econometrie

Capitolul 22.1 Probleme rezolvate 2.1.1 Model liniar unifactorial - caz general 2.1.2 Model liniar unifactorial cu erori heteroscedastice 2.1.3 Model liniar unifactorial cu autocorelarea erorilor 2.1.4 Model unifactorial neliniar 2.1.5 Model liniar multifactorial 2.1.6 Model multifactorial neliniar funcia Cobb-Douglas fr progres tehnic 2.1.7 Model liniar multifactorial cu variabile centrate 2.1.8 Modele dinamice 2.1.8.1 Model dinamic funcia CobbDouglas cu progres tehnic 2.1.8.2 Model autoregresiv 2.1.8.3 Model dinamic cu decalaj 2.1.8.4 Model dinamic de prognoz cu variabile anticipative 2.1.9 Modelul static al lui Keynes 2.1.10 Modelul dinamic al lui Keynes 2.1.11 Model recursiv 2.2 Probleme propuse spre rezolvare

Modele econometrice cu o singur ecuaie i cu ecuaii multiple

2


2.1 Probleme rezolvate 2.1.1 Model liniar unifactorial - caz general Se cunosc urmtoarele date privind capacitatea de cazare turistic n funciune (mii locuri-zile) i numrul de nnoptri n structurile de primire turistic cu funciuni de cazare turistic (mii) n Romnia n perioada 1989-2002:Tabelul 2.1.1Capacitatea de cazare turistic n funciune (mii locuri-zile) 1 79458 77022 64124 55870 57434 53255 53540 53639 52027 53164 51275 50197 51182 50752 Numrul de nnoptri n structurile de primire turistic cu funciuni de cazare turistic (mii) 2 53377 44552 31927 26076 24769 23296 24111 21838 19611 19183 17670 17647 18122 17277

Anul

0 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Sursa: Anuarul Statistic al Romniei 1993, CNS, Bucureti, 1994, p. 622-624, Anuarul Statistic al Romniei 2003, INS, Bucureti, 2004, p. 507, 511.

Econometrie. Studii de caz

Se cere: a) s se specifice modelul econometric ce descrie legtura dintre cele dou variabile; b) s se estimeze parametrii modelului i s se calculeze valorile teoretice ale variabilei endogene; c) s se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici ptrate; d) s se verifice semnificaiile estimatorilor i verosimilitatea modelului; e) presupunnd c n anul 2003 numrul de nnoptri va atinge valoarea de 17100 mii s se estimeze capacitatea de cazare turistic n funciune a Romniei n acest caz. Rezolvare: a) Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric unifactorial de forma:

y = f (x ) + uunde: y = valorile reale ale variabilelor dependente; x = valorile reale ale variabilelor independente; u = variabila rezidual, reprezentnd influenele celorlali factori ai variabilei y, nespecificai n model, considerai factori ntmpltori, cu influene nesemnificative asupra variabilei y. Analiza datelor din tabel, n raport cu procesul economic descris conduce la urmtoarea specificare a variabilelor: y = capacitatea de cazare turistic n funciune, reprezentnd variabila rezultativ (endogen); x = numrul de nnoptri, reprezentnd variabila factorial (exogen), respectiv factorul considerat prin ipoteza de lucru cu influena cea mai puternic asupra variabilei y.


alegerea unei funcii matematice ( f ( x)) cu ajutorul creia poate fi descris legtura dintre cele variabile. n cazul unui model unifactorial, procedeul cel mai des folosit l constituie reprezentarea grafic a celor dou iruri de valori cu ajutorul corelogramei vezi figura 2.1.1.ccf79400 77300 75200 73100 71000 68900 66800 64700 62600 60500 58400 56300 54200 52100 50000

Specificarea unui model econometric presupune, de asemenea,

innoptari

1650 1910 2170 2430 2690 2950 3210 3470 3730 3990 4250 4510 4770 5030 5290 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Figura 2.1.1 Legtura dintre capacitatea de cazare turistic n funciune (mii locuri-zile) i numrul de nnoptri n structurile de primire turistic cu funciuni de cazare turistic (mii) n Romnia

Din grafic se poate observa c distribuia punctelor empirice (xt , y t ) poate fi aproximat cu o dreapt. Ca atare, modelul econometric care descrie legtura dintre cele dou variabile se transform ntr-un model liniar unifactorial y = a + bx + u , a i b reprezentnd parametrii modelului, b 0 , panta dreptei fiind pozitiv deoarece legtura dintre cele dou variabile este liniar.


b) Deoarece parametrii modelului sunt necunoscui, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode, n mod curent fiind folosit ns metoda celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.). Utilizarea acestei metode pornete de la urmtoarea relaie:y t = a + bxt + u t ; t = 1, n y t = a + bxt

unde: y t = valorile teoretice ale variabilei y obinute numai n funcie de valorile factorului esenial x i de valorile estimatorilor parametrilor a i b, $ $ respectiv a i b ;

u t = y t y t = (a a ) + b b xt = estimaiile valorilor variabilei reziduale.

(

)

n mod concret, M.C.M.M.P. const n a minimiza funcia:

2 F a, b = min ( y t y t ) = min y t a bxtt =1 t =1

( )()

14

14

(

)

2

Condiia de minim a acestei funcii rezult din: F (a ) = 0 na + b x = y

t

t

F b = 0 a xt + b xt2 = y t xt

Tabelul 2.1.2ytNr. (mii crt. locurizile) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 79458 77022 64124 55870 57434 53255 53540 53639

xt(mii) 2 53377 44552 31927 26076 24769 23296 24111 21838

xt23 2849104129 1984880704 1019333329 679957776 613503361 542703616 581340321 476898244

xt y t4 4241229666 3431484144 2047286948 1456866120 1422582746 1240628480 1290902940 1171368482

y t = 35030 ,912 + + 0 ,8694 x t

( x t x )26 767377059,6 356324948,9 39082145,3 160457,5 821612,8 5661680,3 2447436,8 14725858,0

ut = yt yt7 -1978,2 3258,2 1336,2 -1831,0 869,3 -2029,1 -2452,7 -377,6

u t28 3913120,5 10615710,2 1785381,8 3352697,0 755597,6 4117418,8 6015700,3 142564,2

5 81436,2 73763,8 62787,8 57701,0 56564,7 55284,1 55992,7 54016,6


ytNr. (mii crt. locurizile) 0 9 10 11 12 13 14 1 52027 53164 51275 50197 51182 50752

xt(mii) 2 19611 19183 17670 17647 18122 17277

xt23

xt y t4

y t = 35030 ,912 + + 0 ,8694 x t

( x t x )26 36777293,9 42151628,8 64086886,6 64455665,3 57054283,2 70533602,5 1521660559,4

ut = yt yt7 -53,5 1455,6 882,0 -176,0 396,1 700,7 0,0

u t28 2857,2 2118901,6 777971,0 30968,1 156866,6 490974,3 34276729,4

5 52080,5 51708,4 50393,0 50373,0 50785,9 50051,3 802939,0

384591321 1020301497 367987489 1019845012 312228900 906029250 311416609 885826459 328406884 927520204 298494729 876842304

Total 802939 359456 10750847412 21938714252

Tabelul 2.1.2

yt y922105,2 19669,2 6771,2 -1482,8 81,2 -4097,8 -3812,8 -3713,8 -5325,8 -4188,8 -6077,8 -7155,8 -6170,8 -6600,8 0,0

( y t y ) xt x u t u t (xt x ) u t 1 (u t u t 1 ) u t u t 1 (xt x)( yt y)2

(continuare)17612349172,5 371287328,4 42330729,8 -593961,6 -73614,9 9750388,4 5964830,9 14251387,4 32297847,1 27195392,1 48655279,4 57449714,5 46610589,1 55436227,3 1322911310,3

2

10488640498,6 386877990,6 45849342,9 2198653,5 6595,8 16791847,8 14537334,9 13792204,3 28363993,5 17545925,8 36939479,2 51205269,2 38078596,3 43570372,0 1184398104,4

1127701,6 18876,6 6251,6 400,6 -906,4 -2379,4 -1564,4 -3837,4 -6064,4 -6492,4 -8005,4 -8028,4 -7553,4 -8398,4 0,0

12-1978,2 3258,2 1336,2 -1831,0 869,3 -2029,1 -2452,7 -377,6 -53,5 1455,6 882,0 -176,0 396,1 700,7 0,0

13-54798165,4 61503190,2 8353236,1 -733461,2 -787914,1 4828199,4 3837062,2 1448923,7 324160,3 -9450669,4 -7061001,5 1412822,3 -2991640,5 -5884742,0 0,0

14-1978,2 3258,2 1336,2 -1831,0 869,3 -2029,1 -2452,7 -377,6 -53,5 1455,6 882,0 -176,0 396,1 -1978,2

1527419223,1 3694061,3 10031276,0 7291556,9 8400685,0 179394,7 4306105,4 105056,3 2277375,2 329037,7 1119372,7 327231,3 92800,5 65573176,1

16-6445196,2 4353515,4 -2446598,5 -1591631,1 -1763834,3 4976862,2 926079,6 20182,5 -77808,2 1283917,5 -155216,8 -69698,3 277520,2 -711906,1


$ Estimarea parametrului b :

y x y x b= n x x xnt t t t 2 t

14 = 14

802939 359456 = 3071419995 2886212411 28 84 1505118637 1292086159 68 36

t t

359456 426899179 , 359456 1075084741 2

4 1852075834 = 0,8694 b= 2130347832

(vezi calcule tabelul 2.1.2., coloanele 1, 2, 3, 4)

$ Estimarea parametrului a : na + b

x =yt

t

1 a+b n

x = yt

t

n

n

a = y bx

x= y=

x

359456 = 25675,4 n 14 a = 57352,8 0,8694 25675,4 = 35030,912 yt 802939 = = 57352,8 n 14 t

=

Dispunnd de estimaiile parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene, y t , cu ajutorul relaiei: y t = 35030,912 + 0,8694 x t (vezi tabelul 2.1.2., coloana 5)

Valorile variabilei reziduale vor rezulta din urmtoarea relaie: u t = y t y t (vezi tabelul 2.1.2., coloana 7) Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie ptratic a variabilei reziduale s u i abaterile medii ptratice ale celor doi estimatori,

s a i s b : 34276729,3646 = 2856394,1137 nk 14 2 (vezi tabelul 2.1.2., coloana 8) s2 ut

(y =

yt )

2

=


unde: k = numrul parametrilor;s u = 2856394,1137 = 1690,087 2 2 1 s a = su + n 2 sa

2 = 2856394,1137 1 + 25675,4 2 (x t x ) 14 1521660559,4 x2

= 1441501,1977

(vezi tabelul 2.1.2., coloana 6)s a = 1441501,1977 = 1200,6253 2 2 s b = s u

1 2856394,1137 = = 0,0019 2 (xt x ) 1521660559,4

s b = 0,0019 = 0,0433n urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie: y t = 35030,912 + 0,8694 xt ; s u = 1690,087

(1200,6253) (0,0433)

c) Estimatorii obinui cu ajutorul M.C.M.M.P. sunt estimatori de maxim verosimilitate dac pot fi acceptate urmtoarele ipoteze: c1) Variabilele observate nu sunt afectate de erori de msur. Aceast condiie se poate verifica cu regula celor trei sigma, regul care const n verificarea urmtoarelor relaii:

xt ( x 3 x )

y t ( y 3 y )

Pe baza datelor din tabelul 2.1.2., coloanele 6, 10, se obin:

x =

(x

t

x)

2

n

=

1521660559,4 = 108690039,9592 = 10425,4515 14


y =

(y

t

y )2

n

=

1184398104,4 = 84599864,5969 = 9197,8185 14

x t (x 3 x ) x 3 x < x t < x + 3 x 25675 , 4 3 10425 , 4515 < x t < 25675 , 4 + 3 10425 , 4515

xt ( 5600,9261; 56951,7832)y t y 3 y y 3 y < y t < y + 3 y 57352,8 3 9197,8185 < y t < 57352,8 + 3 9197,8185

(

)

y t (29759 ,3303; 84946 ,2411 )

Deoarece valorile acestor variabile aparin intervalelor xt ( 5600,9261; 56951,7832) i y t (29759 ,3303; 84946 ,2411 ) , ipoteza de mai sus poate fi acceptat fr rezerve. c2) Variabila aleatoare (rezidual) u este de medie nul M (u ) = 0 ,2 iar dispersia ei, su , este constant i independent de X - ipoteza de

homoscedasticitate, pe baza creia se poate admite c legtura dintre Y i X este relativ stabil. Acceptarea ipotezei se poate face prin intermediul mai multor procedee: c2.1) Procedeul grafic - care const n construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x i ale variabilei reziduale u (vezi Figura 2.1.2).


u4000 3000 2000 1000

x016500 19100 21700 24300 26900 29500 32100 34700 37300 39900 42500 45100 47700 50300 52900

-1000 -2000 -3000

Figura 2.1.2

Deoarece graficul punctelor empirice prezint o distribuie oscilant, se poate accepta ipoteza c cele dou variabile sunt independente i nu corelate. c2.2.) Acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate cu ajutorul analizei variaiei (vezi punctul d)). c3) Valorile variabilei reziduale (u t ) sunt independente, respectiv nu exist fenomenul de autocorelare. Acceptarea sau respingerea acestei condiii se poate face cu: c3.1.) Procedeul grafic - corelograma ntre valorile variabilei dependente ( y t ) i valorile variabilei reziduale (u t ) (vezi Figura 2.1.3).


u3000

2000

1000

y050000 52100 54200 56300 58400 60500 62600 64700 66800 68900 71000 73100 75200 77300 79400

-1000

-2000

-3000

Figura 2.1.3

Ca i n cazul graficului precedent, distribuia punctelor empirice fiind oscilant, se poate accepta ipoteza de independen a erorilor. c3.2.) Testul Durbin-Watson const n calcularea termenului empiric: (ut =2 n

d=

t n

2 u t 1 )2 t

ut =1

i compararea acestei mrimi d cu dou valori teoretice, d 1 i d 2 , preluate din tabela Durbin-Watson (vezi Anexa 3) n funcie de un prag de semnificaie , arbitrar ales, de numrul variabilelor exogene ( k ) i de valorile observate ( n, n 15) . Acceptarea sau respingerea ipotezei de independen a erorilor se bazeaz pe o anumit regul, care const n: - dac 0 < d < d 1 autocorelare pozitiv;


-

dac

d 1 d d 2 indecizie,

recomandndu-se

acceptarea

autocorelrii pozitive; - dac d 2 < d < 4 d 2 erorile sunt independente; - dac 4 d 2 d 4 d 1 indecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii negative; - dac 4 d 1 < d < 4 autocorelare negativ. Pe baza datelor problemei, valoarea empiric a variabilei Durbin-Watson este:d=

(ut =2

14

t

u t 1 )2 t

2

ut =1

14

=

65573176,1 = 1,91 34276729,3646

Lucrnd cu un prag de semnificaie = 0,05 , numrul variabilelor exogene fiind k = 1, iar numrul observaiilor n = 14 , din tabela distribuiei Durbin-Watson se citesc valorile (pentru cazul n = 15 ) d1 = 1,08 id 2 = 1,36 .

Deoarece d 2 = 1,36 < d = 1,91 < 4 d 2 = 2,64 , se poate accepta ipoteza de independen a valorilor variabilei reziduale. c3.3.) Coeficientul de autocorelaie de ordinul 1r1 =

u ut =2 n 1 t =1

n

t t 1

u

2 t

Se poate demonstra c ntre coeficientul de autocorelaie de ordinul 1 i variabila Durbin-Watson exist relaia: d d = 2(1 r1 ) r1 = 1 2


tiind c: 4 1 autocorelare strict negativa indecizie d = 2 r1 = 0 independenta indecizie 0 1 autocorelare strict pozitiva Calculul coeficientului de autocorelaie de ordinul 1:r1 =

u ut =2 13

14

t t 1

ut =1

=

2 t

711906,1 = 0,021 33785755,1

Deoarece r1 = 0,021 0 , i acest indicator arat c ipoteza de independen a valorilor variabilei reziduale poate fi acceptat. c4) Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale Se tie c, dac erorile urmeaz legea normal de medie zero i de abatere medie ptratic su (consecina ipotezelor c1, c2, c3), atunci are loc $ relaia: P ( u t t s u ) = 1

Pe baza acestei relaii, n funcie de diferite praguri de semnificaie , din tabela distribuiei normale se vor prelua valorile corespunztoare ale lui t . Lucrnd cu un prag de semnificaie = 0,05 , din tabela distribuiei Student ( n < 30) se preia valoarea variabilei, cu un numr de grade de libertate v = n 2 = 14 2 = 12, t0, 05;12 = 2,179 , iar pentru un prag de semnificaie = 0,01 , avem t 0,01;12 = 3,055 . Cu ajutorul acestor date,verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza urmtorului grafic (Figura 2.1.4.): pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y, yt (vezi tabelul 2.1.2, coloana 5), iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale ut (vezi tabelul 2.1.2, coloana 7).


Se observ c valorile empirice ale variabilei reziduale se nscriu n banda construit, cu un prag de semnificaie = 0,05 . Ca atare, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptat cu acest prag de semnificaie.ut3300 2300 1300 30050000 52500 55000 57500 60000 62500 65000 67500 70000 72500 75000 77500 80000

+ t 0, 05 s u

yt

-700 -1700 -2700 -3700

t 0, 05 s u

Figura 2.1.4

d) Verificarea semnificaiei estimatorilor i a verosimilitii modelului d1) Verificarea semnificaiei estimatorilor Estimatorii sunt semnificativ diferii de zero, cu un prag de semnificaie , dac se verific urmtoarele relaii: b a ta = > t ; v ; tb = > t ;v sa sb


tiind

c

(vezi

punctul

b)

al

problemei)

a = 35030,912; s a = 1200,6253 i b = 0,8694; sb = 0,0433 i, lucrnd cu un prag de semnificaie = 0,05 , din tabela distribuiei Student se preia valoarea t0, 05;12 = 2,179 . a 35030,912 = = 29,1772 > t0,05;12 = 2,179 sa 1200,6253 b sb = 0,8694; = 20,0661 > t0,05;12 = 2,179 0,0433

ta = tb =

Pe baza calculelor de mai sus se observ faptul c ambii estimatori sunt semnificativ diferii de zero, cu un prag de semnificaie = 0,05 . d2) Verificarea verosimilitii modelului Pentru a accepta ipoteza de liniaritate se calculeaz coeficientul de corelaie liniar:ry / x = cov( y, x ) =

x y

(y

t

y )( xt x )

n x y

=

1322911310,3 = 0,9854 14 10425,4515 9197,8185

Coeficientul de corelaie liniar fiind definit n intervalul [ 1;1] , rezult c valoarea obinut de 0,985 indic o puternic corelaie liniar ntre cele dou variabile. Verificarea verosimilitii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variaiei).


Tabelul 2.1.3Sursa de variaie Variana dintre grupe Msura variaiei Nr. gradelor de libertate2

Dispersii corectateVx2 k 1 = 11501213752 sY / X =

Valoarea testului F

FcFc =2 sY / X 2 s u

F ;v1 ;v2F0,05;1;12 = 4,76

Vx2 = ( yt y )t =1

14

k 1=1

= 1150121375

= 402,648 F0, 01;1;12 = 9,33

Variana rezidual

Vu2 = ( yt yt )t =1

14

2

n k = 12

= 34276729,4V02 = ( yt y )t =1 14 2

V u2 nk = 2856394 ,12 s u =

-

-

Variana total

n 1 = 13

-

-

-

= 1184398104,4

Testul Fisher-Snedecor indic faptul c rezultatele obinute sunt semnificative pentru un prag de semnificaie de 5%: Fc = 402,648 > F0,05;1;12 = 4,76 . Pe baza datelor din tabelul de mai sus se poate calcula raportul de corelaie dintre cele dou variabile:

Ry / x

V x2 Vu2 1150121374,9925 = = 1 2 = = 0,9854 0,985 2 1184398104,3571 V0 V0

Se poate demonstra c, n cazul unei legturi liniare, raportul de corelaie este egal cu coeficientul de corelaie liniar:ry / x = cov( y, x )

x y

= b x = Ry / x

y

Verificarea semnificaiei raportului de corelaie i, implicit, a coeficientului de corelaie liniar se face cu ajutorul testului FisherSnedecor: Fc = (n 2) R2 , R fiind semnificativ dac Fc F ;v1 ;v2 . 1 R2


Fc = 12

0,9711 = 12 33,554 = 402,648 > F0,05;1;12 = 4,76 0,0289

Deoarece raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaie = 0,05 , rezult modelul econometric: yt = 35030,912 + 0,8694 xt ; R = 0,985 d = 1,91 su = 1690,087

(1200,6253) (0,0433)

care descrie corect dependena dintre cele dou variabile, acesta explicnd 97,11% din variaia total a variabilei dependente, adic variaia capacitii de cazare n funciune se datoreaz n proporie de 97,11% numrului de nnoptri.V02 = V x2 + Vu2 100 = V x2 V02 100 + Vu2 V02 100

e) Dac numrul nnoptrilor va fi egal cu 17100 mii (xt = 17100) , capacitatea de cazare turistic n funciune va fi egal cu: Y/ x=17100 = a + bxt = 35030,912 + 0,869417100 = 49897,4230 mii locuri-zile

Pe baza ipotezei formulate la punctele precedente, capacitatea de cazare turistic n funciune y urmeaz o distribuie normal (sau distribuia Student, dac n 30 ), de medie Y i de abatere medie ptratic sY , L( y) = N (Y , sY ) . Pentru xt = 17100 Yt = 49897,4230 1 2 sY / x =17100 = s u 1 + + n

(xt x )2 2 (xt x ) = 1788,4251

2 1 (17100 25675,4) + sY / x =17100 = 2856394,1137 1 + 14 1521660559,4


Estimarea capacitii de cazare n funciune, care se poate obine dac numrul nnoptrilor va fi egal cu 17100 mii, pe baza unui interval de ncredere, se calculeaz cu relaia: P(Y/ x =17100 t sY / x =17100 y / x =17100 Y/ x =17100 + t sY / x =17100 ) = 1 Pentru = 0,05 i v = n k = 12 , din tabela distribuiei Student se preia valoarea variabilei t ;v = t 0, 05;12 = 2,179 . Deci, cu un prag de semnificaie de 0,05 sau cu o probabilitate egal cu 0,95, capacitatea de cazare turistic n funciune va fi cuprins n intervalul:P(Y/ x =17100 [49897,4230 2,179 1788,4251]) = 1 0,05 = 0,95

P(Y/ x =17100 [46000,4446;54794,4014]) = 0,95

2.1.2 Model liniar unifactorial cu erori heteroscedastice

Se cunosc urmtoarele date1 privind privind venitul mediu i cheltuielile medii efectuate de un eantion 30 de familii cu procurarea mrfurilor alimentare:Tabelul 2.2.1Nr. crt. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91

Cheltuieli medii cu procurarea mrfurilor alimentare (u.m./familie) 1 55 65 70 80 79 84 98 95 90

Venitul mediu (u.m./familie) 2 80 100 85 110 120 115 130 140 125

Datele problemei i o parte din testele utilizate sunt reproduse din D. N. Gujarati, Basic Econometrics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc., 1995, p. 369-380.

Econometrie. Studii de caz Cheltuieli medii cu procurarea mrfurilor alimentare (u.m./familie) 1 75 74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189

Nr. crt. 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Venitul mediu (u.m./familie) 2 90 105 160 150 165 145 180 225 200 240 185 220 210 245 260 190 205 265 270 230 250

Se cere: a) Specificarea, identificarea i estimarea parametrilor modelului econometric ce descrie legtura dintre cele dou variabile; b) Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.) i a verosimilitii modelului. Rezolvare: a) Analiza variabilelor aferente problemei conduce la specificarea acestora: - venitul mediu reprezint variabila explicativ sau exogen (x) a modelului, n timp ce cheltuielile pentru procurarea mrfurilor alimentare constituie variabila endogen (y) a modelului; - variabila endogen, cheltuieli pentru mrfuri alimentare, depinde i de ali factori - numrul membrilor de familie, categoria socio-profesional


a familiei, etc. - dar acetia sunt considerai factori cu aciune ntmpltoare i specificai cu ajutorul variabilei aleatoare (u). Pe baza acestor premise, datele problemei pot fi analizate cu ajutorul urmtorului model: y = f ( x) + u Identificarea modelului presupune alegerea unei funcii matematice care s descrie corelaia dintre cele dou variabile. n cazul unui model unifactorial (cum este cel specificat mai sus), procedeul cel mai des folosit l constituie reprezentarea grafic a datelor, respectiv corelograma (vezi figura 2.2.1).y 190 170 150 130 110 90 70 x 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270

Figura 2.2.1 Legtura dintre cheltuielile medii cu procurarea mrfurilor alimentare i venitul mediu

Deoarece graficul punctelor empirice arat c acestea pot fi aproximate cu ajutorul unei drepte f ( x) = a + bx , modelul econometric devine: y i = a + bxi + ui ; i = 1, n, n = 30. Urmtoarea operaie const n estimarea parametrilor modelului, a i $ $ b, cu ajutorul estimatorilor a i b . n acest scop se va utiliza metoda celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.). 2 F a, b = min ( yi yi ) = min yi a bxii =1 i =1

( )

30

30

(

)

2


Condiia de minim a acestei funcii rezult din:

$ $ $ F ( a ) = 0 na + b xi = y i $ $ $ F b = 0 a xi + b xi2 = y i xiTabelul 2.2.2Nr. crt. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

()xi2 80 100 85 110 120 115 130 140 125 90 105 160 150 165 145 180 225 200 240 185 220 210 245 260 190 205 265 270 230 250

yi1 55 65 70 80 79 84 98 95 90 75 74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189

ui3 -5,3131 -8,0688 6,4980 0,5534 -6,8245 1,3645 5,7977 -3,5801 0,9866 8,3091 -2,2577 -1,3358 8,0420 10,4752 6,2309 -9,0915 -12,7918 -16,8472 -17,3586 2,7195 2,3971 0,7749 9,4525 4,8857 4,5306 -0,0361 -0,3032 9,5079 -18,9808 20,2636 0,0000

u

2 i

xi x ui ( xi x ) yi 5 -93,17 -73,17 -88,17 -63,17 -53,17 -58,17 -43,17 -33,17 -48,17 -83,17 -68,17 -13,17 -23,17 -8,17 -28,17 6,83 51,83 26,83 66,83 11,83 46,83 36,83 71,83 86,83 16,83 31,83 91,83 96,83 56,83 76,83 6 495,00 590,36 -572,91 -34,96 362,83 -79,37 -250,27 118,74 -47,52 -691,04 153,90 17,59 -186,31 -85,55 -175,50 -62,13 -663,04 -452,07 -1160,13 32,18 112,26 28,54 679,00 424,24 76,27 -1,15 -27,85 920,68 -1078,74 1556,92 0,00 7 55 70 75 65 74 80 84 79 90 98 95 108 113 110 125 115 130 135 120 140 144 152 140 137 145 175 189 180 178 191 3592

xi 8 80 85 90 100 105 110 115 120 125 130 140 145 150 160 165 180 185 190 200 205 210 220 225 230 240 245 250 260 265 270 5195

ln u i29 3,3403 4,1760 3,7430 -1,1834 3,8410 0,6215 3,5149 2,5508 -0,0269 4,2347 1,6287 0,5791 4,1694 4,6980 3,6591 4,4147 5,0976 5,6484 5,7082 2,0009 1,7485 -0,5100 4,4926 3,1726 3,0217 -6,6406 -2,3866 4,5042 5,8869 6,0176 81,7230

ln xi10 4,3820 4,6052 4,4427 4,7005 4,7875 4,7449 4,8675 4,9416 4,8283 4,4998 4,6540 5,0752 5,0106 5,1059 4,9767 5,1930 5,4161 5,2983 5,4806 5,2204 5,3936 5,3471 5,5013 5,5607 5,2470 5,3230 5,5797 5,5984 5,4381 5,5215 152,7413

4 28,2287 65,1049 42,2241 0,3062 46,5732 1,8618 33,6133 12,8174 0,9734 69,0408 5,0971 1,7845 64,6739 109,7307 38,8245 82,6559 163,6310 283,8288 301,3210 7,3959 5,7460 0,6005 89,3493 23,8701 20,5266 0,0013 0,0919 90,3994 360,2691 410,6116 2361,1533

Total 3592 5195


Tabelul 2.2.2 (continuare)ui xi

1 xi130,0125 0,0100 0,0118 0,0091 0,0083 0,0087 0,0077 0,0071 0,0080 0,0111 0,0095 0,0063 0,0067 0,0061 0,0069 0,0056 0,0044 0,0050 0,0042 0,0054 0,0045 0,0048 0,0041 0,0038 0,0053 0,0049 0,0038 0,0037 0,0043 0,0040

1

xi

i =

ui2 78,7051

i160,0624 0,2637 0,1128 0,3643 0,4650 0,4147 0,5656 0,6662 0,5153 0,1631 0,3140 0,8675 0,7669 0,9178 0,7166 1,0688 1,5216 1,2700 1,6726 1,1191 1,4713 1,3707 1,7229 1,8738 1,1694 1,3203 1,9241 1,9745 1,5719 1,7732

(i )2 zi =170,8790 0,5421 0,7872 0,4041 0,2863 0,3426 0,1887 0,1114 0,2349 0,7004 0,4706 0,0176 0,0544 0,0068 0,0803 0,0047 0,2721 0,0729 0,4523 0,0142 0,2221 0,1374 0,5225 0,7636 0,0287 0,1026 0,8540 0,9496 0,3271 0,5978

yi xi

i y

ui

ui2

xi x

2

115,3131 8,0688 6,4980 0,5534 6,8245 1,3645 5,7977 3,5801 0,9866 8,3091 2,2577 1,3358 8,0420 10,4752 6,2309 9,0915 12,7918 16,8472 17,3586 2,7195 2,3971 0,7749 9,4525 4,8857 4,5306 0,0361 0,3032 9,5079 18,9808 20,2636

128,9443 10,0000 9,2195 10,4881 10,9545 10,7238 11,4018 11,8322 11,1803 9,4868 10,2470 12,6491 12,2474 12,8452 12,0416 13,4164 15,0000 14,1421 15,4919 13,6015 14,8324 14,4914 15,6525 16,1245 13,7840 14,3178 16,2788 16,4317 15,1658 15,8114

140,1118 0,1000 0,1085 0,0953 0,0913 0,0933 0,0877 0,0845 0,0894 0,1054 0,0976 0,0791 0,0816 0,0778 0,0830 0,0745 0,0667 0,0707 0,0645 0,0735 0,0674 0,0690 0,0639 0,0620 0,0725 0,0698 0,0614 0,0609 0,0659 0,0632

150,3587 0,8272 0,5365 0,0039 0,5917 0,0237 0,4271 0,1629 0,0124 0,8772 0,0648 0,0227 0,8217 1,3942 0,4933 1,0502 2,0790 3,6062 3,8285 0,0940 0,0730 0,0076 1,1352 0,3033 0,2608 0,0000 0,0012 1,1486 4,5775 5,2171

180,6875 0,6500 0,8235 0,7273 0,6583 0,7304 0,7538 0,6786 0,7200 0,8333 0,7048 0,6875 0,7533 0,7576 0,7448 0,6389 0,6222 0,6000 0,6042 0,7027 0,6909 0,6857 0,7143 0,6923 0,7105 0,6829 0,6717 0,7074 0,5957 0,7560 20,9862

1960,829 73,466 63,988 79,785 86,103 82,944 92,422 98,741 89,263 67,147 76,625 111,378 105,060 114,538 101,900 124,016 152,450 136,653 161,928 127,175 149,290 142,972 165,087 174,565 130,334 139,812 177,725 180,884 155,609 168,247

20-5,829 -8,466 6,012 0,215 -7,103 1,056 5,578 -3,741 0,737 7,853 -2,625 -1,378 7,940 10,462 6,100 -9,016 -12,450 -16,653 -16,928 2,825 2,710 1,028 9,913 5,435 4,666 0,188 0,275 10,116 -18,609 20,753

2133,973 71,674 36,144 0,046 50,459 1,115 31,113 13,994 0,543 61,664 6,893 1,900 63,051 109,462 37,208 81,282 154,997 277,323 286,551 7,981 7,342 1,057 98,264 29,537 21,768 0,035 0,076 102,335 346,300 430,707

228680,028 5353,361 7773,361 3990,028 2826,694 3383,361 1863,361 1100,028 2320,028 6916,694 4646,694 173,361 536,694 66,694 793,361 46,694 2686,694 720,028 4466,694 140,028 2193,361 1356,694 5160,028 7540,028 283,361 1013,361 8433,361 9376,694 3230,028 5903,361

205,5785 388,8038 0,1975 2,3926 30,0000 30,0000 10,4280

3590,936 1,064

2364,793 102974,167


Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducnd la afiarea urmtoarelor rezultate:Dependent Variable: yi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Semnif. Semnif. Semnif. Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ind. ind. ind. Cxi9,2903 0,6378 0,9466

a b

5,2314 0,0286

sa

1,7759 22,2872

ta

0,0866 p(a)

sb

tb y syAIC SC Fc p(F)

0,0000 p b

()

R-squared

R2

Adjusted RRc2 0,9447 squared S.E. of su 9,1830 regression Sum (y y ) squared 2361,1530 = u resid Log L -108,0538 likelihood Durbind 1,7023 Watson stati i 2 i

Mean dependent 119,7333 var S.D. dependent 39,0613 var Akaike info 7,3369 criterion=

2

Schwarz criterion 7,4303 F-statistic Prob(F-statistic)496,7183 0,0000

Semnificaia indicatorilor necunoscui pe care-i calculeaz pachetul de programe EViews este urmtoarea: p (a ), p (b ) = probabilitatea asociat parametrului , respectiv b . O valoare ct mai apropiat de zero a acestei probabiliti va indica o semnificaie ridicat a parametrului respectiv, n caz contrar, aceasta confirmnd, mpreun cu testul t, faptul c parametrul respectiv este nesemnificativ. Rc2 = coeficientul de deteminare corectat sau ajustat. Acesta este utilizat n vederea evidenierii numrului de variabile factoriale cuprinse n


model, precum i a numrului de observaii pe baza crora au fost estimai parametrii modelului. n cazul unui model multifactorial acesta va nregistra valori inferioare coeficientului de deteminaie. Expresia acestui indicator este urmtoarea: n 1 1 R2 Rc2 =1 nk L= logaritmul funciei de verosimilitate (presupunnd c erorile sunt normal distribuite), funcie ce este determinat innd seama de valorile estimate ale parametrilor. Relaia de calcul a acestui indicator, utilizat de ctre pachetul de programe EViews, este urmtoarea:

(

)

u2 n 1 + ln(2 ) + ln t L= n 2

unde: u t2 = suma ptratelor erorilor; k = numrul variabilelor exogene; n = numrul de observaii. Acest indicator este utilizat n vederea elaborrii unor teste statistice destinate depistrii variabilelor omise dintr-un model econometric, precum i a unor teste destinate depistrii variabilelor redundante dintr-un model econometric, ca, de exemplu, testul LR sau raportul verosimilitilor (Likelihood Ratio). y = media variabilei dependente sau endogene, avnd urmtoarea relaie de calcul: y=

yi =1

n

i

n s y = abaterea medie ptratic (standard) corespunztoare variabilei dependente, a crei relaie de calcul este urmtoarea: sy =

(yn i =1

i

y

)

2

n 1


AIC = criteriul Akaike este utilizat n cazul comparrii a dou sau mai multe modele econometrice. Relaia de calcul a acestuia, utilizat de ctre pachetul de programe EViews, este urmtoarea: 2 L 2k AIC = + n n Regula de decizie utilizat n cazul aplicrii acestui test este aceea potrivit creia este ales acel model econometric pentru care s-a obinut valoarea cea mai mic corespunztoare acestui indicator. SC = criteriul Schwartz este, de asemenea, utilizat pentru a compara dou sau mai multe modele econometrice. Relaia de calcul a acestuia, utilizat de ctre pachetul de programe EViews, este urmtoarea: 2 L k ln n SC = + n n i n acest caz, este ales acel model econometric pentru care s-a obinut valoarea cea mai mic corespunztoare acestui indicator. p(F) = probabilitatea asociat statisticii F. O valoare ct mai apropiat de zero a acestei probabiliti va indica o semnificaie ridicat a rezultatelor estimrii, respectiv a modelului. Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, y i = 9,2903 + 0,6378 xi i ale variabilei reziduale, u i = y i y i . Valorile acestora sunt prezentate n cadrul tabelului 2.2.3 (utiliznd pachetul de programe EViews):Tabelul 2.2.3Actual Fitted

yi55 65 70 80 79 84 98 95 90 75

yi60,3131 73,0688 63,5020 79,4466 85,8245 82,6355 92,2023 98,5801 89,0134 66,6909

Residual u i = y i yi

Residual Plot (graficul reziduurilor)

-5,3131 -8,0688 6,4980 0,5534 -6,8245 1,3645 5,7977 -3,5801 0,9866 8,3091

| | | | | | | | | |

.* | . * | . . | *. . * . .* | . . |* . . | *. . *| . . |* . . | *

| | | | | | | | | |


Actual

Fitted

yi74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189

yi76,2577 111,3358 104,9580 114,5248 101,7691 124,0915 152,7918 136,8472 162,3586 127,2805 149,6029 143,2251 165,5475 175,1143 130,4694 140,0361 178,3032 181,4921 155,9808 168,7364

Residual u i = y i yi


-2,2577 -1,3358 8,0420 10,4752 6,2309 -9,0915 -12,7918 -16,8472 -17,3586 2,7195 2,3971 0,7749 9,4525 4,8857 4,5306 -0,0361 -0,3032 9,5079 -18,9808 20,2636

| . | . | . | . | . | * | * . | * . | * . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |* . | .

*| . | *| . | | * | | .* | | *. | | . | | . | | . | | . | |* . | |* . | * . | | .* | | *. | | *. | * . | * . | | .* | | . | | . *|

- dispersia variabilei rezidualesu2

(y =

yi ) 2361,153 = = 84,3269 n k 1 30 1 12 i

unde: k = numrul variabilelor exogene. (vezi tabelul afiat de programul EViews) - abaterea medie ptratic a variabilei reziduale: yi ) = 84,3269 = 9,183 n k 1 (vezi tabelul afiat de programul EViews)2

su =

(y

i


- abaterile medii ptratice ale celor doi estimatori: x2 2 1 = 5,2314 sa = su + 2 n ( xi x )

sb =

2 su = 0,0286 2 (xi x )

(vezi tabelul afiat de programul EViews) - raportul de corelaie: ( y y )i i i =1 30 30

2

R = R2 = 1

(y y )i i =1

= 1

( y y )i i i =1 s2 y

30

2

2

(n 1)

= 1

2361,153 = 0,9466 = 0,973 39,06132 29

(vezi tabelul afiat de programul EViews) - variabila Durbin-Watson, d: d= (ui =2 30 i

u i 1 )2 i

2

ui =1

30

= 1,70

(vezi tabelul afiat de programul EViews) Astfel modelul estimat devine: yi = 9,2903 + 0,6378 xi ; R = 0,973 d = 1,70 su = 9,183

(5,2314) (0,0286)


b) Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P) i a verosimilitii modelului. b1) Prima ipotez, referitoare la calitatea datelor nregistrate se consider rezolvat n etapa de prelucrare a datelor observate statistic.$ b2) Ipoteza de homoscedasticitate, M ( ui ) = 0, 2i = ct , ( )i = 1, n va $ u

fi verificat cu ajutorul urmtoarelor metode i teste: b2.1) Procedeul grafic - care const n construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x i ale variabilei reziduale u (vezi Figura 2.2.2).u

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

x70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270

Figura 2.2.2

Deoarece graficul punctelor empirice prezint o distribuie oscilant, se poate accepta ipoteza c cele dou variabile sunt independente i nu corelate. b2.2) Metoda analizei dispersionale (variaiei) Cele dou restricii corespunztoare ipotezei, menionate anterior, se realizeaz dac variabila rezidual u i variabila explicativ x sunt independente. Pe aceast premis se fundamenteaz utilizarea metodei analizei variaiei la acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate.


Metoda analizei variaiei pornete de la relaia: ( yi y)2 = [( yi y) + ( yi yi )]2 = ( yi y)2 + ( yi yi )2 + 2( yi y)( yi yi )i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n n

Deoarece V = V + V , adic variaia total a variabilei y2 0 2 x 2 u n 2 2 V0 = ( y i y ) este egal cu variaia lui y generat de influena i =1 n 2 variabilei x Vx2 = ( yi y ) la care se adaug variaia lui y provocat de i =1

factorin

aleatori

n 2 2 Vu = ( yi yi ) , i =1

rezult

c

termenul

2 ( yi y )( yi yi ) = 0 .i =1

tiind c: ui = yi yi yi = a + bxi y = a + bx relaia de mai sus devine: 2 ( yi y )( yi yi ) = 2 (a + bxi a bx )ui = 2b ( xi x )uii =1 n n n i =1 i =1

= 2nb cov( x, u )n i =1

n = n

Deci termenul 2 ( yi y )( yi yi ) = 0 numai dac cele dou variabile x i u sunt independente, respectiv cov( u, x) = 0, b 0 . Pe baza calculelor efectuate (vezi tabelul 2.2.2., coloanele 3, 5, 6), deoarece xi x ui = 0 , se deduce c cele dou variabile x i u sunt independente, deci ipoteza de homoscedasticitate este verificat.

(

)


b2.3) Estimarea unei matrici a covarianelor corspunztoare estimatorilor parametrilor modelului2 adecvat aplicrii M.C.M.M.P. n cazul unui model coninnd erori heteroscedastice Heteroscedasticitatea erorilor implic faptul c dispersiile corespunztoare erorilor nu mai sunt egale, ci diferite, caz n care estimatorii parametrilor modelului rmn nedeplasai, dar nu mai sunt eficace. Astfel, aplicarea M.C.M.M.P. va conduce la o subestimare a parametrilor modelului, influennd sensibil i calitatea diferitelor teste statistice aplicate modelului. n cazul unui model multifactorial, vectorul estimatorilor parametrilor modelului se calculeaz, matriceal, cu ajutorul relaiei: 1 B = ( X X ) ( X Y ) . Matricea varianelor i covarianelor corespunztoare1 2 acestuia este de forma: V (B ) = u ( X X ) 3. Acest mod de calcul al

matricei varianelor i covarianelor este valabil doar n cazul n care aplicarea M.C.M.M.P. conduce la obinerea de estimatori eficieni, convergeni i nedeplasai, deci ipotezele corespunztoare acestei metode au fost verificate n prealabil. n cazul unor erori heteroscedastice, a cror form este, n general, necunoscut, este posibil, ca prin aplicarea metodei regresiei ponderate n vederea eliminrii heteroscedasticitii erorilor, s nu se obin estimatori consisteni. White a artat c este posibil s se calculeze un estimator adecvat al matricii covarianelor corespunztoare estimatorilor parametrilor modelului, chiar dac exist o relaie de dependen ntre erorile heteroscedatice i variaibilele exogene incluse n model, pe care a denumit-o matricea covarianelor estimatorilor consisteni heteroscedastici (HCCME), de forma:VW (B ) =

n n ( X X )1 u i2 xi xi ( X X )1 nk i =1

2 3

Vezi Wiliam H. Greene, Econometric Analysis, 2nd ed., Macmillan, New York, 1993, p. 384-392. vezi demonstraie op. cit., p. 182.


unde: n = numrul de observaii; k = numrul regresorilor; ui= variabila rezidual. Prin aplicarea acestei matrici, estimaiile punctuale ale parametrilor nu vor suferi modificri, ci doar abaterile standard corespunztoare parametrilor. Utilizarea acestei matrici va permite observarea mai rapid a prezenei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor. Astfel, abaterile standard vor putea fi mai mari sau mai mici comparativ cu cele obinute n cazul modelului iniial, iar valorile mai mici nregistrate de testul Student, t, vor semnaliza faptul c estimatorii parametrilor sunt nesemnificativi, deci posibila prezen a erorilor heteroscedastice. Utiliznd pachetul de programe EViews, n vederea exemplificrii calculrii abaterilor standard i dispersiilor heteroscedastice corectate cu ajutorul metodei lui White au fost obinute urmtoarele rezultate:Dependent Variable: yi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable C xi R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 9,2903 0,6378 0,9466 0,9447 9,1830 2361,1530 -108,0538 1,7023 Std, Error 4,4378 0,0298 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) t-Statistic 2,0934 21,3818 Prob. 0,0455 0,0000 119,7333 39,0613 7,3369 7,4303 496,7183 0,0000

Comparnd rezultatele estimrii obinute n ambele cazuri, se constat c abaterea standard corespunztoare termenului liber, utiliznd matricea covarianelor estimatorilor consisteni heteroscedastici, este mai mic dect cea obinut n cazul modelului iniial, estimatorul acestui parametru fiind semnificativ n aceast situaie, comparativ cu modelul iniial, n care era nesemnificativ.


b2.3) Testul Goldfeld-Quandt4 Acest test se poate aplica atunci cnd se dispune de serii lungi de date i cnd una dintre variabile reprezint cauza heteroscedasticitii (ntre dispersia variabilei reziduale heteroscedastic i variabila exogen exist o relaie de dependen pozitiv), i presupune parcurgerea urmtoarelor etape: - ordonarea cresctoare a observaiilor n funcie de variabila exogen x; - eliminarea a c observaii centrale, c fiind specificat a priori. n privina numrului de observaii omise, c, au fost emise diverse opinii. n cazul unui model unifactorial, Goldfeld i Quandt, n urma efecturii experimentelor Monte-Carlo, au propus ca c s fie aproximativ egal cu 8 n cazul n care mrimea eantionului este de aproximativ 30 de observaii i 16, dac eantionul cuprinde 60 de observaii. Judge i colaboratorii si menioneaz faptul c, n cazul n care c=4 pentru n=30 i c=10 pentru n60, se obin rezultate mai bune. n general, se consider c c trebuie s reprezinte o treime sau un sfert din numrul total de observaii. - efectuarea de regresii aplicnd M.C.M.M.P. asupra celor dou subeantioane de dimensiune (n-c)/2 i calcularea sumei ptratelor erorilor pentru fiecare subeantion n parte; - calcularea raportului dintre sumele ptratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunztoare celor dou subeantioane (suma ptratelor erorilor avnd valoarea cea mai mare fiind plasat la numrtor): F* =2 su1 2 su 2

(n c ) (k + 1) u12 / 2 = i =1 n (n c ) ) u22 / 2 (k + 1) ( n c +1 i=(n c ) / 2

2

unde: k = numrul variabilelor exogene. Presupunnd c erorile sunt normal distribuite, atunci raportul F* (n c ) (k + 1) grade de libertate. urmeaz o distribuie F cu v1 = v2 = 24

cf. Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995, p. 374-375.


-

dac

F* > F

;

( nc ) ( nc ) ( k +1) ; ( k +1) 2 2

,

atunci

ipoteza

de

homoscedasticitate este infirmat, deci erorile sunt heteroscedastice; - dac F < F (nc) ( nc ) ipoteza de homoscedasticitate ( k +1) ; ( k +1) ; * 2 2

este acceptat. Pentru a aplica acest test au fost ordonate cresctor valorile variabilei exogene x i, corespunztor acestora, i cele ale variabilei dependente y (vezi tabelul 2.2.2 coloanele 7, 8) i au fost eliminate 4 observaii situate n centrul eantionului (vezi observaiile din coloana 8, corespunztoare variabilei x, evideniate prin caractere aldine), rezultnd dou subeantioane a cte 13 observaii fiecare. n urma aplicrii programului EViews, rezultatele estimrii, corespunztoare celor dou subeantioane, au fost urmtoarele:

y1i = 3,4904 + 0,6968 xi ;

R 2 = 0,8887

(8,7049) (0,0744)

u

2 1i

= 377,17

v1 = 11 y2i = 28,0272 + 0,7941 xi ; R 2 = 0,7681

(30,6421) (0,1319)2 2i 2 1i

u

2 2i

= 1536,8

v2 = 11F*

u = u

v2 v1

=

1536,8 11 = 4,07 377,17 11

Analiznd rezultatele obinute se constat c, pentru un prag de semnificaie = 0,05, F * = 4,07 > F0,05;11;11 = 2,82 , deci erorile sunt heteroscedastice, n timp ce, pentru un prag de semnificaie = 0,01,F * = 4,07 < F0,01;11;11 = 4,46

putem

considera

c

ipoteza

de

homoscedasticitate se verific.


b2.4) Testul Park5 Testul propus de Park se bazeaz pe existena unei relaii de dependen ntre dispersia corespunztoare erorilor heteroscedastice i2 variabila exogen x de forma: ui = 2 xib e i . Acest model neliniar poate fi

transformat ntr-un model liniar prin logaritmare:2 ln ui = ln 2 + b ln xi + i

unde: i = variabila rezidual, ce verific ipotezele corespunztoare M.C.M.M.P. Ca urmare a faptului c valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice este necunoscut, aceasta a fost nlocuit cu ptratul erorilor, u i2 n cadrul modelului liniarizat prin logaritmare: ln u i2 = ln 2 + b ln xi + i = + b ln xi + i n situaia n care parametrul b corespunztor variabilei exogene este nesemnificativ ipoteza de homoscedasticitate a erorilor este verificat, cazul contrar indicnd existena heteroscedasticitii. n vederea verificrii existenei heteroscedasticitii erorilor vom logaritma ptratul erorilor calculate n cazul modelului iniial pe care le vom regresa n funcie de valorile logaritmate ale variabilei exogene xi (vezi tabelul 2.2.2 coloanele 9 i 10). n urma aplicrii programului EViews au fost obinute urmtoarele rezultate: ln u i2 = 1,014 + 0,3359 ln xi ; R 2 = 0,002

(7,2749) (1,4252)

Pentru a verifica semnificaia estimatorului parametrului corespunztor variabilei exogene a fost utilizat testul Student, t, respectiv: b 0,3359 t b = = = 0,2357 < t 0, 05; 28 = 2,048 , care indic faptul c sb 1,4252 estimatorul parametrului b este nesemnificativ, deci erorile sunt homoscedastice.

5

cf. op. cit., p. 369-370.


b2.5) Testul Glejser6 Acest test se bazeaz pe bazeaz pe relaia dintre erorile estimate n urma aplicrii MC.M.M.P. asupra modelului iniial i variabila explicativ presupus a fi cauza heteroscedasticitii. Testul Glejser prezint o serie de puncte comune cu testul precedent, respectiv, dup calcularea erorilor n urma aplicrii MC.M.M.P., valoarea absolut a acestora este regresat n funcie de valorile variabilei exogene utilizndu-se n acest scop urmtoarele forme de exprimare corespunztoare celor dou variabile: I. u i = a + bxi + i2 n aceast situaie heteroscedasticitatea este de tipul: ui = 2 xi2 , caz

n care va fi aplicat regresia ponderat asupra datelor iniiale, care vor fi mprite la xi , rezultnd astfel un model de forma: II. u i = a + b xi + i2 n aceast situaie heteroscedasticitatea este de tipul: ui = 2 xi , caz

u yi a1 = + b1 + i xi xi xi

n care va fi aplicat regresia ponderat asupra datelor iniiale, care vor fi mprite la xi , rezultnd astfel un model de forma:

yi xi

=

a1 xi

+ b1 xi +

ui xi

.

III. u i = a + b

1 + i xi 1 xi

2 n aceast situaie heteroscedasticitatea este de tipul: ui = 2 xi2 .

IV. u i = a + b

+ i

V. u i = a + bxi + i VI. u i = a + bxi2 + i

6

cf. op. cit., p. 371-372.


Verificarea homoscedasticitii erorilor presupune, ca i n cazul testului precedent, verificarea semnificaiei parametrului corespunztor variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative n cazul unor eantioane de dimensiuni mari, iar n cazul celor de dimensiuni mici este pur teoretic, aa cum menioneaz nsui autorul. De menionat faptul c ultimele dou modele nu pot fi estimate cu ajutorul M.C.M.M.P. Rezultatele estimrii primelor patru modele, calculate cu ajutorul pachetului de programe EViews (vezi date n tabelul 2.2.2.- coloanele 11, 12, 13 i 14) sunt urmtoarele: u i = 0,6343 + 0,0085 xi ; R 2 = 0,0787 t= t=

(0,6335) (1,5467 )(0,3929) (1,5516)

u i = 0,7273 + 0,2182 xi ; R 2 = 0,0792

u i = 3,3517 189,9522 t=

(3,7148) (1,4836) (2,6961) (1,5181)

1 ; R 2 = 0,0729 xi 1 xi ; R 2 = 0,0761

u i = 4,7087 32,6958 t=

Aa cum se poate observa, nici unul dintre estimatorii parametrului corespunztor variabilei exogene din cadrul modelelor prezentate mai sus nu este semnificativ pentru un prag de semnificaie de 5%, deci ipoteza de homoscedasticitate este verificat. b2.6) Testul Breusch-Pagan-Godfrey (BPG)7 Acest test are n vedere modelul multifactorial liniar de forma: yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk x ki + ui

7

cf. op. cit., p. 377-378.


plecnd de la ipoteza potrivit creia dispersia corespunztoare erorilor heteroscedastice este dependent de o serie de variabile factoriale zi. n locul acestor variabile pot fi utilizate cteva sau toate variabilele exogene ce intervin n modelul iniial. Se presupune, de asemenea, c ntre dispersia corespunztoare erorilor heteroscedastice i variabilele factoriale zi exist o relaie de dependen liniar, respectiv:

u2 = 0 + 1 z1i + 2 z 2i + K + m z mii

Verificarea homoscedasticitii dispersiei presupune verificarea ipotezei nulitii parametrilor corespunztori variabilelor factoriale, caz n2 care ui = 0 = ct.

Aplicarea acestui test const n: - calculul valorilor variabilei reziduale prin aplicarea M.C.M.M.P. asupra modelului iniial; - calculul estimatorului de maxim verosimilitate corespunztor dispersiei variabilei reziduale homoscedastice: u2 =i

u i2 n

;

- construirea unei variabile de forma: i =

u i2 i regresarea acesteia u2i

n funcie de variabilele factoriale zi, ce pot fi nlocuite cu variabilele exogene xi din modelul original, respectiv: i = 0 + 1 x1i + 2 x 2i + K + m x mi + i unde: i = variabila rezidual. - calculul sumei ptratelor explicat de model, notat cu SSR, i SSR . calculul unei variabile H de forma: H = 2 Presupunnd c erorile sunt normal distribuite, i c ne aflm n situaia unui eantion de volum mare, variabila H este asimptotic distribuit2 sub forma unui ;v , pentru care numrul gradelor de libertate este egal cu: 2 v = m 1 , unde m = numrul parametrilor modelului, respectiv: H~ ;v .

Modele econometrice cu o singur ecuaie i cu ecuaii multiple2 Dac H > ;v , erorile sunt heteroscedastice, n caz contrar, sunt

homoscedastice. Rezultatele estimrii modelului iniial sunt urmtoarele: yi = 9,2903 + 0,6378 xi ; R = 0,973

(5,2314) (0,0286)

d = 1,70 su = 9,183

Valoarea calculat a estimatorului de maxim verosimilitate corespunztor dispersiei variabilei reziduale homoscedastice este:

2361,53 = 78,7051 n 30 In urma calculrii variabilei i (vezi tabelul 2.2.2, coloana 15) i a regresrii acesteia n funcie de variabila exogen xi au fost obinute urmtoarele rezultate: = 0,7426 + 0,0101 x ; R 2 = 0,18 u2 =i

u

2 i

=

i

(0,7529) (0,0041)

i

Valoarea calculat a variabilei H este:2 SSR i 10,428 = = = 5,214 H= 2 2 2 Comparnd valoarea calculat a variabilei H cu valoarea teoretic a lui hi-ptrat n funcie de un prag de semnificaie de = 0,05 i respectiv

(

)

= 0,01 i de numrul gradelor de libertate v = m 1 = 1 , se constat c2 H = 5,214 > 0,05;1 = 3,8414

pentru

= 0,05 ,

deci

erorile

sunt

2 heteroscdastice, dar, pentru = 0,01 , H = 5,214 < 0,01;1 = 6,6349 , ceea ce

nseamn c ipoteza de homoscedasticitate a erorilor poate fi acceptat. Se constat astfel c am ajuns la aceeai concluzie ca i n cazul testului Goldfeld-Quandt. Trebuie s inem ns seama de faptul c testul BPG este un test asimptotic, valabil n cazul unui eantion de volum mare, iar n cazul de fa, respectiv 30 de observaii, acesta nu poate reprezenta un eantion de volum mare.


b2.7) Testul White8 Aplicarea testului White presupune parcurgerea urmtoarelor etape: - estimarea parametrilor modelului iniial i calculul valorilor estimate ale variabilei reziduale, u; - construirea unei regresii auxiliare, bazat pe prespunerea existenei unei relaii de dependen ntre ptratul valorilor erorii, variabila exogen inclus n modelul iniial i ptratul valorilor acesteia: ui2 = 0 + 1 xi + 2 x 2 + i i

i calcularea coeficientului de determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare; - verificarea semnificaiei parametrilor modelului nou construit, iar dac unul dintre acetia este nesemnificativ, atunci ipoteza de heteroscedasticitate a erorilor este acceptat. Exist dou variante de aplicare a testului White: - utilizarea testului Fisher Snedecor clasic, bazat pe ipoteza nulitii parametrilor, respectiv:H0: 0 = 1 = 2 = 0

Dac ipoteza nul, potrivit creia rezultatele estimrii sunt nesemnificative ( Fc < F ;v1 ;v2 ), este acceptat, atunci ipoteza de homoscedasticitate se verific, cazul contrar semnificnd prezena heteroscedasticitii erorilor. - utilizarea testului LM, calculat ca produs ntre numrul de observaii corespunztoare modelului, n, i coeficientul de determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare. n general, testul LM este2 asimptotic distribuit sub forma unui ;v , pentru care numrul gradelor de

libertate este egal cu: v = k , unde k = numrul variabilelor exogene, respectiv:2 LM = n R 2 ~ ;v

8

cf. op. cit., p. 379.

Modele econometrice cu o singur ecuaie i cu ecuaii multiple2 Dac LM > ;v , erorile sunt heteroscedastice, n caz contrar, sunt

homoscedastice, respectiv ipoteza nulitii parametrilor, 0 = 1 = 2 = 0 , este acceptat. Aplicarea testului White s-a realizat utiliznd pachetul de programe EViews:White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared Test Equation: Dependent Variable: u i2 Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable C xi Coefficient -12,2962 0,1974 0,0017 0,1777 0,1168 105,8043 302252,70 -180,8355 0,7913 Std. Error 191.7731 2.3688 0.0067 t-Statistic -0,0641 0,0833 0,2535 Prob. 0,9493 0,9342 0,8018 78,7051 112,5823 12,2557 12,3958 2,9173 0,0713 2,9173 5,3309

Fc

Probability Probability

0,0713 0,0696

LM

p(LM )

p (F )

xi2R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Analiznd rezultatele afiate de programul EViews se constat c Fc = 2,9173 < F0,05; 2; 27 = 3,35 i2 LM = 5,3309 < 0,05; 2 = 5,99147 ,

iar

parametrii modelului sunt nesemnificativi, deci ipoteza de homoscedasticitate se verific n cazul aplicrii acestor teste. Trebuie s inem ns seama de faptul c testul LM este un test asimptotic, valabil n cazul unui eantion de volum mare, iar n cazul de fa, respectiv 30 de observaii, acesta nu poate reprezenta un eantion de volum mare. Deoarece majoritatea testelor prezentate mai sus sunt valabile n cazul n care erorile sunt normal distribuite, n vederea verificrii acestei


ipoteze va fi aplicat testul Jarque-Berra9, care este i el un test asimptotic (valabil n cazul unui eantion de volum mare), ce urmeaz o distribuie hi ptrat cu un numr al gradelor de libertate egal cu 2, avnd urmtoarea form: S 2 (K 3)2 2 JB = n + ~ ;2 24 6 unde: n = numrul de observaii; S = coeficientul de asimetrie (skewness), ce msoar simetria distribuiei erorilor n jurul mediei acestora, care este egal cu zero, avnd urmtoarea relaie de calcul:1 n yi y n i =1

3 K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson (kurtosis), ce msoar boltirea distribuiei (ct de ascuit sau de aplatizat este distribuia comparativ cu distribuia normal), avnd urmtoarea relaie de calcul:1 n yi y n i =1

S=

(

)

3

K=

(

)

4

4

Testul Jarque-Berra se bazeaz pe ipoteza c distribuia normal are un coeficient de asimetrie egal cu zero, S = 0, i un coeficient de aplatizare egal cu trei, K = 3. Dac probabilitatea p(JB) corespunztoare valorii calculate a testului este suficient de sczut, atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respins, n timp ce, n caz contrar, pentru un nivel suficient de ridicat al probabilitii ipoteza de normalitate a erorilor este acceptat, sau dac2 JB > ; 2 , atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respins.

9

EViews, User Guide,Version 2.0, QMS Quantitative Micro Software, Irvine, California, 1995, p. 140-141.


Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea calculrii testului Jarque-Berra (vezi figura 2.2.3.) se constat c2 JB = 0,6452 < 0,05; 2 = 5,9915 i c p(JB) = 0,7242, respectiv probabilitatea 2 ca testul J-B s nu depeasc valoarea tabelat a lui ; 2 , este suficient de

mare pentru ca ipoteza de normalitate a erorilor s fie acceptat.10Series: Residuals Sample 1 30 Observations 30 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -1.86E-14 0.880779 20.26355 -18.98076 9.023252 -0.359065 2.977931 0.645247 0.724246

8

6

4

2

0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Figura 2.2.3

Pe baza rezultatelor obinute, pentru un prag de semnificaie de 5%, n cazul aplicrii testelor Breusch-Pagan-Godfrey i Goldfeld-Quandt, vom presupune c fenomenul de heteroscedasticitate exist, acesta afectnd calitatea estimatorilor, respectiv acetia nu mai sunt eficieni (dispersie minim). Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate face cu ajutorul metodei regresiei ponderate. Aceast metod presupune efectuarea urmtoarelor operaii: 1) Ecuaia modelului y i = a1 + b1 x i + ui se mparte la x i , rezultnd modelulyi a1 u = + b1 + i . xi xi xi


2)

Notnd

cu

u y 1 = v i , i = zi , i = wi , xi xi xi

se

obine

modelul

zi = a1 v i + b1 + wi , ai crui parametrii se vor estima cu ajutorul M.C.M.M.P. 2 F a1 , b1 = min ( zi zi ) = min zi a1vi b1i =1 i =1

( )

30

30

(

)

2

Condiia de minim a acestei funcii rezult din: nb1 + a1 vi = zi F (a1 ) = 0 b1 vi + a1 vi2 = zi vi 2 F b1 = 0 nb1 + a1 vi = zi b1 vi + a1 vi = zi vi

()

n urma aplicrii programului EViews, rezultatele estimrii modelului, utiliznd metoda regresiei ponderate, au fost urmtoarele:Dependent Variable: zi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable vi C R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 10,2790 0,6319 0,2087 0,1804 0,0521 0,0760 47,1105 1,7064 Std. Error 3,7827 0,0267 t-Statistic 2,7174 23,7034 Prob. 0,0112 0,0000 0,6995 0,0575 -3,0074 -2,9140 7,3840 0,0112


Pe baza calculelor prezentate mai sus rezult modelul: z i = 10,279 vi + 0,6319; R = 0,4568 d = 1,71 s w = 0,0521

(3,7827 ) (0,0267 )


Calitile acestui model rezult n urma efecturii urmtoarelor operaii: - verificarea ipotezei de homoscedaticitate prin calculul testului White, utiliznd pachetul de programe EViews:White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared 3,3370 5,9458 Probability Probability 0,0507 0,0512

Test Equation: Dependent Variable: wi2 Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable Coefficient C 0,0084 -2,0525 vi 152,9709 vi2 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0,1982 0,1388 0,0024 0,0002 139,6732 1,4675

Std. Error 0,0039 1,1178 72,8625

t-Statistic Prob. 2,1919 0,0372 -1,8361 0,0774 2,0994 0,0453 0,0025 0,0026 -9,1115 -8,9714 3,3370 0,0507


n urma analizrii rezultatelor afiate de programul EViews se2 constat c Fc = 3,337 < F0, 05; 2; 27 = 3,35 i LM = 5,9458 < 0,05; 2 = 5,99147 ,

iar parametrii modelului sunt nesemnificativi, deci ipoteza de homoscedasticitate se verific n cazul aplicrii acestor teste. - verificarea ipotezei de independen a valorilor variabilei reziduale, w, prin calculul variabilei Durbin-Watson: d= (wi =2

30

i

wi 1 )2 i

2

wi =1

30

= 1,71


Pentru un prag de semnificaie = 0,05 , din tabela distribuiei Durbin-Watson se d1 = 1,35, d 2 = 1,49 . citesc valorile (pentru cazuln = 30 )

Deoarece d 2 = 1,49 < d = 1,71 < 4 d 2 = 2,51 , se poate accepta ipoteza de independen a valorilor variabilei reziduale. - verificarea ipotezei de normalitate a erorilor Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea calculrii testului2 Jarque-Berra (vezi figura 2.2.4.) se constat c JB = 1,3427 < 0,05; 2 = 5,9915

i c p(JB) = 0,511, respectiv probabilitatea ca testul J-B s nu depeasc2 valoarea tabelat a lui ; 2 , este suficient de mare pentru ca ipoteza de

normalitate a erorilor s fie acceptat.12 10 8 6 4 2 0 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Series: Residuals Sample 1 30 Observations 30 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -1.30E-16 0.005397 0.087252 -0.084660 0.051183 -0.181266 2.029036 1.342749 0.511006

Figura 2.2.4

- verificarea semnificaiei estimatorilor parametrilor modelului Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferii de zero, cu un prag de semnificaie = 0,05 , dac se verific urmtoarele relaii: t a1 = t b =1

a1 s a1 b1 sb1

> t ;n k 1 t a1 = 2,7174 > t 0, 05; 28 = 2,048 > t ;n k 1 t b = 23,7034 > t 0,05; 28 = 2,0481


unde: k = numrul variabilelor explicative. n urma efecturii calculelor de mai sus se constat faptul c ambii $ $ estimatori, a i b , sunt semnificativ diferii de zero, cu un prag de1 1

semnificaie = 0,05 . - verificarea semnificaiei raportului de corelaie

R z / v = R 2 = 0,2087 = 0,4568 Verificarea semnificaiei raportului de corelaie se realizeaz cu ajutorul testului Fisher-Snedecor: R2 Fc = ( n 2) F ;k ;n k 1 1 R2 F0, 05;1; 28 = 4,20 Fc = 7,384 > F0,05;1; 28 = 4,20 Deci raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaie = 0,05 . n final, modelul estimat prin metoda regresiei ponderate se transform n modelul iniial prin nmulirea fiecrui termen cu xi: y 1 z i = 10,279vi + 0,6319 i = 10,279 + 0,6319 y i = 10,279 + 0,6319xi xi xi i n cazul acestui model vom repeta o parte din operaiile realizate pentru cel anterior pentru a-i verifica calitile: - calculul abaterilor medii ptratice ale estimatorilor:2364,7933 = 84,4569 su = 9,19 n k 1 30 2 (vezi tabelul nr. 2.2.2., coloanele 23, 24, 25) s2 u

(y =

i

y i )

2

=


1 2 2 s a2 = su + n 2 s b =2

=

2 = 84,4569 1 + 173,17 = 27,4096 s a2 = 5,2354 2 ( xi x ) 10 102974,1667 x2

(x

si

2 u

x)

2

84,4569 = 0,0008 s b = 0,0286 2 102974,1667

ta 2 = t b =2

a2 10,279 = = 1,9634 < t0,05; 28 = 2,048 sa 2 5,2354 b2 sb2

=

0,6319 = 22,0635 > t 0, 05; 28 = 2,048 0,0286

$ Se constat c doar b2 este semnificativ diferit de zero, cu un prag

$ de semnificaie = 0,05 , n timp ce a 2 este nesemnificativ.- calculul raportului de corelaie: ( y y ) (y y)i i i 2

Ry / x = 1

2

= 1

2364,7933 = 0,9466 = 0,9729 44247,8667

(vezi tabelul nr. 2.2.2, coloana 28)Fc = 28 0,9466 = 495,911 > F0,05;1; 28 = 4,20 1 0,9466

Deci raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaie = 0,05. n concluzie, modelul de mai jos este corect specificat, identificat i estimat: y i = 10,279 + 0,6319 xi ; R = 0,973 su = 9,19

(5,2354) (0,0286)


2.1.3 Model liniar unifactorial cu autocorelarea erorilor

Se cunosc urmtoarele date privind consumul final real al gospodriilor populaiei i PIB-ul real n Romnia, n perioada 1990-2003, exprimate n miliarde lei preuri comparabile (1990=100):Tabelul 2.3.1Anul Consumul final real al gospodriilor populaiei (mld.lei preuri comparabile) (1990=100) 1 PIB (mld.lei preuri comparabile) (1990=100) 2

0

1990 557,7 857,9 1991 467,4 746,8 1992 432,1 681 1993 435,9 691,3 1994 447,3 718,2 1995 505,3 769,3 1996 545,7 799,5 1997 525,7 750,7 1998 586,2 714,8 1999 579,8 706,1 2000 582,3 720,7 2001 610,7 761,7 2002 629,1 799,1 2003 673,7 838,3 Not: Ambii indicatori sunt calculai conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaiei a fost deflaionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaiei exprimat n preuri constante (1990 = 100), datele provenind de la Ministerul Prognozei i Dezvoltrii, iar PIB-ul a fost deflaionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat n preuri constante (1990 = 100), obinut n urma prelucrrii datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al Romniei 2003, INS, Bucureti, 2004, p. 284, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Pres al INS nr.11/26.02.2004.

Se cere: a) S se construiasc modelul econometric ce descrie legtura dintre cele dou variabile i s se interpreteze semnificaia parametrilor modelului; b) S se estimeze parametrii modelului i s se verifice semnificaia acestora;


c) tiind c n anul 2004, valoarea PIB-ului real10 a fost egal cu 907,8 mild lei preuri comparabile (1990=100), s se estimeze valoarea consumului final real al gospodriilor populaiei n anul 2004 i s se verifice capacitatea de prognoz a modelului utilizat. Rezolvare: a) Notnd cu y = consumul final real al gospodriilor populaiei i cu x = PIB-ul real, modelul econometric va fi de forma: y = f ( x) + u . Pentru alegerea funciei matematice f ( x) se recurge la reprezentarea grafic a celor dou iruri de valori.y 670 650 630 610 590 570 550 530 510 490 470 x 450 430 670 685 700 715 730 745 760 775 790 805 820 835 850Figura 2.3.1 Legtura dintre consumul final real al gospodriilor populaiei i PIB-ul real al Romniei

10

Valoare estimat pe baza informaiilor furnizate n cadrul Comunicatului de Pres al INS nr. 12/11.03.2005 privind principalii indicatori conjuncturali n anul 2004 i luna ianuarie 2005.


Deoarece graficul punctelor empirice indic faptul c distribuia poate fi aproximat cu o dreapt, modelul econometric devine:yt = a + bxt + ut ; t = 1,14

Semnificaia economic a celor doi parametrii a i b , innd cont de semnificaia celor dou variabile (y - consumul final real al gospodriilor populaiei i x - PIB-ul real) este: - parametrul a reprezint n acest caz autoconsumul, deoarece pentru x = 0 y = a ; - parametrul b reprezint panta dreptei sau coeficientul de regresie al consumului n funcie de PIB, care msoar creterea consumului dac PIB-ul se modific cu un miliard de lei. b) Estimarea parametrilor modelului econometric de la punctul a) se face cu ajutorul M.C.M.M.P.: 2 F a, b = min ( y t y t ) = min yt a bxtt =1 t =1

( )

14

14

(

)

2

$ $ $ F ( a ) = 0 na + b x t = y t$ $ $ F b = 0 a x t + b x t2 = y t x t

()

14 a + 10555 ,4b = 7578 ,9 10555 ,4 a + 7996163 ,14b = 5744734 ,07 (vezi tabelul 2.3.2, coloanele 2, 3, 4, 5).


Tabelul 2.3.2Nr. Anul crt. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

xt2 857,9 746,8 681 691,3 718,2 769,3 799,5 750,7 714,8 706,1 720,7 761,7 799,1 838,3

yt3 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7 629,1 673,7

x t24 735992,41 557710,24 463761,00 477895,69 515811,24 591822,49 639200,25 563550,49 510939,04 498577,21 519408,49 580186,89 638560,81 702746,89

xt yt5 478450,83 349054,32 294260,10 301337,67 321250,86 388727,29 436287,15 394642,99 419015,76 409396,78 419663,61 465170,19 502713,81 564762,71 5744734,07

u t 16 -67,6095 -68,1688 -50,3191 -54,8389 -65,1673 -48,4431 -32,4371 -13,0191 76,4790 77,1064 67,8133 63,0957 51,2860 -

u t217 4571.0382 4646.9914 2532.0160 3007.3080 4246.7772 2346.7374 1052.1637 169.4958 5849.0429 5945.4012 4598.6481 3981.0719 2630.2565 45576,9481

u t u t 18 4608,8583 3430,1977 2759,4477 3573,7049 3156,9084 1571,3535 422,3000 -995,6848 5897,0252 5228,8438 4278,7321 3235,9296 3293,7103 40461,3270

Total

10555,4 7578,9 7996163,14

Tabelul 2.3.2 (continuare)yt* = yt 0,8878 yt 19 -27,7030 17,1616 52,2995 60,3260 108,2056 97,1156 41,2501 119,5053 59,3959 67,5776 93,7582 86,9458 115,2111 891,0494

xt* = xt 0,8878xt 110 -14,8081 18,0219 86,7364 104,4925 131,7118 116,5473 40,9370 48,3596 71,5302 93,8537 121,8924 122,8943 128,8921 1071,0611

yt* = yt 0,9016 yt 111 -35,4029 10,7085 46,3337 54,3078 102,0299 90,1392 33,7159 112,2472 51,3025 59,5726 85,7186 78,5142 106,5254 795,7127

xt* = xt 0,9016 xt 1

12 -26,6527 7,7112 77,3342 94,9481 121,7959 105,9260 29,8987 37,9951 61,6613 84,1049 111,9420 112,3779 117,8593 936,9018


Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea estimrii parametrilor modelului au fost obinute urmtoarele rezultate:Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample: 1990 2003 Included observations: 14 Variable C xt R-squared Coefficient -67,6561 0,8077 0,3319 Semnif. ind. Std. Error 250,0188 0,3308 Semnif. Semnif. t-Statistic ind. ind. Prob. 0,7913 p(a)

a b

sa

-0,2706 2,4416

ta

sb

tby syAIC SC Fc p(F)

0,0311 p b

()

R2

Mean dependent var 541,35 75,6474 11,2983 11,3896 5,9615 0,0311

Adjusted RS.D. dependent var 0,2762 Rc2 squared S.E. of su Akaike info criterion 64,3567 regression Sum squared ( y t y t )2 = Schwarz criterion 49701,46 2 = ut resid Log -77,0883 L F-statistic likelihood DurbinProb(F-statistic) 0,1969 d Watson stat

Semnificaia indicatorilor necunoscui pe care-i calculeaz pachetul de programe EViews a fost prezentat n cadrul aplicaiei 2.1.2. Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, y t = 67,6561 + 0,8077 xt i ale variabilei reziduale, ut = yt yt . Valorile acestora sunt prezentate n cadrul tabelului 2.3.3

(utiliznd pachetul de programe EViews):Actual Fitted Residual t = yt yt u Tabelul 2.3.3 Residual Plot (graficul reziduurilor)

yt557,7 467,4 432,1

yt625,3095 535,5688 482,4191

-67,6095 -68,1688 -50,3191

| * | *. | .*

| | |

. | . | . |


Actual

Fitted

yt435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7 629,1 673,7

yt490,7389 512,4673 553,7431 578,1371 538,7191 509,7210 502,6936 514,4867 547,6043 577,8140 609,4776

Residual ut = yt yt


-54,8389 -65,1673 -48,4431 -32,4371 -13,0191 76,4790 77,1064 67,8133 63,0957 51,2860 64,2224

| | | | | | | | | | |

.* | * | .* | . * | . *| . | . | . | . | . | . |

. | . | . | . | . | . *| . *| * | * | *. | * |

- dispersia variabilei reziduales u2

(y =

t

yt )

2

n k 1

=

49701,4613 = 4141,7884 14 2

unde: k = numrul variabilelor exogene. (vezi tabelul afiat de programul EViews) - abaterea medie ptratic a variabilei reziduale, su := 4141,7884 = 64,3567 n k 1 (vezi tabelul afiat de programul EViews) su =t

(y

yt )

2

- abaterile medii ptratice ale celor doi estimatori: x2 2 1 sa = su + = 250,0188 2 n ( xt x ) sb =2 su = 0,3308 2 (xt x )

(vezi tabelul afiat de programul EViews)


- raportul de corelaie:R = R2 = 1

(yt =1 14 t =1

14

t

yt )

2

( yt y )

= 1

(yt =1

14

t

yt )

2

2

2 s y (n 1)

R = 1

49701,4613 = 0,3319 = 0,5761 74392,875

(vezi tabelul afiat de programul EViews) - variabila Durbin-Watson, d: d= (ut =2 14 t

u t 1 )2 t

2

ut =1

14

=

9784,7173 = 0,20 49701,4613

(vezi tabelul afiat de programul EViews) Astfel modelul estimat devine: y t = 67,6561 + 0,8077 xt ; R = 0,576

(250,0188) (0,3308)

d = 0,20 su = 64,3567

Verificarea semnificaiei modelului necesit: - verificarea ipotezei de independen a erorilor; - verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor; - verificarea semnificaiei estimatorilor; - verificarea semnificaiei raportului de corelaie. Verificarea ipotezei de independen a erorilor, care presupune cov( u t , u t 1 ) = 0 , se realizeaz cu ajutorul testului Durbin-Watson, constnd n calcularea variabilei d i compararea sa cu dou valori teoretice, d 1 i d2

(d1 = 1,08; d 2 = 1,36) ,

preluate din tabela distribuiei Durbin-Watson n

funcie de un prag de semnificaie

( = 0,05) ,

de numrul variabilelor


explicative k

( k = 1)

i de numrul observaiilor n

( n 15) . Observaie:

tabela Durbin-Watson este construit pentru un numr de observaii n 15; pentru valori inferioare se va lucra cu valorile calculate pentru n = 15 . adic d1 = 1,08, d 2 = 1,36 . Deoarece valoarea calculat d = 0,2 este cuprins n intervalul0 < d = 0,2 < d 1 = 1,08 , aceasta indic existena unei autocorelri pozitive.

Din acest motiv, nu mai are sens testarea celorlalte ipoteze, a semnificaiei estimatorilor i a raportului de corelaie, estimatorii nemaifiind eficieni, deci se impune mai nti eliminarea fenomenului de autocorelaie a erorilor. Un alt procedeu de verificare a ipotezei de independen a erorilor const n aplicarea testului Breusch-Godfrey11, acest test fiind utilizat n vederea depistrii unei autocorelaii de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existenei unei autocorelaii de ordin superior se construiete urmtorul model: u t = r1u t 1 + r2 u t 2 + K + rp u t p + z t unde: zt = variabil rezidual de medie zero i dispersie constant. Ipoteza nul care st la baza testului este aceea potrivit creia toi coeficienii corespunztori valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt ce implic inexistena fenomenului de autocorelaie a erorilor. n vederea aplicrii testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ut n urma aplicrii M.C.M.M.P. asupra modelului iniial. Variabila rezidual ut este apoi regresat n funcie de variabilele exogene iniiale ale modelului i de valorile sale decalate, respectiv ut-1, ut-2,, ut-p. n cazul acestei regresii este calculat valoarea coeficientului de determinare R2 i a unei variabile de forma: BG = (n-p) R2. Presupunnd c ne aflm n situaia unui eantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuit sub

11

cf. Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995, p. 425

Modele econometrice cu o singur ecuaie i cu ecuaii multiple2 forma unui ;v , pentru care numrul gradelor de libertate este egal cu: 2 v = p , unde p = mrimea decalajului , respectiv: BG~ ;v . 2 Dac BG > ;v , ipoteza nul este respins, ceea ce presupune c

exist cel puin un coeficient de autocorelaie nenul. Aplicarea testului Breusch-Godfrey s-a realizat utiliznd pachetul de programe EViews (presupunnd ca mrimea decalajului este p = 2):Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Obs*R-squared Test Equation: Dependent Variable: ut Method: Least Squares Variable C xt ut-1 ut-2 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 166,6378 -0,2158 1,0098 -0,0880 0,7691 0,6998 33,8769 11476,43 -66,8281 1,4994 Std. Error 146,9445 0,1935 0,2999 0,3298 t-Statistic 1,1340 -1,1154 3,3669 -0,2667 Prob. 0,2832 0,2908 0,0072 0,7951 -3,45E-14 61,8319 10,1183 10,3009 11,1025 0,0016 16,6537 10,7673 Probability Probability 0,0007 0,0046


n cazul utilizrii pachetului de programe EViews exist dou variante de aplicare a testului Breusch-Godfrey: - utilizarea testului FisherSnedecor aplicat n vederea verificrii existenei unor variabile absente (omise) n model, avnd urmtoarea relaie de calcul: R2 p Fc = (1 R 2 ) (n m)


unde: p = numrul de variabile noi adugate n model, respectiv ut-1, ut-2,, ut-p; m = numrul total de parametri corespunztori noului model. Dac Fc < F ;v1 ;v2 , unde v1 = p i v2 = n-m, ipoteza conform creia estimatorii corespunztori noilor parametri adugai n model sunt nuli este verificat, respectiv, n cazul nostru, fenomenul de autocorelare a erorilor nu este prezent, cazul contrar implicnd existena cel puin a unei autocorelaii de ordinul nti. Cum Fc = 16,6537 > F0,05; 2;10 = 4,10 , rezult c noul model este incorect specificat, indicnd astfel prezena unei autocorelaii de ordinul nti. - utilizarea testului LM, calculat ca produs ntre numrul de observaii corespunztoare modelului, n, i coeficientul de determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare. n general, testul LM este2 asimptotic distribuit sub forma unui ;v , pentru care numrul gradelor de

libertate este egal cu: v = p , unde p = mrimea decalajului, respectiv:2 LM = n R 2 ~ ;v 2 Dac LM > ;v , erorile sunt autocorelate, n caz contrar, sunt

independente, respectiv ipoteza nulitii parametrilor, r1 = r2 = 0 , este acceptat. Se constat astfel c pachetul de programe nu utilizeaz relaia clasic de calcul a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = (n-p)R2.2 Deoarece LM = 10,7673 > 0,05; 2 = 5,99147 , aceasta implic existena

a cel puin unei autocorelaii de ordinul nti, ce poate fi remarcat i pe baza semnificaiei parametrului corespunztor valorii decalate cu o perioad a variabilei reziduale. n cazul calculrii n varianta clasic a testului Breusch-Godfrey,2 respectiv: BG = 12 0,7691 = 9,2291 > 0,05; 2 = 5,99147 , se ajunge la aceleai

concluzii menionate anterior. Eliminarea fenomenului de autocorelare a erorilor presupune efectuarea urmtoarelor operaii: - erorile fiind corelate, adic: u t = r(1) u t 1 + z t (1)


se va estima valoarea coeficientului de autocorelaie de ordinul 1: r(1) = u ut =2 14 t 14 t 1

ut =2

=

2 t 1

40461,327 = 0,89 45576,9481

(vezi tabelul 2.3.2., coloanele 6, 7, 8) - tiind c: y t = a + bx t + u t u t = y t a bx t y t 1 = a + bx t 1 + u t 1 u t 1 = y t 1 a bx t 1 expresiile obinute pentru u t i u t 1 vor fi nlocuite n relaia (1) i se obine: y t a bx t = r(1) ( y t 1 a bx t 1 ) + z t y t r(1) y t 1 = a 1 r(1) + b x t r(1) x t 1 + z t Notnd cu: y t* = y t r(1) y t 1 x t* = x t r(1) x t 1 a 1 = a 1 r(1) b1 = b se obine: y t* = a1 + b1 xt* + z t y t* = a1 + b1 xt*

(

) (

)

(

)

(2)

$ $ n vederea estimrii parametrilor a1 i b1 se aplic M.C.M.M.P.:

F a1 , b1 = min yt* a1 b1 xt*t =2

(

)

14

(

)

2

$ $ F ( a 1 ) = 0 ( n 1) a 1 + b1 x t* = y t* $ $ F (b1 ) = 0 a 1 x t* + b1 x t*

( ) =y x2

* * t t


n urma aplicrii programului EViews, rezultatele estimrii noului modelului au fost urmtoarele:Dependent Variable: y t*

Method: Least Squares Sample: 1991 2003 Included observations: 13 Variable C Coefficient 9,5845 0,7156 0,6324 0,5990 26,6176 7793,4860 -60,0208 1,7216 Std. Error 15,4322 0,1645 t-Statistic 0,6211 4,3505 Prob. 0,5472 0,0012 68,5423 42,0350 9,5417 9,6286 18,9270 0,0012

x

* t

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat


Ca i n cazul modelului iniial se vor calcula valorile estimate ale variabilei y t* , y t* = 9 ,5845 + 0 , 7156 x t* i ale variabilei reziduale, z t = y t* yt* . Valorile acestora sunt prezentate n cadrul tabelului 2.3.4 (utiliznd pachetul de programe EViews):Tabelul 2.3.4Actual Fitted Residual

y

* t

y

* t

z t = y t* y t* -26,6909 -5,3194 -19,3535 -24,0332 4,3682 4,1299 2,3711 75,3147 -1,3755 -9,1686 -3,0525 -10,5818 13,3914


-27,7030 17,1616 52,2995 60,3260 108,2056 97,1156 41,2501 119,5053 59,3959 67,5776 93,7582 86,9458 115,2111

-1,0121 22,4810 71,6530 84,3593 103,8374 92,9857 38,8790 44,1907 60,7715 76,7461 96,8106 97,5276 101,8196

| | | | | | | | | | | | |

* | . . *| . .* | . * | . . |* . . |* . . * . . | . . * . . *| . . *| . .*| . . |*.

| | | | | | | *| | | | | |


Pe baza calculelor prezentate mai sus rezult modelul: yt* = 9,5845 + 0,7156 xt* ; R = 0,795

(15,4322) (0,1645)

d = 1,72 s z = 26,6176

(3)

Utiliznd testul Durbin-Watson pentru a verifica dac fenomenul de autocorelaie a fost eliminat - pentru un prag de semnificaie = 0,05, k = 1, n = 13 15 , valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson sunt d 1 = 1,08, d 2 = 1,36 . n comparaie cu acestea, valoarea empiric d = 1,72 se situeaz astfel: d 2 = 1,36 < d = 1,72 < 4 d 2 = 2,64 , ceea ce indic fenomenul de independen a erorilor, deci fenomenul de autocorelaie a fost eliminat. Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor n cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White (vezi aplicaia 2.1.2). Utiliznd programul EViews au fost obinute urmtoarele rezultate:White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared Test Equation: Dependent Variable: z t2 Method: Least Squares Sample: 1991 2003 Included observations: 13 Variable C Coefficient 927,8680 18,3437 -0,2090 0,1418 -0,0299 1564,9870 24491851 -112,3641 2,7426 Std. Error 1016,2720 32,0687 0,2342 t-Statistic 0,9130 0,5720 -0,8925 Prob. 0,3827 0,5799 0,3931 599,4989 1542,118 17,7483 17,8787 0,8259 0,4656 0,8259 1,8430 Probability Probability 0,4656 0,3979

x

* t 2

xt*




Analiznd rezultatele afiate de programul EViews se constat c Fc = 0,8259 < F0,05; 2;10 = 4,10 i2 LM = 1,843 < 0,05; 2 = 5,99147 ,

iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaie = 0,05 ( t0,05;10 = 2,228 ), deci ipoteza de homoscedasticitate se verific. Estimatorii modelului sunt semnificativ diferii de zero dac: a1 t a1 = t ;(n 1) k 1 s a1 t a1 = t b =1

9,5845 = 0,6211 15,4322 b1 sb1

t ;(n 1) k 1

t b =1

0,7156 = 4,3505 0,1645

Lucrnd cu un prag de semnificaie

( = 0,05) ,

din tabela

distribuiei Student se preia valoarea t 0,05;11 = 2,201 . Comparnd aceast valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constat c: $ - t a1 = 0,6211 < t0, 05;11 = 2,201 parametrul a 1 nu este semnificativ diferit de zero;$ - t b = 4,3505 > t 0,05;11 = 2,201 parametrul b1 este semnificativ1

diferit de zero. Raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero dac se verific inegalitatea: Fc F ;v1 ;v2 , unde valoarea empiric a variabilei Fisher-Snedecor este:Fc = ((n 1) 2) R2 0,3319 = 11 = 5,9615 2 1 0,3319 1 R

Din tabela distribuiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaie de 5% i n funcie de numrul gradelor de libertate v1 = k = 1 i v 2 = (n 1) k 1 = 11 se preia valoarea teoretic F0,05;1;11 = 4,84 . Se


constat c

Fc = 5,9615 > F0, 05;1;11 = 4,84 , deci pentru un prag de

semnificaie de 5%, valoarea raportului de corelaie este semnificativ diferit de zero. n concluzie, modelul yt* = 9,5845 + 0,7156 xt* poate fi apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenei dintre consumul final real al gospodriilor populaiei i PIB-ul real. O alt variant a metodei de eliminare a fenomenului de autocorelare a erorilor prezentate mai sus const n determinarea coeficientului de autocorelaie de ordinul 1 pe baza variabilei Durbin-Watson, d, pentru a facilita utilizarea pachetului de programe EViews n vederea eliminrii autocorelaiei erorilor (utiliznd programul autocorelaie.prg): d 0,20 r(1) = 1 = 1 = 0,90 2 2 Rezultatele estimrii modelului (2), utiliznd pachetul de programe EViews12, sunt urmtoarele:Dependent Variable: y t Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991 2003 Included observations: 13 after adjusting endpoints Variable C Coefficient 10,1602 0,7083 0,6325 0,5990 Std. Error 13,8505 0,1628 t-Statistic 0,7336 4,3506 Prob. 0,4786 0,0012 61,2087 41,9044

x tR-squared Adjusted R-squared12

Mean dependent var S.D. dependent var

Pentru a elimina autocorelaia erorilor cu ajutorul pachetului de programe EViews a fost utilizat urmtorul program (conform http://www.cip.dauphine.fr/bourbonnais/eco.html) denumit autocorelatie.prg: 'Estimarea directa a coeficientului de autocorelatie notat cu rau plecand de la statistica DW' Equation eq1.ls y c x genr res = resid scalar rau1=1-@dw/2 genr dy=y-rau1*y(-1) 'Se genereaza qvasi-diferentele.' genr dx=x-rau1*x(-1) equation eqm1.ls dy c dx 'Rgresie denumita eqm1' scalar am1=c(1)/(1-rau1) 'Coef de reg.'


S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

26,5346 7744,9060 -59,9802 1,75

Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

9,5354 9,6223 18,9279 0,0012

Valorile estimate ale variabilei y t* i ale variabilei reziduale, z t = y t* yt* sunt prezentate n cadrul tabelului 2.3.5 (utiliznd pachetul de programe EViews):Tabelul 2.3.5 Actual Fitted Residual z t = y t* y t*

y

* t

y

* t


-35,2893 10,8036 46,4217 54,3965 102,1210 90,2420 33,8270 112,3543 51,4219 59,6906 85,8372 78,6385 106,6535

-8,5948 15,7300 65,0361 77,5139 96,5348 85,3011 31,4535 37,1813 53,9395 69,8356 89,5554 89,8700 93,7580

-26,6945 -4,9263 -18,6144 -23,1174 5,5862 4,9410 2,3735 75,1730 -2,5176 -10,1449 -3,7182 -11,2314 12,8955

| | | | | | | | | | | | |

* | . . *| . .* | . * | . . |* . . |* . . * . . | . . * . .*| . . *| . .*| . . |*.

| | | | | | | *| | | | | |

Pe baza calculelor prezentate mai sus rezult modelul: y t* = 10,1602 + 0,7083 xt* ; R = 0,795 d = 1,75 s z = 26,5346 Utiliznd testul Durbin-Watson pentru a verifica dac fenomenul de autocorelaie a fost eliminat - pentru un prag de semnificaie = 0,05, k = 1, n = 13 15 valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson

(13,8505) (0,1628)

(4)


sunt d 1 = 1,08, d 2 = 1,36 . n comparaie cu acestea, valoarea empiric d = 1,75 se situeaz astfel: d 2 = 1,36 < d = 1,75 < 4 d 2 = 2,64 , ceea ce indic fenomenul de independen a erorilor, deci fenomenul de autocorelaie a fost eliminat. Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor n cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White. Utiliznd programul EViews au fost obinute urmtoarele rezultate:White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared Test Equation: Dependent Variable: z t2 Method: Least Squares Sample: 1991 2003 Included observations: 13 Variable C Coefficient 1108,2070 13,6436 -0,2067 0,1424 -0,0291 1557,6090 24261469,0 -112,3026 2,7474 Std. Error 824,2150 26,6751 0,2293 t-Statistic 1,3446 0,5115 -0,9013 Prob. 0,2085 0,6201 0,3886 595,7620 1535,4140 17,7389 17,8692 0,8302 0,4639 0,8302 1,8512 Probability Probability 0,4639 0,3963

xt*xt*2



Analiznd rezultatele afiate de programul EViews se constat cFc = 0,8302 < F0,05; 2;10 = 4,10

i

2 LM = 1,8512 < 0,05; 2 = 5,99147 ,

iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaie

econometrie

Documents

Transcript of econometrie