ElementeFiabilitateaElementuluiSimplu.pdf

7/25/2019 ElementeFiabilitateaElementuluiSimplu.pdf

1/26

- 50 -

3.

MODELAREA FIABILITII ELEMENTULUI SIMPLU

Elementul simplureprezinto noiune relativde structur, prin care o componentsau un ansamblu de componente sunt considerate ca fiind o entitate primar,considerat indivizibil din punct de vedere al analizei de fiabilitate. n limbaenglez, sinonimul este `component , respectiv n limba francez sinonimul este`composant . n cele ce urmeaz, vom accepta i termenul `component`, respectiv`macro-component` (dacse referla un ansamblu de componente).

Din punct de vedere al influenei defectrilor sau avariilor asupra componentelorlor, elementele simple se pot clasifica n:

- elemente simple nereparabile, ESN;-

elemente simple reparabile, ESR.

Un element simplu este nereparabildacla producerea primei avarii i pierde totalcapacitatea funcionali nu mai poate fi readus in stare de funcionare.

Un element simplu este reparabil dac la producerea avariei i recaptcapacitatea funcionalprin reparare i i poate continua funcionarea.

Figura 3-1.Evoluia n timp a strii unui element simplu nereparabil (a)i reparabil (b)

unde F si A reprezintstrile de funcionare i de avarie (reparare).

3.1.

Modelarea elementului simplu nereparabil (ESN) (pnla primaavarie)

Se dorete cunoaterea comportamentului ESN care fiind solicitat sfuncioneze iintrnd ntr-un proces de degradare datoriteforturilor la care este supus, va evoluatreptat spre o stare de defectare. Se pune ntrebarea ct de repede se va defecta?

Timp

F

A

a

Stare

Tim

F FF

b


2/26

- 51 -

Dacse acceptcevoluia n timp a ESN este aleatoare, atunci componenta poatefi descriscu ajutorul modelelor probabiliste.

Logica de baza acestei modelri constn identificarea variabilelor ce servesc ladefinirea comportamentului, crora li se determin funcia de repartiie, acesteaservind la determinarea indicatorilor de comportament (Figura 3.2).

Figura 3-2.Logica de elaborare a modelului de fiabilitate pentru ESN cu ajutorulvariabilelor aleatoare ce-l determin

n cazul elementului simplu nereparabil, dou variabile aleatoare suntreprezentative i au importanpracticpentru definirea comportamentului su ntimp:

-

durata de funcionare nentrerupt(life time), Tf;- durata restantde via(residual life time), Trftiind cpn

la un moment dat `T`, a funcionat nentrerupt.

Figura 3-3. Variabilele aleatoare ce definesc comportamentul ESN

La un moment oarecare t, elementul se poate afla n stare de funcionare, F, sau deavarie, A.

Fie Tf variabila aleatoare ce caracterizeaz evoluia sa nentrerupt n starea defuncionare i F(t) funcia sa de repartiie. Tf este o variabil aleatoare continudeoarece avaria se poate produce n orice moment. Prin definiie:

Componenta

Variabila aleatoare

Funcia de repartiie

Trf= Tf - T

Timp0

T

TfAvarie


3/26

- 52 -

tTPtF f=)( (3.1)

Strile de funcionare nentrerupt F i de avarie A se pot defini n raport cu unmoment oarecaret, cu ajutorul variabilei Tfastfel:

tTAtTF ff =>= ; (3.2)

F aratcelementul a funcionat nentrerupt pnla momentul t, iar A, cavaria s-a produs n intervalul [0,t]. Deoarece cele dou stari sunt mutual exclusive esteevident c EAF = undeEeste evenimentul sigur i:

( ) ( ) ( ) 1=+= APFPAFP (3.3)

Dar ( ) ( ) tTPtFAP f== i reprezint probabilitatea de avarie n intervalul[0,t]iar

( ) ( )tFtTPFP f =>= 1 (3.4)

probabilitatea de funcionare nentreruptn intervalul [0,t].P(F)se mai numete ifuncia de fiabilitate a ESN i se noteazR(t), iar P(A)funcia de nonfiabilitate

notndu-se )(tR . Evident 1)()( =+ tRtR .

R(t)i )(tR sunt complet determinate prin cunoaterea funciei de repartiieF(t)avariabilei Tf.

Pentru un ESN este important a se determina:a. probabilitatea apriori ca un ESN s se defecteze ntr-un interval de

timp (t, t+dt];b. probabilitatea aposteriori ca un ESN sse defecteze ntr-un interval (t,

t+dt]tiind ca funcionat nentrerupt pnatunci;c.

probabilitatea de funcionare nentrerupt mai mult dect un momentdat t2tiind ca funcionat nentrerupt mai mult de o perioadt1;

d. durata medie a timpului de funcionare nentrerupt.

Fie evenimentul: dttTt f +< care constn faptul celementul s-a defectat nvecintatea momentului de timp `t`.

Folosind proprietile funciei de repartiieF(t)rezult:


4/26

- 53 -

( ) ( ) ( ) ( )dttftdFtFdttFdttTtP f ==+=+< (3.5)

undef(t)este densitatea de repartiie a variabilei Tf. Deci, densitatea de repartiie avariabilei Tf permite determinarea probabilitii necondiionate de defectare nintervalul (t,t+dt] fiind egalcuf(t)dt.

Fie evenimentul condiionat { }tTdttTt ff >+< care const n faptul c ESNse defecteazn intervalul (t,t+dt], condiionat de faptul cla momentul `t` este nstare de funcionare. Rezult:

{ }{ }

{ }

{ }( )

( ) ( )dtttFtdF

tTP

dttTtP

tTP

tTdttTtPtTdttTtP

f

f

f

ff

ff

==>

+

>++1), dup cum au fostprezentate n capitolul 1.

Fie evenimentul condiionat 12 tTtT ff >> care const n faptul c elementul

funcioneaznentrerupt mai mult de valoarea `t2`a timpului,tiind ca funcionatnentrerupt mai mult de valoarea t1.a timpului.

Evaluarea probabilisticconduce la:

{ }{ } { }

( )( )1

2

1

2

1

1212 1

1

tF

tF

tTP

tTP

tTP

tTtTPtTtTP

f

f

f

ff

ff

=>

>=

>

>>=>>

(3.11)Rezultdin aceastexpresie cdacdurata de funcionare nentreruptare o legeexponenial, probabilitatea de avarie pe un interval nu depinde de ct de mult afuncionat nainte elementul, ceea ce revine la a concluziona c n cazul premizeiutilizrii distribuiei exponeniale nu exist fenomene cumulate de uzur, dedegradare.

Un indicator de comportament foarte important pentru ESN este durata defuncionare nentreruptsau durata medie de via, M(Tf)i dispersia sa D(Tf).Sedetermin ca medie a variabilei aleatoare Tf i respectiv ca medie a ptratuluiabaterii de la valoarea medie:

[ ] ( ) ( )

== 00 dttRdttftTMf (3.12)

[ ] ( )[ ] ( )

=0

2dttfTMtTD ff (3.13)

3.2. Determinarea valorii medii a duratei restante de via

Dup o anumit perioad de funcionare nentrerupt, este foarte important a sedetermina care mai este rezerva de via sau capabilitatea componentei de a-icontinua funcionarea nentrerupt. De exemplu, un avion este n zbor i seanalizeazcare este media timpului de funcionare nentrerupta unui motor tiind

ca funcionat deja nentrerupt o perioadcunoscutT.Aceasta se determinpornindu-se de la variabila aleatoare, durata restantde via,Trf, prin determinarea funciei sale de repartiie.Fie Tf = T + Trf legtura dintre durata de via i cea restant i fie x valoareacurenta acesteia.

Din cele prezentate mai sus se poate determina:


7/26

- 56 -

( ) ( )

( )

( )

( )TR

xTR

TF

xTFTTxTTP ff

+=

+=>>

1

1 (3.14)

Rezultcfuncia de repartiie a lui Trf este:

( ) ( ) ( )( )

( )( )TR

xTR

TF

xTFTTxTTPxF ffrf

+=

+

=>>= 11

111

Media duratei restante de viarezultdin:

[ ] ( )( )

( )

==T

rfrf dxxRTR

xdFxTM1

0

(3.15)

Se remarcfaptul cdacT=0, M[Trf]este aceeai cuM[Tf]deoareceR(0)=1.

De asemenea, n cazul n care elementul are un comportament de tip exponenialmedia timpului restant de via este aceeai cu media timpului de funcionarenentrerupt.

Concluzii privind fiabilitatea ESN

-

funcia de fiabilitate,probabilitatea ca ESN sfuncioneze nentreruptpe intervalul [0,t]:

( ) ( )tFtTPtR f =>= 1 (3.16)

-

probabilitatea de defectare n intervalul [t1, t2]:

[ ] ( ) ( ) ( )21212

1

, tRtRduufttRt

t

== (3.17)

-

probabilitatea necondiionatde avarie pe un interval t:

( ) ( ) ( ) 0,0 +=+< ttttfttTtP f (3.18)

- probabilitatea de avarie n intervalul [0,t] :

( )tFtTP f = (3.19)


8/26

- 57 -

-

intensitatea de avarie dact1este tiar t2este t+t atunci:

( ) ( ) ( )

( )ttRttRtR

t t +

= 0lim sau ( ) ( )

( )tRtf

t = (3.20)

- funcia de repartiie a duratei restante de via sau probabilitatea dedefectare dup ce a funcionat nentrerupt o perioad T - fie cazulunui ESN care a funcionat nentrerupt perioada T; probabilitatea smai funcioneze nentrerupt nco perioadxeste:

( ) ( ) ( )( )

( )( )TR

xTR

TF

xTFTTxTTPxTTP ff

+=

+

=>>=+1

1, (3.21)

funcia de repartiie este:

( ) ( )( )

( )( )

( )TRxTR

TF

xTF

TTxTTPxTTPxF fffT

+=

+

=

>>==

11

11

1

(3.22)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xF

xtsauxxT

TR

xTRTRxF T

xT

1lim0

0=+=

+=

- media duratei restante de via, Trf:

( ) [ ] ( )( )

( )

===>0

1

T

rfrfff dxxRTR

xxdFTMTTTTM (3.23)

3.3. Modelarea elementului simplu reparabil (ESR)

Aa cum s-a definit anterior, ESR este elementul simplu care dacse avariazipoate reface capacitatea funcionalprin reparare, deci i poate relua funcionarea.El se caracterizeaz printr-o evoluie alternant de perioade de funcionare ireparare nentrerupte (Figura 3-1 - b).

Modelarea sa precum i stabilirea indicatorilor de comportament conduce laevidenierea urmtoarelor situaii:

-

ESR poate fi analizat numai sub aspectul funcionrii nentrerupte,pnla producerea primei avarii, fiind n situaia prezentatmai sus aESN. n acest caz este vorba de analizarea fiabilitii elementuluisimplu reparabil.

-

ESR poate fi analizat din punct de vedere al comportamentului su ntimpul reparrii. n acest caz este vorba de a se defini mentenabilitateasa, adic capacitatea de a-i reface caracteristicile funcionale prinreparare. Modelul matematic aferent este identic cu cel al ESN,


9/26

- 58 -

analogia fiind total. n acest caz este vorba de o reparaie nentrerupturmatde intrarea n funciune a elementului.

-

ESR poate fi analizat sub aspectul comportamentului su ca urmare a

influenelor fiabilitii i mentenabilitii i n acest caz este vorba de ase analiza disponibilitatea sa.

i) Mentenabilitatea elementului simplu

Mentenabilitatea reprezintaptitudinea elementului simplu de a fi reparat

(recptndu-i astfel calitile funcionale). Modelul matematic este dup

cum s-a prezentat, cel al ESN.

Fie un element simplu in perioada de reparaie. Comportamentul su pn laintrarea n funciune este reprezentat n Figura 3-5.

Figura 3-5.Mentenabilitatea ESR

Dupcum se observ, la momentul tifs-a produs restabilirea capacitii funcionale.

El s-a reparat nentrerupt o perioad aleatoare Tr. Din punct de vedere tehnic, alreparrii, elementul se poate afla numai n doustri, una de reparare i o alta defuncionare care constituie stare absorbant n acest caz. Fa de un momentoarecaretelementul se afln reparare (avarie) sau n funcionare.

Fie Trvariabila aleatoare continuce caracterizeazrepararea elementului i G(t)funcia sa de repartiie:

( ) { }tTPtG r= (3.24)

Se pot defini urmtoarele evenimente complementare fa de un moment t: R =

{Tr>t}; F = {Trt}. Raratcrepararea nu s-a terminat la momentul tiarFceas-a terminat pnla momentul t. Rezult:

- probabilitatea de reparare a elementului n intervalul [0, t]:M(t) = G(t),adicmentenabilitateaelementului.

-

probabilitatea de a fi ncn reparare la momentul t:

A F

TrMomentul tifal intrrii nfunciune dupreparare

Stare

Timp


10/26

- 59 -

P(R) = 1 - M(t) = 1- G(T) (3.25)

Pentru un ESR din punct de vedere al mentenabilitii este important a sedetermina:

- probabilitatea apriori ca elementul sintre n funciune ntr-un interval(t, t+dt];

-

probabilitatea de intrare n funciune ntr-un interval (t, t+dt]tiind cs-a reparat nentrerupt pnatunci;

-

probabilitatea de a rmne n reparare nentrerupt mai mult de unmoment dat t2 tiind c s-a aflat n reparare nentrerupt pe o duratmai mare de t1;

-

durata medie a timpului de reparare nentrerupt.

Probabilitatea ca elementul sintre n funciune n intervalul dteste:

{ } ( ) ( ) ( ) ( )dttgtdGtGdttGdttTtP r ==+=+


11/26

- 60 -

( ) ( ) ( ) [ ]

===00

)(1 dttMttdMdtttgTM r (3.30)

Dup cum se observ, n premizele date, reparabilitatea (mentenabilitatea)elementului simplu este complet determinat de funcia de repartiie G(t) iarparametrul cel mai reprezentativ este (t),intensitatea de reparare.

ii)

Disponibilitatea elementului simplu reparabil

Disponibilitatea este o consecin a fiabilitii i mentenabilitii elementuluisimplu, acestea intervenind pe perioadele de funcionare i respectiv repararenentrerupte. Este clar cdisponibilitatea este un indicator total diferit i cpentruESR apar particulariti noi. Dupcum rezultdin Figura 3-1 b, evoluia n timpeste o succesiune de perioade de funcionare i de reparare iar elementul poate fiutilizat pncnd reparaiile nu mai pot s-i redea capacitatea funcional.Pentru ESR se definesc (Fig. 3.6):

- MUT (Mean Up Time), media (valoarea ateptat) a timpului defuncionare;

- MDT (Mean Down Time), media (valoarea ateptat) a timpului deindisponibilitate;

-

MTBF (Mean Time between Failures), timpul mediu dintre douindisponibiliti (avarii) consecutive.

Figura 3-6.Definirea duratelor medii ale ESR

Este clar c dac repararea are durate neglijabile sau dac n caz de avarieelementul este nlocuit imediat cu altul nou, atunci disponibilitatea va depindenumai de fiabilitatea elementului. De asemenea, dac fiabilitatea este foarte mareiar mentenabilitatea mic, disponibilitatea este redus prin staionrile lungi nreparare.

La acest tip de elemente, urmtorii indicatori sunt de interes:- probabilitatea de a fi n funciune la un moment de timp t(disponibilitatea);

- probabilitatea de a fi n reparare la un moment de timp t(indisponibilitatea);

-

numrul mediu de avarii ntr-o perioadde misiune T;

MUT MDT

MTBF=MUT+MDT


12/26

- 61 -

- durata medie a unei perioade de funcionare;- durata medie a unei perioade de reparare;-

durata medie a timpului cumulat de funcionare pentru o misiune T;

-

durata medie a timpului cumulat de reparare pentru o misiune T.

iii) Modelarea ESR folosind teorema probabilitilor totale

Fie un ESR ce evolueazalternat prin perioade de funcionare (1)i reparare (2)nentrerupt. Fade un moment texisturmtoarele situaii posibile:

-

elementul se afln funciune;- elementul se afln reparare (avarie).

Se consider, de asemenea, ipoteza potrivit creia pe perioada de funcionare ireparare nentreruptcomportamentul sfie exponenial (duratele de staionare au

funcii exponeniale de repartiie de parametri respectiv ).

Probabilitatea ca ESR s se afle la momentul t+dt n funciune corespundeurmtorului eveniment:

{Se aflla momentul t n funciune iar n intervalul (t,dt) rmne n aceaststare}

SAU {Se afl la momentul t n reparare iar n intervalul (t,t+dt) se ncheiereparaia}.

Rezult:

( ) ( )( ) ( ) dttPdttPdttP 211 1 +=+ (3.31)

unde dt si dt sunt probabilitile de a se avaria i respectiv repara n

intervalul (t,dt). Se obine:

( ) ( )( ) ( )tPtP

dt

tPdttP21

11 +=+

(3.32)

Probabilitatea ca ESR s se afle la momentul t+dt n reparare corespundeurmtorului eveniment:

{Se aflla momentul t n funciune iar n intervalul (t,t+dt) s-a avariat} SAU {Se

aflla momentul t n reparare iar n intervalul (t,t+dt) rmne n aceaststare}.

( ) ( ) ( )( )dttPdttPdttP +=+ 1212 (3.33)( ) ( )

( ) ( )tPtPdt

tPdttP21

22 =+

(3.34)


13/26

- 62 -

Rezultsistemul de ecuaii ce este evaluat folosind transformatele Laplace (pentrucazul funciei de repartiie exponeniale). Se obine:

( ) ( ) ( )tPtPtP 21/

1 += (3.35)

( ) ( ) ( )tPtPtP 21/

2 = (3.36)

Pentru condiiile iniiale ( ) 101 =P , ( ) 002 =P rezult:

( ) ( ) ( ) ( )tPtPPssP 2111 0 += (3.37)( ) ( ) ( ) ( )tPtPPssP 2122 0 = (3.38)

Din ecuaia (3.37)

( ) ( ) ( )sPsPs 12 =+ (3.39)

( ) ( )sPs

sP 12

+= (3.40)

Din ecuaia (3.38)

( ) ( ) ( ) 1111 =++ sP

ssPssP

(3.41)

( ) 11 =

++

sssP (3.42)

Deci:

( )( )

++++

+=

+++

=ssss

stP

111 (3.43)

Expresiile probabilitilor de funcionare i reparare n realitate se obin prinaplicarea transformatelor Laplace inverse, pentru condiiile iniiale precizate,rezultnd:

( ) ])([1 tExptP

+

++

+= (3.44)


14/26

- 63 -

( ) [ ]])([12 tExptP

+

+= (3.45)

Probabilitatea de a fi n funciune la un moment t (disponibilitatea), corespundeprobabilitii ca ESR sse afle n starea 1 de funcionare. Disponibilitatea se mainoteaza cuA(t)(de la termenul in limba englez`Availability`):

( ) ( ) ])([1 tExptPtAPS

+

++

+=== (3.46)

n regim staionar, disponibilitatea rezultdin limita ctre care tinde )(1 tP cnd ttinde la infinit. n literatura romn se noteaz cu p iar n cea occidental maifrecventA():

( )[ ] [ ]rf

f

TMTM

TMAp

+=

+==

(3.47)

Probabilitatea de a fi n reparare la un moment t (indisponibilitatea) corespundeprobabilitii ca ESR s se afle n starea 2, de reparare. Indisponibilitatea se

noteazcu ( )tA :

( ) ( ) [ ]])([12 tExptPtAPR

+

+=== (3.48)

n regim staionar, indisponibilitatea are expresia:

( ) [ ]

[ ] [ ]rfr

TMTM

TMAq

+=

+==

(3.49)

Este evident cp + q = 1.

Numrul ateptat de intrare ntr-o stare datpe perioadde misiune T

Acesta este unul din indicatorii cei mai reprezentativi ai ESR reflectnd de cte orieste ateptat s viziteze o anumit stare un ESR pe o perioad planificat defuncionare T.

Dacla t=0, ESR este n stare de funcionare (1), atunci:


15/26

- 64 -

Numrul (ateptat) de vizite ale strii de funcionare este dat deurmtoarea relaie:

( )[ ] 2211 )(])([)(

+++++= tExpTTM (3.50)

Numrul (ateptat) de vizite ale strii de reparare este dat deurmtoarea relaie:

( )[ ] 22

2

2

10 )(])([

)(

+++

+

+= tExpTTM (3.51)

Durata medie de funcionare i de reparare nentrerupt

Corespund comportamentului pe perioade nentrerupte:

1=MUT (3.52)

1=MDT (3.53)

Durata medie a timpului total de funcionare i de reparare pentru o misiune T

Fie o perioad T i fie p(t) i q(t) probabilitile ca ESR s se afle n starea defuncionare, respectiv de reparare, la un moment curent `t` de timp. Valorileateptate ale timpului cumulat ct el se afl n funcionare, respectiv n repararesunt:

=T

F dttpTTM0

)(][ (3.54)

=T

R dttqTTM0

)(][ (3.55)


16/26

- 65 -

3.4.

Exemple

1) Sse calculezef(t), (t), R(T)iMTTF, tiind c:

( ) tt eetF 87

1

7

81 +=

Avem:

Densitatea de probabilitate:

( ) ( ) tttt eeeetFtf 887

8

7

8'

7

1

7

81' =

+== ;

Intensitatea de defectare:

( ) ( )

( ) tt

tt

tt

tt

ee

ee

ee

ee

tF

tft

8

8

8

8

8

1

7

1

7

87

8

7

8

1

=

= = ;

Funcia de fiabilitate:

( ) ( ) tt eetFtR 87

1

7

81 == ;

[ ] ( )

)(125,156

63

56

1

7

8

56

1

7

8

71

78

7

1

7

8

0

8

0

0

8

0

0

8

0

hee

dtedte

dteedttRTMMTTF

tt

tt

tt

f

===+=

==

=

===

2) Sse calculezef(t), F(t), R(T)siMTTF, tiind c:

( ) 125,0 luni25

1 = tt

Dac 200 de componente sunt puse n funcionare n acelai timp, cte defectrieste de ateptat saparpnla sfritul unui an de operare?


17/26

- 66 -

( ) =

=

t

dtt

t

dtt

eeF(t) 025

1

0

4

1

11 ;

43

0

43

0

41

754

34

251

251

ttdtttt

=

=

.

Deci,

( )4

3

75

4

1t

etF

=

4

3

4

3

4

3

75

4

4

1

75

4

4

1

75

4

25

1

4

3

75

4'

1)(')(ttt

etetetFtf

==

==

( ) ( )4

3

75

4

1t

etFtR ==

( )

==0 0

75

4 43

dtedttRMTTFt

Facem schimbarea de variabil:

dyydytdtty 31

3

1

4

1

4

3

4

752525

75

4

=== .

n continuare obinem:

luni3,593

4

4

7525

4

7525

4

7525

3

1

0

13

43

1

0

3

13

1

=

=

=

=

=

dyeydyeyMTTF yy

Fiabilitatea unei componente dupun an de funcionare este:

( ) 948064,01 75/4 === etR

Deci, din cele 200 de componente puse n funcionare la nceputul anului nseamncvor supravieui:


18/26

- 67 -

( ) 189200948064.01 == NRn

3) Un productor de becuri este interesat n estimarea duratei medii de via aproduselor sale. 200 de becuri sunt supuse unui test de fiabilitate. Becurile suntobservate, iar defectrile produse n intervale de cte 1000 de ore sunt trecute intabelul de mai jos:

Interval de timp(ore)

Defectri peinterval

0 1.0001.001 2.0002.001 3.0003.001 4.0004.001 5.000

5.001 6.0006.001 7.000

10040201510

87

Total 200

S se traseze graficul densitii de repartiie a variabilei aleatoare timp defuncionare pnla defectare obinut din datele experimentalefe(t). n mod similarsse reprezinteFe(t), Re(t)si e(t).Indicele eprovine de la estimat.

Relaiile de calcul pentru indicatorii de mai sus sunt:

( )

( )

tn

tn

tf

f

e = 0 ,

( ) ( )

( ) ttntn

ts

f

e = ,

( ) ( )

( )ttf

tRe

ee

= ,

i

( ) ( )tRtF ee = 1

unde nf(t)reprezintnumrul componentelor defectate n intervalul de timp t, n0reprezint numrul componentelor supuse testrii, iar ns(t) reprezint numrulcomponentelor funcionale la nceputul intervalului de timp t.

n tabelul urmtor sunt prezentate valorile indicatorilor pentru fiecareinterval:


19/26

- 68 -

Interval detimp

(ore)

fe(t)104 e(t)10

4 Re(t) Fe(t)

0 1.000 0,510200

1003 =

0,510200

1003 =

1,000 0,000

1.001 2.000 0,210200

403 =

0,410100

403 =

0,500 0,500

2.001 3.000 0,110200

203 =

33,31060

203 =

0,300 0,700

4.001 5.000 75,010200

153 =

75,31040

153 =

0,200 0,800

3.001 4.000 5,010200

103 =

0,41025

103 =

0,125 0,875

5.001 6.000 4,010200

83 =

3,51015

83 =

0,075 0,925

6.001 7.000 35,010200

73 =

0,10107

73 =

0,035 0,965

5

2

10,75

0,50,4 0,35

0

1

2

3

4

5

6

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

t

f(t)

5

4

3,33 3,75

4

5,3

10

0

2

4

6

8

10

12

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

t

(t)

1

0,5

0,3

0,2

0,1250,075

0,035

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

t

R(t)

0

0,5

0,7

0,8

0,8750,925

0,965

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

t

F(t)


20/26

- 69 -

4) Intensitatea de defectare a unui sistem de frnare este:

( ) ( )2325.1006.0 ttt += defectri pe an

a) Care este fiabilitatea sistemului la t = 104ore?b)

Dac200 de sisteme sunt supuse testrii n acelai timp, cte dintre elevor supravieui la t= 104ore? Care este numrul ateptat al defectrilorntr-un an?

a)

Funcia de fiabilitate este:

( )( )

=

t

dxx

etR 0

Dar

( )

( )20

322

5,1006,0

5,1006,0325,1006,0

ttt

tttdxxx

t

+=

=+=+

Deci,

( ) ( )25,1006.0 tttetR +=

( ) 990874,0)141,1(10 00916,04 === eaniRhR

b) Numrul componentelor rmase n funciune din cele 200 dup104ore va fi:

( ) 198990874,0200141,1200 == Rn

5) Fie o turbincu abur avnd 3 moduri de defectare:

M1= temperatura abur viu la intrare mai mare de 540 C;M2= temperatura abur viu la intrare mai micde 480 C;M3= vibraii cu amplitudine mai mare de 65 m.

Se cunosc urmtoarele probabiliti:P(M1) = 0,01;


21/26

- 70 -

P(M2) = 0,015;

P(M3|M2) = 0,8, P(M3| 2M ) = 0,03

a) Care este probabilitatea de apariie a unui mod oarecare de defectare?

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )321323121

321321

MMMPMMPMMPMMP

MPMPMPMMMP

+

++=

Trebuie evaluai termenii din sum:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )0417,003,099,08,0015,0

1 2322323

=+=

=+= MMPMPMMPMPMP

( ) 021 =MMP , evenimentele fiind incompatibile( ) ( ) ( ) 0006255,00417,0015,0

3131

=== MPMPMMP

Avem relaiile:

( ) ( ) ( ) 012,08,0015,023232 === MMPMPMMP ( ) 0321 = MMMP

Deci,

( )

0540745,0

012,00006255,00417,0015,001,0321=

=++= MMMP

b) Se presupune c distribuia aburului viu la intrarea n turbin urmeaz orepartiie normalcu parametrii = 490 C si determinat din probabilitatea deapariie a lui M1. Pe de altparte distribuia timpului de apariie a lui M3urmeazodistribuie exponenialde parametru =0,zile-1, dacTAB< 480 C i o distribuienormalde parametrii = 100 zile si = 10 zile.Sse determine distribuia timpului de apariie a lui M3.

Determinarea distribuiei temperaturii aburului la intrarea n turbin, TAB~ N(490,):

( ) ( )

=

==>

501

49054015401540 ABAB FTP


22/26

- 71 -

Deci 99,050

=

, rezult 99,050

t=

, unde t0,99 este cuantila de ordin 0,9 a

repartiiei normale normate. Astfel, se obine: 33,250

= rezultnd 5,21= iTAB~ N(490, 21,5.

Evenimentul M3 apare pnla momentul t dac:

{TAB < 480 C T1t} SAU {TAB > 480 C iT2t}

Rezult:

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

+=

=

+=

10

100679076,01320924,0

10

10048011480

1,0

1,0

te

tFeFtF

t

AB

t

AB

Graficul funciei de repartiie aratastfel:

Fiabilitatea este:

( ) ( ) ( )

+== 10

100679076,01320924,011 1,0

tetFtR t


23/26

- 72 -

Densitatea de repartiie:

+==

10

100679076,00320924,0)(')( 1,0

tetFtf t

Intensitatea de apariie a modului M3este

( ) ( )

( ) ( )

+

+==

10

100679076,01320924,01

10

100679076,00320924,0

1,0

1,0

te

te

tR

tft

t

t


24/26

- 73 -

Media duratei de via:

( )

( )

zile12,71

10100679076,01320924,01

0

1,0

0

=

+=

==

dtt

e

dttRMTTF

t

Media duratei restante de viatiind ca funcionat nentrerupt 36 de zile:

( ) ( )

==36

zile3,6336

1dttR

RMRTTF

Variaia mediei duratei restante de via:


25/26

- 74 -

Probabilitatea ca turbina sfuncioneze mai mult 100 de zile tiind ca funcionatnentrerupt 50 de zile:

[ ] [ ]

[ ] 498,050100

50100 ==>> RR

TTP ff

Probabilitatea ca turbina sse defecteze n intervalul de timp [50 zile, 100 zile] :

( ) ( ) 342,05010010050 ==


26/26

- 75 -

Pentru = 2 i = 0,002 (ore-1)sse determine:

a) Numrul ateptat de defectri ntr-un an de operare;b) Media timpului de funcionare;

c) Fiabilitatea la t = 1000 ore;Dac= 3 i = 0,0002 sse compare cele doucomponente i sse menioneze

care dintre ele este mai bum.

ElementeFiabilitateaElementuluiSimplu.pdf

Documents

Transcript of ElementeFiabilitateaElementuluiSimplu.pdf