Concursul National EUCLID 17 05 2015

Clasa a X -a PROGRAMA I

NOT. La subiectul I exist un singur rspuns corect .La subiectul II se va da direct rspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvrile complete. Se acord 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I (20p) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunztoare rspunsului corect)

(4p) 1) Care este valoarea numrului ? 24C

a) 8 b) 4 c) 6 d)16

(4p) 2) Care este valoarea numrului ? 24A

a) 12 b) 8 c) 6 d) 16

(4p) 3) Ci termeni raionali are dezvoltarea binomului ( )421+ ? a) 1 b) 2 c) 3 d)4

(4p) 4) Ct este ? 1arccos

a) 0 b) c) 2 d)

4

(4p) 5)Care dintre urmtoarele numere complexe este o soluie a ecuaiei ? ix =3

a)i b) c)i 1 d) 1 SUBIECTUL II ( 40p )

(Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul corespunztor)

(4p) 1) Ct este termenul al cincilea din dezvoltarea binomului ( )832 + ? (4p) 2) Cte numere de 4 cifre distincte se pot forma utiliznd numai cifrele 1, 2, 3 i 4 ?

(4p) 3) Cte submulimi cu 3 elemente are o mulime cu 5 elemente ?

(4p) 4) La o ntrecere sportiv particip 8 echipe. n cte feluri pot fi ocupate primele 3 locuri din clasament?

(4p) 5) Cte numere naturale de 3 cifre exist ?

(4p) 6) Cte funcii sunt strict monotone ? { } { 8,7,6,5,43,2,1: f }(4p) 7) Scriei un numr complex z , pentru care . R3z(4p) 8) Scriei un numr complex z, nereal pentru care R4z . (4p) 9) Care sunt soluiile complexe ale ecuaiei ? 012 =++ xx(4p) 10) Ct este ? 0arccos0arcsin +

CONCURSUL NATIONAL EUCLID Clasa a X-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

1

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet) Se consider mulimea A={1,2,3,,n}, undenN , i notm cu P(A) mulimea

format din toate submulimile mulimii A. Un ir de submulimi distincte ale

mulimii A este magic, dac

2n 1 2, , , kA A A

1A = , kA A= i pentru orice {1, 2,..., }i j k< , j iA A . irul magic are lungimea k. 1 2, , , kA A A

(4p) a) S se verifice c , A este un ir magic de lungime 2. (4p) b) S se scrie un ir magic de lungime 3.

(2p) c) irul ,{1},{1,2},{2}, A este magic ? (2p) d) Cte submulimi are mulimea A?

(1p) e) Cte iruri magice de lungime 3 se pot construi?

(1p) f) S se arate c pentru orice exist un ir magic de lungime k. {2,3,..., 2 }nk(1p) g) S se arate c putem scrie ( ) ( ) ( )1 2 1! ! ... !nn n nC C C iruri magice de lungime . (Dou

iruri magice de lungime k, i

2n

1 2, , , kA A A 1 2, , , kB B Bk

sunt diferite, dac exist astfel nct ). {1, 2,..., }i i iA B

SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet) Se consider mulimea de puncte din plan { } { }1,2,3,..., 2015 1,2,3,..., 2015M = . Notm

cu T mulimea triunghiurilor care au toate vrfurile n puncte din mulimea M i cu A

mulimea ariilor triunghiurilor din mulimea T.

(4p) a) S se scrie trei puncte coliniare din mulimea M.

(4p) b) S se scrie trei puncte necoliniare din mulimea M.

(2p) c) S se gseasc cel mai mic element din mulimea A.

(2p) d) S se gseasc cel mai mare numr de puncte coliniare din mulimea M.

(1p) e) S se determine numrul de elemente din mulimea M .

(1p) f) S se determine numrul de elemente din mulimea A .

(1p) g) S se arate c numrul de triunghiuri din mulimea T este cel puin egal cu

( ) ( )2 2 22015 2015 1 2015 20156

.

Test conceput de Ion Savu i Florin Smeureanu

CONCURSUL NATIONAL EUCLID Clasa a X-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

2

SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul corespunztor)g) S se arate c putem scrie iruri magice de lungime . (Dou iruri magice de lungime k, i sunt diferite, dac exist astfel nct ).