1 / 5

Dreapta, punctele și cercul lui EULER

Rezumat. Lecția conține aspecte teoretice cu privire la Dreapta lui Euler, Punctele lui

Euler și Cercul celor nouă puncte (Cercul lui Euler), cât și o serie de teoreme și probleme

reprezentative pentru această temă.

Lecţia se adresează elevilor din clasele a VII-a şi a VIII-a.

Autor: Alexandru Mihalcu, elev cl. a VIII-a, Sc.97 București

Leonhard Euler (1707-1783) este cel mai prolific şi unul dintre cei mai mari matematicieni ai

tuturor timpurilor. A contribuit la dezvoltarea diferitelor ramuri ale matematicii precum: teoria

numerelor; analiza matematică; teoria grafurilor; geometrie (inclusiv trigonometrie). În

geometria elementară numele său este legat printe altele de cercul celor nouă puncte, dreapta

pe care se află centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris unui triunghi

(dreapta lui Euler).

Dreapta lui Euler: Dreapta determinată de ortocentrul triunghiului și de centrul cercului

circumscris, se numește dreapta lui Euler.

Teoremă: Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, G centrul de greutate și H

ortocentrul triunghiului. Punctele H, G și O se găsesc pe o aceeași dreaptă (Dreapta lui Euler) și

HG=2GO.

2 / 5

Demonstraţie. Cum

, această proprietate a centrului de greutate ne sugerează ideea

utilizării omotetiei

, prin care punctul A se transformă în punctul

.

Deoarece prin omotetie, o dreaptă care nu trece prin centrul omotetiei se transformă într-o

dreaptă paralelă cu ea, înseamnă că înălţimea AH se transformă în mediatoarea segmentului

BC. Analog, înălţimea BH se transformă în mediatoarea laturii AC. Prin urmare, punctul H,

intersecţia înălţimilor, se transformă în punctul O, intersecţia mediatoarelor.

De aici se deduc:

a) Punctele H, G şi

sunt coliniare (definiţia omotetiei)

b) |

|

Punctele lui Euler: Mijloacele segmentelor determinate de ortocentrul unui triunghi și

vârfurile triunghiului se numesc punctele lui Euler(E1, E2, E3).

Cercul celor 9 puncte (Cercul lui Euler): Cercul care trece prin picioarele înălțimilor (H1,

H2, H3), prin mijloacele laturilor(A′,B′,C′) și prin punctele lui Euler (E1, E2, E3), se numește cercul

celor nouă puncte sau cercul lui Euler.

3 / 5

Raza cercului lui Euler este egală cu jumătatea razei cercului circumscris triunghiului, iar centrul

său se găsește pe dreapta lui Euler și coincide cu mijlocul segmentului determinat de ortocentru

și de centrul cercului circumscris triunghiului.

Demonstraţie. Punctele A , B , C , H3 sunt conciclice (A B C H3 trapez isoscel;

).

Similar demonstrăm că H1, H2, H3, A ,B ,C sunt conciclice. (1)

conciclice

Analog, punctele E1, E2, E3, A ,B ,C conciclice (2)

⇒ H1, H2, H3, A ,B ,C , E1, E2, E3 conciclice (cum

, atunci si sunt diametral

opuse)

Fie O1 mijlocul lui OH și R raza cercului circumscris.

Cum O1E1 linie mijlocie in

Analog, O1E1= O1E2= O1E3=

O1 este centrul cercului circumscris O1 este centrul

cercului lui Euler, cu

4 / 5

Observatie. Triunghiul ABC si triunghiul median al acestuia au aceeasi dreapta al

lui Euler.

Observatie Simetricul lui H fata de BC se afla pe cercul circumscris al triunghiului

ABC.

Observatie Simetricul lui H, ortocentrul triunghiului ABC, față de mijlocul A al lui

[BC] se afla pe cercul circumscris al triunghiului ABC, este chiar punctul diametral

opus al lui A in acest cerc.

Teorema lui Feuerbach: Cercul lui Euler este tangent interior la cercul înscris și exterior la

cercurile exînscrise.

Probleme propuse:

1. ★ Daca H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci triunghiurile ABC, AHB, BHC și CHA

au același cerc a lui Euler (Teorema lui Hamilton).

2. ★★★ Dacă P este un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC si H este

ortocentrul, atunci mijlocul segmentului HP se află pe cercul celor nouă puncte si pe

dreapta lui Simson corespunzătoare punctului P.

3. ★★★ Fie D mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC neisoscel și E proiecția lui A pe BC.

Dacă P este punctul de intersecție a mediatoarei segmentului [DE] cu perpendiculara din

D pe bisectoarea unghiului BAC, demonstrați că P aparține cercului lui Euler al

triunghiului ABC. (Baraj 4-pentru OBMJ 2013)

4. ★★★★ Dreptele lui Simson, corespunzătoare capetelor unui diametru al cercului

circumscris unui triunghi, sunt perpendiculare între ele și punctul lor de intersecție se

găsește pe cercul lui Euler.

5. ★★★★★ Să se arate că dreptele care unesc vârfurile triunghiului ortic A B C al unui

triunghi ABC cu punctele în care medianele lui ABC intersectează a doua oară cercul lui

Euler sunt concurente în izogonalul punctului lui Gergonne al triunghiului ortic. (Punctul

lui Gergonne este punctul de intersecție al dreptelor XD, YE și ZF, unde D, E, F sunt

punctele de contact ale cercului înscris în triunghiul XYZ cu laturile YZ, ZX și XY).

Nota: Sistemul de notare a problemelor cu stele este folosit dupa S.I.M.N.S. (Sistemul

International Mihalcu de Notare a Stelelor).

5 / 5

Bibliografie:

1. Liviu Nicolescu; Vladimir Boskoff -Probleme practice de geometrie (Ed. Tehnică, 1990)

2. Gheorghe Țițeica -Probleme de geometrie (Ed. Tehnică, 1981)

3. D. Efremov - Noua geometrie a triunghiului (Ed. Gil, 2010)

4. A.E. Beju; I. Beju –Compendiu de matematică (Ed. Stiințifică și enciclopedică, 1983)