Etapa 4, Problema 4 Evident, CumCrux Mathematicorum Soluµie. Evident, (0;0) este soluµie. Se veri...
1
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro (x, y) ∈ N × N x (x + 1) = y 7 . (0, 0) (x, y) x ≥ 2 y ≥ 2 p y p x x +1. a, b ∈ N, a,b ≥ 2, x = a 7 x +1= b 7 . b 7 - a 7 =1 ⇔ (b - a) ( b 6 + ab 5 + ... + a 5 b + a 6 ) =1. b 6 + ab 5 + ... + a 5 b + a 6 ≥ 2, (0, 0)
Transcript of Etapa 4, Problema 4 Evident, CumCrux Mathematicorum Soluµie. Evident, (0;0) este soluµie. Se veri...
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Etapa 4, Problema 4
Determinaµi toate perechile (x, y) ∈ N× N care veri�c egalitatea
x (x+ 1) = y7.
Crux Mathematicorum
Soluµie.
Evident, (0, 0) este soluµie.Se veri�c u³or c , dac (x, y) este soluµie cu m car o component
nenul , atunci x ≥ 2 ³i y ≥ 2. Dac p este un num r prim din de-scompunerea lui y, p divide exact unul dintre numerele relativ primex ³i x + 1. Rezult c exist a, b ∈ N, a, b ≥ 2, astfel încât x = a7 ³ix+ 1 = b7. Atunci
b7 − a7 = 1
⇔ (b− a)(b6 + ab5 + ...+ a5b+ a6
)= 1.
Cum b6 + ab5 + ...+ a5b+ a6 ≥ 2, ultima egalitate este fals .În concluzie, unica soluµie a ecuaµiei este (0, 0).
1
aungureanu
Text Box
Soluția problemei 4, Clasa a X-a Etapa 4, Ediția a VII-a