8/9/2019 Ecuatii-Cap1

1/6

ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL INTAI

Cuprins

Ecuatii diferentiale. Definitie.Ecuatii diferentiale de ordinul ntai.

Tipuri de ecuatii diferentiale:1. Ecuatii diferentiale totale.2. Ecuatii diferentiale care admit factor integrant.3. Ecuatii cu variabile separabile.4. Ecuatii omogene.5. Ecuatii omogene generalizate.

ECUATII DIFERENTIALE

O ecuatie diferentiala este o ecuatie n care necunoscuta este o functiede o variabila si exprima o legatura ntre variabila independenta, functianecunoscuta si derivatele sale pana la un anumit ordin.

Forma generala sau implicita a unei ecuatii diferentiale de ordinul n este:

(1) F(x ,y,y, y, . . . , y(n)) = 0,

unde x I, I este un interval din IR, y : I IR, F : D IRn+1 IR si y(n)

este derivata de ordin maxim, n IN, n 1.Daca ecuatia diferentiala de ordinul n este data sub forma:

(2) y(n)

(x) = f(x ,y,y

, . . . , y

(n1)

)

spunem ca ea este scrisa n forma normala sau explicita.Problema care se pune n legatura cu o ecuatie diferentiala este integrarea

ei, adica gasirea functiei y(x).

1

8/9/2019 Ecuatii-Cap1

2/6

Definitie. O functie : J I IR, de n ori derivabila pe J, pentru

care (x, (x),

(x), . . . , (n)

(x)) D, x J si

F(x, (x), (x), . . . , (n)(x)) = 0,

se numeste solutie a ecuatiei diferentiale (1).In general, multimea solutiilor unei ecuatii diferentiale este infinita. O

familie de solutii y = (x, C) cu C IR constanta arbitrara, se numestesolutie generala. Dand constantei C diferite valori, se obtin solutii particu-lare.

O solutie a ecuatiei, care nu se poate obtine din solutia generala prinparticularizarea constantei, se numeste solutie singulara.

In multe probleme practice este necesara determinarea unei solutii aecuatiei diferentiale, care ndeplineste anumite conditii initiale.Prin problema Cauchy asociata unei ecuatii diferentiale se ntelege de-

terminarea unei solutii y = y(x) a ecuatiei, care pentru x = x0 sa verificeconditia initiala:

(3) y(x0) = y0, y(x0) = y

0, . . . , y(n1)(x0) = y

(n1)0 .

Ecuatiile diferentiale ale caror rezolvare se reduce la calculul unor inte-grale din functii elementare se numesc ecuatii integrabile prin cuadraturi.

ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL INTAI

Forma generala a unei ecuatii diferentiala de ordinul ntai este:

F(x ,y,y) = 0,

unde F : D IR3 IR si y este o functie de x iar y =dy

dxeste derivata sa.

Forma normala sau explicita a unei ecuatii diferentiale de ordinul ntaieste:

y = f(x, y), f : IR2 IR.

Aceasta ecuatie mai poate fi scrisa sub forma:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

2

8/9/2019 Ecuatii-Cap1

3/6

ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL INTAI TOTALE SI

REDUCTIBILE LA ACESTEA1. Ecuatii diferentiale totale (exacte)

Sunt ecuatii diferentiale de forma:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

unde P si Q sunt functii de clasa C1 pe dreptunghiul D = (a, b) (c, d), cuproprietatea ca

P

y=

Q

x.

Atunci exista o functie F : D IR astfel ncat dF = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.Functia F se determina rezolvand sistemul:

F

x= P

F

y= Q

Orice solutie y = (x) a ecuatiei este data implicit de F(x, y) = C, cuC IR.

2. Ecuatii diferentiale care admit factor integrant

Fie data ecuatia diferentiala:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

unde P si Q sunt functii de clasa C1 pe dreptunghiul D = (a, b) (c, d), darpentru care

P

y=

Q

x.

Atunci se cauta o functie (x, y) astfel ncat, daca nmultim ecuatia cuaceasta functie, ecuatia echivalenta obtinuta:

(x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0,

sa fie o ecuatie diferentiala totala. Functia se numeste factor integrant.Determinarea factorului integrant se face prin ncercari. In urmatoarele

doua cazuri se poate calcula direct aceasta functie:

3

8/9/2019 Ecuatii-Cap1

4/6

a) Se cauta pentru nceput un factor integrant de forma = (x). Daca

expresia P

y

Q

x

Q(x, y)

nu depinde de y atunci se poate gasi functia .

b) Daca expresia de mai sus depinde si de y se cauta un factor integrantde forma = (y). Acesta exista daca expresia

Q

x

P

y

P(x, y)nu depinde de x.

3. Ecuatii cu variabile separabile

O ecuatie cu variabile separabile este o ecuat ie de forma:

y = f(x)g(y),

unde f : I IR si g : J IR sunt functii continue, cu g = 0 pe J.Ecuatia se mai poate scrie:

dy

dx= f(x)g(y),

si mpartind cu g(y) se aduce la forma:

dy

g(y)= f(x)dx.

Aceasta ecuatie este o ecuatie diferentiala totala. Prin integrare se obtine:

dy

g(y)

= f(x)dx.Exemplu. Se considera ecuatia

y = x2ey.

4

8/9/2019 Ecuatii-Cap1

5/6

Ecuatia este cu variabile separabile y = f(x)g(y), unde f(x) = x2 si g(y) =

ey

.Ecuatia se pune sub forma echivalenta:

dy

dx= x2ey eydy = x2dx

si prin integrare se obtine:eydy =

x2dx ey =

x3

3+ C.

Rezultatul poate sa ramana sub aceasta forma implicita. Atunci cand este

posibil, se va ncerca explicitarea:

y(x) = ln

x33 + C .

4. Ecuatii omogene

Sunt ecuatii de forma

y = fy

x

,

unde f este o functie continua pe un interval I.

Notamy

x = t, de unde rezulta y = xt si y

= t + xt

. Exprimand ecuatian noua functie t = t(x), se obtine

t + xt = f(t) t =1

x[f(t) t], (x = 0),

care este o ecuatie cu variabile separabile.

5. Ecuatii omogene generalizate

O ecuatie de forma

y = f

a1x + b1y + c1a2x + b2y + c2

,

unde f este o functie continua pe un interval I, este o ecuatie omogena gene-ralizata.

5

8/9/2019 Ecuatii-Cap1

6/6

Notam = a1 b1a2 b2

. Distingem doua situatii:a) Daca = 0 rezulta a1b2 a2b1 = 0 si notam

a1

a2=

b1

b2= , ecuatia

devine

y = f

t + c1t + c2

,

unde t(x) = a2x + b2y. Are loc relatia t(x) = a2 + b2y

(x).Exprimand ecuatia n noua functie t = t(x), se obtine

dt

dx= a2 + b2f

t + c1t + c2

care este o ecuatie cu variabile separabile:

dt

a2 + b2f

t + c1t + c2

= dx.

b) Daca = 0 rezolvam sistemula1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

Fie (x0, y0) solutia sistemului. Se face urmatoarea schimbare de variabile:x = u + x0

y = v + y0

Noua functie este v = v(u) si obtinem o ecuatie omogena

dv

du= f

a1 + b1v

u

a2 + b2v

u

unde notamv

u= t(u).

6