1 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

Energia mecanic

n aceast prezentare sunt discutate urmtoarele subiecte:

Ce este energia cinetic. Teorema de variaie a energiei cinetice i aplicaii. Ce este energia potenial gravitaional. Ce este energia potenial elastic. Teorema de variaie a energiei totale ( cum se aplic). Legea de conservare a energiei (cum i n ce situaii se aplic).

Energia este o mrime fizic de stare a unui sistem care exprim capacitatea acestuia de a efectua lucru mecanic. Energia mecanic poate fi:

A) Energie cinetic B) Energie potenial (gravitaional i elastic)

Cuprins

1. Energia cinetic. Teorema de variaie a energie cinetice. ..................................................... 1

2. Energia potenial gravitaional. .......................................................................................... 3

3. Energia potenial elastic. ...................................................................................................... 5

4. Energia mecanic total. Legea de conservare a energiei mecanice. ................................... 6

1. Energia cinetic. Teorema de variaie a energie cinetice.

Energia cinetic este energia datorat micrii corpurilor. Orice corp care are vitez are energie cinetic.

Efectul forei rezultante care acioneaz din exterior asupra unui corp sau asupra unui sistem de corpuri poate determina deplasarea corpului (sau sistemului) dar i modificarea vitezei acestuia.

Prin definiie energia cinetic este mrimea fizic scalar dat de relaia:

=1

22 (J)

S lum un exemplu simplu. Un corp se mic rectiliniu sub aciunea unei fore rezultante constante orientate n lungul direciei de micare (Fig.1). Micarea va fi cu acceleraie constant i considerm parcurgerea unei distane d.

Figura 1

Conform formulei lui Galilei ntre viteza iniial, viteza final, acceleraie i distana parcurs exist relaia:

2 = 02 + 2

Dac nmulim toat relaia cu

2 obinem:

2 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

22 =

20

2 + 2

2

Dar F = ma , prin urmare:

2

2

02

2= = (1)

Relaia (1) arat c energia cinetic n starea final minus energia cinetic n starea iniial este egal cu lucrul mecanic efectual de fora rezultant care acioneaz asupra corpului. Acest relaie reprezint teorema de variaie a energie cinetice.

Teorema de variaie a energiei cinetice

Variaia enegie cinetice a unui corp sau a unui sistem mecanic ntre dou stari este egal cu lucrul mecanic al forei rezultante care acioneaz asupra corpului ( sau sistemului mecanic).

=

Dac fora rezultant care acioneaz asupra sistemului este variabil atunci:

= ()

0

= ()

0

= ()

0

Dar

() =

i =

Rezult

=

0

= = (2

2)|

0

=2

2

02

2

0

Adic aceeai formulare ca i n cazul forei constante.

Exemplu de aplicare a teoremei de variaie a energiei cinetice

S considerm maina din Fig.2. Maina frneaz avnd motorul decuplat. Dorim s rspundem la urmtoarele ntrebri:

a) Ct este viteza mainii dup ce parcurge distana de 10m? b) La ce distan msurat fa de punctul iniial se oprete maina?

Figura 2

a) 0 = + + 2

2

02

2= (2)

3 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

2

2=

02

2

= 02

2

= 19,45/

b) Condiia de oprire = 0, = 0, ecuaia (2) devine:

0

2

2=

=0

2

2= 100

2. Energia potenial gravitaional.

Energia mecanic este asociat n multe situaii cu posibilitatea de a efectua lucru mecanic ca urmare a poziiei unui corp n raport cu un alt sistem, de exemplu n raport cu Pmntul. n figura 3 un baschetbalist ridic o minge la o anumit nlime pentru a efectua un slam dunk. Cnd este lsat liber mingea face lucru mecanic ca urmare a aciunii forei de atracie gravitaionale a Pmntului. Lucrul mecanic efectuat este datorat poziiei pe care o are n raport mingea cu Pmntul. Este adevrat c n fapt pentru a reui micarea baschetbalistul o i mpinge n jos (nu este vorba chiar de o cdere liber) ns indiferent dac o las liber sau o impinge greutatea tot face lucru mecanic asupra mingii.

Pentru a defini energia potenial gravitaional considerm mingea care cade liber din figura 4.

Figura 4

Prin definiie variaia energiei poteniale gravitaionale a sistemului format de minge i Pmnt ntre dou stri A i B este egal cu minus lucrul mecanic efectuat de fora conservativ care acioneaz ntre aceste dou stri. n acest caz fora conservativ este greutatea mingii.

() = () (3)

Ceea ce nseamn:

= ( )

Figura 3[1]

4 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

=

Prin urmare se observ c putem asocia unei stri oarecare A sau B o energie potenial gravitaional dat de relaia mgh , unde h este msurat n raport cu referina care este n acest caz poziia n care mingea s-ar afla pe suprafaa Pmntului.

=

Observaii

a) Semnul - din relaia (3) are urmtoarea semnificaie: dac corpul coboar de la A la B, cum este cazul din Fig.4, lucrul mecanic al greutii este pozitiv > 0 i () = < 0, rezult c energia potenial scade. Dac corpul ar urca de la B la A atunci < 0 i () > 0, energia potenial crete.

b) Intotdeauna cnd vorbim de energia potenial gravitaional trebuie s ntelegem c aceasta caracterizeaz interaciunea dintre un corp i Pmnt. Prin urmare formularea un corp are energia potenial x.... nu este corect ...corect este s spunem c sistemul format dintre un corp i Pmnt are energia potenial x .

c) Valoarea energiei poteniale gravitaionale se calculeaz n raport cu un nivel de referin, cruia prin convenie i se atribuie pentru energia potenial valoarea zero, i care n foarte multe cazuri este considerat acela corespunztor corpului situat pe suprafa Pmntului.

Figura 5

ns nivelul de referin cruia i se atribuie prin conveie valoarea zero pentru energia potenial poate fi ales oriunde altundeva. n figura 6 de exemplu am ales nivelul de referin al sistemului minge-Pmnt cel corepunztor strii B. n acest caz avem:

= 1

= 0

= 2

Figura 6

5 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

Exemplu de calcul pentru energia potenial gravitaional.

Figura 7

3. Energia potenial elastic.

Energia potetial poate fi i de natur elastic. Considernd un balon iniial umflat care este apoi desfcut. Membrana revine aproximativ la forma iniial aerul fiind expulzat cu vitez. Balonul la rndul su este pus n micare. Un alt exemplu tipic este deformarea unui resort.

Vom considera un asemenea resort de captul cruia avem fixat o bil (Fig.9). Resortul este alungit. Fie x1, respectiv x2 alungirile corespunztoare poziiilor 1 i 2.

Figura 9

Prin definiie variaia energiei poteniale elastice a resortului ntre 1 i 2 este minus lucru mecanic al forei elastice ntre aceste dou stri:

()12 = ()12

Figura 8

6 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

()12 = 2

1

= ()2

1

= ()2

2|

1

2

=2

2

2

12

2

2 1 =2

2

2

12

2

Ceea ce implic faptul c putem defini energia potenial elastic nmagazinat ntr-un sistem deformabil n funcie de deformare i de constanta elastic a sistemului :

=

Spre deosebire de energia potenial gravitaional n cazul creia avem libertatea de alege nivelul de referin unde dorim n cazul energiei poteniale elastice acesta corespunde doar strii nedeformate a resortului (n figura 9 este vorba de starea 0).

4. Energia mecanic total. Legea de conservare a energiei mecanice.

Prin energia total a unui sistem mecanic nelegem suma tuturor energiilor pe care le are sistemul.

= + + = +

Dac vom considera o stare iniial A i una final B a unui asemenea sistem mecanic atunci putem scrie c variaia energiei totale ntre aceste dou stri este:

() = ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) =

= () + () = ( ) (4)

n scrierea relaiei de mai sus am inut seama de teorema de variaie a energiei cinetice i de relaia de definiie a energiei poteniale. Pe de alt parte lucrul mecanic al forelor rezultate se poate scrie ca suma lucrurilor mecanice efectuate de forele conservative i cele neconservative.

= +

Ceea ce introducnd n relaia (4) conduce la:

() = (5)

Variaia energiei mecanice totale a unui sistem este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele neconservative asupra sistemului.

Formularea de mai sus mpreun cu relaia (5) se numete teorema de variaie a energiei totale.

Un exemplu de for neconservativ este fora de frecare.

Dac ns sistemul mecanic este acionat numai de fore conservative atunci practic ajungem la relatia:

() =

Adic,

=

= = const. (6)

7 Valerica Baban, UMC, decembrie 2014

Relaia (6) reprezint legea de conservare a energiei mecanice care se enun n felul urmtor:

n cazul unui corp sau a unui sistem mecanic asupra cruia acioneaz numai fore conservative energia mecanic total se conserv, adic are o valoare constant n orice stare a sistemului.

Exemplu de aplicare a legii de conservare a energiei.

Bila din figura de mai jos are o mas de 0,1 kg i este lasat liber n punctul A ( nu are vitez iniial), micarea are loc fr frecare. Cunoatem 1 = 10 , 2 = 15. S se calculeze viteza bilei n B i C.

Figura 10

Singurele fore care acioneaz asupra bilei sunt greutatea i fora de apsare normal. Fora de apsare normal este tot timpul perpendicular pe deplasare astfel nct nu efectueaz lucru mecanic iar greutatea este o for conservativ. Ceea ce inseamn c putem rezolva problema folosind legea de conservare a energiei.

= =

+ = + = +

0 + (1+2) =

2

2+ 2 =

2

2+ 0

2

2= 1

2

2= (1+2)

= 21

= 2(1 + 2)

Observaie:

n cazul n care asupra unui corp acioneaz i fore neconservative atunci problemele se rezolv folosind fie teorema de variaie a energiei cinetice fie teorema de variaie a energiei totale.

Mai multe exemple gsii n prezentarea de la seminar.

Bibliografie

[1] Bulls Air Dunk, http://www.fansshare.com/gallery/photos/10635660/bulls-air-dunk-wallpape-nbajordan-jordan-nba-basketball-basketball/?displaying