1

Elemente de geometrie analitica

Cum aflam ecuatia unei drepte ?

• daca cunoastem doua puncte de pe dreapta A(xA, yA) si B(xB, yB) atunci ecuatia drepteiva fi :

d :x− xA

xB − xA

=y − yA

yB − yA

Exemplu : dreapta care contine punctele A(2, 3) si B(2, 6) are ecuatia

AB :x− 2

2− 2=

y − 3

6− 3⇔ x− 2 = 0

daca unul dintre numitori se anuleaza atunci vom anula si numaratorul !

• daca cunoastem un punct de pe dreapta A(xA, yA) si panta m atunci ecuatia dreptei vafi :

d : y − yA = m(x− xA)

Cum aflam panta unei drepte ?

• daca cunoastem doua puncte de pe dreapta A(xA, yA) si B(xB, yB) atunci panta drepteiva fi :

mAB =yB − yA

xB − xA

• daca cunoastem ecuatia dreptei , de exemplu :

d : ax + by + c = 0

atunci panta va fi : md = − ba

• cel mai adesea extragem panta din relatii de paralelism si perpendicularitate intre drepte:

daca d1 ‖ d2 atunci md1 = md2 , daca d1 ⊥ d2 atunci md1 ·md2 = −1

Cum aflam coordonatele unui punct ?

• daca e punctul de intersectie a doua drepte (sau a unei drepte cu un cerc, de ex) serezolva sistemul format cu ecuatiile celor doua drepte ( a dreptei si a cercului)

• daca stim raportul care-l determina pe un segment cu extremitatile cunoscute A(xA, yA)si B(xB, yB) avem doua situatii posibile :

daca MAMB

= k si M este in interiorul segmentului, atunci :{xM = xA+k·xB

1+k

yM = yA+k·yB

1+k

2

daca MAMB

= k si M este in exteriorul segmentului, atunci :{xM = xA−k·xB

1−k

yM = yA−k·yB

1−k

Apartenenta : un punct apartine unei drepte ( unei conice) daca ale sale coordonateverifica ecuatia dreptei (conicei)

Formule utile :

• distanta de la un punct M(xM , yM) la o dreapta d : ax + by + c = 0 este :

dist(M, d) =|axM + byM + c|√

a2 + b2

• aria triunghiului determinat de A(xA, yA), B(xB, yB) si C(xC , yC) :

S∆ABC =|D|2

unde D =

∣∣∣∣∣∣xA yA 1xB yB 1xC yC 1

∣∣∣∣∣∣• coordonatele mijlocului M a unui segment [AB] : xM = xA+xB

2si yM = yA+yB

2

• coordonatele centrului de greutate G al unui triunghi ∆ABC :

xG = xA+xB+xC

3si yG = yA+yB+yC

3

• trei puncte A, B, C sunt coliniare daca si numai daca :

∣∣∣∣∣∣xA yA 1xB yB 1xC yC 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

• ecuatia cercului care trece prin trei puncte A,B si C necoliniare :

cerc :

∣∣∣∣∣∣∣∣x2 + y2 x y 1x2

A + y2A xA yA 1

x2B + y2

B xB yB 1x2

C + y2C xC yC 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

• ecuatia tangentei la cercul x2 + y2 + mx + ny + p = 0 in punctul A(xA, yA) se obtineprin dedublare :

x · xA + y · yA +m

2(x + xA) +

n

2(y + yA) + p = 0

• restul formulelor necesare pentru aplicatiile de la cursul de recuperare se gasesc in Ghidde recapitulare matematica-C. Lazureanu sau in orice manual de clasa a 11-a de geometrieanalitica.