ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

Termeni cheie :

• Permutări• Aranjamente• Combinări

• Binomul lui Newton• Termenul general al dezvoltării

binomului lui Newton• Triunghiul lui Pascal

BINOMUL LUI NEWTON

(a+b)n =? , a,b є R, n є N,n≥1

Isaac Newton

Isaac Newton(1643-1727)

Matematician,astronom,fizician englez. Este recunoscut pentru:În fizică: •“legea universală a gravitaţiei”; • contribuţia sa într-o ramură a ştiinţei numită dinamică şi pentru

descoperirile sale în optică;În matematică: • are ca primă realizare în domeniul matematicii, exact binomul care îi poartă numele; •• aallăături de Leibniz este inventatorul calculului diferenturi de Leibniz este inventatorul calculului diferenţţial ial şşi integral;i integral;

Pe urmele lui Isaac NewtonPe urmele lui Isaac Newton

NaNaşşterea marelui om de terea marelui om de şştiintiinţăţă

• ISAAC NEWTON s-a ISAAC NEWTON s-a nnăăscut la 4 ianuarie scut la 4 ianuarie 1643 1643 îîntr-un sntr-un săătuc tuc numit Woolsthrope numit Woolsthrope din comitatul din comitatul Lincolnshire (Anglia).Lincolnshire (Anglia).

• ViaViaţţa lui Newtona lui Newton a a decurs,linidecurs,linişştittităă,pa,paşşnicnicăă şşi i monotonmonotonăă.Hot.Hotăărrâându-se ndu-se definitiv pentru cariera definitiv pentru cariera universitaruniversitarăă el a renun el a renunţţat la at la ideea de a seideea de a se ccăăssăători.tori.

• Dupa tradiDupa tradiţţia ia medievalmedievalăă,membrii ,membrii colegiului trebuiau scolegiului trebuiau săă rrăămmâânnăă celibatari.A studiat celibatari.A studiat la Cambridge la Cambridge îîntr-un mediu ntr-un mediu auster la Trinity College.De auster la Trinity College.De la 30 noiembrie 1703 la 30 noiembrie 1703 şşi i ppâânnăă la s la sâârrşşitul vieitul vieţţii(31 ii(31 martie 1727) a fost martie 1727) a fost prepreşşedintele Royal Society.edintele Royal Society.

ÎÎNCEPUTUL CARIEREI NCEPUTUL CARIEREI GRAVITAGRAVITAŢŢIA UNIVERSALIA UNIVERSALĂĂ::AAşşezat la umbra unui ezat la umbra unui

mmăăr,gr,gâândea poate la ndea poate la problemele gravitaproblemele gravitaţţiei iei ccâând un fruct desprins nd un fruct desprins din pom cade.A fost se din pom cade.A fost se pare prima sugestie pare prima sugestie privitoare la LEGEA privitoare la LEGEA ATRACATRACŢŢIEI IEI GRAVITAGRAVITAŢŢIONALE.IONALE.

PRIMUL REZULTATPRIMUL REZULTAT• LEGEA ATRACLEGEA ATRACŢŢIEI IEI

UNIVERSALE:UNIVERSALE:• MiMişşcarea planetelor este carea planetelor este

elipticelipticăă,Soarele fiind plasat ,Soarele fiind plasat îîn n focar,forfocar,forţţa de atraca de atracţţie ie gravitagravitaţţionalionalăă fiind invers fiind invers proporproporţţionalionalăă cu p cu păătratul tratul distandistanţţei,dar direct proporei,dar direct proporţţionalionalăă cu produsul maselor corpurilor.cu produsul maselor corpurilor.

LEGILE LUI NEWTONLEGILE LUI NEWTON• ISAAC NEWTON a formulat clar ISAAC NEWTON a formulat clar şşi explicit pentru i explicit pentru

prima datprima datăă toate cele trei principii ale mecanicii toate cele trei principii ale mecanicii clasice.Ele sunt conclasice.Ele sunt conţţinute inute îîn lucrarea sa n lucrarea sa PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA(Principiile matematice ale MATHEMATICA(Principiile matematice ale filozofiei naturale),publicatfilozofiei naturale),publicatăă îîn anul 1687.n anul 1687.

• Aceste legi formeazAceste legi formeazăă baza mecanicii clasice baza mecanicii clasice şşi i NewtonNewton îînsunsuşşi le-a folosit pentru a explica multe i le-a folosit pentru a explica multe rezultate privind mirezultate privind mişşcarea corpurilor.carea corpurilor.

TELESCOPUL LUI NEWTONTELESCOPUL LUI NEWTON• ConstruieConstruieşşte te îîntre anii 1660-1670 ntre anii 1660-1670

telescopul cu reflexie,care mai telescopul cu reflexie,care mai este este şşi asti astăăzi amintit zi amintit îîn unele cn unele căărrţţi i de fizicde fizicăă.Modelul este p.Modelul este păăstrat de strat de Societatea RegalSocietatea Regalăă şşi vizitatorii pot i vizitatorii pot avea avea şşi azi pli azi plăăcerea de a-l cerea de a-l vedea.Telescopul lui Newton a vedea.Telescopul lui Newton a devenit curdevenit curâând un obiect de nd un obiect de mmâândrie nandrie naţţionalionalăă îîn Anglia n Anglia şşi i aparatul preferat al astronomilor aparatul preferat al astronomilor englezi.Scopul direct al englezi.Scopul direct al telescopului telescopului îîl reprezintl reprezintăă cercetarea lumii acercetarea lumii aşştrilor care l-a trilor care l-a atras pe Newton spre problemele atras pe Newton spre problemele de bazde bazăă ale mecanicii cere ale mecanicii cereşşti.ti.

•• Imagine complexImagine complexă ă de colecde colecţţie ce sugereazie ce sugereazăă mai multe idei concomitente ce l-au preocupat mai multe idei concomitente ce l-au preocupat pe ISAAC NEWTONpe ISAAC NEWTON..

NUMELE LUI NEWTON..NUMELE LUI NEWTON..ÎÎN MATEMATICN MATEMATICĂĂ

• Binomul lui Newton,se referBinomul lui Newton,se referăă la formula de dezvoltare a puterii unui la formula de dezvoltare a puterii unui binom.binom.

• A iniA iniţţiat conceptul de limitiat conceptul de limităă ,conceptul de derivat ,conceptul de derivatăă precum precum şşi i pe pe cel cel de integralde integralăă..

• AlAlăături de Leibniz este inventatorul calculului diferenturi de Leibniz este inventatorul calculului diferenţţial ial şşi i integral.Cei doi titani ai integral.Cei doi titani ai şştiintiinţţei au ajuns ei au ajuns îîn mod inevitabil la n mod inevitabil la inventarea acestui domeniu al matematicii pe douinventarea acestui domeniu al matematicii pe douăă c căăi i diferite.Leibniz a pornit de la soludiferite.Leibniz a pornit de la soluţţionarea matematicionarea matematicăă a a nedeterminnedeterminăărilor “clasice” din matematicrilor “clasice” din matematicăă iar Newton a pornit de la iar Newton a pornit de la definirea corectdefinirea corectăă a vitezei a vitezei şşi accelerai acceleraţţiei ca variaiei ca variaţţii ale vectorilor de ii ale vectorilor de pozipoziţţie,respectiv vitezie,respectiv vitezăă îîn varian variaţţii infinitezimale ale timpului ii infinitezimale ale timpului îîn care n care are loc miare loc mişşcarea mecaniccarea mecanicăă..

• Este bine cunoscutEste bine cunoscutăă formula Leibniz-Newton pentru calculul unei formula Leibniz-Newton pentru calculul unei integrale definite.integrale definite.

INTRAREA INTRAREA ÎÎN SOCIETATEA REGALN SOCIETATEA REGALĂĂ• Imediat dupImediat dupăă alegerea ca membru alegerea ca membru

al SOCIETal SOCIETĂŢĂŢII REGALE,ca un II REGALE,ca un omagiu pentru noii colegi,omagiu pentru noii colegi,NewtonNewton le comunicle comunicăă printr-o scrisoare c printr-o scrisoare căătre tre secretarul Societsecretarul Societăţăţii Regale ii Regale Oldenburg,descoperirea spectrului Oldenburg,descoperirea spectrului luminii solare.Raza de luminluminii solare.Raza de luminăă alb albăă se descompune se descompune îîn raze simple n raze simple diferite,refractate de prismdiferite,refractate de prismăă şşi bine i bine individualizate ca atare.individualizate ca atare.

ULTIMILE ZILE DIN VIAULTIMILE ZILE DIN VIAŢŢA LUI A LUI NEWTONNEWTON

• Starea sStarea săănnăăttăţiăţii lui i lui NEWTONNEWTON s-a s-a îînrnrăăututăţăţit it vizibil vizibil îîncncăă din anul 1725. din anul 1725.

• A murit liniA murit linişştit la 20 martie tit la 20 martie 1727 la v1727 la vâârsta de 84 de rsta de 84 de ani.ani.ÎÎnmormnmormâântarea a avut ntarea a avut loc loc îîn cadrul unei n cadrul unei ceremonii solemne la ceremonii solemne la WESTMINSTERWESTMINSTER..

• Peste patru ani rudele lui Peste patru ani rudele lui au ridicat la mormantul au ridicat la mormantul sau un monument cu sau un monument cu chipul schipul săău decorat cu u decorat cu diferite embleme diferite embleme şşi i simboluri.simboluri.

Analizând

formulele :

Ce puteţi spune despre coeficienţii

literelor?

Ce puteţi spune despre numărul de termeni din

fiecare dezvoltare?

Ce puteţi spune despre exponenţii

literelor?

Voi elevi,încercaţi să răspundeţi la următoarele

întrebări:

Voi elevi ???????

Newton a observat că:

kknn

k

kn

n

nnn

nnn

nn

nn

non

n

baCba

bCabCbaCbaCaCba

0

11222111 ........

Formula se demonstrează

.………………………..prin

inducţie matematică.

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n nn n n n n

1 0 11 1

n+1 0 n+1 1 n k n+1 k k n+1 n+1n+1 n+1 n+1 n+1

Fie P n : a+b =C a +C a b+C a b +..... + C a b +.....+C b ,n .

I. Verificare: P 1 : a+b =C a+C b ;

II. P n P n+1 :

P n+1 : a+b =C a +C a b+.....C a b +.....+C b

P n+1 :

A

?

0

1n+1n +1 n +1

n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n

0 n+1 1 n k n k+1 k n n 0 n 1 n 1 2n n n n n n

k n k k+1 n n+1n n

n+1 0 n+1 1 0 n 2 1n n n n n

C C C

a+b a+b = a+b C a +C a b+.....+C a b +.....+C b =

=C a +C a b+....+C a b +...+C b +C a b+C a b +.....+

+C a b +.....+C b

a+b = C a + C +C a b+ C +C

n+12 n+1

n 1 2 n n n+1n n

C

a b +....+C C b

Conform principiului inducţiei matematice rezultă că P n este adevărată n .

A .

Precizări privind formula lui Newton:0 1 k nn n n n Coeficienţii C , C , ...C ,...,C se numesc

şi sunt în număr de n +1 A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi

coeficienţi binomialiai dezvoltării

coeficientul nu

1)

meri

.

0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n1 n 2 n 3 n n+1 n

0 2 4n n n

al acelui termen!

Cei n+1 termeni sunt:

T =C a , T =C a b, T =C a b ,...., ,....,T =C b .

Numerele naturale C , C , C ... se numesc

coeficienţi binomiali de rang imp

k n-k kk+1 n

c

T =

2)

3)

a b

C

1 3 5n n nar, iar numerele C , C , C ....

se numesc coeficienţi binomiali de rang par.

În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de l4)

a 0 la n.

Precizări privind formula lui Newton:

0 n 1 n 1 2 n 2 k n kn n n n n n n n

Coeficienţii binomiali ai termenilor extremi şi cei ai termenilor egal depărtaţi

de termenii extremi sunt egali: C =C , C =C , C =C , .... , C =C .

Dacă exponentul puterii e

5)

6)

0 1 2 k k+1 nn n n n n n

ste par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni, iar termenul din mijlocare coeficientul binomial cel mai mare:

C C C .... C C .... C

0n

. Dacă exponentul puterii este impar n=2k+1 atunci dezvoltarea are 2k+2 termeni şi există doi termeni la mijlocul dezvoltării cu coeficienţii binomiali

egali şi de valoare cea mai mare: C

1 2 k k+1 k+2 nn n n n n nC C .... C =C C .... C .

Un rol important în rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton

îl joacă de rang k+1:

7

termenul general

) k n-k k

k+1 nT =C a b , k∈ 0,1,2,....,n

Identităţi în calculul cu combinări

n

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n nn n n n n n

Utilizând formula lui Newton de dezvoltare a binomului a + b

a+b =C a +C a b+C a b +.....C a b +.....+C ab +C b ,

se pot deduce câteva identităţi interesante în care intervin coeficinţii

n 0 1 2 n 1 nn n n n

n

n2 C + C + C + .

binomiali.

Particularizând în formula lui Newton a b 1 găsim:

Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 2

În aceeaşi formulă a lui Newto

.... + C + C

n

n0 1 2 nn n n n0 C C

luân

+ C .....

d a 1 şi b 1 obţinem:

Suma alternantă a coeficienţilor binomiali este

1 C

0

n 0 1 2 n 1 nn n n n n

n0 1 2 n

n 1 0 2 4 6

n n n n

n 0 2 4 6n n

n

n n

n n n

Adunând cele două sume membru cu membru obţinem:

2 C + C + C + ..... + C + C

0 C C + C ..... 1 C

2 2

2

C + C + C + C + .

C

.... sau

Suma coeficienţilor

+ C + C + C + ....

n

n 1 1 3 5 7n

1

n 1 3 5 7n n n n

n 1

n n n

binomiali de rang impar este 2

Scăzând cele două sume obţinem:

2 2 C + C + C + C + ..... sau

Suma coeficienţilor binomiali de rang

2 C + C + C + C

par est

+ ...

e

.

2

Blaise Pascal (19.06.1623-19.08.1662) •A fost un matematician, fizician și filosof francez;•Numeroase contributii in domenii ale stiintei, precum construcția unor calculatoare mecanice;• În urma unei revelații religioase în 1654, Pascal abandonează matematica și științele exacte și își dedică viața filozofiei și teologiei. •În anul 1653 descoperă triunghiul aritmetic.

Viaţa lui Blaise PascalViaţa lui Blaise Pascal

• Blaise Pascal s-a născut pe 19 iunie 1623 s-a născut pe 19 iunie 1623 în Clermont şi a murit la Paris în 19 august în Clermont şi a murit la Paris în 19 august 1662. Tatăl lui, un judecător din Clermont, 1662. Tatăl lui, un judecător din Clermont, având la rândul sau un anumit renume în având la rândul sau un anumit renume în ştiinţă, s-a mutat în Paris în 1631, pentru ştiinţă, s-a mutat în Paris în 1631, pentru a-şi continua propriile studii pe o parte, şi a-şi continua propriile studii pe o parte, şi pentru a-şi educa unicul său fiu care pentru a-şi educa unicul său fiu care dovedise deja abilităţi excepţionale. dovedise deja abilităţi excepţionale.

• Micul Blaise a fost ţinut acasă pentru a nu se Micul Blaise a fost ţinut acasă pentru a nu se obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui a fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilor a fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilor străine, neincluzând evident matematica. Acest străine, neincluzând evident matematica. Acest program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o zi, la doisprezece ani, a întrebat ce este zi, la doisprezece ani, a întrebat ce este geometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că este geometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că este ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinării ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinării proporţiilor dintre diferite parţi ale lor. proporţiilor dintre diferite parţi ale lor.

• În curând Pascal se apucă de studiat geometria, În curând Pascal se apucă de studiat geometria, sacrificându-şi timpul de joacă şi în ciuda sacrificându-şi timpul de joacă şi în ciuda restricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva restricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva săptămâni descoperă singur multe proprietăţi săptămâni descoperă singur multe proprietăţi ale figurilor. Cea mai importantă este aceea ale figurilor. Cea mai importantă este aceea privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care este egală cu două unghiuri drepte, respectiv este egală cu două unghiuri drepte, respectiv 180 de grade. 180 de grade.

• Se pare că dovada consta simplu în împăturarea Se pare că dovada consta simplu în împăturarea unghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lor să unghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lor să se întâlnească în centrul cercului înscris în se întâlnească în centrul cercului înscris în triunghi. O demonstraţie similară se poate obţine triunghi. O demonstraţie similară se poate obţine prin împăturarea unghiurilor astfel încât ele să se prin împăturarea unghiurilor astfel încât ele să se întâlnească pe piciorul perpendicularei duse din întâlnească pe piciorul perpendicularei duse din vârful unghiului cel mai mare pe latura opusă. vârful unghiului cel mai mare pe latura opusă. Impresionat de această demonstraţie inteligenţă, Impresionat de această demonstraţie inteligenţă, tatăl său i-a dat o copie a cărţii Elementele de tatăl său i-a dat o copie a cărţii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeşte cu interes până Euclid, pe care Pascal o citeşte cu interes până când o învaţă.când o învaţă.

• La vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirile La vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirile săptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi săptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi de alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţe de alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţe se naşte Academia Franceză. La vârsta de şaisprezece se naşte Academia Franceză. La vârsta de şaisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică, optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică, un un calculator rudimentar, pe care o va îmbunătăţii peste rudimentar, pe care o va îmbunătăţii peste opt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativ opt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativ în această perioadă se concentra asupra geometriei în această perioadă se concentra asupra geometriei analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.

• În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea religiei, aşa cum zice în Pensées, religiei, aşa cum zice în Pensées, "contemplează măreţia şi misterul omului". "contemplează măreţia şi misterul omului". În 1653 a trebuit să administreze moşia tatălui În 1653 a trebuit să administreze moşia tatălui său. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şi său. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şi a făcut câteva experimente asupra presiunii a făcut câteva experimente asupra presiunii exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadă exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadă a inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cu a inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cu Fermat a creat calculul probabilităţilor.Fermat a creat calculul probabilităţilor.

• Medita asupra căsătoriei când un accident l-a determinat Medita asupra căsătoriei când un accident l-a determinat iarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat la iarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal unde a trăit până în 1662.Port Royal unde a trăit până în 1662.Singura lucrare matematică care o mai scrie o a fost un Singura lucrare matematică care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloidă în 1685. eseu despre cicloidă în 1685.

• Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut. venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, lucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ lucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ completă despre geometria cicloidei.completă despre geometria cicloidei.

• Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fost publicată Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fost publicată doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată din intersecţia unui con doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată din intersecţia unui con circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă sub îndrumarea lui circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă sub îndrumarea lui Desargues. Două rezultate sunt deopotrivă importante şi interesante. Desargues. Două rezultate sunt deopotrivă importante şi interesante. Primul este o teoremă cunoscută sub numele de Teorema lui Pascal :Primul este o teoremă cunoscută sub numele de Teorema lui Pascal :Dacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele de Dacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele de intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). A doua intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). A doua care i se datorează în mare parte lui Desargues spune următoarele: care i se datorează în mare parte lui Desargues spune următoarele: Dacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptă care Dacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptă care intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q atunci:intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q atunci:Pascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există nici o Pascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există nici o consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figură simplă consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figură simplă (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare linie este formată din (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare linie este formată din numere egale cu suma numerelor din stânga poziţiei de pe linia numere egale cu suma numerelor din stânga poziţiei de pe linia precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacă aşezăm triunghiul altfel (ca precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacă aşezăm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai uşor să vedem că un număr este egal cu suma celor în dreapta) este mai uşor să vedem că un număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numărul din stânga şi două numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numărul din stânga şi cel de deasupra în prima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli cel de deasupra în prima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli sunt echivalente.sunt echivalente.

• Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este: demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este: Triunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în jos Triunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în jos din colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţii din colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţii binomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului lui binomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului lui Newton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţii Newton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţii binomiali ai dezvoltării (a+b)4 . binomiali ai dezvoltării (a+b)4 .

Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii şi Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii şi pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte n pentru pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte n pentru cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascal este cel cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din 1657 în care mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din 1657 în care a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o problemă a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o problemă propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méré (Cavalerul propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méré (Cavalerul Marii). Marii).

• La rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era La rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era următoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masă următoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masă înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte) înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte) şi numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărul şi numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărul turelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afle turelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afle în ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au dat în ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au dat acelaşi răspuns dar demonstraţi diferite. acelaşi răspuns dar demonstraţi diferite. Următoarea este demonstraţia celui din urmă:Următoarea este demonstraţia celui din urmă:Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucător Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucător când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32 când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32 de galbeni.de galbeni.Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul. Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primul Acum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primul jucător ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp ce jucător ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp ce dacă al doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebui dacă al doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebui împărţită miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primul împărţită miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primul jucător ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 de jucător ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 de galbeni.galbeni.

Triunghiul lui Pascal

nk 0111 kn

kn

kn CCC

Pascal descoperă formula de recurenţă care-i poartă numele:

Calculând în situaţiile:

n=1; n=2; n=3; n=4; n=5,

folosind formula combinărilor , şi utilizând

formula combinărilor complementare obţinem: Triunghiul lui Pascal

Generalizând,elementul de la intersecţia liniei n cu coloana k,este suma elementelor ce se găsesc pe linia n-1(de deasupra),la intersecţia cu coloanele k-1 şi k.

1248

16

00C

01C

11C

02C

12C

22C

03C

13C

23C

33C

04C

14C

24C

34C

44C

0nC 1

nC2nC

1nnC

nnC n2

021222

3242

http://www.youtube.com/watch?v=Zo2JrPjijHc&feature=related

SARCINĂ DE LUCRUCOMPLETAŢI CIORCHINELE CU FORMULELE

CORESPUNZĂTOARE ŞI PARCURGEŢI FIŞELE 1 ŞI 2:

Elemente de combinatorică

Permutări............Aranjamente.........Combinări.............

Binomul lui Newton-dezv. binomului........- termenul general......-triunghiul lui Pascal..

•Studiaţi problemelerezolvate de pe fişa 1.

•Rezovaţi problemele de pe fişa 2.

Aplicaţie 1:

6

4

3

1 Calculaţi 1+2x folosind formula lui Newton.

După ce aţi dezvoltat binoamul cu ajutorul formulei completaţi:a) T =................ b) coeficientul binomial al lui T este..........c) coefi 5

5

9

cientul lui T este..............d) termenul liber al dezvoltării este..............

d) termenul care conţine x este................

e) termenul care conţine x este................

Răspuns:

6 2 3 4 5 61 2 3 4 5 66 6 6 6 6 6

33 34 6

23 6

4 45 6

1 1+2x =1+C 2x+C 2x +C 2x +C 2x +C 2x +C 2x

Astfel :

a) T =C 2x =160x

b) coeficientul binomial al termenului T este C =15

c) coeficientul termenului T este C 2 =240d) termenul liber est

1

55 5 56 6

9

e T =1

e) termenul care conţine x este T C 2x 192x

e) nu există termen care conţine x

Aplicaţie 2:

5

4

3

4

Calculaţi z= y-i folosind formula lui Newton

şi răspundeţi la următoarele întrebări:a) T =..................b) coeficientul binomial al lui T este...........c) coeficientul lui T este.....

2

.....

d) Re z =.......

e) Im z =............

Răspuns:

5 2 3 4 55 1 4 2 3 3 2 4 55 5 5 5 5

5 5 1 4 2 3 3 2 4 55 5 5 5 5

3 44 5

23 5

2 y i =y +C y i +C y i +C y i +C y i +C i

y i =y C y i C y +C y i+C y C i

În concluzie:

a) T =C y i

b) coeficientul binomial al termenului T este C =10

c) coeficientul terme

34 5

5 3

4 2

nului T este C i=10i

d) Re z y 10y +5y

e) Im z 5y +10y 1

Aplicaţie 3:8

23

6

1

2 Fie binomul x + . Să se determine:x

a) Termenul al treilea al dezvoltării.b) Termenul din mijloc.

c) Rangul termenului ce conţine pe x .

d) Termenului ce conţine pe x .e) Termenul liber din d

3

ezvoltare.

nu dezvoltaţi binomul!

Răspuns:

k8 kk 2

k+1 8 3

28 22 2 6

3 2+1 8 3

5

2 3 Temenul general este: T =C x , k 0,1,...,8x

2a) Luăm k=2 şi obţinem T =T =C x =112x

xb) Cum n=8 înseamnă că dezvoltarea are 9 termeni şi

termenul din mijloc este T

48 44 2 4

4+1 8 3

6k+1

k8 k 2 8 k2 6 3k 6

33

2=T =C x =1120x .

xc) Pentru a găsi termenul care conţine x folosim din formula lui Tfactorul x cu exponentul său:

1x =x x x =x 16 5k=6 k=2 T .

xd) Repetăm raţiona

16 5k 14

16 5k 0

mentul şi găsim x =x k=3 T 448x.

e) Analog x =x 16 5k=0 k Nu există termen liber.

Aplicaţie 4:

1003Fie binomul 2 + 3 .

a) Determinaţi numărul de termeni din dezvoltare.b) Aflaţi câţi termeni raţionali are dezvoltarea.c) Câţi termeni iraţionali are dezvoltarea?

5

Răspuns:

1003

100 k kk 3

k+1 100

k+1

5 a) Binomul 2 + 3 are în dezvoltare 101 termeni.

b) Formula temenului general este:

T C 2 3 , k 0,100.

2 100 k 2 kT 6 k k 0, 6,....,96

3 k 3 k

sau se mai scrie k 0,6 1 , 6 2 ,6 3 ,...

., 6 16

există 17 termeni raţionali.

c) În concluzie sunt 101 17 84 termeni iraţionali.

Această prezentare a fost realizată de prof.Apostol Manuela

în cadrul programului de formare continuă a profesorilor de matematică şi ştiinţe economice în societatea cunoaşterii.

Resurse:-imagini web;

-slide-uri (ppt-uri) de pe web; -aplicaţia www.Prezi.com;

- videoclipuri educaţionale de pe YouTube;

http://www.youtube.com/watch?v=Zo2JrPjijHc&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=YUqHdxxdbyM&feature=related