Euclid 2013

7/22/2019 Euclid 2013

http://slidepdf.com/reader/full/euclid-2013 1/168

7/22/2019 Euclid 2013


Concursul Naţional

EUCLID te învaţă

MATEMATICĂ

Culegere de exerciţiişi probleme

pentru clasa I

7/22/2019 Euclid 2013


UI....... lilt. iiHt' niiiiinilcrizată: Mirela Emanuela Stanciu

M»-ilrti liii Mlirlii l .mimuela Stanciu

t ntt'iMMii ( iriityc Năstase

I it|»ilH Vk Iiii Mondoc

Dcscrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

SAVU, CRISTINA-LAVINIA

Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasa a l-a

Cristina-Lavinia Savu, Ion Savu.

-Bucureşti; Fundaţia Kogaion, 2013

ISBN 978-973-0-15444-3

Tipărit la: Aktis Tipografie-Ambalaje

Copyright © Fundaţia Kogaion, 2013

Pentru comenzi şi informaţii accesaţi e-mail; [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

7/22/2019 Euclid 2013


9

PREFAŢA

Seria de culegeri apărute sub titlul “ CONCURSUL EUCLIDE ÎNVAŢĂ MATEMATICĂ” se adresează tuturor copiilor din ciclul

primar şi gimnazial (cls 1-VIIl).Am dorit ca, prin aceste cărţi să obişnuim elevii cu toate tipurile

ilc probleme, ceea ce încercăm, de altfel, şi prin subiectele pe care le

propunem în cadrul concursului. De aceea fiecare culegere conţine atâtcxerciţii cu răspuns scurt, itemi care se rezolvă prin alegerea răspunsuluicorect din cele date, cât şi probleme cu soluţie completă.

Partea de început se doreşte a fi un suport pentru lucrul la clasai pregătirea subiectelor I şi II din cadrul concursului, astfel încât fiecarc

candidat să îşi asigure un puncatj de 80p. Partea de teste penlriipregătirea competiţiilor poate constitui un model pentru verificarcacunoştinţelor prin teste de tip “ Euclid”. Exerciţiile propuse au şi

I i'ispunsuri, cele cu grad sporit de dificultate având rezolvări complete şidetaliate, din care se pot învăţa tehnici de raţionament şi redactare.

Dorinţa colectivului de autori este ca această culegere sf\lolosească atât copiilor cu orice nivel de pregătire, cât şi profesorilorprin exerciţii pe care le pot folosi în cadrul orelor de curs.

De asemenea, citind despre Euclid şi despre scopul şiregulamentul concursului cu acest nume, vizitând şi pagina de internei

WWW.concurs-euclid.ro sperăm să vă înscrieţi la concurs şi sâobservaţi un progres în evoluţia voastră.Folosind culegerile veti observa că abordaţi cu mai mare

uşurinţă primele două subiecte din concurs şi că învăţaţi tehniciinteresante de rezolvare a itemilor cu grad sporit de dificultate de laultimele subiecte. în acest fel, vă veţi dori să participaţi la fiecare etapăa Concursul Naţional Euclid, pentru a vă măsura progresele şicunoştinţele, prin intermediul unor subiecte inedite şi echilibrate,

alcătuite după modelul cu care deja sunteţi familiarizaţi.

http://www.concurs-euclid.ro/


7/22/2019 Euclid 2013


.■ . . . '■yiiS'-:■■ ' ■;'■'-,■>>■i-<iv' ‘‘•,« . ‘ 't;*' V' ■V' ■■,t,'.'-,., ;

iji 'tj 'k-i,: âîi « ^ 2 ', •ÂŢA^mî 3T

'■’. ;•■. ,. .(îIW"f tftisfinmr i? ismhţj■•-hin'Ki&in moi» *kA

.irskno^^al;HZ „sxt:ăidmq/ît(,y!iîft'a/orH>î-' i’iîfes'.? ni ,i^mu/qo^

« r, . .tţ vâvlt*sţis9iiJvi«ifTKK! 'sfei» «if .msovi

Jijoq'.-- -:j ii 3 ^mW'pot!! ;«ţ«5*î 'ilâb H î ‘.i-oî'iitis'jrfv* 'l

îHjsîţ ur/

.*>iii-' jefiMfoaJar» lijurtoti■: ■ ^ # .eî> jSîs S-0«E5HOl(olt

' 3? âUEi;)^ fDcJXx'J itnq

vV :f;vV feîi

„V 'v ■ ftfţaiov» ?îf :tă't !,/iq rm i^Yjîwdp:,, >; ,; .Jr' :'5/y;;îifc iîâv bttiMto^: • f V . v ' ^ t î î h r j ,%?rui?i?

f'; %u; j»î ■;■■>,y i. ; î3r:'.i;; >\irtin<usj

rn:u . nn-rj _. jjair 'Vî-c. î-

7/22/2019 Euclid 2013


o

VIAŢA ŞI OPERA LUI EUCLID

I Euclid din Alexandria, originar din Damasc

(cca. 325 î.Hr. - 265 î.Hr.) a fost un

matematician grec care a trăit şi predat în

Alexandria, în Egipt în timpul domniei lui

l’tolemeu I (323 î.Hr. - 283 î.Hr.). Despre

viaţa lui Euclid nu s-au păstrat niciun fel de

date, de aceea se spune că viaţa lui se

confundă cu opera. Dar nici aceasta nu s-a

păstrat în întregime.

in afară de cartea Stihia, în traducere

românească Elementele, tradusă în peste 300 de limbi, în care

l'luclid pune bazele aritmeticii şi ale geometriei plane şi spaţiale, s-

aii mai păstrat câteva cărţi dintre care; Datele, lucrare ce cuprinde

Icoreme şi probleme care completează Elementele, precum şi

(Optica, privită ca o geometrie a „razei vizuale“. A iniţiat tradiţia

tic a indica sfârşitul unei demonstraţii prin expresia latină: Quod crat demonstrandum sau Q.E.D. în traducere: Ceea ce era de

demonstrat.

într-o anecdotă, scrisă după 800 de ani de la moartea sa, se

povesteşte că Ptolemeu I l-ar fi rugat pe Euclid să-i arate o cale

mai uşoară ca să înţeleagă geometria, iar Euclid ar fi răspuns; „în

geometrie nu există drumuri speciale pentru regi“.

I'luclid a expus cercetările în domeniul opticii în tratatele Optica şi

Catoptrica. în cel dintâi a prezentat noţiunea de rază de lumină şi a

formulat, pentru prima dată, legea propagării rectilinii a luminii:

„Razele... se propagă în linie dreaptă şi se duc la infînit“. în

continuare Euclid a analizat probleme geometrice de aplicare a

acestei legi: formarea umbrei, obţinerea imaginilor cu ajutorul

orificiilor mici, problema dimensiunilor aparente ale corpurilor şi

determinarea distanţelor până la ele. în Catoptrica Euclid a

menţionat că; „tot ce este vizibil se vede în direcţie rectilinie". în

7/22/2019 Euclid 2013


ii * jţ'îSx.-.-. i. •• •.

tratatul menţionat a fost cercetată propagarea luminii de către

corpuri.

Deşi multe din rezultatele din Elemente au fost descoperite dematematicienii de dinainte, una dintre realizările lui Euclid a fost

să le prezinte într-un singur cadru, logic şi coerent, pentru a putea

fi uşor folosite. A fost inclus şi un sistem riguros de dovezi

matematice ce constituie baza matematicii încă şi astăzi, 23 de

secole mai târziu. Chiar dacă a fost cunoscută în special pentru

informaţiile din geometrie, cartea Elementele include de asemenea

şi teoria numerelor. Este vorba despre legătura dintre numerele

perfecte şi numerele prime de tip Merserme, despre infinitatea denumere prime. Euclid lema factorizarea ce aduce la teorema

fundamentală a aritmeticii.

Sistemul geometric descris în Elemente a fost cunoscut pentru

mult timp ca simplă geometrie şi era considerată singura geometrie

posibilă. Totuşi astăzi sistemul este deseori denumit geometrie

euclidiană, pentru a o diferenţia de aşa numita geometrie non-

euclidiană, descoperită în secolul XIX.

GEOMETRIA PLANA. Acest ansambul foarte impunător cuprinde,

în primul rând. Elementele, opera fundamentală în 13 cărţi, care a

dominat matematica elementară până în secolul trecut. Elementele

pot fi subdivizate în cinci părţi. Primele patru cărţi sunt consacrategeometriei plane, şi anume, exclusiv studiului figurilor poligonale

şi circulare. în ele nu se face uz de noţiunea de a.scm;m;iuv Accaslă

iX

7/22/2019 Euclid 2013


oţiune este studiată în partea a doua, formată din Cartea a V-a,

are tratează, pe plan abstract, rapoartele şi proporţiile, şi din'artea a Vl-a, care este o aplicare a cărţii anterioare la geometria

lană. Teoria numerelor întregi face obiectul părţii a treia care

aprinde Cărţile VII, VIII şi IX. Cartea a X-a, cea mai extinsă

intre toate, este consacrată celor mai simple numere iraţionale

lgebrice. Partea a cincea şi ultima tratează geometria în spaţiu şi

uprinde Cărţile XI, XII şi XIII.

a începutul Cărţii I, Euclid plasează definiţiile, cinci „cerinţe"au postulate şi „noţiunile comune“ în număr variabil în diferitele

diţii, dintre care cel mult cinci sunt considerate autentice. Dintre

ostulate, cel mai celebru este ultimul;

Dacă o dreaptă tăind două drepte formează unghiurile interne şi (’ aceeaşi parte mai mici decât două unghiuri drepte, cele două

drepte prelungite la infinit se vor întâlni în partea în care se află

nghiurile mai mici decât două unghiuri drepte. “

Acesta este celebrul postulat al lui Euclid pe care, în zilele noastre,

referăm să-l enunţăm în forma pe care i-a dat-o J. Playfair, în

ccolul ai XVIII-lea: „Printr-un punct al planului nu se poate

duce decât o singură paralelă la o dreaptă dată". în secolul al 111-

ca î.e.n., el constituia condiţia necesară pentru aplicarea

aţionamentului matematic în geometrie şi a rămas ca atare până în

ccolul al XVIII-lea e.n. Astăzi ştim că sunt posibile multe

eometrii elementare, însă pentru a formula şi deci utiliza

eometrii neeuclidiene trebuie să poată fi folosite funcţiile

irculare şi funcţiile exponenţiale. Grecii, care nu aveau Ia

ispoziţie decît algebra babiloneană, adaptată la geometrie prin

ntermediul tehnicii aplicaţiilor ariilor, erau nevoiţi sau să admităostulatul lui Euclid, sau să abandoneze orice cercetare în

omeniul geometriei. Ceea ce este remarcabil este că, confruntat

u această necesitate imperioasă, Euclid nu s-a mulţumit cu o

7/22/2019 Euclid 2013


■clASAA I A

MiiHil nevoia să formuleze un postulat. Este prima mărturie

isloi ică a unei atitudini specific matematice.

Conţinutul propriu-zis al primei cărţi,care începe cu problema construirii

triunghiului echilateral (de fapt, un

postulat deghizat în problemă) şi se

termină cu teorema despre pătratul

ipotenuzei (teorema zisă „a lui

Pitagora“) este, în ansamblu, de dată

foarte veche.Cartea a Il-a, foarte scurtă, se ocupă cu

bazele algebrei geometrice, instrument

de lucru indispensabil al geometriei

elene. După ce se admite existenţa

sumei şi a diferenţei a două segmente

rectilinii, se studiază relaţiile dintre

dreptunghiurile care au aceeaşi înălţime şi apoi pătratele construitepe sumă sau diferenţa a două segmente. Ea conţine, în particular,

într-o terminologie azi uitată, o rezolvare a ecuaţiilor de gradul al

doilea. Această ultimă temă va fi reluată, într-o formă mai

generală, în Cartea a Vl-a, în care „parabolele în elipsă" şi „în

hiperbolă" - adică „aplicarea ariilor în lipsă" şi „în exces" -

echivalează cu un studiu complet al ecuaţiei, ax +bx + c

Cartea a IlI-a, şi ea tot foarte elementară, tratează proprietăţilecercului. în particular, în ea se stabileăte - fapt remarcabil -

noţiunea de putere a unui punct în raport cu un cerc, fară să se

folosească similitudinea, prin metode de aplicare a ariilor, adică

prin algebra geometrică. Studiul tangentei într-un punct determină

apariţia, pentru prima dată în istorie, a noţiunii capitale de unghi

de contingentă.

Cartea a IV-a, cu savoare pitagoreică, studiază problema înscrieriipoligoanelor regulate într-un cerc, precum şi problema

circumscrierii poligoanelor. Ea nu tratează însă decât triunghiul

echilateral, pătratul, pentagonul şi hexagonul, pontiti care

7/22/2019 Euclid 2013


0

problema poate fi rezolvată cu ajutorul riglei şi compasului. în ea

SC reuşeşte turul de forţă de a înscrie pentagonul în cerc, fară a

l'ace apel la asemănare; asemenea detalii sunt dintre cele care ne

lac să recunoaştem mâna unui mare artist.

PROPORŢIILE. Partea a doua a Elementelor este mult mai

liificilă. Cartea a V-a constituie una dintre culmile gândirii

matematice şi se poate afirma că ea n-a fost realmente asimilată şi

depăşită decât de abia vreo sută de ani. Ea tratează noţiunea de

raport, care este inclusă în următoarele patru definiţii abstracte:,.[3] Raport este relaţia după cantitate a două mărimi de acelaşi fel. [4] Se zice că mărimile au un raport între ele dacă, înmulţite, una poate întrece în mărime pe cealaltă. [5] Se zice că mărimile sunt în acelaşi raport, întâia către a doua şi a treia către a patra, (iacă multiplii egali ai celei dintâi şi ai celei de a treia, deodată,

.sau întrec în mărime respectiv multiplii egali ai celei de a doua şi

ai celei de a patra, pentru oricare multiplu, sau sunt egali, sau mai mici, în ordinea considerată... [7] Iar dacă dintre multiplii egali, multiplul celei dintâi întrece în mărime multiplul celei de a doua. dar multiplul celei de a treia nu întrece în mărime multiplul celei

de a patra, se zice că întâia către a doua are un raport mai mare

decât a treia către a patra. “

Dintre aceste definiţii, cea mai

importantă este definiţia [4]. Ea apare

aici, în mod cu totul justificat, sub

aspectul ei de definiţie, însă în Cărţile

VI, X, XI şi XII se admite, implicit, că

segmentele rectilinii, ariile plane,

volumele şi unghiurile rectiliniisatisfac această definiţie. Arhimede

este cel care a simţit că este vorba aici

de o cerinţă, de un postulat, care ar

7/22/2019 Euclid 2013


iirltiii cxplicitat, deoarece unghiurile curbilinii, în particular,

iiii^liMil (ie contingentă, nu satisfac această definiţie.

I )clim|iilc [5] şi [7], foarte abstracte, permit să se formuleze teoria

i.ipoiiticlor în toată generalitatea ei şi într-o formă de o supremă

Ea constituie echivalentul noţiunii modeme de tăietură

iiiliodusă în secolul trecut.

( iiilca a Vl-a este importantă, dar elementară. în ea se găsesc

l a/urile de asemănare a triunghiurilor, teorema numită impropriu,

până în zilele noastre, „a lui Thales“, proporţionalitatea între

arcurile de cerc şi unghiurile la centru sau unghiurile înscrise în

ccrc, rezolvarea generală a ecuaţiilor de gradul al doilea prin

procedee pur geometrice. în felui acesta, algebra geometrică este

solid constituită, devenind un admirabil instrument de lucru pe

care Arhimede şi Apollonius vor şti să-l folosească la maximum.

ARITMETICA. Cărţile de aritmetică constituie cel mai vechi tratatde teorie a numerelor care a ajuns până la noi şi totodată şi cel mai

riguros, dacă avem în vedere perioada de până la sfârşitul secolului

al XlX-lea. în ele nu trebuie căutată o aritmetică practică, ci un

ansamblu de studii teoretice asupra naturii numărului întreg.

Cartea a Vll-a dezvoltă din nou, în primele propoziţii, tema Cărţii

a V-a, teoria proporţiilor, dar numai pentru cazul rapoartelor

raţionale şi, în general vorbind, într-o formă mai arhaică şi maipuţin riguroasă. Luată însă în ansamblu. Cartea studiază întregul,

pornind de la următoarele consideraţii: fară nicio încercare de a

demonstra afirmaţia şi fară niciun postulat explicit, se afirmă că

numărul, fiind o mărime, se bucură de proprietăţile generale ale

mărimilor, şi anume, în principal, de proprietăţile de existenţă,

unicitate, comutativitate şi asociativitate a sumei. Demonstraţiile

se vor baza pe aceste proprietăţi intuitive şi pe caracterul discret alîntregului. Acest caracter discret este exprimat prin două axiome

principale implicite: 1) unitatea este o măsură (divizor) a oricărui

număr şi 2) înaintea unui număr dat există doar o mulţime finită de

7/22/2019 Euclid 2013


o

posedă un cel mai mic element. Cea de-a doua axiomă este

esenţială pentru găsirea, cu ajutorul algoritmului lui Euclid, a celui

mai mare divizor comun a două numere. Acest algoritm, care esteinstrumentul de bază al teoriei elementare a numerelor, apare aici

pentru prima dată, în legămră cu simplificarea aproximativă a

rapoartelor aşa cum o practicau, în aceeaşi epocă, Aristarh din

Samos şi Arhimede. El constituie şi punctul de plecare al teoriei

fracţiilor continue, care vor începe să joace un rol de prim rang

începând din secolul al XVII-lea. Tot în Cartea a Vll-a mai găsim

i) teorie a numerelor prime între ele şi a numerelor prime absolute,(corie care s-a păstrat până azi în învăţământul elementar, într-o

l'ormă aproape neschimbată. Urmează apoi o scurtă teorie a celui

mai mic multiplu comun.

Cartea a VlII-a, mult mai omogenă decât precedentă, este

consacrată aproape în întregime numerelor întregi în progresie

geometrică sau, într-un alt limbaj, puterilor numere întregi ale

Iracţiilor. Scopul ei este, în ultima analiză, să stabilească, într-ol'ormă generală, cazurile de raţionalitate a rădăcinilor de ordinul n

ale unui întreg sau ale unei fracţii.

( artea a IX-a cuprinde, pe de o parte, propoziţii vetuste despre par

:şi impar, bazate pe raţionamente foarte slabe, iar pe de altă parte,

teoreme foarte subtile şi foarte frumoase, cum este cea care

.stabileşte existenţa unei infinităţi de numere prime absolute sau

cea care construieşte numerele perfecte euclidiene.

IRAŢIONALELE. Cartea a X-a este cea mai amplă dintre toate:

conţine 114 propoziţii! Lectura ei cere din partea matematicianului

modem o pregătire solidă şi un curaj perseverent.. în schimb,

studiul ei recompensează pe deplin efortul. Tema generală o

constituie clasificarea scrupuloasă a primelor lungimi iraţionale,

rezultate din metodele de aplicare (transformare) a ariilor, pornind

de la o lungime luată drept unitate (ultimele cuvinte nu sunt însăpronunţate explicit). Un singur termen a supravieţuit în limbajul

nostru ca unică amintire a acestei opere considerabile: cuvântul

7/22/2019 Euclid 2013


„binom“, după modelul căruia algebriştii noştri au fasonat

„trinomul" şi „polinomul“.

Unii au încercat să atribuie această carte lui Teetet, eroulDialogului lui Platon. Dar dacă mai multe dintre propoziţiile cele

mai simple pe care le conţine pot fi atribuite secolului al IV-lea,

cartea, în ansamblu, se prezintă totuşi ca o operă de mare

perseverenţă, minuţioasă, un pic greoaie, elaborată de un bun

matematician. Autorul ei este o minte riguroasă, un matematician

de profesie, care se înrudeşte mai mult cu Apollonios decât cu

Arhimede.Prima propoziţie, care poate fi atribuită încă lui Eudoxos,

formulează elementul de bază al metodelor de exhaustiune despre

care vom vorbi mai târziu. lat-o:

„Fiind date două mărimi neegale, dacă din cea mai mare se scade una mai mare decât jumătatea ei, iar din cea rămasă una mai mare decât jumătatea ei, şi aceasta se repetă continuu, va rămâne

o mărime oarecare care va fi mai mică decât mărimea cea mai mică considerată. “

Următoarele trei propoziţii folosesc algoritmul lui Euclid, fie

pentru a găsi cea mai mare măsură comună, dacă cele două mărimi

sunt comensurabile, fie pentru a trage concluzia că mărimile sunt

incomensurabile, dacă algoritmul nu se sfârşeşte după un număr

finit de paşi. Urmează apoi câteva propoziţii generale despre

mărimi. După această parte, care este doar un fel de introducere,nu va mai fi vorba decât de segmente rectilinii. Măsurile lor,

pornind de la un segment unitate, ar fi reprezentate de noi prin

expresii de forma VV^+V^, unde a şi b sunt numere rationale,

luiclid studiază diferitele cazuri când această formă poate fi

simplificată şi deduce o clasificare a acestora.

STAŢIUL. O dată cu Cartea a Xl-a începe geometria spaţiului.

I’iiţiiuil care se cunoaşte despre lucrările lui Arhytas şi Eudoxos

liisâ sA se creadă că această carte rezumă cunoştinţele secolului al

7/22/2019 Euclid 2013


•> ■

jV liM in acest domeniu, cu câteva adaptări efectuate în secolul

Ltlliiiio definiţiile iniţiale, cele care se referă la sferă, con şi cilindruf i i r iipcl la mişcare. Generarea acestor corpuri se face prin rotirea,

!t>»i|ii'L(iv, a unui semicerc în jurul bazei, a unui triunghi

jlirpiiinghic în jurul uneia dintre laturile unghiului drept şi a unui

lih-pi unghi în jurul uneia dintre laturi. Astfel de consideraţii

I liii'inatice, introduse aici, probabil, pentru a asigura continuitatea

fluiiiilor, erau evitate cu desăvârşire în cărţile de geometrie plană.

I Vil- Irei propoziţii de la început, şi anume:,,Nii .v(* poate ca o parte a unei linii drepte să fie în planul de bază,

Uft o parte într-unul mai ridicat",

Ihică două drepte se taie, ele sunt într-un plan, şi orice triunghi

I \h' intr-un plan

.Jhică două plane se taie, secţiunea lor comună este o dreaptă", IIml demonstrate cu totul insuficient şi de fapt sunt adevărate

|tusUilate. însă cartea, în ansamblu - în care se studiază noţiunile(Ir ortogonalitate şi paralelism în cazul dreptelor şi planelor,

|tii't'um şi volumele paralelipipedelor - este de înaltă ţinută.

Iichuie remarcată absenţa totală a noţiunii de orientare şi a ideii

liiiiidite de simetrie.

( nrtea a Xll-a studiază ariile cercurilor, precum şi volumele

piiiimidelor, conurilor, cilindrilor şi sferelor. Aceste smdii necesită

lulosirea procedeelor infinitezimale şi, după mărturia formală a luiAihimede, ele vin de la Eudoxos. Propoziţiile enunţate nu dau

(•Viiclratura acestor arii sau cubatura acestor solide, ei se mulţumesc

Ml dea numai rapoartele:

( 'arcurile sunt între ele ca pătratele diametrelor. “

„Orice prismă având baza triunghiulară se împarte în trei

fiiramide egale între ele având baze triunghiulare. “

„Sferele sunt între ele în raportul cuburilor diametrelor. “

Pentru a stabili echivalenţa a două volume, se arată că primul nu

i'stc nici mai mic, nici mai mare decât cel de-al doilea. Tehnica

demonstraţiei se bazează pe ceea ce geometrii logicieni ai

7/22/2019 Euclid 2013


sccolului al XVII-lea au numit exhaustiune, epuizare. Aceasta

metodă, a cărei utilizare este legitimată de prima propoziţie a

(’Ar|ii a X-a arată, în ultima analiză, că diferenţa dintre cele două’

volume, dacă ar exista, ar fi mai mică decât orice mărime dinaintedată.

CORPURILE PLATONICE. Cartea a XlII-a, foarte frumoasă şi

foarte tehnică, este consacrată în întregime celor cinci poliedre

regulate cunoscute de Platon. în secolul al Il-lea î.e.n., Hipsicle a

adăugat Elementelor o a XlV-a carte, care tratează compararea

dodecaedrului şi îcosaedrului înscrise într-o aceeaşi sferă. După

cum recunoaşte autorul însuşi în scrisoarea-prefaţă, tema aceasta

fusese deja tratată de Aristeu şi Apollonios. Bizantinii au mai

adăugat o a XV-a carte, consacrată şi ea tot corpurilor platonice.

Ea este însă de un nivel foarte scăzut. Una dintre cele două părţi

care o compun pare să fi fost scrisă în secolul al V-lea e.n.,

cealaltă - într-o epocă şi mai recentă.

LUCRĂRILE MINORE SAU PIERDUTE. Opera lui Euclid nu se

limitează la Elemente. Catalogul scrierilor care îi sunt atribuite

este mare. Unele dintre ele au ajuns până la noi, altele au dispărut

complet sau parţial. Dintre aceste scrieri cu caracter teoretic cităm

mai întâi Datele, un fel de complement al Elementelor, dar cu o

formă mai analitică. Lucrarea cuprinde 94 de propoziţii. Primelestabilesc câteva proprietăţi ale mărimilor proporţionale sau „care

au creşteri proporţionale", adică, în limbajul nostru, proprietăţile

funcţiilor liniare. Propoziţiile următoare, cu caracter mai

geometric, se referă la figurile asemenea, la aplicarea ariilor, adică

la rezolvarea ecuaţiilor de gradul al doilea, şi la cerc. Lucrarea

păstrează încă un caracter foarte elementar.

Nu acelaşi lucru se poate afirma despre tratatul, astăzi pierdut,despre porisme (Porismată). Pappus ne-a lăsat o descriere destul

de neclară. Pornind de la această mărturie, matematicienii

moderni în special Robert Simson şi Chaslos au încercat

7/22/2019 Euclid 2013


r*-.tiisiiuiiri care, ca toate lucrările de acest gen, au un caracter

4iii‘-ipotetic. Se pare însă că este destul de ferm stabilit că în

^ li Halat pierdut, Euclid rezolvă mai multe probleme care au

H.i.iio afinitate cu geometria proiectivă şi cu teoria

111‘ivcrsalelor, aşa cum le tratau matematicienii din prima

(iituniiilc a secolului trecut. în el figurează, în particular, teorema

I )i‘sargues cu privire la Triunghiurile omologice şi teorema lui

• 'tippiis cu privire la hexagoanele înscrise într-o conică degenerată

tloiiă drepte. începând de pe la sfârşitul secolului al XlX-lea,

^ două propoziţii joacă un rol esenţial în geometria proiectivă.

:-V;i

m m m ■ *

7/22/2019 Euclid 2013


Prezentarea Concursului Naţional EUCLID

Dragi copii şi părinţi, înainte de a vă povesti amănunte despre

desfăşurarea concursului, am vrea să vă spunem de ce considerăm

noi că merită să participaţi.

După cum vedeţi, formele de evaluare în învăţământul nostru sunt

într-o continuă schimbare şi perfecţionare. Credem că nu o dată v-

aţi întrebat: „Oare voi putea face faţă acestui examen?“

Considerăm că participând constant la competiţii, se diminueazăsimţitor stresul legat de schimbarea formei de examinare. Pe de

altă parte, nu aţi vrea să vă verificaţi cunoştinţele fară a risca o

notă mică în catalog, care să vă afecteze media?

Nu aţi vrea să vă puteţi compara cu vărul de aceeaşi vârstă, care

locuieşte în alt oraş, sau cu copilul celei mai bune prietene a

mamei, pe care vi-1 tot dă exemplu? Aceasta nu se poate face câtăvreme învăţaţi şi sunteţi evaluaţi în contexte diferite, dar

participând cu toţi la aceeaşi competiţie puteţi stabili adevărata

ierarhie a colegilor şi prietenilor voştri.

De asemenea, suntem convinşi că în lipsa unei evaluări, anumite

aspecte ale materiei sunt superficial asimilate şi deci mult mai uşor

de uitat (ştim cu toţi că dacă nu suntem ameninţaţi de un test,

trecem cu mai mare uşurinţă peste materie),în încheiere, dar nu în ultimul rând, gândiţi-vă ce satisfacţie aţi

avea să puteţi câştiga prin forţele voastre unul dintre numeroasele

premii puse în joc.

Toate acestea sunt posibile înscriindu-vă la CONCURSUL

NAŢIONAL DE MATEMATICĂ „EUCLID" , care se adresează

tuturor elevilor de la clasa a Il-a, până la clasa a Xll-a, din orice

zonă a ţării.

Cum faceţi să participaţi la acest concurs? Primul pas este să

discutaţi cu profesorul de la clasă (sau orice alt profesor) şi să vă

i i d i d i l T d i i

7/22/2019 Euclid 2013


'i'spectiv următoarele date: numele, şcoala de provenienţă, clasa,

M( de telefon, adresa de email. După aceea veţi fi înştiinţat de

■rtire profesorul la care v-aţi înscris, în ce loc se susţine proba şi la(T oră începe accesul în săli. Ca la orice concurs veţi găsi afişate

lislc cu repartizarea în săli. în ziua concursului veţi primi o foaie

• II subiectele şi de asemenea, foi pe care să redactaţi soluţiile.

( ănd lucrarea este gata, o predaţi cu semnătură, profesorului

iiipraveghetor. După maxim două săptămâni, veţi găsi pe acest site

Kviiltatele, precum şi o ierarhie în funcţie de rezultatele obţinute

|H' zonă şi pe ţară.

I iccare etapă a concursului este independentă de celelalte şi are o

|iicmiere separată, stabilită de cei care administrează concursul în

.'Diia în care vă aflaţi.

I II fiecare etapă toţi concurenţii care au punctaje între 90 p. şi 100

p vor fi premiaţi, iar concurenţii care obţin punctaje între 80 p. şi

p. vor primi menţiuni. Premiile vor fi stabilite de către

lulininistratorul de test în condiţiile respectării regulilor anterioare.

Trcmiile zonale sunt:

premiul I - Diplomă de merit

premiul II - Diplomă de merit

premiul III - Diplomă de merit

l'ciilru fiecare clasă din centrele de concurs la ocupantul locului I

acordă medalie de aur, pentru locul II se acordă medalie de

iii t>int, iar pentru locul III se acordă medalie de bronz în condiţiile

In care au punctaje de cel puţin 90 p.

I )upă afişarea pe site a rezultatelor fiecărei etape, va avea loc o

tragere la sorţi, în urma căreia; vor fi aleşi elevi dintre cei trecuţi în

li.sicle de pe site, care vor primi câte 100 lei. De aceea, va trebui să

vorificaţi existenţa numelui vostru în lista cu rezultate, după

liccare etapă la care aţi susţinut proba, pentru a putea participa la

Iragerea la sorţi. Regulamentul extragerii îl găsiţi afişat pe acest

site: www.concurs-euclid.ro



7/22/2019 Euclid 2013


La etapa finală vor participa din fiecare judeţ, din fiecare clasă şl

profil concurentul care a obţinut în cadrul unei etape cel mai niiii#

punctaj, care nu trebuie să fie mai mic de 90 p. Dacă la o c1;ih4sunt mai mulţi care au punctajul maxim dintr-un judeţ, vor merm»

toţi la etapa finală. Mai vor fi selecţionaţi şi vor participa la et;i|)«

finală acei candidaţi care cumulează cel puţin 270 p. în cele (icl

participări la etapele concursului din acel an.

Premiile şi distincţiile oferite de organizatori în urma etapei finale,

sunt:

- premiul I - un laptop,- premiul II - o bursă de studiu de 700 lei,

- premiul III - o bursă de studiu de 400 lei.

Aceste premii se oferă pentru fiecare an de studiu şi pentru fiecai c

profil, ţinând seama de ordinea descrescătoare a punctajeloi

obţinute la etapa finală, daca au punctaje de peste 40 p.

Structura subiectelor este următoarea:• 5 itemi grilă cu alegere multiplă (cu 4 distractori fiecare). Fiecare

item grilă valorează 4 puncte. La itemii cu alegere multiplă, un

singur distractor va fi corect.

• 10 întrebări cu răspuns scurt, care valorează câte 4 puncte.

• 2 probleme cu itemi structuraţi, care valorează câte 15 puncte.

Această structură este valabilă pentru primele 3 etape ale

concursului, adică cele cu rol de evaluare.

Etapa finală are rol de departajare şi are o altfel de structură ii

subiectelor, de tip concurs naţional.

Dacă am acorda calificative pentru punctajele acordalc

concurenţilor, am avea următoarele paliere;

Pentru punctaje cuprinse între 96 p. şi 100 p. EXCEPŢIONAL

Pentru punctaje cuprinse între 90 p. şi 95 p. FOARTE BUN

Pentru punctaje cuprinse între 80 p. şi 89 p. BUN

Pentru punctaje cuprinse între 70 p. şi 79 p. MULŢUMITOR

Pentru punctaje cuprinse între 60 p. şi 69 p. SATISFĂCĂTOR

P t t j i î t 50 i 59 SLAB

7/22/2019 Euclid 2013


I

SOHiii iMiiu'laje cuprinse între 35 p. şi 49 p. FOARTE SLAB

iHiiK tajc cuprinse între 10 p. şi 34 p. CATASTROFAL

«t fl • vil 111clasa a Il-a a Ill-a sau a IV-a, concursul durează două

iMi unlactarea rezolvărilor o vei face pe foaia cu subiecte.

Iii »liisii a V-a la a VlII-a, proba durează două ore şi 30 de

, IUI dc la a IX-a la a Xll-a, durează trei ore.

n III iiiiioieli în privinţa rezultatului poţi depune o contestaţie în

.-I in care ţi-ai aflat punctajul.

®;î ţiiiii Ml citeşti pe site care este programa corespunzătoare etapeiniie vrei să participi, cu menţiunea că materia claselor

ftîiWiiniiic este şi ea inclusă.

»miiu Iu/ic, vă garantăm că nu veţi regreta dacă veţi participa la

toi>il IoMcurs!

7/22/2019 Euclid 2013


I . NOŢIUNI INTRODUCTIVE

ÎN STUDIUL M ATEM ATIC II

A. EXERCIŢII DE ANTRENAMENT

De cele mai multe ori, copiii noştri nu reuşesc să rezolve

problemele de matematică, pentru că nu interpretează bine

textele. Noţiuni ca „înaintea", „după", „de la stânga la dreapta",„vertical", „orizontal", „în interior" sunt esenţiale atât în viaţa de

zi cu zi, cât şi în rezolvarea unor probleme de concurs.

De aceea, nu trebuie să trecem peste ele superficial, sunt lucruri

importante, chiar dacă sunt uşoare. Aparatul matematic, la vârsta

copiilor de clasa I, se bazează pe o înţelegere perfectă a textului,

o reprezentare clară a noţiunilor şi o logică naturală, a omului

care umblă pe un tărâm cunoscut. Este vârsta la care oriceproblemă se poate rezolva, aşa trebuie să înceapă viaţa lor de

mici matematicieni

După ce vor simţi că stă în puterea lor să înţeleagă, să rezolve şi

să deducă lucruri, urmează însuşirea părţii de calcul, far de care

nu se poate, apoi a unui bagaj consistent de raţionamente (cultura

în domeniu) şi în fmal... premii, diplome, medalii, felicitări.

Exerciţiile de antrenament au rolul de a prezenta acele noţiuni pecare le vom întâlni „mascate" în subiectele de concurs. Deci, nu

săriţi peste ele, lucraţi-le chiar dacă par uşoare, pentru că, fiecare

exerciţiu rezolvat ajută la „creşterea" voastră. Şi niciun efort nu

rămâne nerăsplătit, niciun copil care studiază nu va trece

neobservat.

7/22/2019 Euclid 2013


A.I. Orientare spaţială

I. Coloraţi obiectul aflat în faţă.

31. Coloraţi balonul aflat cel mai aproape.

încercuiţi norişorul aflat cel mai sus.

/ IV®

7/22/2019 Euclid 2013


I ( iil(Mii(t hilcic din interiorul vasului.

5. încercuiţi figura geometrică aflată în stânga cercului.

6. încercuiţi liniile verticale.

7. Coloraţi steagul, de la stânga la dreapta.

8. Coloraţi steluţele care se află în interiorul pătratului, dar nu

se află în interiorul cercului.

☆

S

7/22/2019 Euclid 2013


a Im lif>tira de mai sus, coloraţi steluţele care nu se află nici în

! Ktiul cercului, nici în interiorul pătratului.

IH riiic steluţe se află atât în interiorul cercului, cât şi în

iHt. iiMiiil pătratului?

11 ( (iloraţi cu galben căsuţele care se află mai aproape şi cu

II pe cele care se află mai departe.

12. încercuiţi floarea care se află cel mai aproape de albiiiii,

7/22/2019 Euclid 2013


13. încercuiţi atletul care se află cel mai aproape de linia de

sosire:

A

A14. încercuiţi fructele aflate înaintea mărului.

15. Desenaţi un cerc în faţa pătratului.

16. Desenaţi un pătrat după cerc.

I f I oloraţi steluţele aflate sub linie.

☆

☆

☆

IN ( oloraţi peştii aflaţi la stânga liniei.

I'*, I )cscnaţi o linie verticală între cele două pătrate.

io, Desenaţi o linie verticală astfel încât în faţa ei să fie 3

M'u-iiri, iar după ea să fie 4 cercuri.

ooooooo

7/22/2019 Euclid 2013


21. Desenaţi trei cerculeţe în interiorul pătratului.

22. Coloraţi floarea cu cele mai multe petale.

23. Coloraţi cu roşu mărul cel

24. Coloraţi copacul care are cele mai multe frunze.

7/22/2019 Euclid 2013


I'll roşu, galben şi mov cele trei flori, astfel încât

itiţii- sfl aibă cele mai multe petale, iar floarea mov să

iiiiti puţine frunze.

7/22/2019 Euclid 2013


«ilASAAhA.rt>

A.2. C’ompararea intuitivă

I, Imcn.Miiţi segmentul cel mai scurt.

I - - - - - - - - - - - - 1 t -

2. Coloraţi cu roşu bila mai mare.

3. Desenaţi un pătrat mai mare decât cel din figură.

4. încercuiţi grupa care are cele mai multe obiecte.

o☆

O/ /

/ / ///

/

/

7/22/2019 Euclid 2013


I

1= corespondenţe între obiecte şi încercuiţi grupa cu

Miiilli' obiecte.

O

O O

o

o

V

V V

V

A liiuMcuiţi cele două grupe care au acelaşi număr de elemente.

O □

)

o □V V

V V

Scrieţi în căsuţa de sub fiecare desen numărul de buline din

ill .i’iuil respectiv.

7/22/2019 Euclid 2013


8. în desenul de mai jos sunt mai multe case sau mai mulţi

copaci? Desenaţi elementul corespunzător răspunsului cored,]

9. Care animale au mai multe picioare: 5 pisici sau 5 găini?

10. Desenaţi tot atâtea vase, câte flori sunt.

11. Desenaţi triunghiuri, astfel încât să fie mai puţine decât

pătrăţele, dar mai multe decât cerculeţe. Câte posibilităţi sunt?

O OO

B. PREGĂTIRE PENTRU CONCURSURI

1. Completaţi şirul de mai jos cu încă trei figuri.

A O D A O n A O

7/22/2019 Euclid 2013


şirul de mai jos cu încă trei figuri.

: )OAOOAOO)|thi|l ») porţiune din şirul de mai jos în care să se găsească

i n'ii'uri şi un pătrat.

A o d o o d o o d o o

o porţiune din şirul de mai jos în care să se găsească

t pnirate.

I ) t)DO O D O O D O O

iSiliMiiţl a cincea figură, numărând de la dreapta spre stânga.

|c!( >A DO A DO A

I» (ilttuiţi a cincea figură, numărând de la stânga spre dreapta.

h ) A n O A D O A

t nloraţi bila care are proprietatea că, atât la stânga ei, cât şi

tlii'iipla ei, se găsesc tot atâtea bile.

oooooooo

II In îjirul de mai jos, coloraţi figura care apare de cele maiMiiillc* ori.

i ' C r O ' u ’ A ' u ’ D ^ D O

7/22/2019 Euclid 2013


•). ( ’onliiiuaji şirul cu încă trei figuri potrivite.

□ □ □10. Dacă în figura de mai jos colorăm pătrăţelele astfel încât

oricare două pătrăţele vecine să nu aibă aceeaşi culoare şi cel

din colţ este negru, ce culoare vor avea celelalte colţuri?

11. Câte pătrate avem în figură?

a)

b)

c)

7/22/2019 Euclid 2013


/OA’SA/

I i. Câte triunghiuri avem în figură?

7/22/2019 Euclid 2013


I

13. Câte drumuri de la A la B, cu lungimea cea mai mică

posibil, putem găsi mergând numai pe liniile desenate?

B

14. Câte pătrate putem obţine unind câte patru puncte din

desenul de mai jos?

15. în şiragul de mărgele de mai jos, procedăm astfel: colorăm

cu roşu prima mărgea din stânga, lăsăm două mărgele albe, apoi

din nou colorăm una cu roşu, iar lăsăm două albe şi aşa mai

departe, până când se termină. Realizaţi colorarea pentru a afla

ce culoare are ultima mărgea din şirag.

OOOOCXXOOOOCXXXXXXXXXXX)

7/22/2019 Euclid 2013


I /. Sorin, Miruna, Ioana şi Vlad vor să stea unul lângă altul

tiiii o sală de cinema. în câte feluri se pot aşeza ei, astfel încât

Mu lina să stea lângă Ioana?

IH. I)intr-un grup de 4 băieţi şi 2 fete trebuie să formăm o

*! lupă alcătuită din 3 băieţi şi o fată. Câte echipe diferite putem

i'iniui?

I'<. ("âte pachete cu două bomboane şi un măr putem realiza,

iliii'fi avem 6 bomboane şi 5 mere?

7/22/2019 Euclid 2013


I I . NUMERE NATURALE DE LA O

LA 10

A. Exerciţii de antrenament

1. Completaţi căsuţele cu cifre corespunzătoare numărului de

cerculeţe.

2. Desenaţi în interiorul cercului atâtea steluţe câte indică

cifrele din căsuţe.

3. Desenaţi în fiecare chenar obiecte de acelaşi fel şi scrieţi

numărul lor în căsuţă.

4. Completaţi spaţiile libere cu numerele care lipsesc.

a ) _ 2 5 _____

7/22/2019 Euclid 2013


! '■!j'ii)i|i în interiorul cercului atâtea steluţe câte indică

f ilin căsuţe.

I*' 'ili/ii|i corespondenţele:

000

<nliiniţi câte trei elemente din fiecare chenar:

O O O

o o

I liu'orcuiţi grupurile de câte 5 elemente:

o A A

A AO O

O O

V -

V '

■ V - ^

ÎL -

7/22/2019 Euclid 2013


*), Iiu'i'ii'»ii|i grupurile care au 3 sau mai multe elemente:

HI. (\)inpletaţi fiecare desen astfel încât să obţineţi 6

ohicctc.Scrieţi în fiecare căsuţă goală câte elemente aţi desenat.

11. Scrieţi toate numerele de la 2 până la 7, inclusiv 2 şi 7.

12. Scrieţi toate numerele începând cu 3 şi terminând cu 8.

13. Scrieţi toate numerele cuprinse între 4 şi 9.

14. Scrieţi toate numerele mai mici ca 10 şi mai mari ca 5.

15. Scrieţi toate numerele cel mult egale cu 8.

16. Scrieţi toate numerele mai mari ca 3 şi mai mici ca 9.

17. Scrieţi toate numerele cel puţin egale cu 6 şi mai mici ca

10.

18. Desenaţi două grupe care să aibă împreună 7 obiecte încâte feluri puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fi

goală).

7/22/2019 Euclid 2013


|M I u-HiMiaţi patru grupe care să aibă împreună 7 obiecte. înI <ii' Ifliii i puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fi

ii" IIn I

I >( filaţi trei grupe care să aibă împreună 7 obiecte. în

II liOiiii puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fi

ilni

• I I icsciiaţi cinci grupe care să aibă împreună 7 obiecte. In

ii Irliiri puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fi

M < n I a )

» I K-scnaţi şase grupe care să aibă împreună 7 obiecte. în câte

I Im I puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fi goală).

î < I )oscnaţi şapte grupe care să aibă împreună 7 obiecte. în

Ut’ Icluri puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fiI >111111).

<I l'iiicţi desena opt grupe care să aibă împreună 7 obiecte? In

111-Ichiri puteţi realiza desenul? (nicio grupă nu poate fi

I "iilfl)

I**. Din înşiruirea de numere de mai jos, subliniaţi-le pe celc

liiiii mari decât 6.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Din înşiruirea de numere de mai jos, subliniaţi-le pe cele

iiiiii mari ca 3 şi mai mici ca 8.2 1 3 4 9 7 8

7/22/2019 Euclid 2013


27. Ştergeţi un număr, astfel încât cele rămase să fie ordonate

crescător.

1 2 5 4 6 7

28. încercuiţi numerele pare din cele scrise mai jos:

1 2 3 4 5 6

29. Scrieţi crescător toate numerele pare, mai mici decât 10.

30. Scrieţi descr-escător toate numerele impare, mai mici decât

10.


1. Completaţi şirul de mai jos cu încă trei numere:

10 110 1 11 0


1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0


1 2 3 4 1 2 3 4...

4. Se dă următoarea înşiruire de numere:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a) Care este a 8-a cifră, de la stânga la dreapta?

b) Care este a 10-a cifră, de la dreapta Ia stânga?

c) încercuiţi o porţiune care să conţină cât mai puţin cifre şi în

care cel puţin o cifră să apară de două ori.

d) Care este cifra care apare de cele mai multe ori în şirul dc

?

7/22/2019 Euclid 2013


CIASAAM

fi î>iriil de numere conţine mai multe cifre pare sau mai multe

i'llii' impare?

I Numerele din cele 3 căsuţe sunt vecine (consecutive).

I nnipletaţi-le astfel încât să respecte cerinţa,

n ) ;

Ml : O

I I

Scrieţi cei doi vecini ai numărului 5. Apoi, pentru fiecare

iliniic numerele găsite, scrieţi din nou cei doi vecini ai săi. De

i ilii* ori aţi scris numărul 5?

1. ( lisele de pe strada schiţată sunt numerotate crescător de la

kiiiiif>a la dreapta, cu numere pare pe o parte şi numere imparepr i'calaltă parte. Ce număr are casa pe care este scris semnul

Ililii'iiării?

i

N Intre fiecare două case de pe o alee, se află plantat un

pliip,Ştiind că pe alee sunt 5 case, aflaţi câţi plopi sunt.

Trei prieteni îşi trimit unul altuia câte un singur SMS. Aflaţi

' iilo SMS-uri au trimis în total.

7/22/2019 Euclid 2013


sres" I ti «(lASAAI-A

f

Ml In |i.iihiiiil (Ic iiiai jos, avem voie să facem „magii" astfel: n|

ititilc* clementele de pe o linie sau de pe o coloană iit

(I Iii I „.III (lin I în 0. Explicaţi prin ce magie se poate ajunge ilc

Iii |tiUiiiliil I la pătratul 2.

1 1 1 1

1 1 1 1

I 1 1 1

1 1 1 1

1 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 1a)

b)

1 1 1 11 1 0 1

1 1 1 10 0 1 0

1 1 1 11 1 0 1

1 1 1 11 1 0 1

1 2

1 1 1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 0 1 0

1 1 '1 1 0 1 0 1

c) 1

11. Opt prieteni îşi amintesc în ce zi a săptămânii s-au născut,

Este posibil ca fiecare să fie născut într-o altă zi a săptămâniidecât toţi ceilalţi?

12. Un copil are 4 cutiuţe şi 5 bile. Explicaţi de ce, oricum ar

aşeza bilele în cutiuţe, va exista cel puţin o cutiuţă în care să

aibă cel puţin două bile.

%

i

/ lliA I II Zăpada şi cei 7 pitici îşi fac planificarea muncii pe

Cili'lniiidnfl. Este posibil ca în fiecare zi să muncească un

jii'isonaj?

t'ii i'opil are la dispoziţie numai cartonaşe pe care sunt

I ilicic 1, 2 şi 3, cu care va trebui să numeroteze 10 cutii.

' ' *»!‘ : iiirază următoarea regulă: pe fiecare cutie pune câte 3

' ordinea fiind cea crescătoare dintre cifre, de la

'"l''i III dreapta (adică numărul 1-1-1 este mai mic decât 1-1-2

•:. mai mic decât 1-2-1) .‘ fltiK'ţi în ordine crescătoare toate combinaţiile de cifre

' Iititi»' pentru a numerota cele 10 cutii.

V) iMii’ţi cea mai mare combinaţie de cifre pe care o poate«rjţ mpilul.

) iir|i cea mai mică secvenţă de cifre pe care nu a folosil-o

!i iiiiiiUMotarea cutiilor.

r

•' l'nviţi figura şi răspundeţi la întrebări.

■i <li Ir cifre de 1 apar în desen?

»M 'nir cifre pare apar în desen?

)« illo cifre impare apar în desen?

1

1 2

1 2 3

i . 2= 21

1 2 T f

I»t Hn copil se joacă astfel: scrie pe o foaie 5 cifre. Sub ele,■110 4 cifre astfel: între două cifre diferite, scrie 1 şi între două

ilu' egale, scrie 0. Continuaţi cu acest procedeu până ajungeţi

cfl Ncricţi o singură cifră. Completaţi după acest procedeu

trtiiiliirile obţinute, plecând de la rândurile iniţiale:}«) I

Io I

(I I

.1) «i

2222

3

2

3

2

4

23

5

4

1

7/22/2019 Euclid 2013


18. Pe un cerc sunt aranjate 5 numere de O şi 1. Un copil îşi

propune să schimbe numerele de pe cerc, astfel: între oricare

două numere egale să scrie un O, între oricare două numerediferite să scrie un 1 şi să şteargă numerele iniţiale. Desenaţi

cercurile obţinute de copil, plecând de la cercurile date mai joi

-I-

0-

b)

c)

d)

O

O

7/22/2019 Euclid 2013


Inn ti iMilie sunt 5 bile roşii, 4 bile verzi şi 2 bile albastre.

I HM rule cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le

lîlHpi'iM (Im urnă, fară a ne uita la ele, ca să fim siguri că am

( 1 1|Mi(in o bilă verde?

I itM' i'Mc cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le

din urnă, fară a ne uita la ele, ca să fim siguri că am

l>»u I »*l puţin o bilă roşie?

>( < .11»' cNtc cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le

din urnă, fară a ne uita la ele, ca să fim siguri că am

(fi puţin câte o bilă din fiecare culoare?

•'» Im •>migul de mai jos sunt mărgele albe şi negre.

• > )C@0 0 0 » 0 0 0 « 0 0 0 #I » iilc mărgele negre sunt în şirag?

l î ( illc mărgele albe sunt în primele 10 mărgele din şirag,

iiiMitliimd de la stânga la dreapta?M iIlc hile are cea mai lungă bucată de şirag care conţine exact

lutiA bile negre?

7/22/2019 Euclid 2013


I I I . ADUNAREA SI SCĂDEREAf

NUMERELOR NATURALE ÎN CONCENTRUL 0-10


1. Desenează numărul total de figuri şi

corespunzător: -

scrie alături calculul

, . 0 0 0 + 0 0 = + =

b) ^ ° =+ =

W + 9 7 = + □ = □

d) + 9 =+ =

4- dik>e) ^ - □ + =

2. Desenează numărul total de figuri şi

corespunzător:

scrie alături calculul

a) 0 0 0 0 - 0 =

, ) D L Z - C -

. - =

- = c

- Lj = L_

3. Scrieţi numerele cu 1 mai mari decât (

acestea se numesc succesori!)

a) 1+ 1 = d) 3 + 1= g) 6 + 1 =

cele date. (Reţineţi cA

7/22/2019 Euclid 2013


l.)2 + 1= e)4 + 1= h)7 + 1 =

f)5 + l= i)8 + l =

j) 9 + 1=

I. Scrieţi numerele cu 1 mai mici decât cele date. (Reţineţi căm'oslea se numesc predecesori!)

n) 1-1 = d )4- l = g)7- l =

|. )2-1= e ) 5 - l= h )8 - l =

(13- 1 = f )6 - l = i ) 9 - l =

Rezolvaţi următoarele adunări cu 2:

.1)0+2= d )3 + 2 = g)6 + 2 =

Ii) 1+2 = e)4 + 2= h) 7 + 2 =

i')2 + 2 = f)5 + 2 = i ) 8 + 2 =

(». Rezolvaţi următoarele scăderi cu 3:

.1)2-2= d)5-2= g)8-2 =

l>)3-2= e)6-2= h)9-2 =0 4-2= f)7-2= i )10-2 =

/. Rezolvaţi următoarele adunări cu 2:

..)() +3= d)3 + 3= g)6 + 3 =

h ) I + 3 = e)4 + 3= h)7 + 3 =

i )2 + 3= f)5 + 3 =

H. Rezolvaţi următoarele scăderi cu 3:„)3_ 3= d)6-3 = g)9-3 =

|,)4-3= e)7-3= h)10-3 =

0 5-3= f)8-3 =

•>. Rezolvaţi următoarele adunări cu 4:

.1)0 + 4= d )3 + 4 = g)6 + 4 =

h) 1+ 4 = e) 4 + 4 =

0 2 + 4= f)5 + 4 =

7/22/2019 Euclid 2013


10. Rezolvaţi următoarele scăderi cu 4:

a) 4-4= d )7 -4= g)10-4 =

b)5 -4= e)8-4 =c)6-4= f)9-4 =

11. Rezolvaţi următoarele adunări cu 5:

a) 0 + 5= d)3 + 5 =

b ) l + 5 = e)4 + 5 =

c)2 + 5= f)5 + 5 =


a) 5-5= c )7-5= e) 9-5 =

b)6 -5= d)8 -5 = f)10-5 =

13. Rezolvaţi următoarele adunări cu 6:

a) 0 + 6= c)2 + 6= e)4 + 6 =

b ) l + 6 = d)3 + 6 =


a) 6-6= c )8-6= e)10-6 =

b)7- 6= d)9-6 =

15. Rezolvaţi următoarele adunări cu 7;

a) 0 + 7= c)2 + 7 =

b) 1+ 7 = d) 3 + 7 =


a) 7-7= c)9-7 =

b)8 -7 = d)10-7 =

17. Rezolvaţi următoarele adunări cu 8;

a) 0 + 8= b ) l + 8 = c)2 + 8 =


a) 8-8= b )9-8= c) 10-8 =

7/22/2019 Euclid 2013


M. i'divaţi următoarele adunări şi scăderi cu 9:

b ) l + 9 = c)9-9 = d) 10-9

liu pfcuiţi rezultatele mai mici:«t -Ui 7+1 c) 8+ 2 şi 6 +3 e) 2 + 3 şi 3 + 4

j (I 4 + 4 d) 4 + 5 şi 2 + 3 f) 2 + 5 şi 3 + 1

II liu orcuiţi rezultatele impare:

H i ' t < c)7 + 8= e) 5 + 5= g) 3 + 4U i t ? d)6 + 4= f)4 + 1 = h)7 + 1

I • l'iincţi în căsuţele desenate semnele corecte, dintre urmă-

* („<" mai mic, „>" mai mare, egal):

t 5 + 1 f)2 + 8 3 + 7

Ni I 2 n 4-2 g)2 + 5 3 + 6

-1 ^ t 1 3 + 5 h)7 + 2 □ 2 +2

tiM 2 ^ 3 + 4 i) 9-2 7-2

n ■ □ 6-2 j ) l + 8 6-5

7/22/2019 Euclid 2013


23. Completaţi tabelele următoare:

a) \a \b \ a + b b)a b a + b

2 0

3 5

8 2

7 2

1 8

010

2 7

9 1

5 5

4 4

a b a-b a ^

1 2

8 0 ■

8 1

5 4

6 3

3 1

9 1

9 0

3 3

I 0

24. Scrieţi după fiecare o alta sumă cu acelaşi rezultat, c«în model; I +6=3+4.

a) 2 + 7= b)4 + 5= c ) l + 6 = d)8 + 2 =

e)5 + 5- f ) l + 9 = g)2 + 3= h)2 + 2 =

i) 7 + O = j) 8 + 1 =

25. Scrieţi după fiecare „=" o altă diferenţă cu acelaşi rezulliilca în model: 6-2 = 7-3;

a ) 8 - 5 = b ) 1 0 - 6 = c) 10 - 8 = d) 9 - 4 =

e ) 9-8= f ) 5 - 2 = g ) 5 - 2 = h ) 4 - 0 =

i ) l - 0 = j ) 9 - 3 =

7/22/2019 Euclid 2013


Y■-/‘'•'•ţîâ

j*viili/iiţi corespondenţele corecte:

i>j 1

*' ! '•

10

( 7-3 )

( 8-2 ) ®(10-9)

( 9-4 ) ©( 5-5) ©

f ( umplctaţi tabelele de mai jos:

I I

(/ 'h 2 a + 5 a^a

b)

a a-2 a - l a-a

3

4

5

8

6

M ‘ii iicli A (adevărat) sau F (fals) dacă rezultatele sunt

I M(. ( Ic siiu nu:

1«I :

i.i ' I

.1 i I

l l fi I A

or* (>

5 U

8

10

{)

f )2- l =3-2

g)4-2 = l + 1

h ) 7 - 5 = 3 - l

i) 8 + 1 =9-1

j) 5 + 5 = 6+ 4

<•> ( (unpletaţi căsuţele cu semnele „+" sau astfel încât

lit iilolc să fie corecte:

5

2

VI ' 8 = 9 1 f)8 1 = 4

1')I.'- ' 3 = 9 4 g)9 0 = 71< 7 = 6 4 h) 10 2 = 4 .

iii ^ J 5 = 4 4 i)2 4 = 3

n > - 1 = 3 0 j ) 6 2 = 1

7/22/2019 Euclid 2013


30. Completează triunghiurile de mai jos:

- A

a) A A ’ b)


1. Măriţi cu 2 numărul 4.

2. Scrieţi numărul cu 3 mai mare ca 5.

3. Scrieţi suma termenilor 3 şi 4.

4. Adunaţi numărul 3 cu cei doi vecini ai săi şi scrieţirezultatul.

5. Găsiţi numărul care îl depăşeşte cu 5 pe 1.

6. Micşoraţi cu 8 numărul 10.

7. Scrieţi numărul cu 3 mai mic decât 7.

8. Scrieţi diferenţa dintre numerele 7 şi 5.

7/22/2019 Euclid 2013


*». ('lire este diferenţa dintre două numere vecine?

10. îl putem scrie pe 7 ca sumă de două numere egale?liHiificaţi.

11, Adăugaţi 5 lui 2 şi scrieţi rezultatul.

11, Scădeţi din suma numerelor 3 şi 2 diferenţa lor.

M. 11) Scrieţi toate numerele posibile, care se obţin cânditlimfim câte două numere dintre numerele 0; 1; 2; 3; 4.

I») ('âte din sumele de mai sus sunt diferite?

( ) ( are este cea mai mică sumă şi care este cea mai mare?

tl) ('are este suma care se repetă de cele mai multe ori?

I I. Scrieţi încă trei termeni din şir;

..10, 2 , 4 , ...........t ' l 1 . 3 , 5 , . . . . . . . . . . . .

• H>. 1, 1 ,2 ,3 , ..........

15. Scrieţi numărul 10 ca:

0) Sumă de două numere diferite.

|t| Sumă de trei numere diferite.

I I Sumă de patru numere diferite.(I) Sumă de cinci numere diferite.

I I Sumă de şase numere.

D Suină de şapte numere,

y.) Sumă de opt numere.

Ii ) Sumă de nouă numere.

1) Sumă de zece numere.

I(i. a) Găsiţi un număr, care adunat cu 7 să ne dea 10.

h) ( Iftsiţi un număr, care scăzut din 8 să ne dea 6.

i ) ( iAsiţi un număr, pe care dacă îl scădem din 5 să ne dea 2.

7/22/2019 Euclid 2013


17. Un copil are câte o monedă de 1 leu, 2 lei şi 4 lei.

Arătaţi că el poate plăti orice sumă de la 1 până la 7 lei.

18. Un copil are monede de 1 leu, 2 lei şi 4 lei, nelimitate.

a) Cum poate plăti 6 lei fară să primească rest?

b) Cum poate plăti 7 lei fară să primească rest?

c) Cum poate plăti 9 lei fară să primească rest?

d) Cum poate plăti 10 lei fară să primească rest?

19.Trei fraţi au împreună 8 ani. Ştiind că doi dintre ei sunt

gemeni, scrieţi toate posibilităţile pentru vârstele celor trei fraţi.

20. Cu 10 lei, un copil vrea să cumpere cretă, baloane şi coifuri.

O cutie de cretă costă 1 leu, un balon costă 2 lei şi un coif 3 Ici.

Scrieţi toate combinaţiile posibile de cumpărturi astfel încâi

copilul să cheltuie toţi banii.

7/22/2019 Euclid 2013


IV. NUMERE NATURALE DE LA O

LA 20

A. EXERCIŢII DE ANTRENAMENT

I ' iicji cu cifre numerele:

-* unsprezece

ţ‘i iloisprezece

;:) lirisjirezece

<li piili usprezece

►■II iiicisprezece

f) şaisprezece

g) şaptesprezece

h) optsprezece

i) nouăsprezece

j) douăzeci

J l'i'iilru fiecare din numerele scrise, scrieţi în căsuţele

viiH’spunzătoare numărul de zeci şi numărul de unităţi, ca înMiimIi'I;

Numărul Zcci Unităţi

17 1 7

14

1012

13

19

Subliniaţi:

() ('ifra zecilor din numerele:

I ’. 14; 19; 10; 16; 18; 20i) ('ilVa unităţilor din numerele:

M. 13; 17; 15; 19; 20; 11

7/22/2019 Euclid 2013


4. Scrieţi:

a) Toate numerele naturale mai mici sau egale cu 12;

b) Toate numerele naturale mai mari ca 7 şi mai mici ca 15;

c) Toate numerele de la 8 până la 17;

d) Toate numerele cuprinse între 17 şi 19;

e) Toate numerele începând cu 12 şi terminând cu 18.

5. Scrieţi:

a) Din trei în trei, toate numerele cuprinse între 1 şi 19.

b) Din patru în patru, toate numerele cel mult egale cu 20.c) Din cinci în cinci, de la 20 la 0.

6. a) Ordonaţi crescător numerele: 19; 20; 17; 13; 11; 9; 1.

b) Ordonaţi descrescător numerele: 20; 1; 7; 29; 17; 14’ 0.

c) Scrieţi vecinii numărului 14.

d) Scrieţi un număr de două cifre, mai mic decât 20, care are

cifrele egale.

7. Descompuneţi numerele în zeci şi unităţi, urmând modelul

dat:

a) 13 = n + 3

b) i4=n +

c) 17 = [Z! +g)\9 = C J +

d) 11 =

e) 16 =

f) 19 =

+

+

+

8. Pune

a) 12

i semnele potrivite, dintre

19

15

13 d) 2l □ l3 g) 20 □

20 e) 9[~~ll3 h) 20

15 f) 19 U l3i) 14 C

9. Scrieţi numerele care lipsesc:

a) 8 , r ~ , 14.

7/22/2019 Euclid 2013


UI, Completaţi cu numerele care se potrivesc;

. 11

îl

8

J 141619

f) 11

g)17

h) 15

i ) l l

j) 9

13

19

17

13

11

li. PREGĂTIRE PENTRU CONCURSURI

I « Dtnpletaţi şirurile de numere cu încă doi termeni.

•iN. I0;12; ...... c ) l ; 4 ; 7 ; .......

M l'\ 17; 15;.......d) 20; 15; 10;........

* (II (TUc numere de două cifre se pot scrie folosind numai

liii'lc O şi I?

M ( iilc numere se pot scrie folosind numai cifrele O şi 1?

I (I) ( 'Ate numere mai mici sau egale cu 20 au cifra zecilor 1?

») ( lllc numere mai mici sau egale cu 20 au cifra unităţilor 1?

! I ( ide numere mai mici decât 20 au cifra zecilor egală cu cifra

sHiiinţilor?

4 (i) ( ’âte numere se află în înşiruirea: 12; 13;... 19?

( lllc numere sunt mai mari ca 7 şi cel mult egale cu 14?

• I ( lUc numere sunt mai mari ca 12 şi mai mici ca 20?

<l|( ’Alo numere sunt mai mari sau egale ca 9 şi mai mici sau egale

. IK?

I Iii copil scrie pe cartonaşe toate numerele naturale, de la 1

I» ■'(), Iară să le repete.

7/22/2019 Euclid 2013


a) Câte cartonaşe are?

b) Pe câte cartonaşe a scris numere pare?

c) Pe câte cartonaşe apare cifra 1?

d) Pe câte cartonaşe apare cel puţin o cifră impară?.

e) Aşezaţi cartonaşele de la 1 la 9 în 5 grupe, astfel încât suma

numerelor de pe cartonaşele fiecărei grupe să fie 9.

6. într-o cutie sunt 7 creioane roşii, 3 creioane verzi şi 5 creioanc

albastre.a) Câte creioane din cutie nu sunt albastre?

b) Câte creioane din cutie nu sunt roşii?

c) Care este cel mai mic număr de creioane pe care trebuie să Ic

scoatem din cutie, fară să le vedem pentru a fi siguri că am scos uii

creion roşu?

d) Care este cel mai mic număr de creioane pe care trebuie să le

scoatem din cutie, fară să le vedem, pentru a fi siguri că am scosdouă creioane de culori diferite?

7. Un copil vrea să scrie pe o foaie, secvenţe de câte trei cifre

ordonate crescător, de la stânga la dreapta, folosind numai cifrele1 O C

1, 2, 3, 4 şi 5 (de exemplu, secvenţa 1 I 1 i)

a) Câte secvenţe încep cu cifra 1?

b) Câte secvenţe se termină cu cifra 3?c) Câte secvenţe se termină cu cifra 5?

d) Câte secvenţe poate scrie în total?

8. Un copil vrea să scrie pe o foaie, secvenţe de câte trei cifre

ordonate descrescător de la stânga la dreapta, folosind numai

cifrele 1, 2, 3, 4 şi 5, cu proprietatea că diferenţa dintre primele

două cifre este egală cu diferenţa dintre ultimele două cifre (de

3 2 1exemplu, secvenţa — L£_UJ)

a) Câte secvenţe au prima cifră 3?

7/22/2019 Euclid 2013


' I II copil îşi compune „cuvinte" formate numai cu literele A, B,mimeşte „lungimea cuvântului" numărul de litere din

rsic format.

.11icţi un cuvânt de lungime 3, care să înceapă cu litera A.

.. I icţi un cuvânt de lungime 5, care să se termine cu litera A.

I lu'ţi un cuvânt de lungime 6, în care literele A şi B să nu se

'* una lângă alta.

'! -* I loţi un cuvânt de lungime 5, care citit de la dreapta la stânga

iiiilc la fel ca atunci când îl citim de la stânga la dreapta,

t» illf cuvinte de lungime 3 încep cu litera A?

H» liMitia are monezi nelimitate, cu valori de 1 leu, 2 lei, 4 lei,! 'I. U) lei.

I St I icţi trei modalităţi de a plăti 8 lei, fară să primească rest.

I Siticţi toate modalităţile posibile de a plăti 7 lei, fară să

iiicască rest..) <mc este cea mai mare sumă pe care o poate plăti, fară să

f:ilit>.i'ască două monezi de aceeaşi valoare?

I M ) râmă se înmulţeşte prin diviziune, rezultând în prima zi

i"ii.) râme. în a doua zi, fiecare din acestea două se înmulţeşte,

tillând încă două râme din fiecare. în a treia zi, fiecare râmă se

• IUIIţeşte rezultând alte două şi tot aşa. Aflaţi în a câta zi vor fiI puţin 20 de râme.

M I a o expoziţie de pictură, vine în prima zi un vizitator, în a

•"IUI /I cu unul mai mult decât în prima, în a treia zi cu unul mai

Mill Ii ilecât în a doua şi aşa mai departe. Aflaţi în a câta zi vor veni

! uliu prima dată cel puţin 11 vizitatori.

M. I a un interviu pentru angajare, se prezintă în prima zi un

iiiululat, în a doua cu unul mai mult decât în prima, în a treia zi cu

7/22/2019 Euclid 2013


doi mai mult decât în a doua şi aşa mai departe. Aflaţi dacă exisl/1

o zi în care să se prezinte exact zece candidaţi.

14. Un balaur cu trei capete are o perucă, un coif şi o coroană.Aflaţi în câte feluri se poate costuma balaurul, astfel încât să nu

aibă nici un cap gol.

15. a) Completaţi tabloul de mai jos astfel; sub rândul iniţial scricll

cifrele obţinute prin scăderea a două numere alturate (se scaila

nimiărul mic din numărul mare). Se continuă procedeul până câiut

rămâne o singură cifră. Care este cifra rămasă?1 2 3 4 5

b) Dar dacă plecăm de la tabloul:

1 3 2 5 4 6

c) Scrieţi un tablou care să aibă la început 6 cifre iar ultima cifi il

rămasă să fie 4.

7/22/2019 Euclid 2013


V. ADUNAREA Si SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE ÎN

CONCENTRUL 0-20,

FĂRĂ TRECERE PESTE ORDIN

A. EXERC Ţ DE ANTRENAMENT

I. Completaţi tabelele;

a)

A fl + 11 fl + 12

0

12

3

4

5

6

7

8

b)a b c a+b+c

0 1 2

1 2 33 4 3

10 1 2

11 2 3

12 2 3

15 1 2

16 1 0

19 0 1

i. Aliaţi rezultatul scăderilor:

Hll-I 10:|.| l‘) 12

«ll(> 14^

15

0 20-10 =

g)18-8 =

h) 17-5 =

i) 19-3 =

k) 19-18 =1) 17-15 =

m) 20-17 =

n) 20-11 =

7/22/2019 Euclid 2013


e) 12-11= j)1 4-2= 0)19-13 =

3. Completaţi astfel încât să obţineţi rezultatul specificat:

+

a)

b)

c)

d)

\ /17

/ A

v y12

\ /20

\ /

2

+ I__I +

+ ' '

4. Scrieţi sub linie rezultatul corect;

a) 11 +

2

b) 13 + c) 14 + d) 10 + e) 10 +

8 3 9 10

7/22/2019 Euclid 2013


14 +

2

g) 17+ h) 18+ i) 19+ j) 17 +

3 5 3 12

I

ft ('oinpletaţi căsuţele pentru a obţine rezultatul indicat

u) I

11

= 3 f)13-

- = 11 g)17-

= 10 h) 20-

= 17 i)18-

-

. = 16 j) 14-

= 11

= 10

= 20

= 8

= 12

1, ('oinpletaţi căsuţele pentru a obţine rezultatul indicat:

K|l1 J-6=ll f)

J ] - 5 = 12 g)l—

□ -4= 13 h)

J- 8=10 i)

□ - 1=8 j)

-4= 13

-11=9

-2= 15

-6 = 14

-3 = 15

LI ('alculaţi:

m)K ) 2-4 =

I I 14-5 =

i) 16 +2-3 =

il) 17 + 2-1 =

Pi 11 +6-4 =

f)4 + 2-3 =

g) 10 + 5-4 =

h) 11 +6-3 =

i) 13 + 4-6 =

j) 13+4-6 =

y. Completaţi căsuţele cu numere potrivite:

f) 12 + 3-.1) II +

I.) 10 + 2 + 5-

.)[

+ 2 + 3 = 19

= 11

+7-2+3=8

= 7il) 10 f 5 + 2-

»’) 14-

g) 10+1 +2 + 3-

h) 10-1-2-3 +

i) 16-2-14 +

+ 1 = 11

= 10

+ 2+1 = 13 j) 14 + 2 + 3 +

= 14

= 15

= 19

7/22/2019 Euclid 2013


lO.Completaţi căsuţele astfel încât rezultatul obţinut să fie mereu

0:

a) io - n - D - n = o

b ) 5 - D - n = o

f ) l + ^ 3 + 4 _ -

g)2 -

= 0

+ 3 -U = O

d) 6 + 4 + 5 -

e)2 + 3 + 5-

— = 0 h) 19 + 1- - = 0

= 0 i) 18 +2- = 0

= 0 j) 16 + 4-H - = 0

11. Găsiţi termenul necunoscut:

a) 12 +

b)

=18

+ 14= 16

f) 16 -

g)18-

c) 2 + - = 14 h) 15

d)5 + = 19 i)e)4 +IZ + 5= 19 j)

= 12

= 13

= 10

-3 = 10

12. Găsiţi semnele potrivite:a) 8 0 2 0 5= 15

b ) 8 D l o D 8 = 10

c) 16 □ 6 05=15

d) 20

e) 18

lO U 10=^0

8 U 10 = 0

10=16

5=17

f)4LJ2

g ) i o C

h )20D 8 U 2=10

i) 1 4 0 4 0 5 = 15

j)18 2=13

13. a) Scrieţi cel mai mic număr impar care are suma cifrelor 4.

b) Scrieţi toate numerele de două cifre care au suma cifrelor 2.

c) Scrieţi un număr de două cifre care are suma cifrelor 10.d) Scrieţi un număr impar care să aibă şi suma cifrelor un numni

impar. j

7/22/2019 Euclid 2013


. Aflaţi în câte feluri poate să obţină 20 de puncte un copil care

mncă la ţintă în cadranul din figură (Nu se ţine seama de ordinea

n care sunt atinse ţintele).

. a) într-un şir de numere consecutive, al doilea este 7, iar

tnuiltimul este 12. Aflaţi câte numere sunt în şir.

) liitr-un şir de cinci numere consecutive, numărul din mijloc este

I (’are este numărul cel mai mare?

I liitr-un şir de cinci numere consecutive, suma dintre primul

iillimul număr este 6. Aflaţi numărul din mijloc.

| ( iftsiţi patru numere consecutive a căror sumă să fie 10.

n. PREGĂT RE PENTRU CONCURSUR

liilr-o livadă înfloreşte în prima zi un pom, în a doua zi cu unul

iiii nuilt decât în prima, în a treia zi cu unul mai mult decât în a

niiii şi tot aşa.

I ( Aţi pomi au înflorit în a treia zi?

l i A|i pomi sunt înfloriţi în total în a patra zi?I In II câta zi sunt înfloriţi mai mult de 20 de pomi, pentru prima

7/22/2019 Euclid 2013


.

2. Priviţi desenul de mai jos şi răspundeţi la întrebări:

a) Câte buline se află în interiorul pătratului?

b) Câte buline se află în interiorul cercului?

c) Câte buline se află în interiorul inimioarei?

d) Câte buline se află atât în interiorul pătratului, cât şi în interioiiiŢ

cercului?

e) Câte buline se află atât în interiorul cercului, cât şi în intcrioi

inimioarei?f) Câte buline se află în acelaşi timp şi în interiorul pătratului şi t

interiorul cercului şi în interiorul inimioarei?

g) Câte buline sunt desenate în total?

3. Se dau numerele:

A = 1 , D = l + 2 + 3 + 4

B = l + 2 E = l+ 2 + 3 + 4 + 5C = l + 2 + 3 F = 1+ 2+ 3+ 4+5+ 6

a) Care este cel mai mare dintre numerele A, B, C, D, E, F ?

b) Care numere sunt pare şi care sunt impare?

c) Fără a calcula valorile numerelor, spuneţi care este diferciip

dintre B şi A?

d) Fără a calcula valorile numerelor, spuneţi care este diferenţa

dintre C şi A?e) Fără a calcula valorile numerelor, comparaţi F - E cu E - D.

7/22/2019 Euclid 2013


1 Sc pot aranja numerele A, B, C, D, E, F în două grupe astfel

IjSH'di suma numerelor dintr-o grupă să fie egală cu suma numerelor

Mm ‘ ‘‘ii de-a doua grupă? Justificaţi răspunsul!||i So (iau numerele:

I C = l + 3 + 5

1+3 D = 1+3 + 5 + 7

I I « titc este cel mai mare dintre numerele A, B, C, D?

)*M m c numere sunt pare şi care sunt impare?

H I liră a calcula valorile numerelor, spuneţi care este diferenţa

llliiiir B şi A.ll) I firă a calcula valorile numerelor, spuneţi care este diferenţa

llliiiic C şi A.

f) I .iră a calcula valorile numerelor, spuneţi ce paritate are suma

îîunuTclor B-A, C-B şi D-C.

Ii Sr pot aranja numerele A, B, C, D în două grupe astfel încât

itiiiiii numerelor într-o grupă să fie egală cu suma numerelor din

i-i'iiliiltă grupă? Justificaţi răspunsul!

•, I In copil are monezi de 2 euro şi de 5 euro, în număr

lu'liiiiitat.

NI IS>ate plăti un euro, fară să primească rest?

|t| l’oale plăti trei euro, fară să primească rest?

»I l’oate plăti şapte euro, fară să primească rest?

ill Scrieţi câte un fel de a plăti orice sumă de la 2 euro, la 20 euro,Iii II Iară de 3 euro, folosind numai monezile pe care le are şi fără să

|tiiincască rest.

i'l Scrieţi care este cel mai mare număr de monezi cu care poate

|»lAli 20 de euro.

Il Scrieţi care este cel mai mare număr de monezi cu care poate

pin i i 19 de euro.

m Scrieţi care este cel mai mic număr de monezi cu care poateplAli 20 de euro.

7/22/2019 Euclid 2013


6. Un copil are 7 mărgele albastre, 10 galbene şi 3 roşii.a) Câte mărgele are în total?

b) Care este cel mai mic număr de mărgele pe care ar trebui să Ic

aleagă fară să le vadă, pentru a fi sigur că a scos cel puţin douA

mărgele albastre? ţ

c) Care este cel mai mic număr de mărgele pe care ar trebui să Ic

aleagă fară să le vadă, pentru a fi sigur că a scos cel puţin douj

mărgele de aceeaşi culoare?

d) Care este cel mai mic număr de mărgele pe care ar trebui să Ic

aleagă fară să le vadă, pentru a fi sigur că a scos cel puţin trei

mărgele de aceeaşi culoare? 1|

e) Care este cel mai mare număr de mărgele pe care le poate scoatcdin urnă, pentru a fi sigur că printre cele rămase există cel puţin

una verde? Jf) Care este cel mai mare număr de mărgele pe care le poate

scoate din urnă, pentru a fi sigur că printre cele rămase există cel

puţin trei mărgele de culori diferite?

7. într-o clasă sunt 10 copii care joacă şah, 6 copii care joacă

volei şi 2 copii care nu joacă nici şah, nici volei. în clasă sunt îiî]

total 15 copii.

a) Câţi copii nu joacă şah?

b) Câţi copii nu joacă volei?

c) Câţi copii joacă şi şah şi volei?

d) Câţi copii joacă volei, dar nu joacă şah?

e) Câţi copii joacă şah, dar nu joacă volei?

8. într-un grup de 20 de turişti, 10 vorbesc engleză, 9 vorbesc

germană şi 4 nu vorbesc nici engleză, nici germană.

a) Câţi turişti nu vorbesc engleză?

b) Câţi turişti nu vorbesc germană?

c) Câţi turişti vorbesc şi engleză şi germană?

d) Câţi turişti vorbesc engleză, dar nu vorbesc germană?

e) Câţi turişti vorbesc gennană, dar nu vorbesc engleză?

- 2

7/22/2019 Euclid 2013


'i. Un balaur are două capete. El are o căciulă roşie, una verde, o

priucă blondă şi una neagră. îşi pune pe fiecare cap o perucă şiii|u)i o căciulă.

.») In câte feluri îşi poate aranja perucile şi căciulile?

It) In câte feluri îşi poate aranja perucile şi căciulile, dacă peste

luTuca blondă îşi pune obligatoriu căciula verde?

i ) în câte feluri îşi poate aranja perucile şi căciulile, dacă peste

pn uca blondă nu are voie să îşi pună căciula roşie?

IU. ion şi Vasile joacă următorul joc: dau cu zarul şi cel care a dat

mill mult pleacă de Ia linia de start şi face în faţă atâţia paşi cât este

ililtrrenţa dintre numerele obţinute de ei pe zar. Dacă numerele

iiiil egale niciunul nu se mişcă.

II) Dacă Ion a dat 6 şi Vasile 5, care dintre cei doi pleacă de la

-l.irl şi câţi paşi face?

I») Dacă după mutarea de la a) Ion dă 2 şi Vasile 5, cine se allă

iniii departe de linia de start?

K ) Dacă Ion dă 3 şi Vasile 2, după mutarea de la punctul b), cine

(r iillă acum mai departe de linia de start?

il) Scrieţi toate posibilităţile de punctaje pe care le pot obţine

Iun şi Vasile, astfel încât, după mutarea de la punctul c), să ajungă

I i i aceeaşi distanţă faţă de linia de start.

II. Ion şi Vasile aruncă o monedă. Când cade pe faţa cu număr,

I rl care a dat face un pas înainte pornind de la linia de start, iar

U l i u l cade pe faţa cu stema, cel care a dat face un pas înapoi

|uti nind de la linia de start. Ei continuă tot aşa, făcând paşi în faţă

1 in spate faţă de locul în care se află.

II) La câţi paşi de linia de start se află Ion, dacă a dat de 8 oriIuţii cu numărul şi de 5 ori faţa cu stema?

|i) I .a câţi paşi de linia de start se află Vasile, dacă a dat de 6 ori

lii|ii cu numărul şi de 7 ori faţa cu stema?

7/22/2019 Euclid 2013


d) Cum ar trebui să pice moneda astfel încât Ion şi Vasilc

ajungă la egalitate, în cel mai scurt timp posibil, aruncând moiic

de acelaşi număr de ori fiecare?

12. Pentru un exerciţiu rezolvat corect, doamna învăţătoiir

acordă 5 puncte. Pentru fiecare exerciţiu rezolvat greşit si

nerezolvat, scade 3 puncte. Trebuie rezolvate 4 exerciţii.

a) Care este punctajul cel mai mare care poate fi obţinut?

b) Se pot obţine 7 puncte?

c) Se pot obţine 12 puncte?d) Se pot obţine 17 puncte?

e) Ştiind că un elev are un punctaj mai mare decât 15, aflaţi car

este punctajul lui.

13. Găsiţi toate posibilităţile de completare cu semn pentru

obţine egalitatea:

1 0 U 6 U 5 = 8

14. Aranjaţi numerele de la 1 la 5 în trei grupe, astfel încl

suma numerelor din fiecare grupă să fie aceeaşi.

a) Axanjaţi numerele de la 2 la 5 în trei grupe, astfel încât suinffj

numerelor din fiecare grupă să fie aceeaşi.

b) Fără a face calcule, folosindu-vă de subpunctele anterioau-,

aranjaţi numerele de la 11 la 15 în trei grupe, astfel încât suiim


c) Fără a face calcule, folosindu-vă de subpunctele anterioau*,

aranjaţi numerele de la 12 la 15 în două grupe, astfel încât suinii


d) Aranjaţi numerele 1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 15 în trei grupe

astfel încât suma numerelor din fiecare grupă să fie aceeaşi, farâ ti

calcula, folosindu-vă doar de subpunctele anterioare..

15. Suma a 5 numere diferite de O este 14.

a) Este posibil ca toate cele 5 numere să fie mai mari ca 2?

7/22/2019 Euclid 2013


CLÂ5>!

I lU* posibil ca printre cele 5 numere să nu fie niciunul mai

(Iccât 3?ŞJI >U' posibil ca cele 5 numere să fie toate diferite?

7/22/2019 Euclid 2013


k A i A i î

VI. NUMERE NATURALE DE LA O

LA 100


1. Subliniaţi cifra zecilor în fiecare număr de mai jos;

12; 45; 78; 97; 11; 46; 69; 88; 35; 29.

2. Subliniaţi cifra unităţilor în fiecare număr de mai jos:

14; 71; 87; 69; 58; 45; 57; 92; 80; 10.

3. Subliniaţi numerele care au cifra zecilor mai mare decât cea

a unităţilor:

45; 29; 80; 19; 67; 65; 44; 59; 23; 18.

4. Subliniaţi numerele care au cifra zecilor cu 2 mai mare decfil

cifra unităţilor:

17; 29; 42; 57; 53; 64; 86; 93; 35; 31.

5. Găsiţi şi subliniaţi numărul care are suma cifrelor diferită dc J

celorlalte; 18;,27; 36; 45; 54; 16; 63; 72; 81; 90.

6. Scrieţi toate numerele de două cifre care au suma cifrelor 7.

7. Care numere de două cifre sunt mai multe: cele care au

cifrele egale sau cele care au cifrele diferite? Justificaţi.

8. Care este numărul de două cifre care cea mai mică sumă a

cifrelor? Dar cea mai mare?

9. Suma cifrelor unui număr de două cifre are cea mai mică

valoare posibilă 1şi cea mai mare valoare posibilă 18, Daţi câtc un

exemplu de număr de două cifre

7/22/2019 Euclid 2013


10. Descompuneţi numerele de mai jos după modelul dat, în

zeci şi unităţi.Model: 23 = 20 + 3.

17; 27; 73; 53; 25; 41; 50; 62; 81; 48.

11. Numim răsturnatul unui număr de două cifre acel număr

c’itit de la dreapta la stânga. De exemplu, răsturnatul lui 23 este 32.

Scrieţi răsturnatele numerelor:

16; 25; 48; 32; 33; 69; 81; 14; 25; 95.

12. Scrieţi 10 numere de două cifre, care sunt mai mici decât

irtstumatele lor.

Scrieţi 10 numere de două cifre, care sunt mai mari decât

insliimatele lor.

11. ("âte numere de două cifre sunt egale cu răsturnatele lor?

I Sc poate ca diferenţa dintre un număr şi răsturnatul lui sa

dl' c^ală cu 10?

I(». ('ompletaţi următorul şir de numere cu încă patru termeni după

■' tthscrvaţi regula:

I • 21; 13;31; 14;41; 15;51; 16; ; ; ;

1 Si'rlcţi toate numerele de două cifre diferite, care se pot

I"IIIIII folosind cifrele 1, 5 şi 7.

I H Si iicţi toate numerele de două cifre diferite, care se pot

' "Mill folosind cifrele O, 2, 3 şi 4.

• '» ^nicji toate numerele pare de două cifre diferite, care se

I' i Iui m il folosind cifrele 2, 3, 5 şi 6.

7/22/2019 Euclid 2013


W- G L AM W

20. Scrieţi în ordine crescătoare toate numerele naturale mjii

mari decât 75 şi mai mici decât 82.

21. Scrieţi toate numerele de două cifre, mai mari decât 18 şi

mai mici decât 80, care conţin cifra 7.

22. Aflaţi de câte ori apare cifra 1 în scrierea tuturor numereloi

de la 1 la 100.

23. Aflaţi de câte ori apare cifra 2 în scrierea tuturor numerelor

de la 1 la 100.

24. Aflaţi de câte ori apare cifra O în scrierea tuturor numerelor

de la 1 la 100.

25. Scrieţi toate numerele de două cifre care au cifre consecutivc.

26. Scrieţi toate numerele de două cifre care au diferenţa cifrelor

egală cu 8.

27. Scrieţi toate numerele de două cifre care au diferenţa cifrc

lor egală cu 5.

28. a) Scrieţi cel mai mare număr par, mai mic decât 85.

b) Scrieţi cel mai mic număr impar, mai mare decât 70.c) Scrieţi cel mai mic număr de două cifre, cu ambele cifre piiic*.

mai mare decât 23. _d) Scrieţi cel mai mic număr de două cifre, mai mare decât IS(|jlcu suma cifrelor 9.e) Scrieţi cel mai mic număr de două cifre cu suma cifrelor egalii

cu 9.f) Scrieţi cel mai mare număr de două cifre, care are ambele cilij

pare.

2

M) Scrieţi cel mai mare număr de două cifre, care are ambele cifreimpare.

l*K Ordonaţi crescător numerele; 14; 5; 27; 91; 80; 35; 44; 49; 65;

<0. Ordonaţi descrescător numerele: 41; 6; 72; 19; 81; 53; 44; 94;V.; 28.

n, în fiecare pereche, subliniaţi numărul mai mare:.tH2şi29 f) 17 şi 70

|i|15şi20 g) 29 şi 24

»l(tl şi 82 h) 48 şi 36

.1111 şi 22 i) 59 şi 18

f‘ i Mş i43 j) 64 şi 23I

încercuieşte după indicaţii numerele din şir:

■I 14; 5; 27; 91; 80; 35; 44; 49; 65; 50. Mai mici decât 50.

I»l 2K; 17; 89; 37; 19; 22; 7; 23; 10; 11. Mai mari decât 30.

I 12; 29; 17; 70; 15; 20; 29; 24. Mai mici decât 60 şi

mai mari ca 20.-!) 11: 43; 56; 28; 39; 48; 85; 97; 29; 40. Mai mici decât

răsturnatul.I <9; 27; 16; 40; 30; 28; 64; 11; 45; 81. Cu cifra zecilor

impară

1'.Scrieţi şi ordonaţi crescător toate numerele de cel mult două

ilic, care se pot forma utilizând numai cifrele O, 5, 9 şi 8.

, V ,Scrieţi cel mai mare număr de două cifre care este mai marerăsturnatul său.

^^.Scricţi cel mai mic număr de două cifre care este mai micti* I At răsturnatul său.

7/22/2019 Euclid 2013


Ă IA

B. PREGĂT RE PENTRU CONCURSUR

1. a) Câte numere de două cifre sunt mai mari decât răsturnatele

lor?

b) Câte numere de două cifre sunt mai mici decât răsturnatele lor?

c) Câte numere de două cifre sunt egale cu răsturnatele lor?

2.a) Scrieţi toate numerele de două cifre care au suma cifrelor 10.

b)Câte numere de două cifre au aceeaşi paritate cu răstumateli

lor?c)Câte numere de două cifre au paritatea diferită de cea ii

răsturnatelor lor?

3. Completaţi şirurile cu încă trei termeni fiecare:

56;...a)95; 90 85; 80 ... f) 12 23; 34; 45;

b)97; 94 87; 84 ...g)H

22; 33; 44;

c)12;21 23; 32 34; 43;... h)15 25; 35; 45;

d)10; 20 30; 40 50; 40;... i) 15 17; 19; 21;

e)15;24 33; ... j) 59 56; 53; 50;

4. Aflaţi toate numerele de două cifre, care sunt mai mici dcciii

răsturnatele lor şi care au diferenţa dintre cifra unităţilor şi ci I m

zecilor egală cu 1.

5. Găsiţi zece numere de două cifre care să aibă aceeaşi sumii m

cifrelor.

6. Subliniază în următorul şir o porţiune cât mai lungă de numoir

consecutive, care să fie mai mari decât 20 :

14; 25; 28; 11; 35; 49; 17; 85; 50; 21; 79; 32; 45; 12; 91.

7. Maria are 25 de cutii în care trebuie să pună bomboane. C'iih'

este cel mai mic număr de bomboane pe care trebuie să îl ail)(L

7/22/2019 Euclid 2013


•i;

I't'dlru a fi sigură că nicio cutie nu este goală şi că cel puţin o cutie

(IIf mai mult de o bomboană, oricum le-ar aranja.

K. Andrei are 10 cutii în care vrea să pună bile. Care este cel mai

iiiK' număr de bile de care are nevoie, pentru a fi sigur că nu are

iili'io cutie goală şi că în cel puţin o cutie are minim 3 bomboane,

t'iii’um le-ar aranja.

•*, lii(r-o clasă sunt 25 de copii. Explicaţi de ce există cel puţin trei

tipii născuţi în aceeaşi lună a anului.

10. într-o clasă sunt 22 de copii. Explicaţi de ce există cel puţin 4

■npii născuţi în aceeaşi zi a săptămânii.

11. Scrieţi toate numerele de la 20 la 50 în grupe, astfel încât suma

III clor numerelor dintr-o grupă să fie aceeaşi. Câte grupe sunt?

12. Se completează pătratul din figură cu cifi'e de 1 şi O astfel încât

«iiiiui de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană să fie egală cu 1.

■(11 )c câte ori poate să apară cifra 1 pe o linie?

|t I I )c câte ori poate să apară cifra O pe o coloană?

I (Tite cifre de 1conţine pătratul?

ill (’lire este numărul de cifre de O din tot pătratul?

11 ('arc este suma mturor cifrelor din pătrat?

7/22/2019 Euclid 2013


vAI-A«

13. Se dă următorul şir de numere scrise unul după altul, far

a fi despărţite prin virgulă:

101112131415 ....484950a) Care este a zecea cifră, de la stânga la dreapta?

b) Care este a zecea cifi-ă, de la dreapta la stânga?

c) Care cifră apare scrisă de cele mai multe ori în şir?

d) Care cifră apare de cele mai puţine ori în şir? Câte astfel cl«

cifre găsiţi?

e) Care este cea mai lungă secvenţă de cifre consecutive din şii

care să fie diferite.între ele?f) Câte cifre trebuie să conţină cea mai scurtă secvenţă în c;iic

apare de două ori cifra 8?

14. O carte are paginile numerotate de la 1 la 100.

a)De câte ori s-a folosit cifra 1 în numerotarea paginilor cărţii?

b)De câte ori s-a folosit cifra O în numerotarea paginilor cărţii?

c)Putem găsi o foaie care să aibă suma numerelor paginiloregală cu 44?

15. Se dă şirul de numere: 1; 2; 3; 4; ...; 53; 54.

a) Care este cel mai mic număr care se poate obţine ca o diferenl.i

a două numere din şirul dat?b) Care este cel mai mare număr care se poate obţine ca o

diferenţă a două numere din şirul dat?

c) în câte feluri se poate scrie numărul 1 ca o diferenţă a douii

numere din şirul dat?

d) în câte feluri se poate scrie numărul 53 ca o diferenţă a douii

numere din şirul dat?

e) Să se arate că, oricum am aranja numerele din şir în două grupe,suma numerelor dintr-o grupă nu poate fi egală cu suma numereloi

din cealaltă grupă.

‘

7/22/2019 Euclid 2013


'XIASAA)-A-^

Ki. Scriem pe un cerc numerele de la 1 la 21, unul după altul, în

(inline crescătoare. încercuim numerele astfel; primul încercuit

<‘iir numărul 1, apoi din 5 în 5, adică următorul încercuit este 6,

if După câte astfel de încercuiri vine din nou rândul numărului

I li lie încercuit a doua oară?

7/22/2019 Euclid 2013


VII. ADUNAREA SI SCĂDEREA iN

CONCENTRUL 0-30,

FĂRĂ TRECERE PESTE ORDIN


1. Scrieţi numerele date ca sumă dintre zeci şi unităţi, după moda23 = 20 + 3 -

f) 28 =a) 14 =

b) 26 =

c) 29 =

d) 19 =

g)12 =

h) 22 =

i) 17 =

e)20

=+

j)8

= +

2. Ştergeţi rezultatele greşite:

a) 17 + 2 =18 19 20

f)21 +7 =28 29 30

b)21 + 5 =

c) 28 + 1 =

d) 14 +6 =

e) 15 + 3 =

16 26 29

30 29 27

|l8 19 20

18 19 20

g)14 + 5 =

h)21 +9 =

i) 18 +2 =

j ) 21+2 =

18 19 20

28 20 21

19 20 21

22 23 24

3. Calculaţi:

a) 15 + 4 =

b) 14 + 5 =c) 24 + 5 =

d) 25 + 4 =

e) 11 +5 =

f) 16 + 3 =

g) 26 + 3 =h)21 + 3 =

i) 27 + 2 =

j) 3+15 =

7/22/2019 Euclid 2013


•I. Uniţi calculele din coloana A cu rezultatele din coloana B:

A B

14 + 2 19

18 + 1 30

28 + 2 27

24 + 3 16

16+1 17

încercuiţi calculele care au rezultate mai mici decât 20:

I ^ t 2 16 + 4 28 + 1 11+5IS + 4 17 + 2 18 + 2 12 +8

Completaţi tabelele după model:

a) b)

+ 3 4 5 2 110 13 14 15 12 11

13

15

20

21

4-4 13 12 11 10

6 10 19 18 17 16

11

12

10

2

=, Completaţi şirurile după model:+4

12

3010

16+4 • +4 +4

-- *-

27-3 -3 -3

7/22/2019 Euclid 2013


8. Scrieţi numerele date ca diferenţă dintre zeci şi unităţi, după

model; 17 = 20-3

c) 23 =a) 14 =

b) 22 = d)27 =


1. Un copil scrie* pe nişte bile toate numerele de două cifre,începând cu 10 şi terminând cu 30.

a) Care este cel mai mic număr pe care îl scrie?

b) Pe câte bile a scris numere care se termină cu cifra O?

c) Pe câte bile a scris numere care sunt formate cu cifre egale?

d) Câte bile pe care sunt scrise numere în care apar aceleaşi cifre

are?

e) De câte bile are nevoie pentru a scrie toate numerele ?f) Câte bile trebuie să aleagă, fară a se uita la numerele de pe ele,

pentru a fi sigur că a ales cel puţin 5 bile pe care sunt scrisc

numere pare, care au cifre distincte?

2. Să se scrie toate grupele de 3 numere ordonate crescător,

formate numai cu numerele 11; 12; 13; 14 sau 15. (Un exemplu

este grupa 11;12;13)

3. Ion are 30 de bile: 15 de culoare albă şi 15 de culoare neagră. El

schimbă culoarea bilelor din alb în negru şi din negru în alb, astfel:

în prima zi schimbă culoarea unei bile, în a doua zi schimba

culoarea la 2 bile, în a treia zi schimbă culoarea la 3 bile şi aşa mai

departe. El poate face mai multe schimburi asupra unei bile în zile

diferite.

a) Câte schimbări a făcut Ion după 3 zile?

b) Să se arate că la sfârşitul celei de-a patra zile el nu poate avea

15 bile albe şi 15 bile negre.

7/22/2019 Euclid 2013


I

•4. Alexia îşi numerotează paginile caietului cu numere de la 1 la

în ordine crescătoare, fară a le repeta.ii) F’e câte pagini sunt scrise numere pare?

li) Câte pagini sunt mai multe; cele cu numere pare sau cele cu

mimere impare?

i ) De câte ori s-a scris cifra 1pentru numerotarea paginilor?

ti) Câte cifre s-au folosit în total pentru numerotarea paginilor

iiiietului?

r ) Câte pagini sunt numerotate cu numere de două cifre, formatetill) cifre diferite?

Kadu merge la grădiniţă şi primeşte pentru flecare răspuns

i'iircct pe care îl dă, câte un cartonaş albastru. Radu vine luni cu un

niilonaş albastru, marţi cu un cartonaş mai mult decât luni,

iiiicrcuri cu unul mai mult decât marţi şi asa mai departe timp de

săptămâni. Sâmbătă şi duminică Radu nu merge la grădiniţă.II) ("âte cartonaşe albastre primeşte Radu în ziua de miercuri din

|iiima săptămână?

b) Câte cartonaşe albastre are Radu în total, la sfârşitul zilei de

liiuTcuri?

11 ('âte cartonaşe albastre a strâns Radu în primele cinci zile ale

piimci săptămâni?

t) (''âte zile în care merge la grădiniţă sunt în cele 2 săptămâni?t ) ('omparaţi numărul total de cartonaşe albastre primite în

l'i linele cinci zile cu numărul de cartonaşe primite în ultima zi.

<( liitr-o cutie sunt 5 cartonaşe cu numărul 1, 3 cartonaşe cu

iiiiiiiilrul 6 şi 2 cartonaşe cu numărul 25.

HI {Yue cartonaşe sunt în total în cutie?

»)(Titc cartonaşe pe care nu sunt scrise numere impare sunt înI I I I C ?

t M’mc este cel mai mic număr de cartonaşe pe care trebuie să le

♦• lingem fară a ne uita, pentru a fi siguri că avem scos un cartonaş

7/22/2019 Euclid 2013


d)Să se scrie numărul 30 ca o sumă de numere de pe nişi

cartonaşe din cutie.

7. Un elev inventează următorul joc: scrie pe un rând 6 numere,

rândul de sub acesta, scrie numerele obţinute prin scăderea a douiT

numere alcătuite din rândul de deasupra, scăzându-1 pe cel mic

din cel mare. Continuă la fel, până când ajunge la un rând cu ui

sigur număr.

Dacă rândul iniţial are numerele 10; 12; 15; 5; 25; 21, răspundcţ

la următoarele întrebări:

a) Ce numere trebuie să scrie pe al doilea rând?

b) Ce numere trebuie să scrie pe al treilea rând?

c) Ce numere trebuie să scrie pe al patrulea rând?

d) Ce numere trebuie să scrie pe al cincilea rând?

e) Ce număr scrie pe al şaselea rând?

8. într-o cutie sunt creioane de aceeaşi formă, dar de culori diferit!

astfel: 10 creioane roşii, 4 creioane albastre şi 5 creioane verzi.a) Câte creioane sunt în total în cutie?

b) Câte creioane albastre şi roşii sunt în total în cutie?

c) Câte creioane nu sunt albastre?

d) Care este cel mai mic număr de creioane pe care trebuie să 1

scoatem din cutie, fară a ne uita la culorile lor, pentru a fi siguri ciî

am scos cel puţin un creion verde?

e) Care este cel mai mic număr de creioane pe care trebuie să le

scoatem din cutie, fară a ne uita la culorile lor, pentru a fi siguri ciî

am scos 3 culori diferite?

f) Care este cel mai mic număr de creioane pe care trebuie să Ic

scoatem din cutie, fară a ne uita la culorile lor, pentru a fi siguri cA

am scos cel puţin un creion roşu şi unul verde?

9. Se dă şirul de numere: 1,2,3,...,20,21,22.

a) Care este cel mai mic număr care se poate obţine ca o diferenţăa două numere din şirul dat?

li

7/22/2019 Euclid 2013


I») Care este cel mai mare număr care se poate obţine ca o

ililcrenţă de două numere din şir?i ) în câte feluri se poate scrie numărul 17 ca o diferenţă de două

iiiiinere din şirul dat?

(I)în câte feluri se poate scrie numărul 1 ca diferenţă de două

miniere din şirul dat?

r ) ("are este numărul cuprins între 1 şi 20, pentru care există cele

iiini multe posibilităţi de scriere ca diferenţă a două numere din

şirul dat?

1(1. Se dă şirul de numere 1,2,3,4,...,20,21. La fiecare operaţie

(ilcgcm la întâmplare două numere din şir şi le înlocuim cu

«lilcrenţa lor(diferenţa se face scăzând numărul mai mic, din

iiuinărul mai mare). Continuăm aşa până când rămâne un singuriiiiinăr.

ti) Câte numere impare sunt în şir?I*) Să se arate că ultimul număr care rămâne este impar.

7/22/2019 Euclid 2013


V III. ADUNAREA SI SCĂDEREA ÎN9

CONCENTRUL 0-100, FĂRĂ TRECERE PESTE ORDIN


1. Calculaţi şi completaţi căsuţele cu rezultatele corecte.

a) 6 + 3 =

b) 16+ 13 =

c) 26 + 23 =

d) 36 + 33 =

e) 46 + 43 =f) 60 + 30 =

g) 20 + 50 =

h) 80+10 =

2. Coloraţi rezultatul corect:

O 60 + 25 =a) 20 + 5 =

b) 17 + 40 =

c) 15 + 60 =

d) 17 + 80 =

e) 20 + 28 =

24 25 26 85 84 83

57 56 58

75 74 76

97 98 87

48 49 50

g)70 + 28 =

h)40 + 58 =

i) 25 + 63 =

j) 28 + 40 =

98 99 100

98 99 100

87 88 89

67 68 66

7/22/2019 Euclid 2013


o GiASA A

60

a)

80

60

+

80

60

b)

c)

50

70

80

50

70

80

50

70

(1)

7/22/2019 Euclid 2013


e)

4. Rezolvaţi după model:

14 + 12 +6 + 8 = 4013 + 25 + 7 + 5 =

20 201

a)40i

12 +25 + 7 +5 =

c)

e)

n1__1 __ i

b)11 + 3 + 57 + 9 =

d)

58 + 14 + 2 +6 =

7/22/2019 Euclid 2013


. ' 2f •s'lfcu l

62 + 28 + 2 + 8 =

g)

41 +29 + 9 +1=

h)

5. Completaţi căsuţele cu cifra potrivită.a) 28 + b )33 + c) 41.j + d) 20 + e) 47 + -

2H 35 23 3lJ

49 69 69 “ 55 67...

1) 69 - g) 72- h) 42- i) 49- j) 58-2u □2 □1 LU m

49 49 49 26 16

(>. Completaţi cu semnele corecte, pentru a obţine rezultateleindicate.

.0 12 25 = 37 i) 60 40 = 20

l.)48 42 = 6 j) 65 31 =96

.)50 49 = 99 k) 28 41 =69

.1) 81 41 =40 1) 69 37 = 32

f ) 60 33 = 93 m) 79 25 = 54

1)70 29 = 99 n) 97 32 = 65

«0 12 = 92 0) 88 J42 = 46

Ii) 90 70 = 20

7.1 Jniţi calculele din coloana A cu rezultatele din coloana B.A B

. S(31 17

•l'i 37 59

7/22/2019 Euclid 2013


65+24

41+47

88

89

j) 48+20=U

26=68-42

-6128=

20= -40

61=LJ+20

8. Calculaţi şi verificaţi făcând operaţia opusă, după modelul dat:

a) 42+26=68

b) 28+61 =

c) 40+20=

d)61-20=

e) 51-31=[

f) 98-24=L

g)59-23=C

h) 80-40=

i) 63-23=

51=U+31

98=U+24

59=0+23

80=U+40

63=0+23

48=U-20

9. Completaţi cu termenul necunoscut:

a) 48-

b)

= 25 f)42-

+ 39 = 69 g) 39 +

= 20

= 80

d) 99-

e)

= 82 h)

= 55 i)

-13 = 23 j) 85-

-17 = 50

+ 17 = 67

= 32

10. Completaţi căsuţele libere, după indicaţii;

a)

b)

c)

d)

7/22/2019 Euclid 2013


f) 48- 15 + 10 =g) 15-5 + 24 =

h) 81 -20 + 7 =

i) 64-32+ 12 =

j) 25 - 20 + 44 =

11. Calculaţi şi scrie i rezultatele în căsuţe

11)40 + 90-60=1)) 80 + 5 -25 =

c)80 -40 + 20 =

(1)30 + 20 -7 =

e)21 +28- 11 =

12. Completaţi cu senineleilitl.

.1) 16 10 = 26 f) 12

1» 34 10 = 24 g)26

0 26 12 = 18 h)21

tl) 13 6= 19 i) 10U0)27 6 = 21 j ) 1 7 D

12=24

4 = 30

20 = 41

I\ Calculaţi şi încercuiţi rezultatele mai mari decât 50.

.0 40 + 50-20 =

l.)21 + 32 + 42 =

1)68-42 + 50 =

,1) 50-30 + 41 =

r)48-21-19 = [

f) 18-13 + 50 =

g) 25 + 14-30 =

h) 30 + 44-22 =

i) 45 + 52-35 =

j) 82-12-60 =

II. Calculaţi:

rt)23 + 5-1 =

h)27 + 4-3 =

t)-l8 + 3-2 =

(1)16+ 1-6 =

p)l7-7 + 25 =

f) 89 -54 + 30 =

g) 48- 16 + 24 =

h) 29 - 18 + 53 =

i) 46+ 12-32 =

j) 80-11-50 =

15. Comparaţi rezultatele şi scrieţi semnele „>"

in rftsuţe.

sau „=

7/22/2019 Euclid 2013


b) 5+ 11 U_19-2

c) 40+12

g)60 + 11

63 -30 h) 80 - 40

d) 57 - 12D 12+13 i)32 + 23

e) 80 - 32 □ 14 + 40 j)22 - 12

52 + 8

70 - 50

43+34

89 - 19


1. Alexia scrie pe nişte cuburi toate numerele de două cifre. |

a) Care este cel mai mic număr pe care îl scrie? *

b) Care este cel mai mare număr pe care îl scrie?

c) Pe câte cuburi a scris numere care se termină cu cifra O?

d) Pe câte cuburi a scris numere formate cu cifre egale?

e) Câte perechi de câte două cuburi poate forma, cu proprie*

tatea că pe cele două cuburi sunt scrise două numere diferite, în

componenţa cărora intră aceleaşi cifre? (Un exemplu de astfel de.

pereche de cuburi este formată din 23 şi 32.) \ f) De câte cuburi are nevoie pentru a scrie toate numerele?

g) Pe câte cuburi sunt scrise numere care au cifre diferite?

2. a) Să se scrie toate grupele de 3 numere ordonate crescătoij

formate numai cu numerele 10; 20; 30; 40 şi 50. (Un exemplu di\

grupă 10; 20; 40)

b) Să se scrie toate grupele de 3 numere ordonate crescător,

formate numai cu numerele 10; 20; 30; 40 şi 50, cu proprietatea cA

diferenţa dintre al doilea si primul număr este egală cu diferenţa

dintre al treilea şi al doilea număr. (Un exemplu este grupa 10; 20:

30)

c) Să se scrie toate grupele de 3 numere ordonate crescători

numai cu numerele 10; 20; 30; 40 şi 50, cu proprietatea c;lj

diferenţa dintre al doilea şi primul număr este mai mică dccâr

diferenţa dintre al doilea şi al treilea număr.

7/22/2019 Euclid 2013


(1) Să se scrie toate grupele de 3 numere ordonate crescător,

numai cu numerele 10; 20; 30; 40 şi 50, cu proprietatea că aldoilea număr din pereche este 30.

3. Zâna Măseluţă are 50 de fluturi şi 50 de spiriduşi. Cu bagheta

magică, ea poate transforma un fluture într-un spiriduş şi un

spiriduş într-un fluture astfel: în prima zi face o schimbare, în a

iloua zi face două schimbări, în a treia zi face trei schimbări şi aşa

mai departe. Ea poate face mai multe schimbări asupra aceluiaşi

personaj, în zile diferite.i i ) Câte transformări a făcut Zâna Măseluţă după primele 5 zile?

b) Să se arate că, la sfârşitul celei de-a zecea zile, ea nu poate

iivca 50 de fluturi şi 50 de spiriduşi.

4. O carte are paginile numerotate în ordine crescătoare, de la

1la 100, fără a se repeta vreun număr.

i i ) Câte pagini are cartea?li) Pe câte pagini sunt scrise numere pare?

i') Câte pagini sunt mai multe, cele cu numere pare sau cele cu

numere impare?

il) De câte ori s-a scris cifra 2 la numerotarea cărţii?

c) Câte pagini sunt numerotate cu numere de două cifre, for

mate din cifre diferite?

5. Un joc pe calculator afişează iniţial un rând pe care sunt

Hcrise 6 numere. Sub acesta, apare un rând cu 5 numere obţinute

ilin diferenţa oricăror două numere alăturate de pe rândul iniţial(se

«cade numărul mic din numărul mare). Se continuă, până când se

obţine un singur număr.

i i ) Dacă numerele iniţiale sunt 10, 20, 30, 40, 50, 60, scrieţi

numerele de pe al treilea rând.b) Dacă numerele iniţiale sunt 10, 5, 15, 20, 25, 30, scrieţi

numerele de pe al patrulea rând.

r) Dacă numerele iniţiale sunt 10, 12, 15, 5, 25, 21, scrieţi nu

7/22/2019 Euclid 2013


d) Daţi un exemplu de şir iniţial de numere, astfel încât număruj

de pe ultimul rând să fie 0.

6. Un copil are la dispoziţie câte o monedă de 1 leu, 2 lei,..., 50 Ici

El trebuie să aleagă 7 dintre aceste monede astfel încât, cu cclc

alese, să poată plăti exact orice sumă de la 1 leu la 100 de lei (făi^

să primească rest).

a) Cu ce monedă poate plăti suma de 1 leu?

b) Cu ce monedă poate plăti suma de 2 lei?

c) Cu ce monezi po.ate plăti suma de 51 de lei?

d) Cu ce monezi poate plăti suma de 99 de lei?

e) Cu ce monezi poate plăti suma de 100 de lei?

7. în tabloul următor, aşezăm numerele începând cu 1 astfel pc

prima linie scriem doar cifra 1, pe a doua linie scriem două cil'n

de 1, pe a treia linie începem cu cifra 1, apoi scriem suma cifreldiT

de mai sus şi terminăm cu cifra 1, pe a patra linie începem cu Ij

continuăm cu suma primelor 2 cifre scrise pe linia 3, apoi cu sunui]ultimelor 2 cifre scrise pe linia 3 şi terminăm cu 1.

1 1 1

1 2 1

133 1

a) Calculaţi suma elementelor de pe linia 4.

b) Scrieţi cele 5 elemente de pe linia 5.c) Calculaţi valoarea cea mai mare care apare pe linia 5.

d) Arătaţi că toate numerele de pe linia 9, în afară de primul ţ|î]

ultimul, sunt pare.

8. a) Calculaţi 1+2 + 3+ 4 + 5.

b) Calculaţi 2 + 3 + 5 + 4 + 6+1.

c) Aranjaţi numerele de la 1 la 5 în 3 grupe, astfel încât în fiecarcgrupă, suma numerelor să fie aceeaşi.

7/22/2019 Euclid 2013


într-0 ţara, alfabetul are 5 litere: a, b, c, d, e. Cu aceste litere

■formează cuvinte. Orice cuvânt format este alcătuit dintr-una

III mai multe litere diferite, scrise în orice ordine. De exemplu.

Iui este un cuvânt de 3 litere, iar aba nu este un cuvânt, deoarece

■repetă litera a.

I ("âte cuvinte de o literă există?

i) Câte cuvinte de 2 litere exisă?

I ('âte cuvinte de 3 litere încep cu literele de?

) Câte cuvinte de 4 litere încep cu literele ab?

I Câte cuvinte de 5 litere încep cu litera a?

. Un număr este „simpatic", dacă ultima cifră este una din

Hide 3, 4, 5.

K) Scrieţi un număr „simpatic".

i) Scrieţi cel mai mare număr de două cifre, care este „sim-

I Scrieţi cel mai mic număr de două cifre, care este „simpatic",

) Scrieţi cel mai mare număr par de două cifre, care este

-.impatic".

I (’âte numere „simpatice" sunt cuprinse între 20 şi 47?

Arătaţi că suma a două numere „simpatice" nu este un număr

Miiipatic".

7/22/2019 Euclid 2013


IX. FIGURI GEOMETRICE


1. Desenaţi un triunghi.

2. Desenaţi un pătrat.

3. Desenaţi un cerc.

4. Desenaţi un dreptunghi.

5. Care figuri din cele de la exerciţiile 1-4 au 4 laturi?

6. Câte pătrate egale sunt desenate mai jos?

□□

7. împărţiţi un dreptunghi în două triunghiuri, cu ajutorul uiici

linii.

8. Desenaţi o linie care împarte un pătrat în două părţi identice.

7/22/2019 Euclid 2013


Desenaţi pe caiet figuri identice cu cele desenate mai jos.

10. Desenaţi pe caiet figurile de mai jos.

11. împărţiţi un pătrat în 4 triunghiuri, trasând două linii.

12. împărţiţi un cerc în 3 „felii” egale, cu ajutorul a trei linii.

I împărţiţi un pătrat în 4 părţi egale, cu ajutorul a două linii,

l-l. Stabiliţi pentru fiecare desen, ce figură e în interior şi ce figură

7/22/2019 Euclid 2013


i

7/22/2019 Euclid 2013


15. încercuiţi figurile asemănătoare.

I(». Desenaţi un dreptunghi format din 6 pătrate egale.

7/22/2019 Euclid 2013


17. Desenaţi un pătrat format din 8 pătrate egale.

18. împărţiţi cercul de mai jos în 6 „felii egale”.

19. împărţiţi figura de mai jos în 6 triunghiuri egale, urmărind

liniile punctate.

20. împărţiţi figura de mai jos într-un triunghi şi un pătrat, urmând

liniile punctate.

21. împărţiţi figura de mai jos în două triunghiuri şi două pătrate,

urmărind liniile punctate.

Îîl

22. Desenaţi figura de alături fără a ridica creionul de pe hârtie şi

fară a trece de două ori prin acelaşi segment

7/22/2019 Euclid 2013


2

-7

23. Coloraţi cu galben triunghiurile, cu roşu cercurile şi cu albastru

dreptunghiurile şi pătratele.

24, Coloraţi numai părţile „comune” ale figurilor.

c)

7/22/2019 Euclid 2013



1. Câte pătrate sunt în figura de mai jos?

a)

b)

c)L

7/22/2019 Euclid 2013


(i)

)

I)

2. Câte drumuri cu lungimea cea mai mică posibilă sunt de la

punctul A la punctul B? Se merge numai pe liniile existente în

desen.

A

a) Câte drumuri cu lungimea cea mai mică posibilă sunt de la

punctul A la punctul B?

*5 î

*

1>) Câte drumuri cu lungimea cea mai mică posibilă sunt de la

punctul A la punctul B, fară să trecem prin centrul pătratuluinegru? Se merge numai pe liniile existente în desen.

7/22/2019 Euclid 2013


4. Un joc arată ca în figura de mai jos. Arătaţi că, oricum am

încerca să plasăm 10 pioni în joc, există cel puţin doi care vor fi

puşi în acelaşi pătrat.

■,1. «..wi-M '

5. a)Coloraţi pătrăţelele de mai jos cu 2 culori diferite astfel încât

să nu existe pătrăţele vecine care au aceeaşi culoare.

1. 2 .

b) Coloraţi pătrăţelele de mai sus cu 4 culori diferite astfel încât să

nu existe pătrăţele vecine care să aibă aceeaşi culoare.

c) Coloraţi pătrăţelele de mai sus cu 8 culori diferite astfel încât sânu existe pătrăţele vecine care să aibă aceeaşi culoare.

6. Uniţi punctele din figură astfel încât să obţineţi toate

triunghiurile posibile. Câte triunghiuri aţi obţinut în fiecare caz?

a)

7/22/2019 Euclid 2013


ClA A A l

C ) • • ' ♦

d)

e) ♦

• •

0 • •

7/22/2019 Euclid 2013


1. LECŢIA DESPRE ŞIRURI DE9 f

NUMERE1.1. Numere pare şi impare

12345 67 89 1011 1211...

• Numerele subliniate sunt numerele impare.

• Cele nesubliniate sunt numerele pare.

Regula de trecere de la un număr impar la următorul, este adunarea cu 2. Prin urmare, diferenţa dintre două numere impare vecine (consecutive) este 2. La fel şi pentru numerele pare.

Exerciţii:

1. Scrieţi toate numerele pare de la 20 la 50.

2. Scrieţi toate numerele impare de la 19 la 31.

3. Scrieţi toate numerele pare cuprinse între 19 şi 40.

4. Scrieţi toate numerele impare cuprinse între 15 şi 28.

5. Completaţi următoarele propoziţii:

A. Un număr par se termină întotdeauna cu una din cifrele

B.Un număr impar se termină întotdeauna cu una din cifrclc

-s.

7/22/2019 Euclid 2013


k 6. Scrieţi numerele pare care nu se termină cu cifra 8 şi sunt mai

mici decât 50.

7. Scrieţi toate numerele pare formate din două cifre, care se pot

forma folosind numai cifrele 1, 3, 2, 6.

8. Scrieţi toate numerele pare formate din două cifre diferite, care

se pot forma folosind numai cifrele 1, 3, 2, 6.

(Obs.: Cum gândim?

1) Pentru ca numărul scris să fie par, el trebuie să se termine cu o cifră pară, adică fie cu 2, fie cu 6.

2) Scriem toate numerele care se termină cu 2, apoi pe toate cele care se termină cu 6.

3) Pentru exerciţiul 8, selectăm numerele scrise cu cifre diferite

scrise la exerciţiul 7.)

9. Daţi exemplu de un şir în care termenii să alterneze după regula

par-impar-par-impar şi aşa mai departe.

(Obs.: Ca să dăm exemplu de şir, trebuie să specificăm primul termen şi regula de formare.)

10. a) încercuiţi termenii pari ai şirului:

3 ; 6 ; 9 ; 12;15; 18

b) încercuiţi termenii impari ai şirului:

21 ;28 ;35 ;42;49

1.2. Reguli de formare a şirurilor

l-exemple:Vom ilustra mai jos regulile de formare pentru două şiruri:

a) l - ^ 4 - ^ 7 - ^ 1 0 - ^ 1 3 - ^ 1 6

7/22/2019 Euclid 2013


1. Găsiţi regula de formare şi următorii doi termeni, pentru fiecare

din şirurile de mai jos:

3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ;--->E\ ---

3;6 ;9; 12;--->\B ---

12; 1 0 ; 8 ; 6 ; -----> M ----->0i

24;21 ; 18 ; 15 ; ---> E\ ---

80; 70; 60; 5 0 ;--->M ---

2. Completaţi cu termenii lipsă şi scrieţi regula de formare a

şirului, după model:

Regula

1 , 3 , 5 , d , [1,11,11, . . .

a ) 3 , 9 , 1 2 , O , 0 , 2 1 , . . .

b) 5, 10 , L J , 2 0 , L

c) 8,

d) 3 0 , 0 , □ , El

3. Completaţi următoarele şiruri de figuri geometrice cu încă trei

figuri:

..DA A n A A D A A D

b)

c)

d) A ...

e)

7/22/2019 Euclid 2013


0 AnnnPAAm n n-A întrebări pentru copiii isteţi:

1. Care figură geometrică o să apară de cele mai multe ori, într-o

secvenţă de 3 termeni alăturaţi ai şirului a) ?

2. Care este cel mai mare număr de termeni cu care trebuie

completat şirul a), astfel încât să mai apară în plus exact douăcercuri ?

3. Coloraţi o porţiune a şirului b) în care să fie un număr egal depătrate şi cercuri.

4. Care dintre triunghiurile desenate în şirul d), sunt cele mai

numeroase: cele mari, cele mici sau cele mijlocii?

5. Completaţi şirul e) astfel încât să mai avem încă 3 cercuri mari.

6. Câte figuri geometrice are cea mai lungă porţiune din şirul f) în

care apar exact 4 triunghiuri?

1.3. Reguli

Imaginaţi-vă că avem un robot care ne ajută să aplicăm anumitereguli.

De exemplu, robotul de mai jos adună 3 la orice număr.

1-

2 -

3-+3

- 6

1. Ce rezultate va da robotul din desen?1---^+5

7/22/2019 Euclid 2013


"^‘■""^•ClASAAI-A

2. Scrieţi rezultatele pe care le obţine fiecare robot.1-- ------

3-a) 5-

-f2

20-

40-b) 50-

•■+7

3-.5-

c) 10-

d) 9-

-3

3. Scrie regula pe care o aplică fiecare robot.•;3-

ffi-23-

a) 30-•15-

.17-28-

b) 46-

c) 9-21-

31-d) 41-

-r>

-3

->14-^8434->41->10

-^2

- 41

->31- 41->51

4. Lucrăm acum cu doi roboţi. Urmărind exemplul, scrieţi

rezultatele pe care Ie obţin roboţii.

7/22/2019 Euclid 2013


c)

5. Ce ar trebui să apară scris pe ecranul roboţilor?

7/22/2019 Euclid 2013


2. LECŢIA DESPRE „PRINCIPIUL

CUTIEI”

Principiul cutiei a fost elaborat de matematicianul german Peter Gustav Dirichlet(]805-1859) şi este unul extrem de simplu, dar cu

aplicaţii surprinzătoare.

Principiul spune că, dacă repartizăm n+1 obiecte în n cutii, atunci

cel puţin două obiecte vor f i repartizate în aceeaşi cutie,

într-adevăr, dacă gândim în modul cel mai nefavorabil, punem în fiecare cutie câte un obiect şi reuşim astfel să consumăm n obiecte. Prin urmare, al n+1-lea obiect va fi pus într-o cutie oarecare, în care deja există un obiect. în acea cutie vor f i prin

urmare, două obiecte.

Aplicaţii:1. într-un Ioc de joacă se află 8 copii. Să se arate că cel puţin doi

dintre ei sunt născuţi în aceeaşi zi a săptămânii.

2. într-o grupă sunt 13 fete. Să se arate că cel puţin două dintre ele

sunt născute în aceeaşi lună a anului.

3. Gustav Dirichlet are 7 iepuri şi 3 cuşti. Arătaţi că, în orice fel s-ar aşeza iepurii, va exista în mod sigur o cutie în care să fie cel

puţin trei iepuri.

4. într-un magazin sunt 10 perechi de papuci neîmperecheaţi.

Vânzătorul doreşte să ia câţiva papuci, fară a se uita la ce scrie pc

ei, astfel încât în mod sigur printre ei să se afle cel puţin o pereche.

Care este cel mai mic număr de papuci care ar trebui aleşi?

7/22/2019 Euclid 2013


5. Să se arate că, dintx-un şir format din 11 cifre există cel puţin

două cifre egale.

6. Mihai scrie pe tablă 3 numere naturale la întâmplare. George

afirmă fară să le vadă, că suma a două dintre numerele scrise este

un număr par. Are George dreptate?

7. Vasile are 9 mere, unele roşii, altele verzi. Arătaţi că oricum ar

pune merele în 4 coşuri, va exista un coş cu cel puţin două mere deaceeşi culoare.

8. Se dă şirul de numere 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Să se arate că, oricum

am alege 6 dintre acestea, există cel puţin două dintre ele care au

suma 10.

9. Se dă şirul de numere 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Să searate că, oricum am alege 6 numere dintre acestea, există cel puţin

două dintre ele care au suma 100.

10. La im turneu de şah au participat 10 şahişti care joaca fiecare

cu fiecare un singur joc. Arătaţi că în orice moment dinaintea

ultimei runde, cel puţin doi şahişti au acelaşi număr de meciuri

câştigate.

11.într-un coş sunt 10 ouă roşii, 4 ouă galbene şi 5 ouă verzi,

ileana alege ouă fară să se uite la ele.

a) Câte ouă trebuie să aleagă, minim, pentru a fi sigură că are un

ou roşu?

b) Câte ouă trebuie să aleagă, minim, pentru a fi sigură că are trei

ouă de culori diferite?c) Câte ouă trebuie să aleagă, minim, pentru a fi sigură că are

două ouă de aceeaşi culoare?

7/22/2019 Euclid 2013


3. LECŢIA DESPRE NUMĂRAREA

DE CONFIGURAŢII

în orice problemă de „numărare de posibilităţi”, important este să ne stabilim corect variabilele şi apoi să păstrăm o „ordine"

care să ne permită să nu scăpăm configuraţii.

Să începem cu un exemplu simplu, pe care îl vom complica

pe parcurs.

Să îl scriem pe 10 ca o sumă de doi termeni, ţinând seama de ordinea termenilor. Dacă începem fără niciun raţionament să scriem sume cu rezultatul 10, şansa să ratăm o posibilitate sau să

scriem de mai multe ori una, este destul de mare.

Prin urmare, ne vom gândi să începem cu o sumă în care

unul din termeni să fie maxim şi să micşorăm acest prim termen cu

1 la fiecare sumă. Concret:

10= 10 + 0 = 9 + l = 8 + 2 = 7 + 3 = 6 + 4 = 5 + 5=4 + 6 = 3 + 7= 2 + 8= 1+9 = 0+ 10

1. Scrieţi toate numerele de două cifre, care se pot forma folosind

numai cifrele 1, 2, 7, 5 şi 8.

I

2. Scrieţi toate numerele pare de două cifre, care se pot forma

folosind numai cifrele O, 3, 2, 5, 6.

3. Un alfabet are doar trei litere; A, B şi C. Cuvintele se formează

prin alăturarea literelor, iar lungimea unui cuvânt este dată dc

numărul literelor din componenţa sa.

a) Câte cuvinte de lungime 2 există?

b) Câte cuvinte de lungime 3 există?

c) Câte cuvinte de lungime 4 încep cu litera A?d) Câte cuvinte de lungime 4 au la mijloc grupul de litere AC,

scrise în această ordine?

7/22/2019 Euclid 2013


0-

e) Care sunt mai multe: cuvintele de 3 litere care încep cu A sau

cuvintele de 3 litere care se termină cu C?

f) Care sunt mai multe: cuvintele de 4 litere care încep cu A saucuvintele de 3 litere?

4. La un joc, participanţii primesc cartonaşe valorice de Ip, 2p, 4p,

8p, 16p în mod nelimitat.

a)Scrieţi toate posibilităţile de a achita o proprietate care costă 3p.

b)Scrieţi toate posibilităţile de a achita o proprietate care costă 5p.

c)Scrieţi toate posibilităţile de a achita o proprietate care costă 7p.d)Scrieţi două posibilităţi de a achita o proprietate care costa 20p.

5. Trei băieţi (Vasile, Ion, Mitică) şi 2 fete (Ana şi Diana) vor să se

aşeze la cinematograf, pe acelaşi rând, unul după altul, astfel încât

să nu stea unul lângă altul două fete sau doi băieţi.

Scrieţi toate posibilităţile.

7/22/2019 Euclid 2013


X. TESTE FINALE

TESTUL 1

1. Completaţi şirul de mai jos:

|o|B] H

2. Scrieţi numerele cuprinse între 16 şi 20.

3. Comparaţi numerele: 13EE114.

4. Scrieţi valoarea sumei dintre cel mai mare număr de o cifră şi

cel mai mic număr de două cifre.

5. Aflaţi termenul necunoscut: 16+L_I=19.

6. Scrieţi două numere a căror sumă este mai mare decât 20.

7. Scrieţi cel mai mic număr natural de două cifre, cuprins între 25

şi 32 care au suma cifrelor egală cu 4.

8. Scrieţi toate, numerele naturale de două cifre care au cifra

unităţilor mai mare cu 4 decât cifra zecilor.

9. Completaţi cu semnul potrivit: 110 7 =18.

TESTUL 2

1. Calculaţi:

a) 14+12 =b) 40-10 =

c) 17 + 10 =

d) 15-3 =

7/22/2019 Euclid 2013


2. a) Măriţi cu 3 numărul 12.

b) Micşoraţi cu 5 numărul 18.

c) Scrieţi numărul cu 10 mai mare decât 9.

d) Scrieţi numărul cu 3 mai mic decât 19.

3. Măriţi suma numerelor 14 şi 2 cu diferenţa numerelor 11 şi 12.

4.

a) Calculaţi suma numerelor din interiorul cercului.

b) Calculaţi suma numerelor din interiorul triunghiului.

c) Calculaţi suma numerelor din interiorul pătratului.

d) Calculaţi suma numerelor care se află în interiorul a cel puţin

două figuri geometrice.

5. Calculaţi a+^?,dacă ^ = l + 2şi ib = 3+7_

TESTUL 3

I. Care este numărul care apare de cele mai multe ori în figură?

, 12

2i 23:

2. Completaţi cu semnele „+” sau pentru a obţine rezultatul

corect:

3E 32 lllE]4 = 2

3.Completaţi căsuţa cu unul dintre semnele „<” sau „=’

14+5 B26

7/22/2019 Euclid 2013


4. Completaţi cifrele care lipsesc din căsuţe;

m .

1. Calculaţi:

a) 1+6 =

b) 10 +6 =c) 1 + 60 =

3-5

TESTUL 4

d) 11 +66

.e) 10 + 60 =f) 10+16

2. Aflaţi termenul necunoscut.

a)40 + i] = 60 d )20+10 - 0 = 10

b) 14-E l =12 e) 7 + 10+ i]= 18

c) 0 - 1 0 = 17 f) 18 - 12+E3 = 26

3. Calculaţi suma a trei numere consecutive, ştiind că cel din

mijloc este 11.

4. Calculaţi suma dintre 13 şi răsturnatul său.I

TESTUL 5

L Completaţi fiecare formă geometrică cu un număr, acelaşi în

fiecare caz.^ + 0 = 9

E I + ® = 7

2. Scrieţi toate posibilităţile în care suma cifrelor din căsuţe este 4(ordinea cifrelor în căsuţe contează).

Exemplu: |1 I 1 |2

7/22/2019 Euclid 2013


3. Scrieţi rezultatul calculului 6- 3 + 17+1 -21.

4. Scrieţi numărul 15 ca:

a) sumă de doi termeni.

b) sumă de trei termeni diferiţi.

c) sumă de trei termeni egali.

5. Cu cât trebuie micşorat numărul 65, pentru a obţine suma

numerelor 10 şi 15?

TESTUL 6

1. în două vase sunt 24 de flori. Dacă din prima vază luăm 2

flori, atunci rămân 3 flori. Câte flori sunt în a doua vază?

2. Calculaţi suma dintre diferenţa numerelor 19 şi 6 şi diferenţanumerelor 22 şi 10.

3. Un bloc cu 4 etaje are 2 scări. Pe fiecare etaj sunt 3apartamente. Câte apartamente are blocul în total?

4. Aflaţi termenul necunoscut.a) 0 + 4 + 4 = 28 b) 10+ 10+E3=48

c) 80 + 10 - E] = 20 d) 11 +22 + 33 - E] = O

5. Cu cât trebuie micşorat numărul 65, pentru a obţine suma

luimerelor 10 şi 15?

TESTUL 7

I. Patru prieteni se întâlnesc după vacanţă şi îşi dau mâna. Câte

7/22/2019 Euclid 2013


2. Ioana îşi pune poneii pe 3 rânduri, astfel încât pe fiecare rând

să fie un ponei mai mult decât pe rândul anterior.

Cum poate să egaleze rândurile de ponei mutând unul singur?

3. Completaţi cerculeţele cu numere astfel încât suma

numerelor din oricare 3 cerculeţe vecine să fie 10:

oooooo4. Aflaţi câte elemente are şirul

ştiind că ultimuj său element este al patrulea pătrat.

TESTUL 8

1. în două urne se află bile. în prima urnă sunt cel mult 6 bile,

iar în a doua sunt cel puţin 4 bile. Câte bile se pot afla în fiecare

urnă, dacă în total sunt 9 bile? Scrieţi toate posibilităţile.

2. Ioana are 5 ani, iar prietena ei, Claudia are 4 ani. Câţi ani

vor avea împreună, peste 5 ani?

3. Completaţi căsuţele din şirul de mai jos astfel încât suma ori

căror trei termeni consecutivi să fie egală cu 10.

2 ,0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0

4. Reconstituiţi adunarea:

= 58

TESTUL 9

L Andrei are 6 ani, iar fratele său are cu 3 ani mai mult. Să se

afle:

7/22/2019 Euclid 2013


a) Câţi ani are fratele lui Andrei?

b) Care va fi diferenţa dintre vâstele lor peste 5 ani?

2. Calculaţi:

a) 29-14 =

b) 24-12 =

c) 33 - 3 =

d) 14+13

e) 24 + 21=f) 75 + 4=

3. Calculaţi a +c-b, ştiind că a =21, b = a + \Qş\c = b- 11.

4. Calculaţi numărul c, ştiind că a + Z) + c = 75, a = 40 şi 6 = 15.

5. Micşoraţi cu 50 diferenţa numerelor 85 şi 12.

TEST 10

1. Completaţi următorii

1 ; 0 ; 3 ; 5 ; 0 ;

rei termeni ai şirului de mai jos:

2. Completaţi pătratul magic de mai jos cu numerele 10, 20 şi

30, astfel încât suma de pe linii şi de pe coloane să fie aceeaşi.

3. Descoperiţi numerele ce trebuie scrise în figurile geometrice

de mai jos (figurile geometrice diferite trebuie completate cu

numere diferite, iar cele identice trebuie completate cu numere

egale)

7/22/2019 Euclid 2013


1 0 - 0 = 0

Z\ - 0 = 4

A

4. Intr-un coş sunt mere, pere şi nuci, în total 30. Dacă 17 nu

sunt pere şi 23 nu sunt mere, aflaţi câte fructe de fiecare sunt în

coş.

!

I

7/22/2019 Euclid 2013


CIASAAI-^ ,

XI. TESTE EUCLID

TEST 1NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La subiectul există un singur răspuns

corect .La subiectul se va da direct răspunsul.La subiectele si V se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din ofîciu. Timp de lucru efectiv 1 oră.

SUBIECTUL I(20p)I ,a exerciţiile 1, 2 ,3 ,4 şi 5 încercuiţi litera corespunzătoare răspunsuluicorect.

I) Numărul de jucării din stânga băieţelului este:II)8 b)2 c)6 d)5

.’ ) Care elicopter nu are elice:

a) primul b) ultimul c) al doilea d) al treilea

1 - -

7/22/2019 Euclid 2013


3)Câte elemente de forma H i sunt în casetă :

â

a)6 d)5

4) Câte jucării are fetiţa r" :

a) 10 b) 4 c) 6 d)3

5) Câte elemente de forma

a) O ________ ^

şi de culoarea are mulţimea?

c)l______________ ^5

7/22/2019 Euclid 2013


SUBIECTUL II ( 40p )Ki'/oivaţi exerciţiile de mai jos pe spaţiile punctate corespunzătoare.

2) Ordonaţi crescător numerele 5, 3, 6, 4, 7,8:

eta i cu numărul mai mare cu două unităţi;

,2 n , 4

4) Completeaza semnul corespunzător pentru a obţine rezultatele:

I 3-4 4 3-1

\l=2 5I |3=2

i

5)Completaţi şirul dat cu încă trei termeni:

()) Continuaţi şirul următor doar cu numere care au aceeaşi cifră a

/.ccilor: 14, 15,16,.......................

7) în numărul 21, cifra zecilor este

este.....................

............., iar cifra unităţilor

K) In numărul 21, suma dintre cifra zecilor şi cifra unităţilor este

7/22/2019 Euclid 2013


. . ,

vAJ-A

SUBIECTUL III (1 5 p )Rezolvaţi fiecare cerinţă pe spaţiul punctat corespunzător ei.

Maria are 2 flori. George are 6 flori.

1) Care sunt numerele dintre 2 si 6?...........

2) Care copil are mai multe flori?............

3) Dacă Maria si George formează un singur buchet, câte flori are

buchetul?..............

TEST 2NOTĂ. La subiectul există un singur răspuns corect .La subiectul se va da

direct răspunsul. Se acordă 10 puncte din ofîciu. Timp de lucru efectiv 1 oră şi 30de minute.

SUBIECTUL I (45p )La exerciţiile 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8 şi 9

încercuiţi litera corespunzătoare răspunsului corect.

(5p) 1) Care dintre numerele de mai jos este cu 2 mai mic decât

7?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8

(5p) 2) Care dintre numerele următoare este rezultatul scăderii10-2 ?

a) 2 b) 7 c) 8 d) 9

(5p) 3) Care din numerele următoare este cel mai mic?

a) L b) 10 c) 2 d) 9

(5p) 4) Care din calculele următoare are rezultatul 9 ?

a) 1+8 b) 2+3 c) 1+4 d) 3+0

(5p) 5) Care din numerele următoare este numărul care este

vecin cu 4 ?

a) 1 b) 2 c) 5 d) 10

(5p) 6) Care dintre numerele de mai jos este cu 2 mai mare

decât 7 ?

a) 9 b) 5 c) 6 d) 8

(5p) 7) Ce număr se repetă de cele mai multe ori în şirul

următor: 5; 7; 3; 5; 4; 6; 5; 3; 4; 5; 8; O?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 3

7/22/2019 Euclid 2013


■■OASA A

8) în care şir numerele sunt scrise în ordine descrescătoare:

а) 4, 5, 6, 8; b) 3, 4, 5, 6; c) 3, 2, 1,0; d) 5, 4, 3, 109) Ce număr urmează în şirul 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, ?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 1

SUBIECTUL II (45p) Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pespaţiile punctate corespunzătoare.

1) într-0 cutie sunt 2 bile albe şi 2 bile negre. Care este cel

mai mic număr de bile pe care trebuie să le scoatem din

cutie, fără a le vedea, pentru a fi siguri că am scos cel puţino bilă de fiecare

culoare?..............................................................................

2) Ordonaţi crescător numerele 5, 3, 6, 4, 7, 8:

3) Care sunt numerele dintre 2 şi 6?

4) Completează şirul dat cu încă un termen:

AoAo A5) Completează şirul dat: 1, 1,.2,.2,.3,.3,

б) Dacă un vas are 3 flori şi un vas are 5 flori, câte flori

avem în cele două vase.?..........................

7) Completeaza şirul dat; 1,3,.5,.7,

8) Ordonaţi descrescător numerele 5, 3, 6, 4, 7, 8:

9) Completeaza şirul dat: 10, 8,.6,.4,

7/22/2019 Euclid 2013


TEST 3NOTĂ. La subiectul fiecare exerciţiu are un singur răspuns corect. La subiectul]

n se scrie numai răspunsul fiecărui exerciţiu.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 1 oră şi30 de minute.

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

SUBIECTU L I (45p).La exerciţiile 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 şi 9

încercuiţi litera corespunzătoare răspunsului corect.

1)Care dintre numerele de mai jos este cu 2 mai mare decât

4?

a) 4 ■ b) 5 c) 6 d) 8

2) Care dintre numerele următoare este rezultatul scăderii

9-2 ?

a) 2 b) 7 c) 8 d) 9

3) Care din numerele următoare este cel mai mare?

a) 1 b) 10 c) 2 d) 9

4) Care din calculele următoare are rezultatul 5 ?

a) 1+8 b) 2+3 c) 1+2 d) 3+0

5) Care din numerele următoare este vecin cu 9 ?

a) 1 b) 2 c) 5 d) 10

6) Care dintre numerele de mai jos este cu 2 mai mic decât

7?

a) 9 b) 5 c) 6 d) 8

7) Ce număr se repetă de cele mai multe ori în şirul

următor: 1; 7; 3; 1; 4; 6; 1; 3; 4; 1; 8; O?

a) 1 b) 5 c) 6 d) 3

8) în care şir numerele sunt scrise în ordine crescătoare ?

a) 4, 5, 9, 8; b) 3, 4, 5, 6; c) 3, 2, 1,0; d) 5, 4, 3,

10

9) Ce număr urmează în şirul: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,

5, 5, 5?

’a) 4 b) 5 c) 6 d) 1

m£\ JS

7/22/2019 Euclid 2013


5p)

5p)

5p)

SUBIECTUL II (45p). Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pe

spaţiile punctate corespunzătoare.1) Ordonaţi crescător numerele: 5, 3, 6, 4, 7, 2;

5p) 2) Ordonaţi descrescător numerele: 5, 9, 6, 4, 7, 8:

5p) 3) Scrieţi numerele mai mari ca 3 şi mai mici ca 7:

5p) 4) Completaţi şirul dat cu o figură:

5p) 5) Completaţi şirul dat cu un număr: 1, 0,.2,.0,.3,.0,

5p) 6) Completaţi şirul dat cu un număr: 1,3, 5,

5p) 7) Completaţi şirul dat cu un număr: 10, 8, 6,

8) Dacă un vas are 3 flori şi un alt vas are 4 flori, câte flori

avem în cele două vase.?.....................

9) într-o cutie sunt 3 bile albe şi 2 bile roşii. Care este cel

mai mic număr de bile pe care trebuie să le scoatem din

cutie, fară a le vedea, pentru a fi siguri că am scos cel puţin

o bilă roşie?

TEST 4

NOTĂ. La subiectul fiecare exerciţiu are un singur răspuns corect. La subiectul

se scrie numai răspunsul fiecărui exerciţiu.Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 1 oră şi

30 de minute.SUBIECTUL I (45p ).La exerciţiile 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8şi 9

7/22/2019 Euclid 2013


(5p) 1) Care este rezultatul sumei 3+3+3 ?

a) 9 b) 10 c) 6 d) 33

(5p) 2) Care dintre numerele următoare este cu 10 mai mic

decât 41 ?

a) 31 b) 40 c) 21 d) 51

(5p) 3) Care dintre următoarele numere are suma cifrelor 9?

a) 54 b) 19 c) 29 d) 99

(5p) 4) Câte numere sunt cel mult egale cu 3 ?

a) 4 • b) 3 c) 2 d) 1(5p) 5) Care este numărul cu 20 mai mare decât 40?

a) 60 b) 20 c) 40 d) 50

(5p) 6) Care este suma dintre numerele 22 şi 6 ?

a) 28 b) 22 c) 26 d) 20

(5p) 7) Care este cel mai mare număr natural de două cifre?

a) 99 b) 88 c) 98 d) 89

, . 8) Care dintre următoarele numere se poate scrie ca suma^ a două numere egale ?

a) 27 b) 29 c) 80 d) 85

(5p) 9) Ce număr urmează în şirul 90, 85, 80,...?

a) 75 b) 83 c) 81 d) 70

SUBIECTUL II (45p). Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pe

spaţiile punctate corespunzătoare.

Maria scrie pe o foaie cifrele O şi 1 astfel; 1,0, 1,0, 1,0,1,0, 1,0, 1,0, 1,0, 1,0, 1,0, 1,0,.....

(5p) 1) A 20-a cifră de la stânga la dreapta este 1 sau O ?

(5p) 2) Dacă Maria scrie în total 50 de cifre, care va fi ultima

cifră scrisă.?............................................

(5p) 3) Care este suma cifrelor scrise de Maria dacă avem în

total 50 de cifre?.....................................

(5p) 4) Scrieţi numărul 55 ca o sumă de trei

numere.....................................................................

7/22/2019 Euclid 2013


(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

(5p)

5) Cu 5 cifre de 1 şi cu operaţiile aritmetice cunoscute

obţineţi rezultatul 23................................

6) Cu 5 cifre de 1şi cu operaţiile aritmetice cunoscute


7) Ordonaţi descrescător numerele 35, 55, 45, 5, 85, 15:

8) Scrieţi câte numere sunt mai mari ca 10 şi mai mici ca

22 9) Ordonaţi crescător numerele 35, 55, 45, 5, 85, 15:

TEST 5

NOTĂ. La subiectul 1 fiecare exerciţiu are un singur răspuns corect. La subiectul

se scrie numai răspunsul fiecărui exerciţiu.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 1 oră şi

30 de minute.SUBIECTUL I (45p ).La exerciţiile 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8şi 9încercuiţi litera corespunzătoare răspunsului corect.

(5p) 1) Care este rezultatul sumei 10+8 ?a) 14 b) 15 c) 16 d) 18

(5p) 2) Care dintre numerele următoare este cu 7 mai mic

decât 19 ?

a) 12 b) 7 c) 8 d) 9

(5p) 3) Care dintre următoarele numere are suma cifrelor 7?

a) 14 b) 10 c) 25 d) 19

(5p) 4) Câte numere sunt cel mult egale cu 9 ?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 8

(5p) 5) Care este numărul cu 10 mai mare decât 4 ?

7/22/2019 Euclid 2013


(5p) 6) Care este diferenţa dintre 28 şi 6 ?

a) 19 b) 22 c) 26 d) 20

(5p) 7) Care este cel mai mic număr natural de două cifreidentice?

a) 10 b) 11 c) O d) 1

, > 8) Care dintre următoarele numere se poate scrie ca sumii]

^ a două numere egale ?

a) 7 b) 9 c) 10 d)5

(5p) 9) Ce număr urmează în şirul 90, 87, 84,...?

a) 85 b) 83 c) 81 d) 80SUBIECTUL II (45p). Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pe

spaţiile punctate corespunzătoare.

(5p) 1) Ordonaţi crescător numerele 65, 23, 16, 34, 7, 42:

(5p) 2) Ordonaţi descrescător numerele 45, 99, 56, 14, 7, 80:

(5p) 3) Scrieţi câte numere sunt mai mari ca 23 şi mai mici ca ]27.

(5p) 4) Scrieţi numărul 27 ca o sumă de trei numere

(5p) 5) Cu 4 cifre de 2 şi cu operaţiile aritmetice cunoscute

obţineţi rezultatul 26.

(5p) 6) Cu 4 cifre de 2 şi cu operaţiile aritmetice cunoscute


Ioana scrie pe o foaie cifrele 1 şi 2 astfel: 1,2, 1, 1,2, 1,

1,1,2, 1,1, 1,1,2, 1,1, 1,1, 1,2,.....

(5p) 7) A 10-a cifră de la stânga la dreapta este 1sau 2 ?

(5p) 8) Dacă scrie în total 20 de cifre, care va fi ultima cifră

scrisă.?.............................................

1; ji'i .

7/22/2019 Euclid 2013


9) Câte cifre de 2 sunt scrise dacă avem în total 50 de

cifre?......................................................

TEST FINAL 1NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La toate subiectele se cer rezolvările

complete. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 1 oră şi 30 de

minute.

1. Un rac merge 5 paşi înainte şi 3 înapoi. Cu câţi paşi

a înaintat după ce a făcut 10 paşi dacă începe cu paşii

înainte?

2. Scriem un tabel astfel:

(1.1 ) răndull

(1.2);(2,l ) rândul!

(1.3);(2,2);(3,1 ) rănduB

(1.4);(2,3);(3,2);(4,1 ) răndulA

a) Cât este suma cifrelor din fiecare paranteză de pe

rândul 7?

b) Câte cifre scriem în total pe rândul 7?

c) Ce cifre sunt scrise în prima paranteză de pe rândul

10?

d) Ce cifre sunt scrise în a cincea paranteză de pe

rândul 9?

3. Se consideră şirul de numere O, 1, O, O, 1, 1, O, O, O,

1, 1, 1,... , care are pe poziţia 1numărul O, pe po/iţia 2

numărul 1, pe poziţia 3 numărul O, etc.

7/22/2019 Euclid 2013


'•(ăASAAI-A‘ăV.î '-.-n;-'•••••. .

(lOp)

(lOp)(lOp)

b) Câte cifre de O sunt în primele 50 de numere din

şir?

c) Pe ce poziţie se află în şir a zecea cifră de 1?d) Ce poziţie ocupă în şir prima cifră de O care are

după ea încă 9 cifre de O scrise alăturat?

TEST FINAL 2NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La toate subiectele secer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp

de lucru efectiv 1 oră şi 30 de minute.

(lOp)

(lOp)

(lOp)

(lOp)

(lOp)

1. Cu numerele din şirul 1,2,3,...,9,10 formăm grupe.

Un număr poate fie să apară într-una sau mai multe

grupe, fie să nu apară în nicio grupă.

a) Să se scrie 4 grupe cu proprietatea că orice număr

din şir fie nu apare în nicio grupă, fie apare în exact trei

grupe.

b) Să se scrie 5 grupe cu proprietatea că orice număr

din şir apare în exact două grupe.

2. Câte numere din şirul

lor cifra 1?

I, 2, 3,..., 100 au în scrierea

3. Puneţi în locul pătratelor (0) semnele + sau - pentru

a obţine egalitatea 4d 1d 2d 3 = 0.

4. Puneţi în locul pătratelor (Q) semnele + sau - pentru

aobţine egalitatea7D6D4D5n3n2D 1=0.

5. Spunem că facem o magie asupra unui şir de numere,

dacă alegem două numere din şir, îl scădem pe cel mic

din cel mai mare sau egal cu el, rezultatul îl punem în

7/22/2019 Euclid 2013


7/22/2019 Euclid 2013


XII. SOLUŢIICapitolul I - Noţiuni introductive în studiul matematicii

B. Pregătire pentru concursuri

oonoo5. Al doilea cerc, de la stânga la dreapta.

6. Al doilea cerc, de la stânga la dreapta.

7. A cincea bilă

8 . ^

11. a) 5 pătrate b) 9 pătrate c) 9 pătrated)13 pătrate e) 13 pătrate f) 16 + 9 + 4+ 1=30

(16 pătrăţele mici, 9 pătrate formate din câte 4 pătrăţele mici, 4

pătrate formate din câte 9 pătrăţele mici şi 1pătrat format din toate

cele 16 pătrăţele mici).

12. a) 9 triunghiuri mici

b) 16 triunghiuri mici

c) 25 triunghiuri miciI H G B

K L

7/22/2019 Euclid 2013


CIASAÂ4

I )rumurile posibile sunt; A-C-D-E-F-B; A-C-D-L-F-B; A-C-D-L-

(I li; A-CK-L-F-B; A-C-K-H-G-B; A-J-I-H-G-B, adică sunt 6

ilrumuri.

A B

HI

D

0 0 ^ 0 0 ^

li1_iii

14. G

15.

Ultima mărgea este albă.

16. în 12 feluri: Miruna_Ioana_Sorin_Vlad;

M iruna_Ioana_Vlad_Sorin;

Si)rin_Miruna_Ioana_Vlad; Vlad_Miruna_Ioana_Sorin;

Sorin_Vlad_Miruna_Ioana; Vlad_Sorin_Miruna_Ioana;

U)ana_Miruna_Sorin_Vlad; Ioana_Miruna_Vlad_Sorin;

Sorin_Ioana_Miruna_Vlad; Vlad_loana_Miruna_Sorin;Sorin_Vlad_Ioana_Miruna; Vlad_Sorin_Ioana_Miruna.

17. Notăm băieţii cu A, B, C, D şi fetele cu E şi F. Echipele sunt:

(A;B;C;E);

(A;B;C;F); (A;B;D;E); (A;B;D;F); (A;C;D;E); (A;C;D;F);

(li;C;D;E);

(M;C;D;F).

IS. Trei pachete şi ne rămân 2 mere.

( apitolul II


I.3; 5; 3

4. a) 12 345 67

h) 10 9 87 654

c)0 1234 5678 9 10

II . 2; 3; 4; 5; 6; 7

7/22/2019 Euclid 2013


• 1

12. 3; 4; 5; 6; 7; 8

13. 5; 6; 7; 8

14. 9; 8; 7; 615.0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

16. 3; 4; 5; 6; 7; 8

17.6; 7; 8; 9

18. în 3 feluri (1 cu 6; 2 cu 5; 3 cu 4).

19. în 4 feluri (1 cu 1 cu 5; 1 cu 2 cu 4; 1cu 3 cu 3; 2 cu 2 cu 3)

20. în 3 feluri (1 cu 1 cu 4; 1 cu 1cu 2 cu 3; 1cu 2 cu 2 cu 2)

21. în 2 feluri (1 cu 1 cu 1cu 1 cu 3; 1cu 1 cu 1 cu 2 cu 2)22. într-un fel (1 cu 1cu 1 cu 1cu 2)

23. într-un fel (1 cu 1cu 1cu 1cu 1cu 1)

24. Nu, pentru că cel puţin una dintre ele ar trebui să fie goală.

25.0; 1;2;3;4;5

26.4; 7

27. Se va şterge numărul 5 sau numărul 4.

28.2; 4 şi 629. 0; 2; 4; 6; 8

30. 9; 7; 5; 3; 1

B. Pregătire pentru concursuri1. 1111 Regula este: o cifră de 1, o cifră de O, două cifre de 1, o

cifră de O, trei cifre de 1, o cifră de O, patru cifre de 1, o cifră de Oşi aşa mai departe.

2. 101 Regula este: o cifră de 1, o cifră de O, o cifră de 1, două

cifre de O, o cifră de 1, o cifră de O, o cifră de 1, două cifre de O şi

aşa mai departe.

3. 123 Regula este: se repetă secvenţa de cifre 1234.

4. a) 8 b) 2 c) 101 d)l (apare de 6 ori) e)Mai multe cifre

impare, ca o consecinţă firească a punctului anterior.

5. a) 1 2 3 b) O 12 c) 2 3 4

6. 4 şi 6; 3 şi 5; 5 şi 7. De două ori

7/22/2019 Euclid 2013


----- -----------

7.6

H. 4 plopi>. Notăm cele trei persoane cu A, B şi C. A le-a trimis mesaje lui

H şi C, deci două mesaje. B le-a trimis mesaje lui A şi C, deci

louă mesaje, iar C le-a trimis mesaje lui A şi B, deci două mesaje.

ll total, s-au trimis 6 mesaje.

M). a) Schimbăm toate cifrele de pe coloana 3(numărând de la

stânga la dreapta).

b)Schimbăm toate cifrele de pe coloana 3 şi linia 2, numărând deus în jos.

')Schimbăm toate cifrele de pe coloanele 2 şi 4 şi liniile 2 şi 4.

11. Deoarece săptămâna are numai 7 zile, înseamnă să nu este

posibil ca fiecare din cele 8 persoane să fie născută într-o altă zi a

Aptămânii.

12. Dacă ar încerca să pună o singură bilă în fiecare cutiuţă, nu ar

putea să consue decât 4 bile. Prin urmare, oriunde ar pune a cinceahilă, va realiza o cutie cu două bile.

13. Albă ca Zăpada şi cei 7 pitici totalizează 8 persoane. Cum

i'iptămâma are numai 7 zile, înseamnă că nu este posibil ca în

iccare zi să muncească o singură persoană.

1) l-l-l; 1-1-2; 1-1-3; 1-2-1; 1-2-2; 1-2-3; 1-3-1; 1-3-2; 1-3-3; 2-

1

t) Cea mai mare combinaţie de cifre este 3-3-3.

) Cea mai mică secvenţă nefolosită la numărătoare este cea care

urmează după ultima secvenţă folosită, adică 2-1-2.

15. a) 5 cifre de 1 b) 6 cifre pare c) 9 cifre impare

16. a) 5 mărgele negre b)7 mărgele albe c) 11 bile

17. a) Luăm în calcul cazul cel mai rar, adică cel în care extragem

umai bile de altă culoare decât verde. Putem extrage astfel toateilele albastre şi toate bilele roşii, adică 7 bile. A opta bilă extrasă

I fi cu siguranţă una verde. Prin urmare, extrăgând 8 bile, vom

vca cel puţin o bilă verde.

7/22/2019 Euclid 2013


şi toatele bilele verzi, adica în total 6 bile. Prin urmare, extrăgând

7 bile, vom avea cel puţin o bilă roşie.

c) Gândim în ordine descrescătoare a numărului de bile. în cel mainefavorabil caz, extragem toate bilele roşii(care sunt cele mai

multe), apoi pe toate cele verzi şi avem bile de două culori. Deci

următoarea bilă va fi de a treia culoare. Prin urmare, sunt necesare

10 extrageri pentru a fi siguri că avem cel puţin câte o bilă din

fiecare culoare.

' O ■

18. a) « ; b) c) o d)• O

19. a)

1 2 3 4 5

1 1 1 10 0 0

O OO ;b)

1 2 2 2 1

1 0 0 1

1 O 1

1 1

O ;c)

1 2 3 4 5

1 1 0 1O 1 1

1 OO ;d)

5 2 2 1 1

10 101 1 1

O o

o

III. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-

10

A. Exerciţii de antrenament1. a) 3+2 = 5 c) 2 + 2 = 4 e)2+l=3

b) 3 + 1= 4 d) 4+ 1=5

2. a) 4 -1 = 3 c) 5 -2 = 3 e)4-3=l

b )3- l=2 d)6-3 = 3

3. a) 2; b) 3; c) 1; d) 4; e) 5; f) 6; g) 7; h) 8; i) 9; j) 10

4. a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4; f) 5; g) 6; h) 7; i) 8

5. a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6; f) 7; g) 8; h) 9; i) 106. a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4; f) 5; g) 6; h) 7; i) 8

7. a) 3; b) 4; c) 5; d) 6; e) 7; f) 8; g) 9; h) 10

8 )0; b) l ; )2;d)3; )4f)5; )6;h)7

7/22/2019 Euclid 2013


10. a) 0; b )l;c )2 ; d) 3; e) 4; f) 5; g) 6

11.a)5;b) 6; c) 7; d) 8; e) 9; f) 10

12. a) 0; b) l;c) 2; d) 3; e) 4; f) 5

13. a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) 10

14.a)0;b) l;c)2;d)3;e)4

15. a) 7; b) 8; c) 9; d) 10

16. a) 0; b) l;c )2 ;d )3

17. a) 8;b) 9; c) 10

18. a) 2; b) l;c )0

19. a) 9; b) 10; c) 0; d) 1

20. a) 2 + 4; b) 4 + 4; c) 6 + 3; d) 2 + 3 ; e) 2 + 3; f) 3 + 1;

21. a) 2 + 3; b) 4 + 7; c) 7 + 8; f) 4 + 1; g) 3 + 4;

22. a) <; b)<; c)=; d)<; e)=; f)=; g)<; h)>; i)>; j)>.

23. a) De sus în jos: 2; 8; 10; 9; 9; 10; 9; 10; 10; 8.

h) De sus în jos: coloana 1: 5; 8; 7; 1; 3; 2; 8; 9; 0; 1

coloana 2: 9; 8; 9; 9; 9; 4; 10; 9; 6; 1.

24. a) 4 + 5; b) 2 + 7; c) 3 + 4; d) 4 + 6; e) 8 + 205 + 5;g) 1+4; h) 1+ 3; i) 3 + 4; j) 4 + 5.

25. a) 6 - 3; b) 7 - 3; c) 3 + 4; d) 4 + 6; e) 8 + 20 6-2; g)7-4; h) 8-4; i)2 - l; j)7 - l.

26. 2 + 3 = 5; 5 + 4 = 9; 6 + 2 = 8; 1 + 2 = 3; 1 + 9 = 10

7 -3 = 4; 8 -2 = 6; 10 -9 = 1; 9 -4 = 5; 5-5 = 0.

27.a)

a a + 2 a + 5 a-a

1 3 6 2

3 5 8 6

5 7 10 10

2 4 7 2

0 2 5 0b)

a a-2 f l - 1 a-a

3 1 2 0

4 2 3 0

5 3 4 0

8 6 7 0

6 4 5 0

28. a) F b) F c)A d) A e) A f) A g)A h)A i)F j)A

29. a) + şi - f) + şi -

l>)f şi - g) -şi +

l’)^ şi - h) -şi +

7/22/2019 Euclid 2013


d)- şi + i) + şi -

e)+ şi - j) - şi +30. a)de sus în jos: 9 şi 6; b) de sus în jos: 10; 9 şi 0.

B. Pregătire pentru concurs

I. 9; 2. 8; 3. 7; 4. 2+3+4=9; 5. 6; 6. 2; 7. 4; 8. 2; 9. 1

10. Sumele de două numere egale cu cele mai apropiate sunt ş i,

deci 7 nu poate fi scris. De asemenea, orice număr de două numere

egale este un număr par, iar 7 este impar.II.7

12.3 + 2 = 5 ; 3 - 2 = l ; 5 - l = 4

13. a)0 + l = l ;0 + 2 = 2;0 + 3 = 3;0 + 4 = 4

1+2 = 3; 1+3 = 4; 1+4 = 5

2 + 3 = 5; 2 + 4 = 6

3 + 4 = 7

b) 3 sume sunt diferite.

c) cea mai mică este 1, cea mai mare este 7.

d) sunt 3 sume care se repetă de câte două ori.

14. a) 6; 8; 10 (regula este scrierea în ordine crescătoare a

numerelor pare)

b) 7; 9; 11 (regula este: scrierea în ordine crescătoare a numerelor

impare)c) 5; 8; ll(regula este: fiecare termen este suma celor doi termeni

din faţa sa)

15. a) 4 + 6; b) 2 + 3 + 5; c) 1 + 2 + 3 + 4; d) O + 1 + 2 + 3 + 4;

e )l + l + l+ 2 + 2 + 5 ; f ) l+2 + 2 + 2+ l + l + r

g)l + l + l + l + l + l + l+3;h ) l + l + l+l + l + l + l + l +

2;i) l + l + l + l + l + l + l + l + l + l.

16. a) 3; b) 2; c) 317. 1 leu plăteşte cu moneda de 1 leu

2 lei plăteşte cu moneda de 2 lei

3 lei = 1 leu+2 lei

7/22/2019 Euclid 2013


(t lei = 2 lei+4 lei

/ lei = 4 lei+2 lei+1 leu

IK. a) 6 lei = 2 lei+4 leih)8 lei = 4 lei+4 lei

i‘)9 lei = 4 lei+4 lei+1 leu

tl) 10 lei = 4 lei+4 lei+2 lei

MM. 8 - l + l+ 6 = 2 + 2 + 4 = 3 + 3 + 2

20. 1 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =

5 1 ( 3 + 3+1=3 + 34-2 + 2 =

IV. Numerele naturale de la O la 20


1. a)ll;b)12;c)13;d)14;e) 15;f) 16;g) 17; h)18; i)19; j)20.

2. Zeci Unităţi

14 1 4

10 1 O

12 1 2

a) Cifre zecilor este 1, pentru flecare număr.b) Cifrele unităţilor sunt: 4;3;7;5;9;0;1.

•J.a)0;l;2;3;4;5;6;7;8;9;10;ll;12. b) 8;9;10;11;12;13;14.

(')8;9;10;11;12;13;14;15;16;17. d) 18.

C)I2;13;14;15;16;17;18;19.

«.a) 1;4;7;10;13;16;19. b) 1;5;9;13;17. c) 20;15;10;5;0.

(..a)9;10;ll;13;17;19;20. b) 20;19;17;14;7;1;0. c) 13 şi 15.

d) 11.7. b) 14 = 10+4; c)17 = 10+7; d )ll = 10+1 ;e)16 = 10 + 6;

O 19 = 10 + 9; g)20 = 20+0.

N, a)<; b)<; c) =; d) <; e) >; f) >; g) >; h) <; i) <.

'Va) 9,10,11,12,13. b) 12,13,14,15. c) 18,17,16,15,14.

1(1. a)8 şi 10; b)10 şi 12; c)13 şi 15; d)15 şi 17; e)18 şi 20; f)12;

K,)18;h)16;i)12;j)10.

ll.Pregătire pentru concursuril.a)14,16; b)13, ll;c)10, 13;d)5, 0.

1

7/22/2019 Euclid 2013


ESvOl

2. a) 10 şi 11, deci două numere. b)0, 1, 10, 11, adică patru

numere.

3. a)10,l 1,12,13,14,15,16,17,18,19, deci 10 numere. b)l şi 11,adică două numere, c) 11, adică un singur număr.

4. a)8 numere; b)7 numere; c)7 numere; d)10 numere.

5. a)20 de cartonaşe;b)10 cartonaşe;c) 11 cartonaşe;

d)Cartonaşele impare sunt; 1,3,5,7,9,11,13,...,19. Prin urmare

sunt 15 cartonaşe.;

e)Cele 5 grupe pot fi: {9}; {1;8}; {4;5}; {2;7} şi {3;6}.

6. a) 7+3 = 10 creioane nu sunt albastreb) 3 + 5 = 8 creioane nu sunt roşii

c) Presupunem că avem ghinion şi scoatem mai întâi toate

creioanele verzi şi toate creioanele albastre. înseamnă că am scos

3+5=8 creioane. Scoţând încă unul, sigur va fi roşu. Deci, trebuie

să scoatem cel puţin 9 creioane pentru a fi siguri că am scos unul

roşu.

d) Să presupunem că, fiind ghinionişti, scoatem toate creioaneleroşii, apoi pe toate cele albastre. Am scos astfel 12 creioane. In

mod sigural treisprezecelea va fi verde, deci scoţând 13 creioane

avem 3 de culori diferite.

7. a) 112131 I:lj2l4i I ll2|5j l.l|314l UI3I511.114151 -secvenţe care încep cu 1

t2|3j4| |2|315] |2|4|5| -secvenţe care încep cu 2

3L41 J -secvenţe care încep cu 3.

în total sunt 10 secvenţe din care 5 încep cu cifra 1.

b) Una singură, anume:[IUI.

c) 6secvenţe: M Iffl M D HS [Ml.d) 10 secvenţe.

8. a ] ^ p M o singură secvenţă are prima cifră 3.

b) l5|4|3l |5|3|l| Doup secvenţe au prima cifi-ă 5.

c) m u l5l.3il| SHy m m . în total poate scrie 4 secvenţe.

9. a) ABC b)ABCBA c) ACBCBC d) ABCBA

e) AAA, AAB, AAC, ABA, ABB, ABC, ACA, ACB, ACC. Sunt

9 cuvinte de lungime 3 care încep cu A.

10. a) 8 lei = 4 lei+4 lei = 2 lei+4 lei+2 lei = 8 lei

7/22/2019 Euclid 2013


b) 7 lei = 1 leu+1 leu+1 leu+1 leu+1 leu+1 leu+1 leu=

= 1 leu+1 leu+1 leu+1 leu+1 leu+1 leu+2 lei== 1 leu+1 leu+1 leu+2 lei+2 lei=

= 1 leu+2 lei+2 lei+2 lei=

= 1 leu+1 leu+1 leu+4 lei=

= 1 leu+2 lei+4 lei.

c) Cea mai mare sumă este 1 Ieu+2 lei+4 lei+8 lei+16 lei=31 lei.A

11. In prima zi: 2 râme.

în a doua zi: 2+2=4 râme.în a treia zi: 2+2+2+2=8 râme.

în a patra zi: 2+2+2+2+2+2+2+2=l 6 râme.

Deci în a cincea zi vor fi cel puţin 20 de râme.

12. în prima zi: 1vizitator,

în a doua zi: 2 vizitatori,

în a treia zi: 3 vizitatori.

în a patra zi: 4 vizitatori,

în a cincea zi: 5 vizitatori.

Continuând raţionamentul, ne dăm seama că, pentru prima data,

vor veni cel puţin 11 vizitatori în a 11-a zi.

13. în prima zi: 1candidat,

în a doua zi: 2 candidaţi,

în a treia zi: 4 candidaţi.

în a patra zi: 7 candidaţi,

în a cincea zi: 11 candidaţi.Deci nu există o zi în care să se prezinte exact 10 candidaţi.

14. El poate să îşi pună: perucă-coif-coroană; perucă-coroană-coif;

coif-perucă-coroană; coif-coroană-perucă; coroană-perucă-coif;

coroană-coif-perucă. Sunt 6 feluri de aranjare.1 3 5 4, 6

:2 1 ,2i. -1 2- 2 1

O o o l- o 1o „ 6 :2 2 2 2 2

15.a) o b) Q 4 0 0 0 2

i')Se începe completarea tabloului de jos în sus. ^ o o o

Mn exemplu este: ^4° o

7/22/2019 Euclid 2013


V. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul

0-20, fără trecere peste ordin


1. a)

b)

a a+11 a+12

0 11 12

1 12 13

2 13 14

3 14 15

4 15 . 165 16 17

6 17 18

7 18 19

8 19 20

a b c a+b+c

0 1 2 3

1 2 3 63 4 3 10

10 1 2 13

11 2 3 16

12 2 3 17

15 1 2 18

16 1 0 17

19 0 1 20

2. a) 4; b)7; c)2; d)l; e)l; f)10; g)10; h)12; i)16; j)12; k)l; 1)2;

n +1

3

7/22/2019 Euclid 2013


CIASAAU

d)

4.a)13 b)19 c)17 d)19 e)20

f)12 g)14 h)13 i)16 j)5

5.a) 18=10+10-2= 10+6+2 b)16=10+2+4=l 1-1+6 c)6=4+5-3=10-

5+1 d) 10=2+3+5=20-9-1 e)l=2+3-4=6-2-3

6.a)10; b)3; c)2; d)2; e)l; f)2; g)7; h)0; i)10; j)2.

7.a)17; b)17; c)17; d)18; e)9; f)17; g)20; h)17; i)20; j)18.

8.a)6; b)10; c)15; d)18; e)13; f)3; g)ll; h)14; i)13; j ) l l .

9.a)3; b)6; c)0; d)10; e)4; f)5; g)6; h)10; i)15; j)0.

10.a)10-2-3-5 = 0 1)1 + 2 + 3 + 4-10 = 0

b)5-2-3 = 0 g)2-2+3-3 = 0

c)15-15 + 2-2 = 0 h)19 + l-20 = 0

d)6+4+5-15 = 0 i)18+2-20 = 0

6)2+3 + 5-10 = 0 j)16+4-10-10 = 0

11. a)6; b)2; c)12; d)14; e)10; f)4; g)5; h)5; i)13; j)18

12.a)+;+;b)+;-; c)-;+; d)-;-;e)-;-;f)+;+;g)+;+;h)-;-;

13.a)103b)ll;20c)19d)21

14.

20p=1Op+10p=5p+5p+5p+5p=2p+2p+2p+2p+2p+2p+2p+2p+2p+2p=

=10p+5p+5p=l0p+2p+2p+2p+2p+2p=5p+5p+2p+2p+2p+2p+2p.In şase feluri.

15.a)6;7;8;9;10;l 1;12;13. Sunt 8 numere.

b)12;13;14;15;16. Cel mai mare număr este 16.

7/22/2019 Euclid 2013


B.Pregătire pentru concursuri1.a)în a treia zi au înflorit 3 pomi.

b)în a patra zi sunt înfloriţi în total 1+2+3+4=10 pomi.c)în a şasea zi sunt înfloriţi în total 1+2+3+4+5+6=21 pomi, deci

mai mult decât 20.

2.a)5 buline;b)8 buline;c)7 buline;d)2 buline;

e)3 buline;f)o bulină;g)14 buline.

3.a)Este evident că cel mai mare număr este F, deoarece are

termeni în plus faţă de toţi ceilalţi.

b)Pare sunt C;D. Impare sunt A;B;E şi F.

c)Suma tuturor numerelor A,B,C,D,E,F este una impară, deci nu sepoate scrie ca sumă de două numere egale. Prin urmare aranjarea

este imposibilă.

4.a)D, deoarece are termeni în plus faţă de toţi ceilalţi.

b)B şi D sunt pare, A şi C sunt impare.

c)3; d)3+5=8;

e)Toate diferenţele sunt impare. Suma a trei numere impare este

tot un număr impar.f)Nu, deoarece D>A+B+C.

5.a)Nub)Nuc)Da7 euro=2 euro+5 euro

d)2 euro=2 euro; 4 euro=2 euro+2 euro; 5 euro=5 euro; 6 euro=2

euro+2 euro+2 euro;

7 euro=2 euro+5 euro; 8 euro=2 euro+2 euro+2 euro+2 euro; 10

euro=5 euro+5 euro;

lleuro=2 euro+2 euro+2 euro+5 euro; 12 euro=5 euro+5 euro+2

euro; 13 euro=2 euro+2 euro+2 euro+2 euro+5 euro; 14 euro=2

euro+2 euro+5 euro+5 euro; 15 euro=5 euro+5 euro+5 euro;

16 euro=2 euro+2 euro+2 euro+5 euro+5 euro; 17 euro=5 euro+5

euro+5 euro+2 euro;

18 euro=5 euro+5 euro+2 euro+2 euro+2 euro+2 euro; 19 euro=5

euro+5 euro+5 euro+2 euro+2 euro; 20 euro=5 euro+5 euro+5

euro+5 euro.

6.a) 7+3+10=20 mărgele

7/22/2019 Euclid 2013


b) Presupunem că are ghinion şi nimereşte toate mărgelele galbene

şi roşii, adică 13. Scoţând 15, sigur cel puţin două vor fi albastre.

c) Sunt trei culori diferite. Prin urmare, dacă scoate 4 mărgele,

sigur cel puţin două vor avea aceeaşi culoare.

d) Dacă scoate 7 mărgele, sigur cel puţin 3 vor avea aceeaşi

culoare.

e) Să presupunem că nimereşte numai mărgele galben(în cazul cel

mai rar). Prin urmare cel mai mare număr posibil este 9.

f) Cel mai mare număr posibil este 2(altfel ar putea să scoată toate

cel 3 mărgele roşii).

7.a)Nu joacă şah 15-10=5 copii.

b)Nu joacă volei 15-6=9 copii.

c)Sunt 13 copii care joacă ceva. înseamnă că ambele jocuri le

joacă 10+6-13 copii.

d)6-3=3 copii joacă volei, dar nu joacă şah.

e) 10-3=7 copii joacă şah, dar nu joacă volei.

8.a)Nu vorbesc engleză 20-10=10 turişti.

b)Nu vorbesc germană 20-9=11 turişti.

c)Sunt 16 turişti care vorbesc engleză sau germană. înseamnă că

ambele limbi le vorbesc 10+9-16=3 turişti.

d) 10-3=7 turişti vorbesc engleză, dar nu vorbesc germană.

e)9-3=6 turişti vorbesc germană, dar nu vorbesc engleză.

9.a)

capul 1 capul 2

perucă căciulă perucă căciulă

blondă roşie neagră verde

blondă verde neagră roşie

neagră ‘roşie blondă verde

neagră verde blondă roşie

Se pot face 4 aranjări,b)

capul 1 capul 2

perucă căciulă perucă căciulă

7/22/2019 Euclid 2013


blondă roşie neagra verde

Se pot face 2 aranjări.

c)Se reduce la punctul b), pentru că, dacă nu are voie să-şi punăcăciula roşie, înseamnă că, peste peruca blondă îşi pune

obligatoriu căciula verde.

10.a)Pleacă Ion şi face 6-5=1 pas.

b)Pleacă Vasile şi face 5-2=3 paşi, deci se va afla mai departe de

start decât Ion

c)Ion mai face 3-2=1 pas, deci el se va afla la 2 paşi de linia de

start, iar Vasile este 1^ 3 paşi. Prin urmare tot Vasile se află maideparte.

d) Ca să ajungă la aceeaşi distanţă, ar trebui ca Ion să mai facă un

pas. Deci posibilităţile sunt cele din tabelul de mai jos.

Ion Vasile

1

11 .a)Ion a făcut 8 paşi în faţă şi 5 în spate, deci se află cu 3 paşi în

faţa liniei de start.

b)Vasile a făcut 5 paşi în faţă şi 7 paşi în spate, deci se află cu un

pas în spatele liniei de start.

c)După răspunsurile obţinute la a) şi b), deducem că diferenţa depaşi dintre Ion şi Vasile este de 4 paşi.

d) Ar trebui să facă amândoi câte două aruncări şi Ion să obţină la

amele steaua, iar Vasile să obţină la ambele număr. Ei s-ar întâlni

la un pas în faţa liniei de start.

12.a)5+5+5+5=20 puncte (4 corecte)

b)5+5+5-3=12 puncte (3 corecte şi 1greşit)

5+5-3-3=4 puncte (2 corecte şi 2 greşite)Nu se pot obţine 7 puncte.

c)Da, rezolvând corect 3 exerciţii şi greşit unul.

d) Nu(vezi punctajul de mai sus)

7/22/2019 Euclid 2013


e)Sigurul punctaj posibil mai mare decât 15, este 20.

13. 4 ® 1 0 @ 6 I S 5 = 8S 7 . Eo singură posibilitate.

14.a){5};{2;3};{l;4} b){2;5};{3;4} c){ll,16};{12;15};{13;14}

d){12;15};{13;14} e){5;l1;16};{2;3;12;15};{1;4;13;14}

Le-am obţinut continuând grupele de la punctele a) şi c).

15.a)Dacă toate ar fi mai mari decât 3, atunci suma lor ar fi mai

mare decât 3+3+3+3+3=15. Dar suma lor este 14, deci nu este

posibil ca toate să fie mai mari ca 3.

b) Dacă toate ar fi mai mici ca 3, atunci fiecare ar fi cel mult 2,

deci suma lor ar fi cel mult 2+2+2+2+2=10, ceea ce nu esteposibil.

c)Cele mai mici 5 numere diferite(şi diferite de 0) sunt 1,2,3,4 şi 5,

care au suma 15. Deci nu este posibil să fie toate diferite.

VI. Numerele naturale de la O la 100


I.1; 4; 7; 9; 1; 3; 6; 8; 3; 2 2.4; 1; 7; 9; 8; 5; 7; 2; 0; O3.80; 65; 4.42; 53; 64; 86; 31 5.16 6.16; 61; 25; 52; 34; 43; 70

7.Sunt numai 9 numere de două cifre care au cifrele egale. Cum în

total sunt 90 de numere de două cifre, înseamnă că sunt mai multe

cele care au cifrele diferite.

8.Cea mai mică sumă a cifi"elor este 1şi o are numărul 10.

Cea mai mare sumă a cifrelor este 18 şi o are numărul 99.

9 . 1 1 0 ; 2-^ 11; 3 ^ 12; 4-^ 13; 5-> 14; 6-> 15; 7 ^ 16; 8-> 17; 9

—>18; 10 —> 19;

11^56; 12-^66; 13->67; 14->68; 15^69; 16->88; 17->89; IS

—> 99.

10.17 = 10 + 7; 27 = 20+7; 73 = 70+3; 53 = 50+3; 25 = 20 + 5;

41 = 40 + 1; 50 = 50+0; 62 = 60 + 2; 81=80+1; 48 = 40+8.

II.61; 52; 84; 23; 33; 96; 18; 41; 52; 59

12.23; 49; 29; 19; 28;18; 27; 47; 16; 15

13.21;31;41;51;61;71;81;91;92; 93

7/22/2019 Euclid 2013


(L)4-)c

-îl .T20 -O

S's

1 I,1

ify

k!(1)T3C3

~C)Va

3o

r\

~ S3

<«JOa>T3

'i

<a

6(U

>aC/3u

<u

epccoO

)«bi&»Im

0<. «3

ce _•

G(DP,

<2(U-o<u

>RJ

(U

3o

(U

63C00

#v

'ou

T3#N

su_c'+-*X)o

2iD

a3

C

s(Uc

oC®

©o' oCr-" oo

rs r»

r-r> r.

10 vom

fo rf"#>

fNCO

IC tC<UD■»->•*-*cd tdO OP. O,X>-O

r» #Nr-< fS11 IIC3 <XS

t 3 X)C C<cd<cdU O

îi

53C

<n

6(Dc

• t-H+-»X)O

.(Uw

(U

s33

(U

<3

e3C'O

S(Uc

•

X>O

oC

oo

vd'•sin

C0)-♦-*«3Ocx

X)

r<T' Tt in ^ K

2i(U

a3C

ac

• 1-H

XOo

Cv r*

00 ONoo

*W

Î+:

ii iiei c3

a aX>

Ic

m

a (Uc

.a <uî loo oT

r-" oo"

ăiaâX) X)

)<fl

cl-H

a31/3

O(UT3

oC

if:

(UcdO\ oOhr<

3OO*' gII

«3

T33<«Ju

«3ca

X) T3c c

<CS (C3u u

c3 d

TJ -a3 3<rt <cdO u

(O

a3

. 3

cd0

is 'S

XJ c3

cfa• ^

O(D

3f i i<L)

OsOn

t:

133<DX)

1)

!/lcd

(UT3

OO

îs °°-3 t- .

Sr- IO

vo ^covo • -

*

ÎSJi

ao3

3

cbJ+H‘o^ O

13x>

3

I3O

(U

ţfc'o)«3

(NV-. (Nl>-

cn

3 ^ IU "

P -a a.1)

10

c os 1<I-H )«s

000(6

03 a(U3

• 1—44_>A1

•4-Cdr~<£ X )

<D f S 0

C/5

*0 )C r—1

13>dcd

Cd )cd0

-Oc

•4-* ;3faa >cd cd cd0 <D fS

p0

cd0>■i_j

cd0

S '

cd-4-»(U ■b

B 0

0• c 03

)«3 )£dQ 3

3D<

0T3

)-HO. 0t3 -2

•' o

3O

Si(U

33

3O

vo

(Noo(U • •'î; oo5i <N

O s

I I 2:

^ C/O 'c3'X 'o' <N

'U Ti ^

2i a I ai M §§2

ia C.o 1) 3 (N3a •-<3

. (/>. 3 gJ Wc«

3 3 -T

52, I g f X .5 3 2

_o13

u

a33

-O

13o<u

(X

a<uT3

3 >C3r3 o

i2 <Uo ii -o

c

o O'

a

;3o

2iIU

a33

O• #« •

^ rtir>

<N

O r--'—I (N

o >>r(N(N

. #N • r\

O mfOCN^ -O

'O IOtr>r

inmvo

lÂT«>r-rj-in

"u S'r-^ r-

>o

in

6flIO

^ On O OO

*'■OO m

<N

O n

OO• r\

OOt--» »vr'\o•«^

N£>

V-)«o'

O0\• r\

'=3-

• *N •

VO Tl-

>no

c:

IU3ctJ

I( N ( N O• »N . #N

O (uooIO73

(Nrsi

oou~)—-oo

in sc K

ii

X

(N

oc

cd >cdm(U

CJ

CJ >cdcd 3

3 a<1- cd

D-4-*-30

' M

c3C/3

)cd3 10"(N

■£,"O

• S

• t—«

00

3

SfN cd

cd'B ,

a00

N

130

<u*o

co»cd(UD

)cd a<a•

3 3Q

•G

3<u

c ;

0tzi

)cd3

)cdC/l •

O ,CN '3 01“^

X> 0(U Ei m cd i3

_3

3 13 *-!-»*'3

3<

)cd"3

D ,

1300^ _3

(D

ag

^ <N

3^.3

C/O m

(u — XJ

<=TI â

Tl ‘o

::-2s

""l 2o . .

r-

• #N

(Nr-

<uoot-H(U

NO

in <NCN—I Or--m'O OO

• ^ . * rv * 9\ »#s • r>

cNO r-cs mooNO

fN" 6C(Ncn t> >A>

• #N *r\ *r\ *«N >«N

—I O vooo-«t in t>

i> o vot*"cn m r<

«r\ ««N »#s ««N »r>

</-) O NO NO r~_ (N(Nr-; (N

—' o6 On d —<r- cs (N

a33(U

«

IU

r t

O•-T—»

*3^

3

3 • -< 'f—M<u<N

0.2

-Hoo"

r<-) tN<N IU

« iCN

"1q(N .

—I <N. „ On

fN . ^. . (N

H OOA r

a3 (NIU'O

CNc5o •-

’2 ^

3 P!. a <f •'D CN

^00"

CN

, 2 " ^> o

or-~

o

• t\

o

o

• r\

Om

< r.

OCN

îi U

a33

i >

§ ^o 1)

■g Oso 00

3

, a

î icd<X

t 3

O

13

&C3

*0<D

Q

U )

om 00

On oo"

<U

O

o

cd

O

ăh d O

(N <0 CN

■ (T) yn CN CN CN

oCN 00CN

• CN

00r -

• ^

On

» rv

SD

• CN

m00

NOIO

• ^

00c o

ir T'

CN

m000

t^ "CN

• r\

fOCN

• #N

ONNO• «\

<NOS

. »\

NO

i r i NO

« r>

CN

00

<N00

CN CN

r-H > 0On . „. ^ Os

O —«00 . „. 0010CNv o . „

NO» o . ^

6 C 5

. „

. . .

. NOm 10m „

. CNr -

CN

00

IO OS

O s dCN CO

s

O n

>0

00"'5J-

S '

O s • -

tifl . .. ^ Os

O mr - . ^

O 00

^ IO(U /— ^. ^ X3

rs i ^CNc!** » *s

CN . „00 in'I T

§S^ 1/1

CN

CN( N c n

Om

NO

Dr -c o

o T00

Osos

•

00O s

i nos

• «s

oOS

• r<.

OS00

00"00• r\

00

O00

Os"

» r>

00U-)

»n" IT)

• r>

S^.

a Sr+!21, . ^ 00 CNo o On—<

r<-i r<l m

7/22/2019 Euclid 2013


lO.Săptămâna are 7 zile. Dacă am avea cel mult trei copii născuţi

în fiecare zi a săptămânii, atunci ar fi cel mult 21 de copii. Fiind

22, înseamnă că există cel puţin patru copii născuţi în aceeaşi zi asăptămânii.

11 .Suma cifi-elor 2; 20.Suma cifi-elor 4; 22, 31, 40.

Suma cifrelor 3:21, 30.Suma cifi-elor 5; 23, 32, 41, 50.

Suma cifrelor 6: 24, 33, 42Suma cifrelor 8: 26, 35, 44.

Suma cifrelor 7: 25, 34, 43.Suma cifrelor 9: 27, 36, 45.

Suma cifrelor 10: 28, 37, 46.Suma cifrelor 11: 29, 38, 47.

Suma cifrelor 12: 39, 48.Suma cifrelor 13: 49.

12.a)0 singură dată, altfel suma cifrelor nu ar mai putea fi 1.

b)De două ori, fiind necesară şi o cifră de 1.

c)5 cifre de 1, câte una pe fiecare linie şi pe fiecare coloană.

d)Restul cifrelor, adică 25-5=20, sunt cifre de 0.

e)5, deoarece sunt 5 cifre de 1 şi restul numai de 0.

13.a) A zecea cifră de la stânga la dreapta este 4.

b)A zecea cifră de la dreapta la stânga este tot 4.

c)Cifrele 1,2,3,4 apar de câte 14 ori fiecare.d)Cifrele 6,7,8 şi 9 apar de câte 4 ori fiecare.

e)84950(o secvenţă de 5 cifre). Mai sunt şi altele.

f)819202122232425262728, deci 21 de cifre.

14.a)De 21 de ori.

b)De 11 ori.

c)Numerele de pe o foaie au parităţi diferite, deci suma lor nu

poate fi pară.15.a)l

b)54-l=53

c)l=2-l=3-2=...=54-53, deci în 53 de feluri

d)într-un singur fel: 54-1.

e)Suma tuturor numerelor din şir este una impară, deoarece sunt

27 de numere impare adunate (adică 1+2=3; 3+4=7; ... ;

53+54=impar). Prin urmare acest număr nu se poate scrie ca sumă

de două numere egale.

7/22/2019 Euclid 2013


^CLASAAI^A*C^^

16. încercuirile sunt

1,6,11,16,21,5,10,15,20,4,9,14,19,3,8,13,18,2,7,12,17 şi 1din nou.Deci, după 20 de încercuiri, vine din nou rândul lui 1.

VII. Adunarea şi scăderea în concentrul 0-30, fără trecere

peste ordin


1.a)14 = 10 + 4;b)26 = 20+6;c)29 = 20+9;d)19 = 10+9;

e)20 = 20+0;f)28 = 20+8;g)12 = l0 + 2;h)22 = 20 + 2;i)17 = 10 + 7;j)8 = 0+8.

2.a)19; b)26; c)29; d)20; e)18; f)28; g)29; h)30; i)20; j)23.

3.a)19; b)19; c)29; d)29; e)16; f)19; g)29; h)24; i)29; j)18.

4.14+2 = 16; 18 + 1= 19;28 + 2 = 30;24+3 = 27; 16 + 1= 17.

5.15 + 2 = 17; 15 + 2 = 17 ;15 + 4 = 19; 17 + 2 = 19; 11 + 5 = 16.

6-a) + 3 4 5 2 1

10 13 14 15 12 11

13 16 17 18 15 14

15 18 19 20 17 16

20 23 24 25 22 21

21 24 25 26 27 22

+ 4 13 12 11 10

6 10 19 18 17 16

11 15 24 23 22 21

12 16 25 24 23 22

10 14 23 22 21 20

2 6 15 14 13 12

7.a)12-> 16-^20^24^28 b)30^27-> 24^21

8.a)14 = 20-6; b)22 = 30-8;c)24 = 30-6; d)12 = 20-8;

e)19 = 20-l; f)23 = 30-7;g)27 = 30-3; h)20 = 20-0;

i)l5 = 20-5;j) 25 = 30-5.

9 )22; b)22; )26; d)25; )24; f)15; )23; h)22; i)25; j)23

7/22/2019 Euclid 2013


11.16-6 = 10; 17-2 = 15; 18-11 = 7; 20-9 = 11; 30-10 = 20;

24-22 = 2 .

12.16-2 = 14; 22-2 = 20; 28-16 = 12; 30-9 = 21; 28-12 = 16.13.a) - 1 2 3 4 10 b) - 28. 29 16 14 22,

20 19 18 18 16 10 10 18 19 6 4

24 23 22 22 20 14 2 26 27 14 12 20

26 25 24 24 22 16 1 27 28 15 13 21

30 29 28 28 26 20 11 17 18 15 3 llj

28 27 26 26 24 18 12 16 17 4 2 10

14.a)30-> 2 5 2 0 -» 1 5 1 0-» 5

b)28-> 26 2 4- > 22 2 0 1 8

B. Pregătire pentru concursuri1.a)10; b)pe trei bile: 10,20,30.; c)pe două bile; 11 şi 22

d)12 şi 21, deci două bile; e)De 20 de bile

f)Există doar un singur număr pare care are cifrele egale.

Presupunând că l-ar extrage pe acesta şi încă zece bile cu numereimpare, înseamnă că următoarele cinci vor fi sigur numere pare

scrise cu cifre diferite. Deci este necesar să extragă cel puţin 16

bile.

2.Grupele care încep cu 11 sunt: (11; 12; 13); (11; 12; 14);

(11;12;15);(11;13;14);(11;13;15);(11;14;15) ^ 6 grupe

Grupele care încep cu 12 sunt: (12;13;14); (12;13;15); (12;14;15)

-> 3 grupeGrupele care încep cu 13 sunt: (13,14,15)-^ o grupă.

In total, sunt 10 grupe.

3.a)A făcut l+2+3=6 schimbări. b)La sfârşitul celei de-a patra

zile, Ion a făcut 1+2+3+4=10 schimbări, prin urmare nu poate

obţine un număr impar de bile albe şi negre.

4.a)14 pagini au numere pare. b)29-14=15 pagini au numere

impare, deci sunt mai multe pagini cu numere impare.c)Cifra 1 s-a scris pe paginile: 1; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18;

19; 21, deci s-a scris de 13 ori.

7/22/2019 Euclid 2013


d)Le numărăm şi constatăm că s-au folosit 49 de cifre.

c)Sunt 20 de pagini cu numere de două cifre, din care 2 numere au

cifrele egale: 11 şi 22. Prin urmare 18 pagini sunt numerotate cu

numere de două cifre formate cu cifre diferite.

5.a)3 cartonaşe

b)în total are 1+2+3=6 cartonaşe.

c) 1+2+3+4+5=15 cartonşe

d)10 zile

e)în ultima zi primeşte 10 cartonaşe. în primele 5 zile a primit 15

cartonaşe, deci mai multe decât în ultima.6.a)5+3+2=10 cartonaşe

b)3 cartonaşe

c)în cazul cel mai rău, scoatem numai cartonaşe nepotrivite, care

pot fi cel mult 7. Deci, dacă scoatem 8 cartonaşe, sigur găsim unul

pe care este scris numărul 6.

d)30=25+l + l+l+l+l.

7.a)2,3,10,20,4; b)l,7,10,16 c)6,3,6 d)3,3 e)0S.a) 10+4+5= 19 creioane b) 10+4= 14 creioane albastre şi roşii

c)Presupunem că scoatem întâi creioanele roşii şi albastre, adica

14 creioane. Dacă mai extragem unul, sigur acesta va fi verde.

Deci trebuie să extragem 15 creioane.

d)Dacă le nimerim pe toate cele roşii şi verzi, înseamnă că am scos

15 creioane de două culori diferite. Deci trebuie să scoatem 16

creioane.OPresupunem că le scoatem pe toate cele albastre, apoi pe toate

cele roşii, deci 14 creioane. Scoţând 15, sigur vom avea unul roşu

şi unul verde, cel puţin.

9.a)i = 2- i; b )2 l-22- i; c)

17 = 22-5 = 21-4 = 20-3 = 19-2 = 18-1 în 5 feluri.

d)l = 22-21 = 21-20 = 20-19 = 19-18=... = 2-1, deci în 21 de

feluri.e)2 = 3-l=4-2 = ... = 22-20, deci în 20 de feluri. Prin urmare

numărul de posibilităţi scade, ceea ce înseamnă că 1se poate scrie

în cele mai multe feluri ca diferenţă de două numere din şirul dat.

7/22/2019 Euclid 2013


10.a)l 1numere impare

b)Sunt 11 numere impare şi 10 numere pare.' Suma lor este un

număr impar.Dacă extragem 2 impare, diferenţa lor este par, deci paritatea

sumei numerelor după schimbare este aceeaşi. La fel dacă

extragem 2 pare. Dacă extragem un par şi un impar, diferenţa lor

este impar, deci paritatea sumei lor este aceeaşi. Prin urmare, în

orice moment al jocului, paritatea sumei este aceeaşi cu cea

iniţială, deci ultimul număr rămas este unul impar.

VIU . Adunarea şi scăderea în concentrul 0-100, fără

trecere peste ordin


1.a)9; b)29; c)49; d)69; e)89; f)90; g)70; h)90.

2.a)25; b)57; c)75; d)97; e)48; t)85; g)98; h)98; i)88; j)68

3.a)60 = 30 + 30 = 10 + 50

b)80 = 40+40 = 30+50 = 20 + 60 = 10+70

c)50 = 10 + 10 = 20+30 = 30 + 20

d) 70 = 10 + 60 = 20+50 = 30+40 = 40+30 = 50+20

e)100 = 10+90 = 20 + 80 = 30 + 70 = 40+60 = 50 + 50

4.b)20+30 = 50;c)20+30 = 50;d) 20+60 = 80;

e)30+60 = 90;f)60 + 20 = 80;g)70+30 = 100;

h)50 + 30 = 80.'

5.a)l; b)4; c)6; d)5; e)2; f)0; g)2; h)3; i)23; j)42.

6.a)+; b)s c)+; d)-; e)+; f)+; g)+; h)-; i)-; j)+; k)+; 1)-; m)-; n)-;o)-.

7.28 + 31=59; 49-37 = 12; 38-21 = 17; 65 + 24 = 89; 41+47 = 88.

8.a)89; b)60; c)41; d)20; e)20; f)74; g)36; h)40; i)40; j)68.

9.a)23; b)30; c)42; d)44; e)36; f)22; g)41; h)67; i)50; j)53.

10.a)0-> 10-^20-^0->40-^50^60 b ) 90^ 85^ 8 0 7 5 7 0

^ 6 5 ^ 6 0 c )10 ^2 0^1 5 ^2 5- > 20-^30^25 d)90->80->

85 75->80->70->7511.a)70; b)60; c)60; d)43; e)38; f)43; g)34; h)68; i)56; j)49.

12.a)+; b)s c)-; d)+; e)-; f)+; g)+; h)+; i)+; j)-.

%

7/22/2019 Euclid 2013


13.a)70; b)95; c)76; d)61; f)55; h)52; i)62.

14.a)27; b)28; c)49; d)l 1; e)35; f)65; g)57; h)64; i)26; j)41.15.a)<; b)<; c)>; d)>; e)<; f)=; g)>; h)>; i)<; j)<.

B.Pregătire pentru concursuri

1.a)10; b)99; c)Pe 9 cuburi. A scris numerele:

10;20;30;40;50;60;70;80;90.

d)Numerele cu cifre egale sunt: 11;22;33;44;55;66;77;88 şi 99,

deci e nevoie de 9 cuburi.e)Perechile sunt: (12;21); (13;31); (14;41); (15;51); (16;61);

(17;71); (18;81);(19;91); (23;32); (24;42); (25;52); (26;62);

(27;72); (28;82); (29;92); (34;43); (35;53); (36;63); (37;73);

(38;83); (39;93); (45;54); (46;64); (47;74); (48;84); (49;94);

(56;65); (57;75); (58;85); (59;95); (67;76); (68;86); (69;96);

(78;87); (79;97); (89;98). Sunt 36 de perechi.

f)De 99-10+1=90 de cuburi.g)Pe 90-9=81 de cuburi.

2.a)Grupele care încep cu 10: (10,20,30); (10,20,40); (10,20,50);

(10.30.40); (10,30,50); (10,40,50)-^ sunt 6 grupe.

Grupele care încep cu 20: (20,30,40); (20,30,50); (20,40,50) ->

sunt 3 grupe.

Grupele care încep cu 30: (30,40,50)-^e o grupă,

în total sunt 10 grupe.b)Grupele care încep cu 10: (10,20,30); (10,30,50)^ două grupe.

Grupele care încep cu 20: (20,30,40)^ o grupă.

Grupele care încep cu 30: (30,40,50)^ o grupă,

în total sunt 4 grupe.

c)Le căutăm printer grupelie de la punctual a) şi observăm că sunt:

(10.20.40); (10,20,50); (20,30,50), adică 3 grupe.

d)Le căutăm printre grupele de la punctul a) şi observăm că sunt:(10.30.40); (10,30,50); (20,30,40); (20,30,50), adică 4 grupe.

3.a) 1+2+3+4+5=10 schimbări.

b)La sfârşitul celei de-a zecea zile, ea a făcut 55 de schimbări, deci

7/22/2019 Euclid 2013


-o

4.a) 100 de pagini. b)Pe 50 de pagini. c)Sunt în număr egal.

d)Cifra 2 apare pe paginile:

2; 12;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;32;42;52;62;72;82;92, adicăde 20 de ori.

e)Sunt 90 de numere de două cifre, din care 9 au cifre egale, deci

81 au cifre diferite.IQ '2a; 30 40 :60

10 ;id i;oi îicf-

5. a) o :tl: 0

15 5 - 20; 25 ^30

10:' -liO V'5 ^5

;p 5 10 10

5 5.' O

b) O 'O'

10 ,1 : 15 5 - 25: 21

2 3 : W W- %:

1 7 16

6 3 6 3 i

c) ' 0

d) Pornim de la sfârşit la

început.3 5. 7 S

2 :2' 2 '

6.a)Cu moneda de 1 leu.

b)Cu moneda de 2 lei.

c)Cu o monedă de 50 lei şi una de 1 leu(sau altfel).

d)Cu o monedă de 50 lei şi una de 49 lei(sau altfel).

e)Cu o monedă de 50 lei, una de 49 lei şi una de 1 leu(sau altfel).

7.a)Pe linia 4 avem numerele care au suma 8.

b)Pe linia 5 avem numerele 1,4,6,4,1.c)Valoarea cea mai mare de pe linia 5 este 6.

d)Calculând, avem

-pe linia 6: 1,5,10,10,5,1.

-pe linia 7: 1,5,10,20,15,6,1.

-pe linia 8: 1,7,21,35,35,31,7,1.

-pe linia 9: 1,8,28,56,70,56,28,8,1.

Deci, în afară de primul şi ultimul, toate numerele sunt pare.8.a)15

b)21

c)Grupele sunt: {5}; {1;4} şi {2;3}.

7/22/2019 Euclid 2013


ClASA'y

d)Grupele sunt; {2;5};şi {3;4}.

9.a)Sunt 5 cuvinte de o literă: a, b, c, d, e.b)ab, ac, ad, ae, ba, bc, bd, be, ca, cb, cd, ce, da, db, dc, de, ea, eb,

ec, ed. Sunt 20 de cuvinte de 2 litere.

c)dea, deb, dec. 3 cuvinte

d)abcd, abce, abde, abdc, abec, abed. 6 cuvinte

e)abcde, abced, abdce, abdec, abecd, abedc, acbde, acbed, acdbe,

acdeb, acebd, acedb, adbce, adbec, adceb, adcbe, adebc, adecb,

aebcd, aebdc, aecbd, aecdb, aedbc, aedcb.Sunt 24 de cuvinte de 5 litere care încep cu a.

10.a)13 sau alt exemplu concret

b)95

c)13

d)94

e)23; 24; 25; 33; 34; 35; 40; 43; 45. 9 numere

f)Avem următoarele cazuri; _3+_3 =_6, deci nu e „simpatic”.

_3 + _4 = _7; _3 + _5 = _8; _4 + _4 = _8; _4 + _5 = _9; _5 + _5 = _0. în

nici unul din cazuri, rezultatul nu este un număr „simpatic”.

IX. Figuri geometrice


\.ii ___

^ 2 .

5.pătratul şi dreptunghiul 6. 47...f-

■ ■

8

14. Interior

a)cerc

b) pătrat

c) triunghi

d) cerc

Exterior

pătrat

dreptunghi

pătrat

triunghi

7/22/2019 Euclid 2013


e) dreptunghi

f)dreptunghi

g) pătrath) triunghi

i) cerc

j) cerc

16.

triunghi

cerc

cerccerc

dreptunghi

cerc

17.

B. Pregătire pentru concursuril.a)5; b)6; c)l6+4+9+4+4+1+1=39

d)32+4+8+l+6-51; e)7; f)9+4+l=14

2.6 drumuri

3.a)24 drumuri

b)4 drumuri

4. Sunt 9 pătrăţele şi 10 pioni, deci cel puţin doi pioni vor sta în

aceeaşi pătrăţică.

1. Lecţia despre şiruri de numere

1.1. Numere pare şi impare

1.20; 22; 24; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 44; 46; 48; 50.

2.19; 21; 23; 25; 27; 29; 31.

3.20; 22; 24; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38.

4.17; 19; 21; 23; 25; 27.

5.A. 0;2; 4; 6;8.B.l; 3; 5; 7; 9.

6.0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 20; 22; 24; 26; 30; 32; 34; 36; 40;

42; 44; 46.

7.12; 32; 22; 62; 16; 36; 26; 66.

8.12; 32; 62; 16; 36; 26.

9.Primul termen 2 şi regula „+3”: 2; 5; 8; 11; 14; ...

10.a)6; 12; 18;b)21; 35; 49.

5

7/22/2019 Euclid 2013


1.2. Reguli de formare a şirurilor

1.a)„+2”. Termenii sunt 13 şi 15.

b) „+3”. Termenii sunt 15 şi 18.c) „-2”. Termenii sunt 4 şi 2.

d) „-3”. Termenii sunt 12 şi 9.

e) „-10”. Termenii sunt 40 şi 30.

2.a)Termenii sunt 15 şi 8. Regula este „+3”.

b)Termenii sunt 15, 25 şi 30. Regula este „+5”.

c)Termenii simt 10; 12; 14; 16.

d)Termenii sunt 27; 24; 21.3.a) A A O ; b) OOD; c) AOD ; d) AAA; e)OoO; f)OD[

întrebări pentru copiii isteţi:

1.Oricum am lua secvenţa de 3 termeni, vom găsi 2 triunghiuri şi

un cerc. Deci triunghiul apare de cele mai multe ori.

2.8 termeni: A A O A A O A A .

3. noon4.Cele mijlocii^

5.

6.Cea mai lungă porţiune din şirul f) în care apar exact 4

triunghiuri este c5n[I10A A O D D O A A O D D O şi are 16 figuri

geometrice.

7/22/2019 Euclid 2013


6 -

d)§--3

■>1

-3

3.a)+llb)-510--^

1 -4.a)Î5-

16—

c)-10 d)-10— ^15

+54.20

-:4

-7>+10

-11

->12 '■ •14-- ^ 0 -

■.20 -f?\24 -4-:25 --^33-- •12 -

■10■14415

+2

-2Q.

- 14

- 16422

■ '04-4

4.40+20

45-^534^2460

18-

b)24-10-

14- i5-

44-23-

d)51-

5.a)+7 şi -2 sau +6 şi -1

b)-5 şi -5 sau +10 şi -20

c)+10 şi -7 sau +1 şi +2d)+10 şi +10 sau +30 şi -10

2. Lecţia despre „Principiul cutiei”

1.Săptămâna are 7 zile. încercând să gândim că fiecare copil este

născut într-o altă zi a săptămânii, ajungem la concluzia că există

un copil care va fi născut în aceeaşi zi cu un altul. Deci cel puţin 2

copii vor fi născuţi în aceeaşi zi a săptămânii.

2.Anul are 12 luni. Dacă fiecare fată ar fi născută într-o altă lună aanului, ar fi 12 fete născute în 12 luni diferite. A 13-a fată în mod

sigur ar fi născută în aceeaşi lună cu una din cele 12, deci există

cel puţin două fete născute în aceeaşi lună.

3.Dacă ar fi cel mult 2 iepuri în fiecare cuşcă, am repartiza numai

6 iepuri din cei 7. Când îl aşezăm şi pe al 7-lea găsim o cuşcă în

care sunt 3 iepuri.

4.în cazul cel mai nefericit, vânzătorul nimereşte câte un singur

papuc din fiecare pereche. Asta se poate întâmpla dacă ia 10

Â

7/22/2019 Euclid 2013


papuci. Dacă ia 11 papuci, sigur doi vor fi din aceeaşi pereche.

Deci cel mia mic număr de papuci este 11.5.Există 10 cifre: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Dacă scriem 11 cifre, în mod

sigur repetăm una din cele enumerate mai sus, deci există cel puţin

două cifre egale.

6.Din trei numere două au sigur aceeaşi paritate(adică sunt ambele

pare sau ambele impare). Suma acestora două este un număr par,

deci George are dreptate.

7-Punând merele în 4 coşuri, sigur există un coş în care sunt cel

puţin 3 mere. Cum merele sunt de două culori, roşii şi verzi, sigur

vor fi două de aceeaşi culoare în acel coş.

S.împărţim numerele în următoarele grupe (1 şi 9), (2 şi 8), (3 şi

7), (4 şi 6) şi (5). Sunt 5 grupe şi avem de ales 6 numere. Deci cel

puţin două numere vor fi dintr-una dingrupele (1 şi 9), (2 şi 8), (3

şi 7) şi (4 şi 6). Atunci suma acestor două numere este 10(acesta a

fost criteriul de formare a grupelor).

9. împărţim numerele în următoarele grupe (10 şi 90), (20 şi 80),

(30 şi 70), (40 şi 60) şi (50). Sunt 5 grupe şi avem de ales 6

numere. Deci cel puţin două numere vor fi dintr-una dingrupele

(10 şi 90), (20 şi 80), (30 şi 70) şi (40 şi 60). Atunci suma acestor

două numere este 100(acesta a fost criteriul de formare a

grupelor).

10.Fiecare şahist a susţinut cel mult 9 meciuri, dar nu mai puţin de

O meciuri. Dacă avem un jucător care a susţinut 9 meciuri,înseamnă că a jucat cu toţi ceilalţi 9 jucători, deci nu există niciun

concurent care să fi jucat O partide. Dacă există un concurent care

a jucat O partide, atunci nu există niciunul care să fi jucat 9 partide.

Prin urmare, mulţimea numerelor care reprezintă numărul de

partide jucate de fiecare concurent, conţine cel mult 9

elemente(dacă îl are pe O, atunci nu îl are pe 9 şi invers, dacă îl are

pe 9, nu îl are pe 0). Avem prin urmare 10 jucători şi cel mult 9numere, prin urmare cel puţin doi jucători vor primi acelaşi număr,

adică vor fi cel puţin doi concurenţi care au jucat acelaşi luimf^r de

partide.

7/22/2019 Euclid 2013


11 ,a)în cazul cel mai rău, găseşte numai ouăle galbene şi verzi,

adică 4+5=9 ouă. Dacă va extrage minim 10 ouă, sigur unul va fi

roşu.b)Să presupunem că scoate toate ouăle roşii şi pe toate cele verzi.

A scos 10+5=15 ouă. Scoţând 16 ouă, sigur va avea cel puţin 3

ouă de culori diferite.

c)Sunt trei culori, prin urmare dacă alege 4 ouă sigur cel puţin

două vor avea aceeaşi culoare.

3. Lecţia despre numărarea de configuraţii

1.Numerele sunt:11;12;17;15;18;21;22;27;25;28;71;72;77;75;78;51;52;57;55;58;81;

82;87;85;88.

Se pot forma 25 de numere.

2.Numerele sunt: 30;20;50;60;32;22;52;62;36;26;56;66. Se pot

forma 12 numere.

3.a)Cuvintele de lungime 2 sunt: AA; AB; AC; BA; BB; BC; CA;

CB; CC. Sunt 9 cuvinte de lungime 2.b)Cuvintele de lungime 3 sunt: AAA; AAB; AAC; ABA; ABB;

ABC; ACA; ACB; ACC; BAA; BAB; BAC; BBA; BBB; BBC;

BCA; BCB; BCC; CAA; CAB; CAC; CBA; CBB; CBC; CCA;

CCB; CCC. (Am adăugat în faţa fiecărui cuvânt de lungime 2, pe

rând, literele A,B,C.) Sunt 27 cuvinte de lungime 3.

c)Cuvintele de lungime 4 care încep cu litera A sunt, de fapt, toate

cuvintele de lungime 3 în faţa cărora s-a adăugat litera A. Deci

sunt 18 astfel de cuvinte.

d)Sunt cuvintele de 3 litere care încep cu literele AC, în faţa cărora

putem pune A, B, C. Sunt 3 variante pentru A, 3 variante pentru B

şi 3 variante pentru C, deci sunt 3+3+3=9 variante.

e)Sunt 9 cuvinte de lungime 3 care încep cu litera A şi 9 cuvinte

de lungime 3 care se termină cu litera C. Deci sunt la fel de multe.

f)Cuvintele de 4 litere care încep cu litera A sunt, de fapt,

cuvintele de 3 litere, la care am adăugat în faţă A. Deci sunt la felde multe.

7/22/2019 Euclid 2013


4.a)3p= 1p+1 p+1p= 1p+2p

b)5p=1p+1p+1p+1p+1p=2p+2p+1p=4p+1pc)7p=1p+1p+1p+1p+1p+1p+1p=2p+2p+1p=4p+2p+1p

=2p+2p+1p+1p+1p=4p+1p+1p+1p==2p+lp+lp+lp+lp+lp

d)20p=16p+4p=2p+2p+8p+8p

5.Vasile-Ana-Ion-Diana-Mitică

Vasile-Diana-Ion-Ana-Mitică

Vasile-Ana-Mitică-Diana-IonVasile-Diana-Mitică-Ana-Ion

lon-Ana-Vasile-Diana-Mitică

lon-Diana-Vasile-Ana-Mitică

lon-Ana-Mitică-Diana-Vasile

I on-Diana-Mitică-Ana-V asile

Mitică-Ana-Ion-Diana-Vasile

Mitică-Diana-Ion-Ana-VasileMitică-Ana-Vasile-Diana-Ion

Mitică-Diana-Vasile-Ana-Ion

Sunt 12 posibilităţi.

SOLUŢ TESTE EUCL D

TEST 1SUBIECTUL 1l.d); 2.d); 3.a); 4.a); 5x)SUBIECTUL IIl.a)5; b)5; c)8; 2.3;4;5;6;7;8 3.7;9;4;6; 4.+;-;-;-; 5. 6.17;

18; 19; 7.2;1 8.3

SUBIECTUL III

1.3; 4; 5; l.George; 3. 8 flori

TEST 2SUBIECTUL Il ) 2 b) 3 b) 4 b) 5 d) 6 b) 7 ) 8 b) 9 b)

7/22/2019 Euclid 2013


SUBIECTUL II

1.2,3,4,5,6,7; 2.9,8,7,6,5,4; 3.4,5,6; 4 . 0 ; 5.4; 6.7; 7.4; 8.7;9.4

TEST 4

SUBIECTUL I

La); 2.a); 3.a); 4.a); 5.a); 6.a); 7.a); 8.c); 9.a)

SUBIECTUL II

LO; 2.0; 3.25; 4.20+35; 5.11+11+1=23; 6.1+1+11-1=12; 7.85, 55,

45, 35, 15, 5; 8.11; 9.5; 15; 35; 45; 55; 85

TEST 5

SUBIECTUL I

Ld); 2.a); 3.c); 4.b); 5.a); 6.b); 7.b); 8.c); 9.c)

SUBIECTUL II

L7; 16; 23; 34; 42; 65; 2.99,80, 56, 45, 14, 7; 3.3; 4.9+9+9=27;

5.22+2+2=26; 6.22+22=44; 7.numărând obţinem cifra 1;S.numărând obţinem cifra 2; 9.numărând obţinem 8 cifre de 2.

TEST FINAL 1

1 4 pasi

2.

a) 8.

b) 14

c)(l,10)d ) (5, 5)

3.

a) Numărul de pe poziţia 50 este 1.

b) Le numărăm şi obţinem 28 de cifre.

c) Pe poziţia 20.

d) Cifra căutată ocupă locul 91.

t - m£\

7/22/2019 Euclid 2013


TEST FINAL 2

1 a) Un exemplu de grupe care verifică cerinţa este.

1 2 3

1 2 4

1 3 4

2 3 4 .

b) Un exemplu de grupe care verifică cerinţa.

G,12 3 4

1

^4.

5 6 7

5 8 9

6 8 10

4 7 9 10.

2. Cifra 1 este continuta in scrierea numerelor 1, 10, 11, ....,19,21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 100. Deci sunt 20 de numere.

3. 4 + l-2-3 = 0.

4. 7-6 + 4-5+ 3-2-l=0,

5. a) Un exemplu de magie care verifică cerinţa.

1, lî], [|], 4, 51,1, s [Ii 1, [î], 0 ] [î], 0 ^ 1

b) Un exemplu de magie care verifică cerinţa.

J, [21,3,4,5,6 1,3,13,5, ^ 1, [ , 5, m -> [J,0 , 5 5

c) Un exemplu de magie care verifică cerinţa.[l],[2l,3,4,5,6,71,[3].4.[1],6.7 1 , 2 , 4 , [ 6 ] , [ 7 ] 0 , 0 4

d) Un exemplu de magie care verifică cerinţa.

E [â, 3,4,5,6,7,81, [şj, 0,5,6,7,8 ^ 1,1, [U, lîl, 7,8

111 lîl [ş]->[J [U11->O[î]HI ^ 0 O

7/22/2019 Euclid 2013


^«pASA A IA r ---------------------------- ---- O

Cuprins

Prefaţa...................................................................................................3

Viaţa şi opera lui Euclid....................................................................... 5

Prezentarea Concursului Naţional EUCLID ....................................16

LNoţiuni introductive în studiul matematicii...................................20

A.Exerciţii de antrenament....................................................... 20

A.l. Orientare spaţiala.............................................................. 21

A.2. Comparare intuitivă.......................................................... 28

B..Pregătire pentru concursuri.................................................. 30

II. Numere naturale de la O Ia 10.......................................................36

A. Exerciţii de antrenament...................................................... 36

B. Pregătire pentru concursuri.................................................. 40

III. Adunarea şi scăderea numerelor în concentrul 0-10.................46



IV. Numerele naturale de la O la 20...................................................55



V. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30.

fără trecere peste ordin...................................................................... 61



VI. Numere naturale de la O la 100....................................................72A. Exerciţii de antrenament...................................................... 72


VII. Adunarea şi scăderea în concentrul 0-30, fără trecere peste

ordin.....................................................................................................80



VII. Adunarea şi scăderea în concentrul 0-100, fără trecere peste

ordin.....................................................................................................86



IX Figuri geometrice 96

7/22/2019 Euclid 2013


«!1. Lecţia despre şiruri de numere....................................................106

1.1. Numere pare şi impare................................................106

1.2. Reguli de formare a şirurilor........................................1071.3 Reguli.......................................................................109

2. Lecţia despre „Principiul cutiei” ................................................112

3. Lecţia despre numărarea de configuraţii....................................114

X. Teste finale................................................................................... 116

XL Teste EUCLID ............................................................................123

XIL Soluţii.........................................................................................136

Euclid 2013

Documents

Transcript of Euclid 2013