ELEMENTE DE STATISTICA

 

Interpretarea datelor statistice prin

parametrii de pozitie

Analiza si interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pana la acest moment cu ajutorul frecventelor si a graficelor statistice.Cu ajutorul acestor caracteristici se poate observa cu usurinta variabilitatea marimilor care se obtin ca rezultat al unor masuratori.Desi exista aceasta variabilitate se observa o tendinta a datelor statistice de a se grupa in jurul unei anumite valori(tendinta centrala).

Pentru o serie statistica este interesant de gasit aceea marime care survine cel mai des, aceea marime care este cea mai reprezentativa pentru toata seria.O astfel de marime se numeste indicator sau parametru de pozitie deoarece arata pozitia elementelor principale ale seriei in cadrul acesteia.

Reprezentativitatea unor astfel de marimi este data de gradul de concentrare a datelor statistice in jurul lor.

Valoarea medie a unei serii statistice

Se numeste valorea medie sau media variabilei statistice X,media aritmetica a tuturor valorilor variabilei statistice calculata pentru toate unitatile populatiei statistice.

Valoarea medie x¯reprezinta media aritmetica ponderata a valorilor x1….xp ale variabilei statistice cu ponderile n1…np

N

nx

nnn

nxnxnxx

p

iii

p

pp

1

21

2211

....

......

Exemplu:

Sa calculam media variabilei statistice a seriei statistice din urmatorul tabel:

Avem:

Asadar, concentrarea notelor la teza se realizeaza in jurul numarului 7,86

Nota(xi) 4 5 6 7 8 9 10

Frecventa absoluta(ni)

1 4 5 7 13 14 6

86,750

393

614137541

6*1014*913*87*74*64*51*4

x

Daca variabila statistica X este cantitativa de tip continuu,atunci in locul

valorilor xi din formula se vor lua mediile aritmetice ale extremitatilor claselor de valori(valorile centrale ale claselor de valori).

Exemplu: Sa consideram seria statistica data de urmatorul tabel:

Inaltime Numar de tineri

Frecventa absoluta cumulata crescatoare

Frecventa absoluta cumulata descrescatoare

[155,160) 5 5 63

[160,165) 12 17 58

[165,170) 15 32 46

[170,175) 20 52 31

[175,180) 8 60 11

[180,185] 3 63 3

Pentru calcularea valorii medii a variabilei cantitative de tip

continuu,vom scrie mai intai seria statistica ,i=1.6 unde este valoarea centrala a clasei

Valoarea medie a variabilei statistice este:

Se obtine ca: Asadar,tendinta valorilor variabilei statistice este aceea de

grupare in jurul valorii 169,32. Diferenta reprezinta abatarea de la medie a valorii

.Suma abaterilor de la medie a valorilor variabilei este 0.

Xi* 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5

ni 5 12 15 20 8 3

),( *ii nx

*ix )[ 1, ii xx

63

5,10667

382015125

3*5,1828*5,17720*5,17215*5,16712*5,1625*5,157

x

32,169x

xxi

ix

ix

Mediana seriei statistice

Fie seria statistica , ,ordonata si N efectivul total al populatiei statistice.

Mediana undei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor variabilei in doua parti,fiecare parte continand acelasi numar de valori.

)( , ii nx pi ,1

1,1 kxx kk

Exemplu: 1.Daca o caracteristica ia urmatoarele

11 valori asezate in ordine crescatoare:1,3,3,3,4,5,6,6,7,8,8 atunci Me=5.

2.Fie sirul crescator de valori ale unei caracteristici numerice distincte:1,3,3,3,4,6,7,8,8,9.Sirul valorilor are 10 elemente.In acest caz se alege drept mediana a seriei numarul Me= 5

2

64

Mediana unei serii statistice cu variabila

cantitativa discreta se obtine astfel:se aseaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau descrescatoare;daca N este numar impar atunci ,iar daca N este numar par(N=2k) atunci

2

1 NxMe

21

kk xxMe

Observatie! Daca valorile variabilei sunt numeroase ,se recomanda determinarea frecventelor

absolute cumulate, apoi se cauta valoarea variabilei care corespunde unitatii statistice situata la mijlocul seriei,sau intervalul care cuprinde acea unitate statistica.

Efectivul notal al populatiei este 94.Pozitia centrala a sirului ordonat al valorilor variabilei este 94/2=47.Unitatea statistica situata pe pozitia 47 corespunde celei de-a treia secvente cumulate crescatoare.Asadar Me=7.

Nota la teza 5 6 7 8 9 10

Frecventa absoluta 16 16 62 12 10 8

Frecventa absoluta cumulata crescatoare

16 32 64 76 86 94

Sa determinam acum mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip continuu.Pentru aceasta,sa consideram distributia unui lot de piese dupa diametrul lor masurat in mm.

Jumatate din efectivul total al populatiei este 60/2=30. Clasa de valori din seria frecventelor absolute cumulate careia ii corespunde cel putin

jumatate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana. In cazul seriei date clasa mediana este [30,40).Presupunand ca pentru aceasta serie

cresterea efectivului este proportionala cu cresterea valorilor variabilei,avem: La cresterea efectivului cu (37-25) piese,corespunde cresterea valorilot variabilei cu (40-

30)=10 mm; La cresterea efectivului cu (30-25) de piese ,ce crestere a valorilor variabilei corespunde?

Diametrul(mm)

[10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)

Frecventa absoluta

10 15 12 15 8

Frecventa cumulata crescatoare

10 25 37 52 60

Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip continuu se calculeaza cu formula:

,unde: L=limita inferioara a clasei mediane; =cota medianei (daca N este par,atunci

=N/2,iar daca N este impar,atunci Ni-1=frecventa absoluta cumulata crescatoare

pana la clasa mediana; =frecventa absoluta corespunzatoare clasei

mediane; k=amplitudinea clasei mediane:

kn

NCLMe

i

iM *1

MC

MC

2

1N

CM

in

ii xx 1

Me=30+[(30-25)/12]*10=34,17 Se poate calcula si cu regula de trei

simpla: (37-25)…………….(40-30)mm (30-25)…………....X mm X=(30-25)*(40-30)/(37-25)=25/6=4,17

mm→Me=30+4,17=34,17mm. Concluzie:Mediana seriei statistice este

un indicator al pozitionarii valorilor xi ale acesteia.Aceasta este utila in realizarea ierarhizarii valorilor.

Modulul unei serii statistice In multe activitati economico-sociale prezinta

interes acele aspecte care survin cel mai frecvent in derularea lor.

De exemplu,compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala telefonica este cel mai mult solicitata si, in consecinta,da posibilitatea determinarii capacitatii optime a centralei.

Astfel de probleme se rezolva folosind parametrul statistic de pozitie numit modul sau dominanta.

Modulul sau dominanta unei serii statistice

,reprezinta valoarea sau clasa de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.Asadar,modulul sau dominanta este parametrul ce evidentiaza valoarea variabilei care apare cel mai frecvent in multimea datelor.

Exemplu:

1.Fie distributia unui grup de tineri dupa inaltimea masurata in cm:

Clasa mondiala este[175,180) careia ii corespunde cea mai mare frecventa.Modulul sriei poate fi exprimat prin valoarea centrala a clasei mondiale: .

pinx ii 1),,(

Inaltimea(cm)

[160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)

Numarul de tineri

4 14 27 35 14 6

5,1772

180175

Mo

Pentru determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii statistice cu date grupate in clase de valori,sa consideram o secventa a diagramei structurale a acesteia care sa contina si valorile din clasa modala [1,L).

Notam: =diferenta dintre frecventa clasei modale si aceea a clasei anterioare ei.

=diferenta dintre frecventa clasei modale si aceea a clasei urmatoare.

k=amplitudinea clasei modale,k=L-1

Conform graficului se obtine urmatoarea relatie de proportionalitate:

,relatie din care se obtine

Daca intervalul anterior clasei modale are frecventa mai mare decat a intervalului urmator clasei modale , atunci :

Pentru seria statistica din exemplu de mai sus se aplica formula a 2 –a si se obtine:

1

2

MoL

Mo

1

2

1 kLMo *21

2

kMo *121

1

38,176)175180(*)1435()2735(

)2735(175*1

21

1

kMo

Observatii: 1. In cazul formulei a 2a Mo este mai este mai

apropiata de 1. In cazul primei formule Mo este mai apropiat de L.

2.Mo coincide cu o valoare a variabilei statistice,reprezentand cea mai frecventa valoare a repartitiei.

3.Mo nu e influentat de valorile foarte mici sau foarte mari ale variabilei.

4.O serie statistica poate avea mai multe module.Modulul prezinta interes daca este unic.

Dispersia.Abaterea medie patratica

Sa consideram urmatoarele seturi de date: {1,2,3,3,4,5} si {2,40;2,50;2,60;2,70;2,80;5} Se constata ca ambele siruri de date au valoarea

medie egala cu 3,sunt disticte ,iar datele primului sir sunt mai raspandite in raport cu media fata de cele ale setului al 2 lea.

Pentru a masura gradul de imprastiere a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc urmatorii parametri de pozitie: dispersia si abaterea medie patratica.

Fiind data seria statistica ,dispersia valorilor

este media aritmetica ponderata a patratelor abaterilor de la medie ale valorilor variabilei.

Se noteaza:

In cazul datelor grupate in clase de valori,se considera abaterile centrelor claselor de valori de la medie.

Compararea dispersiilor a 2 serii statistice capata semnificatie in cazul cand sirurile de date sunt exprimate in aceeasi unitate de masura.

Fiind data seria statistica , se numeste abatere medie patratica a valorilor variabilei numarului , unde este dispersia seriei.

Asadar, .

pinx ii 1),,( pxxx ,...,2,1

N

nxx

nnn

nxxnxxnxxs

p

iii

p

pp

1

2

21

22

221

212

)(

...

*)(...*)(*)(

pinx ii 1),,(2s 2s

N

nxx i

p

ii *)(

1

2

Abaterea medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei valorilor

variabilei statistice.Astefel,o serie care este putin dispersata,adica prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul valorii medii, conduce la o abatere medie patratica mica.

Problema: Distributia unui lot de autoturisme noi,dupa consumul de carburant la

100km parcursi,se prezinta astfel:

Sa se caracterizeze seria statistica folosind dispersie si abaterea medie patratica.

Fie valoarea centrala a clasei de valori ,i≥1

Consumul(L)

6,2-6,6

6,6-7 7-7,4 7,4-7,8

7,8-8,2

8,2-8,6

8,6-9 9-9,4 9,4-9,8

Nr,autoturisme

4 12 44 90 107 86 36 15 6

in

*ix ),[ 1ii xx

Pentru concentrarea calculelor vom atasa la tabelul de date de mai sus urmatoarele

rubrici:

6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 8,4 8,8 9,2 9,6 Total:-

25,6 81,6 316,8 684 856 722,4 316,8 138 57,6 3198,8

10,24 17,28 28,16 14,40 0 13,76 23,04 21,60 15,36 143,84

*ix

ii nx*

ii nxx 2* )(

ln

nxx

i

iii

998,7400

8,3198

9

1

*

3596,0400

84,143*)(

9

1

2*

2

i

iii

n

nxxs

l5997,03596,0

Se observa ca pentru esantionul de 400 de autoturisme consumul mediu la 100 km este de aproximativ 8 litri.

Dispersia valorilor consumului de carburant in jurul valorii medii 8 este de 0,3596 litri.Valoarea mica a acesteia sugereaza faptul ca valorile consumului de carburant sunt destul de stranse in jurul mediei.

Dispersia valorilor consumului de carburant in jurul valorii medii,masurata prin abatarea medie patratica este de 0,5997 litri.Aceasta arata ca valorile consumului de carburant se abate in medie cu aprozimativ 0,6 litri(in plus sau in minus) de la consumul mediu.

Definitie: Raportul dintre abaterea medie patratica si valoarea medie a unei serii statistice se numeste coeficient de variatie.Se noteaza:

Acest indicator da posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a unei serii statistice.Un coeficient de variatie sub 15% indica o omogenitate buna a repartitiei unui fenomen si ca valoarea medie este reprezentativa.

)(xCV

Pentru seria statistica din tabelul anterior se obtine: %5,7

8

5997,0

)(

xCV