval nevid, deschis, I, exist

, astfel nct ,

Np 2pQ-21 Ia,...,a,a p Q+++ npnn aaa ...21 Nn .

SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet)

Se consider numerele reale i funciile , ,

i

naaa ,...,, 21 RR :f RR :Fnxaxaxaxf n cos...2coscos)( 21 +++= nxn

axaxaxF n sin...2sin2

sin)( 21 +++= ,

unde , . Notm cu S , . Nn 2n = 20

coscos),( dxqxpxqp Nq,p(4p) a) S se arate c funcia este o primitiv a funciei pe F f R .

(4p) b) S se verifice c ( )xF)kx(F =+ 2 , k Z , Rx . (2p) c) S se arate c dac ,0)( xf Rx , atunci funcia este constant . F(2p) d) Utiliznd formula: )cos()cos(coscos2 bababa ++= , R b,a , s se arate c

S , dac 0),( =qp qp , . Nq,p(1p) e) S se arate c =),( ppS , . Np(1p) f) S se demonstreze c dac ( ) 0xf , Rx , atunci 0...21 ==== naaa . (1p) g) S se arate c, dac , atunci ( ) =2

0

2 0dxxf 0...21 ==== naaa . Test conceput de Ion Savu i Gheorghe Stoianovici

CONCURSUL NATIONAL EUCLID - Clasa a XII -a PROGRAMA I Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

2

SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul corespunztor)b) S se arate c toate rdcinile polinomului f sunt reale.