ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA

Elemente de Statistica Matematic a

Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referiotare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.

Populatia statistica este orice multime definite de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei.

Caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei. Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa.

Caracteristicile cantitative pot fi discrete (sau discontinue) daca variabila statistica ia valor finite sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit.

Numarul tuturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii.Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei

corespunzatoare acestei valori.Se numeste frecventa relativa a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a

valorii xi si efectivul total al populatiei.

Elemente Caracteristice ale unei Serii Statistice

1. Media

Se numeste media caracteristicii x numarul:

2. MedianaMediana este o valoare astfel incat jumatatea valorilor ale esantionului sunt mai mici sau egale cu

si cealalta jumate a valorilor sunt mai mari sau egale cu .3. ModululPrin modulul (sau dominanta) unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare cele

mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua.

4. Dispersia

Numarul v se numeste dispersia valorilor esantionului.Numarul se numeste abaterea mediei patratelor.

Problema 1

Un profesor isi ia din catalogul unei clase mediile la matematica pe semestrul trecut in vederea unor prelucrari statistice. Acestea sunt: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7.

1) Sa se completeze un tabel care contine rubricile: Nota, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa Cumulata. Realizati reprezentarea in batoane si poligonul frecventelor.

2) Folosind datele din tabel precizati:a. Cati elevi au note mai mici decat 5? Indicati procentul lor.b. Cati elevi au note intre 5 si 7? Indicati procentul lor.c. Cati elevi au note intre 7 si 10? Indicati procentul lor.d. Reprezentati aceste date printr-o diagrama in forma unui disc, cu a), b), c) indicate prin

sectoare ale cercului.3) Determinati media aritmetica, mediana, dispersia si abaterea mediei patratice.

1)

2) a. 3 elevi au note sub 5. Acestia reprezinta 12%.b. 10 elevi au note intre 5 si 7. Acestia reprezinta 40%.c. 12 elevi au note intre 7 si 10. Acestia reprezinta 48%.

3) Media aritmetica = (4*3+5*4+6*6+7*6+8*3+9*2+10)/25=6.48Mediana = 7

Dispersia = 2.48 (calculate tabelar)Abaterea = 1.57

Problema 2

In cadrul laboratorului de matematica aplicata se considera aruncarea simultana a doua zaruri de cate doi elevi si se inregistreaza suma punctelor obtinute pe cele doua zaruri. Se arunca zarurile de 30 de ori. Completati un tabel care contine urmatoarele coloane: Suma obtinuta, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa cumulata crescatoare. Alcatuiti diagrama in batoane. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Media = 7,033333333Dispersia = 8,165567Abaterea = 2,857545

Problema 3

La examenul de bacalaureat, cei 500 de elevi ai unui liceu au obtinut la proba de matematica rezultatele din tabelul alaturat. Sa se alcatuiasca histograma si poligonul frecventelor. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Elemente de limbaj in statistica.Date Statistice

Definitii

1 Multimea pe care se realizeaza un studiu statistic se numeste populatie statistica.2 Elementele componente ale unei poulatii statistice se numesc unitati statistice sau indivizi.3 Numarul total de unitati statistice se numeste efectivul total al populatiei statistice.4 O parte a populatiei statistice aleasa special pentru a fi studiata se numeste esantion.5 Proprietatea sau indicatorul in functie de care se cerceteaza o populatie statistica se numeste caracteristica sau

variabila statistica.O caracteristica se numeste caracteristica calitativa daca nu poate fi masurata(valoarea ei nu se exprima numeric).Ex: media generala,calificativul,profesia O caracteristica cantitativa se numeste discontinua sau discreta daca nu poate lua decat valori numerice izolate.O caracteristica cantitativa care poate lua orice valoare dintr-un interval de lungime finita sau infinita se numeste caracteristica cantitativa continua.Intervalel in care o caracteristica ia valori se numesc grupe sau clase de valori.Ex: a)Nota la teza.media generala sunt caracteristici cantitative discrete. b)Inaltimea este o caracteristica in functie de care poate fi studiat un grup.

Culegerea,Inregistararea si Clasificarea Datelor Statistice

Sa consideram studiul efectuat asupra unui grup de sportivi dupa inaltime (exprimata in centimetri).Rezultatele masuratorii sunt inregistrate in ordinea in care a decurs masuratoare si sunt asezate in urmatorul tabel:

165 168 177 195 172 198 196 190 201 168172 168 168 196 173 199 182 195 196 196185 205 184 192 178 165 174 182 177 172

196 192 188 195 175 192 175 184 192 170184 205 190 200 188 176 184 174 188 170170 180 184 199 192 184 170 175 184 188

165 168 177 195 172 198 196 190 201 168172 168 168 196 173 199 182 195 196 196185 205 184 192 178 165 174 182 177 172196 192 188 195 175 192 175 184 192 170184 205 190 200 188 176 184 174 188 170170 180 184 199 192 184 170 175 184 188

Sub aceasta forma datele inregistrate sunt greu de analizat.De aceea este necesara o alta grupare sau clasificare a datelor.De exemplu,sa asezam aceaste date in ordinea crescatoare a inaltimi sportivilor consemnand cati sportivi au o anumit inaltime.Se obtine urmatorul tabel:

cm Nr.sportivi

cm Nr. sportivi

cm Nr.sportivi

Cm Nr.sportivi

cm Nr.sportivi

165 2 174 1 180 1 190 2 199 2168 4 175 3 182 2 192 5 200 1170 4 176 1 184 7 195 3 201 1172 3 177 2 185 1 196 5 205 2

173 1 178 2 188 4 198 1 - -

Cu ajutorul acestei clasificari a datelor se pot obtine niste concluzii mai rapide privind particularitatile acestui grup.Rezultatele analizei statistice pot fi obtinute uneori mai usor daca se practica o alta grupare a datelor statistice.De exemplu se poate face o grupare a valorilor caracteristicii studiate in clase de valori:

Clase de valori

Nr.Sportivi

[165,170) 6[170,175) 6[175,180) 8[180,185) 10[185,190) 5[190,195) 7[195,200) 11[200,205) 4

Cu ajutorul acestui tabel de date se pot obtine cu usurinta diferite informatii despre grupul de studiu,ca de exemplu:-sunt 60 de sportivi-cei mai multi sportivi au inaltimea in clasa de valori [195,200),urmand cei cu inaltimea in clasa de valori [180,185) etc.-9 sportivi au inaltimea in clasa de valori [170,175)si reprezinta 15% din efectivul populatiei statistice;-exista 45 de sportivi cu inaltimea sub 95 cm etc.Valoarea absoluta a diferentei extremitatilor unei clase de valori se numeste amplitudinea clasei.

Serii Statistice.Frecvente

1 Multimea tututor perechilor (xi,ni),1 i p formeaza o serie statistica cu o singura variabila.2 Numarul ni de unitati statistice corespunzatoare valorii xi a caracteristicii sau a unei clase de valori se numeste

frecventa absoluta a valorii xi,respectiv frecventa absoluta a clasei de valori considerate.Rezulta ca Modul de prezentare a unei serii statistice cu o variabila statistica este sub forma unui tabel orizontal sau vertical care cuprinde valorile variabilei statistice sau clasele de valori si frecvntele absolute corespunzatoare:

Valorile caracteristice

x1 x2.....xp

Frecventa absoluta

n1 n2 ....np

Clase de valori[x1,x2)...[xp-1,xp)

Frecventa absoluta

n1.....................np

Se spune ca aceste tabele definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei statistice.Frecventa absoluta cumulata crescatoare a valorii x a variabilei statistice este suma tutuoro frecventelor absolute ale valorilor variabilei care apar pana la xi inclusiv.

Se noteaza

Frecventa absoluta cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statisticei este suma tuturor frecventelor absolute ale valorilor variabilei care apar la xi inclusiv.

Se noteaza

Raportul dintre frecventa absoluta a unei valori xi sau a unei clase de valori statistice si efectivul total al populatiei se numeste frecventa relativa a clasei de valori .

Se noteaza

Se numeste frecventa relativa cumulata crescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma tuturor frecventelor relative a valorilor care apar pana la xi inclusiv. Se noteaza

Se numeste frecventa relativa cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma tuturor frecventelor relative ale vlorilor care apar la xi inclusiv.

Se noteaza

Analog se definesc frecventele relative cumulate ale claselor de valori .

Reprezentarea Grafica a Datelor Statistice

O modalitatea de realizare a analizei si interpretarii datelor statistice o constituie reprezentarea grafica a acestora ,reprezentare care permite vizualizarea datelor statistice in scopul formarii unei imagini intuitive si imediate asupra fenomenului studiat.

1 Graficul unei serii statistice se numeste diagrama structurala.

1.Reprezentarea grafica folosind diagrama circularaCercul de structura sau diagrama circulara este un cerc a carui arie reprezinta efectivul total al populatiei statistice (100%).Valorile variabilei se reprezinta prin sectoare de cerc ale caror arii sunt proportionale cu frecventele relative ale valorilor variabilei.Cu ajutorul regultii de trei simpla se determina masura unghiului la centru corespunzator fiecarei frecvente. Ex: Structura veniturilor banesti (in lei) din bugetul personal al unui student pe o luna se afla in urmatorul tabel de date:

Venituri Bursa de studiu

Donatii Activitati suplimentare

Vanzari de

bunuriFrecventa absoluta 2 400 000 1 200 000 2 100 000 300 000Frecventa relativa 40% 20% 35% 6%Cu regula de trei simpla se obtine urmatoarea corespondenta intre frecventa relativa fi si masura unghiului la centru corespunzator:Fi 40% 20% 35% 5%n 144 72 126 18Diagrama circulara asociata serii statistice cu variabila calitativa este redata de fi.

2.Reprezentarea grafica folosind dreptunghiul de structura

Pentru desenarea dreptunghiului de structura se considera un reper cartezian in plan.Axa verticala va fi axa frecventelor relative fi ale valorilor xi ale variabilei statistice.Cu baza pe axa verticala se deseneaza un dreptunghi cu inaltimea de 100 de unitati.Se divizeaza dreptunghiul pe linii orizontale obtinand dreptunghiuri cu ariile proportionale cu frecventele fi.

Ex: Pentru seria statistica cu variabila calitativa din tabelul anterior se obtine dreptunghiul de structura din figura urmatoare :

.

3.Reprezentarea grafica prin batoane

Diagrama structurala cu ajutoarul batoanelor se obtine astfel:2 se alege un reper cartezian in plan3 pe axa orizontala se reprezinta valorile xi ale variabilei statistice4 pe axa verticala se reprezinta frecventele absolute ni sau frecventele relative fi corespunzatoare valorilor xi

1ip5 segmentul cu extremitatile in punctele cu coordonatele (xi,0), (xi, ni) respectiv (xi, fi) reprezinta batonul

corespunzator valorii xi.Ex; Se considera seria statistica reprezentand distributia unui esantion de 120 de tineri in functie de numarul de carti imprumutate de la bibleoteca intr-un semestru.

Numar carti

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Numar elevi

2 8 10 18 20 25 22 5 10

4.Reprezentarea grafica prin coloane sau benzi

Acest tip de reprezentare grafica foloseste dreptunghiuri cu latimi egale si lungimile proportionale cu frecventele absolute sau cu frecventele relative ale valorilor variabilei statisticei.Daca dreptunghiurile sunt asezate vertical,reprezentarea grafica se numeste diagrama prin coloane, iar daca sunt asezate orizontal reprezentarea grafica se numeste diagrama prin benzi.Ex: Repartitia numarului de ore de emisie de radio (mii ore program) in perioada 1998-2003 este:

Anii1998 1999 200

02001

2002 2003

Numar ore

52 58 64 60 70 75

5.Poligonul frecventelorO modalitate de vizualizare a datelot unei seriistatistice este poligonul frecventelor care permite reprezentarea grafica sub forma unei curbe.Fie seria statistica cu telor absolute se unesc printr-o linie poligonala de coordonate , .Daca se unesc punctele de coordonate se obtine poligonul frecventelor relative.

6.HistogramaSe considera o serie statistica cu variabila cantitativa continua si clasele de valori de amplitudini egale:distributia unui grup de tineri dupa inaltimea exprimata in centimetri:

Inaltime Numar tineri Frecventa absoluta cumulata crescatoare

Frecventa absoluta cumulata

descrescatoare[155, 160) 5 5 63[160, 165) 12 17 58[165, 170) 15 32 46[170, 175) 20 52 31[175, 180) 8 60 11[180, 185) 3 63 3

Interpretarea Datelor Statistice Prin Parametri de Pozitie

Analiza si interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pana la acest moment cu ajutorul frecventelor si a graficelor statistice. Pentru o serie statistica este interesant de gasit acea marime care survine cel mai des , acea marime este cea mai reprezentativa pentru toata seria. O astefle de marime se numeste indicator sau parametru de pozitie deoarece arata pozitia elementelor principale ale seriei in cadrul acesteia. Reprezentivitatea unor astfel de marimi este data de gradul de concentrare a datelor statistice in jurul lor.

1.Valoarea medie a unei serii statisticeFie seris statistica asociata unui studiu statistic asupra unei populatii statistixce din efectivul N, cu variabila cantitativa.Se numeste valoare medie sau media variabilei statistice X , media aritmetica a tuturor valorilor variabilei statistice calculata pentru toate unitatile populatiei statistice.

Se noteaza

2.Mediana seriei statisticeordonata

Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor variabile in doua parti,fiecare parte continand acelasi numar de valori.*Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa discreta se obtine astfel: -se aseaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau descrescatoare -daca N este numar impar, atunci

-daca N este par N=2k, atunci

Clasa de valori in seria frecventelor absloute cumulate careia ii corespunde cel putin jumateate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana.Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip continuu se calculaeaza cu formula

Unde: L=limita inferioara a clasei mediane CM=cota medianei Ni-1=frecventa absoluta cumulata crescatoare pana la clasa mediana ni=frecventa absoluta corespunzatoare clasei mediane k=amplitudinea clasei mediane

3.Modulul unei serii statistice

In multe activitati economico-sociale prezinta interes acele aspecte care survin cel mai frecvent in derularea lor. De exemplu compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala telefonica este cel mai mult solicitata si, in conseciinta , da posibilitatea determinarii capacitatii optime a centralei. Astfel de probleme se rezolva folosind parametru statistic de pozitie numit modul sau dominanta.Definitie!Modulul sau dominanta unei serii reprezinta valoarea unei clase de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.

*Pentru determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii statistice cu date grupate in clase de valori , vom face o analiza pe o secventa a diagramei structurale a acesteia care sa contina si valorile din clasa modala [1, L).Fie cazul seriei statistice in care clasa de valori anterioare clasei modale are frecventa mai mica decat frecventa clasei de valori care urmeaza clasei modale.

Notam: 1=diferenta dintre frecventa clasei modale si cea a clasei anterioare ei. 2=diferenta dintre frecventa clasei modale si cea a clasei urmatoare. K=amplitudinea clasei modale k=L-1Se obtine :

4.Dispersia.Abaterea medie patratica

Sa consideram urmatoarele seturi de date: {1,2,3,4,5} si {2,40;2,50 ;2,60 ;2,80 ;5} Se constata ca ambele siruri de date au valoarea medie egala cu 3 , sunt distincte , iar datele primului sir sunt raspandite in raport cu media fata de cele a setului al doilea. Pentru a masura gradul de impartasire a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc urmatorii parametri de pozitie: dispersia si abaterea medie patratica.Definitie! *Fiind data seria statistica dispersia valorilor este media aritmetica ponderata a patratelor abatarilor de la medie ale valorilor variabilei.

Se noteaza

In cazul datelor grupate in clase de valori , se considera abaterile centrelor claselor de valori de la medie.

Definitie! *Fiind data seria statistica se numeste abatere medie patratica a valorilor variabilei numarul unde este dispersia serie.

Se noteaza

Abaterea medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei valorilor variabilei statistice.Astfel, o serie care este putin dispersata , adica prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul valorii medii, conduce la o medie patratica micaDefinitie! Raportul dintre abaterea medie patratica si valoarea medie a unei serii statistice se numeste coeficient de variatie