4. Spectroscopia de elipsometrie

4.1.Propagarea luminii polarizate în medii reale

Spectroscopia de elipsometria (SE) este o tehnică optică experimentală comună, care măsoară modificarea stării de polarizare a luminii reflectată sau transmisă de un mediu material real. Interacția luminii cu mediul material constă în modificarea atât a stării de polarizare a luminii, cât și a proprietăților optice ale materialului.

In tehnica elipsometriei, lumina este caracterizată ca o undă electromagnetică

transversală, ale cărei componente câmp electric și câmp magnetic sunt

respectiv perpendiculare și orientate perpendicular pe direcția de propagare. Intr-

un sistem de referință cartezian, pentru o direcție de propagare , câmpul are

două componente , Fig.4.1. Când cele două componente au amplitudini și

faze arbitrare, vectorul poate avea orice orientare in spațiu, iar unda este

nepolarizată. Dacă cele două componente au amplitudini egale și oscilează în

fază, vârful vectorului descrie o direcție situată într-un plan perpendicular

direcției de propagare,diferită de axe, iar unda este polarizată linear, Fig.4.1 (a). Când cele două componente au amplitudini egale, dar oscilează în opoziție de

fază, vârful vectorului descrie un cerc într-un plan perpendicular direcției de

propagare, iar unda este polarizată circular, Fig.4.1 (b). In sfârșit, când cele două

componente au amplitudini diferite și faze arbitrate, vârful vectorului descrie

o elipsa într-un plan perpendicular direcției de propagare, iar unda este polarizată eliptic, Fig.4.1 (c). Acesta este argumentul denumirii tehnicii experimentale; prin interacție cu mediul material, unda luminoasă este atenuată și defazată în raport cu unda incidentă, astfel încât lumina detectată este în general polarizată eliptic.

Fig.4.1.Condițiile de polarizare a luminii, pe o anumită direcție de propagare: (a) polarizare liniară, prin suprapunerea undelor ortogonale, în fază și cu aceeași amplitudine; (b) polarizarea circulară, prin suprapunerea undelor ortogonale,

defazate cu și cu aceeași amplitudine; (c) polarizarea eliptică, prin

suprapunerea undelor ortogonale, defazate cu un unghi cu și cu aceeași

amplitudine

La rândul său, materialul are proprietăți optice descrise prin funcții de răspuns complexe, și anume:

-indicele de refracție complex, , cu componentele reală numită

index de refracție, și imaginară numită coeficient de extincție;

- permitivitatea complexă , care verifică relația .

Asa cum am demonstrat în prima parte a acestei lucrări, oricare ar fi mecanismul de polarizare a mediului sub acțiunea câmpului radiației luminoase, componentele reală și imaginară ale acestor funcții, nu sunt independente.

Indexul definește viteza de fază a luminii în mediul real, în raport cu cea în

spațiul liber, , iar coeficientul de extincție caracterizează pierderile de

energie în material și este în relație directă cu coeficientul de absorbție, .

Atenuarea intensității undei luminoase datorită pierderilor în mediu de

propagare, este descrisă de legea Beer-Lambert, . Propagarea

undei luminoase în medii materiale cu proprietăți diferite, poate fi descris astfel în cazul unui sistem bistrat plasat in aer: unda incidentă din aer, traversează filmul absorbant 1, apoi se propagă in filmul transparent 2.Viteza de fază și lungmea de undă se modifică în fiecare material, în funcție de indicele de refracție al acestuia, Fig. 4.2.

Fig.4.2. Propagarea undei luminoase în sisteme neomogene

4.2.Parametrii elipsometriei

In tehnica elipsometriei, componentele sunt componentele luminii

polarizată (vectorul perpendicular pe planul de incidență), respectiv

(vectorul în planul de incidență). Metoda înregistrează datele primare sub

forma raportului coeficienților de reflexie/transmisie ai celor două componente, în funcție de metoda de masură prin reflexie/transmisie:

(4.1)

(4.2)

Unde reprezintă unghiul din planul elipsei determinat de amplitudinile celor

două componente , iar , și reprezintă

diferența de fază a celor două unde ortogonale, Fig.4.3..

Fig.4.3. Parametrii elipsometriei

Definirea parametrilor elipsometriei, în sistemul de coordonate al undei,

, iar (4.3)

Tehnica SE este adecvată pentru caracterizarea materialelor sub formă de strat subțire, fiind sensibilă la grosimea stratului, calitatea suprafeței, constantele

optice și ale materialului filmului. Pentru a obține informații cantitative ale

acestor proprietăți, este necesară prelucrarea datelor pe un model al proprietăților optice ale materialului.

4.3.Prelucrarea datelor de elipsometrie

Măsurarea proprietăților optice bulk

Metoda este aplicabilă pentru măsurarea proprietăților optice ale materialului bulk, dacă se procesează datele de elipsometrie obținute printr-o singură reflexie a luminii incidente, la interfața aer/film material. In acest caz, permitivitatea medie (sau pseudo-permitivitate) poate fi evaluată cu expresia:

(4.4)

Obținută în aproximația suprafeței ideale, fără rugozitate și fără un strat exogen. In situații reale, suprafața eșantionului material este afectată de prezența unui asemenea strat, de exemplu de oxid, și de un grad de rugozitate, astfel încât, pentru convertirea datelor de elipsometrie în constante optice, acestea trebuie analizate într-o procedură regresivă, Fig.4.4, pe un model al proprietăților. Estimatorul folosit pentru evaluarea diferenței dintre curba experimentală și cea construită pe model, este eroarea evaluată prin metoda celor mai mici pătrate (Mean Squared Error- MSE). Când se obține minimul MSE, se identifică parametrii modelului și se evaluează constantele materialului.

Fig.4.4. Schema analizei regresive a datelor de elipsometrie

Determinarea grosimii filmului

Pentru eșantioanele sub formă de film, alegerea modelului permitivității depinde de natura materialului (metal, semiconductor, cristalin, necristalin, domeniul de frecvență, etc.). Pentru determinarea grosimii filmului, se analizează condiția de interferență dintre unda luminoasă reflectată la suprafața de incidență cu filmul și unda reflectată după ce aceasta a parcurs filmul, Fig.4.5.

Fig.4.5.Condiția de interferență optică într-un film depus pe un substrat

Diferența de fază totală dintre cele două fascicule, este:

(4.5)

iar mărimea

(4.6)

Se numește grosimea fazei filmului (film phase thickness).Interferența poate fi constructivă sau distructivă, ]n funcție de amplitudinea și de diferența de fază a undelor. Diferența de fază este sensibilă până la grosimi sub cea de monolayer a filmului. Tehnica ellipsometriei este adecvată studiului filmelor cu grosimi variind de la cele sub-nanometrice, până la câțiva microni. In funcție de natura filmului, tehnica ellipsometriei este adecvată pentru grosimi care asigură transparența față de radiația incidentă. Această limitare impune de asemenea, alegerea domeniului spectral în care absorbția este minimă. De exemplu, un film organic poate fi puternic absorbant în domeniul spectral UV și IR, dar este transparent în domeniul vizibil mediu. In cazul filmelor metalice, care sunt puternic absorbante pe tot domeniul optic, grosimea maximă care

poate fi determinată cu precizie este sub 100 nm. Limitarea grosimii filmului depinde însă și de constantele optice ale acestuia, deoarece acestea controlează propagarea luminii prin viteza de fază și prin atenuarea în procese de absorbție, astfel încât, pentru determinarea grosimii filmului dintr-o măsurătoare optică, valorile acestora constituie date de intrare.

4.4.Modele ale permitivității

Determinarea grosimii filmului este dependentă de constantele optice ( și )

ale materialului. Dacă scopul studiului este tocmai determinarea constantelor optice ale materialului, atunci datele de elipsometrie trebuie procesate având un model de reprezentare a legii de dispersie a acestora, care, așa cum am vazut, depind atât de natura filmului, cât și de domeniul spectral, prin natura mecanismelor de polarizare. Ca și în cazul determinării grosimii, utilizând estimatorul MSE, din procesarea datelor de ellipsometrie se obțin parametrii modelului de constante optice utilizat.Modelul Cauchy

In cazul filmelor materiale transparente, indexul poate fi modelat cu relația

Cauchy, cu forma generală:

(4.7)

Particularizată pentru , ai cărei parametri se determină din condiía

de fitare cu datele experimentale de refracție. In acest caz, , astfel încât

procedura de procesare nu este consistentă cu teorema KK. Modelul SellmeierPentru a descrie indicele de refracție printr-o formă realistă (cu semnificație fizică), în cazul acestor materiale, ca și în cazul materialelor absorbante la anumite frecvențe, se folosește relația Sellmeier pentru componenta reală a permitivității:

(4.8)

Care asigură consistența cu relația KK.

In cazul materialelor reale, , astfel încât majoritatea modelelor

pentru dispersie folosesc teoria oscilatorului, care permite studiul cantitativ al proprietăților absorbante. Deși se modelează diverse tipuri de ocilatori, toate legile de dispersie de acest tip au aceleași caracteristici: amplitudine, poziția maximului și largimea benzii de absorbție. Cunoscând comportarea părții imaginare, componenta reală se determină utilizând teorema K-K. La valoarea determinată astfel, trebuie adăugată o valoare de offset care ia în considerare absorbții parazite în domeniul spectral respectiv. Modelul LorentzIn formalismul oscilatorului Lorentz, legea de dispersie a permitivității (relative) are expresia:

(4.9)

Respectiv,

(4.10)

In cazul materialului nedispersiv, , expresiile (4.9) și (4.10), se

particularizează în forma Sellmeier (4.8).In cazul metalelor, legea de dispersie are forma:

(4.11)

In toate aceste expresii, energia și lungimea de undă sunt în relația

(4.12)

In multe cazuri practice, se folosesc medele de dispersie mai complexe.

Modelul Tauc-Lorentz In cazul materialelor amorfe, este adecvată utilizarea modelului Tauc-Lorentz, pentru care componentele permitivității au expresiile:

(4.13)

(4.14)

Unde este l[rgimea banzii interzise (de mobilități), este un factor

proporțional cu elementul de matrice al tranziției în care are loc absorbția,

este poziția maximului de absorbție, iar este parametrul lărgimii benzii de

absorbție.In cazul materialelor cristaline, spectrele optice sunt foarte complexe. Acestea reflectă existența unor influențe specifice precum cea a punctelor critice, a excitonilor, etc., astfel încât se folosește un model de sumă de oscilatori Lorentz,

(4.15)

În care numărul de oscilatori este un parametru de model.Modelul permitivității efective

In cazul materialelor moderne din clasa materialelor compozite, permitivitatea sistemului material este modelată în teoria mediului effectiv (EMA –effective medium approximation). Aceasta este o teorie self-consistentă, denumită practic CPA (coherent potential approximation), în care sistemul real neomogen, este înlocuit cu un sistem virtual omogen, constând dintr-o matrice în care sunt imersate toate componentele materialului real, în proporțiile lor reale. Sistemul virtual are proprietăți effective identice cu sistemul real.

Fig.4.6. Diagrama schematică a matricii mediului efectiv. Inclusiunile de tip 1 și 2 reprezintă componentele sistemului real. Forma sferică

sugerează un sistem cu proprietăți omogene.

Majoritatea materialelor compozite sunt sisteme percolante (devin conductoare) pentru dimensiuni mari ale clusterilor (fazelor) componenților simpli. Metoda EMA nu este aplicabilă în vecinătatea pragului de percolație, și din acest motiv nu este o metodă adecvată pentru determinarea acestui prag. Eroarea de determinare este mai scăzută (50%) pentru structuri bidimensionale (2D). In cadrul teoriei EMA,

permitivitatea mediului efectiv este în general, soluție a ecuației:

(4.16)

În care reprezintă permitivitatea matricii gazdă, permitivitatea

incluziunii de tip cu fracția de volum , iar este specific factorului care

controlează câmpul electric Lorentz (pentru simetria sferică care are

factorul Lorentz 1/3, ).

Ecuația are forme diferite pentru modele propuse în cazuri particulare. Astfel, în modelul Maxwell-Garnett adecvat unui sistem material bifazic, ecuația devine:

(4.17)

Iar cu ipoteza , ecuația devine:

(4.18)

In modelul Brugemann, cu ipoteza , se obține ecuația:

(4.19)

Sub această formă, ecuația poate fi generalizată pentru un sistem multifazic:

(4.20)

Sub această formă, metoda EMA poate fi adaptată pentru studiul rugozității unei suprafețe reale, ca în schema din Fig.4.7.

Fig.4.7.Alegerea modelului optic și utilizarea metodei EMA pentru determinarea rugozității suprafeței unui film

Pentru aceasta, se poate imagina modelul stratului rugos, de grosime și

indice de refracție complex ca fiind un sistem bifazic, în care în

matricea bulk cu indicele de refracție , se găsește fracția de incluziuni

din mediul inconjurător, cu indicele de refracție . Dacă mediul

inconjurător este aerul, atunci , iar pentru determinarea indicelui

este necesară cunoașterea lui și a fractiei . Grosimea stratului rugos

determinată prin spectroscopie elipsometrică și folosirea modelului

EMA al permitivității, este comparabilă cu (the root mean square

roughness) determinat[prin AFM, dacă sistemul îndeplinește următoarele condiții:

1. Dimensiunea fazelor (dielectrice) ale sistemului compozit sunt mult

mai mari decât dimensiunile atomice, dar mult mai mici decât ;

2. Funcționalele permitivității componentelor sunt independente de forma și dimensiunea incluziunilor.