DISTANŢE ÎN PIRAMIDĂ

1. Fie piramida triunghiulară regulată SABC cu latura bazei AB = 18 cm şi înălţimea SO = 9 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABC. b) Muchia laterală SA a piramidei precum şi apotema SM a piramidei. c) d(S ; BC) apoi d(O ; (SBC)). d) m(SM ; (ABC)).

2. Fie piramida patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 12 şi înălţimea VO = 2 3 . Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABCD. b) Muchia laterală VA a piramidei precum şi apotema VM a piramidei. c) d(V ; BC) apoi d(O ; (VBC)). d) m(VM ; (ABC)).

3. Fie piramida hexagonală regulată VABCDEF cu latura bazei AB = 6 cm şi înălţimea VO = 3 3 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABCDEF. b) Muchia laterală VA a piramidei precum şi apotema VM a piramidei. c) d(V ; BC) apoi d(O ; (VBC)). d) m(VM ; (ABC)).

4. Fie piramida triunghiulară regulată VABC cu latura bazei AB = 12 cm şi muchia VA = 2 15 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABC. b) Înălţimea VO a piramidei precum şi apotema VM a piramidei. c) d(V ; BC) apoi d(O ; (VBC)). d) m(VM ; (ABC)).

5. Fie piramida patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 10 cm şi muchia VA = 5 3 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABCD. b) Înălţimea VO a piramidei precum şi apotema VM a piramidei. c) d(V ; BC) apoi d(O ; (VBC)). d) m(VM ; (ABC)).

Răspuns:

1. a) P = 54, A = 81 3 b) SA = 3 21 , SM = 6 3 c) d1 = SM = 6 3 , d2 = 2

9 d) 600

2. a) P = 48, A = 144 b) VA = 2 21 , VM = 4 3 c) d1 = VM = 4 3 , d2 = 3 d) 300

3. a) P = 36, A = 54 3 b) VA = 3 7 , VM = 3 6 c) d1 = VM = 3 6 , d2 =2

63 d) 450

4. a) P = 36, A = 36 3 b) VO = 2 3 , VM = 2 6 c) d1 = VM = 2 6 , d2 = 6 d) 450

5. a) P = 40, A = 100 b) VO = 5, VM = 5 2 c) d1 = VM = 5 2 , d2 = 2

25 d) 450

DISTANŢE ÎN PRISMĂ

1. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie AB = 8 cm şi O centrul bazei ABCD. Să se afle: a) Diagonala unei feţe precum şi diagonala cubului. b) Natura, perimetrul şi aria triunghiului D’AC. c) d(D’ ; AC) apoi d(B ; (D’AC)). d) Arătaţi că (D’AC) | | (A’BC’).

2. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu AB = 6 cm, AD = 8 cm şi AA’ = 10 cm. a) Aflaţi diagonala paralelipipedului. b) Aflaţi măsura unghiului format de o diagonală a paralelipipedului cu planul bazei ABCD. c) Calculaţi d(D’ ; AC).

3. Fie prisma triunghiulară dreaptă ABCA’B’C’ cu baza triunghiul echilateral ABC în care latura bazei AB = 12 cm şi înălţimea AA’ = 6 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABC. b) Diagonala unei feţe laterale. c) d(A’ ; BC) şi d(A ; (A’BC)). d) m(A’M ; (ABC)).

4. Fie prisma patrulateră dreaptă ABCDA’B’C’D’ cu baza pătratul ABCD în care latura bazei AB = 6 cm şi înălţimea AA’ = 6 2 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABCD. b) Diagonala unei feţe laterale apoi diagonala prismei. c) d(A’ ; BC), d(D’ ; AC) precum şi d(D ; (D’AC)). d) m(D’B ; (ABC)).

5. Fie prisma hexagonală dreaptă ABCDEFA’B’C’D’E’F’ cu baza hexagonul regulat ABCDEF în care latura bazei AB = 6 cm şi înălţimea AA’ = 6 cm. Să se afle: a) Perimetrul şi aria bazei ABCDEF. b) Lungimea segmentului AC apoi arătaţi că AC CD. c) Diagonala unei feţe laterale apoi diagonala prismei. d) d(A’ ; CD) precum şi d(A ; (A’CDF’)). e) m(A’C ; (ABC)).

6. Desfăşurarea laterală a unui cub este un dreptunghi cu lăţimea de 6 cm. a) Aflaţi lungimea, perimetrul şi aria dreptunghiului. b) Aflaţi diagonala unei feţe a cubului apoi diagonala cubului.

Raspuns:

1. a) BD = 8 2 , D’B = 8 3 b) echilat, P = 24 2 , A = 32 3 c) d1 = 4 6 , d2 = 3

38

2. a) 10 2 b) 450 c) 5

7692 3. a) P = 36, A = 36 3 b) 6 5 c) d1 = 12, d2 = 3 3 d) 300

4. a) P = 24, A = 36 b) 6 3 ; 12 c) d1 = 6 3 , d2 = 3 10 , d3 =5

106 d) 450

5. a) P = 36, A = 54 3 b) 6 3 c) 6 2 , 6 5 d) d1 = 12, d2 = 3 3 e) 300

6. a) L = 24, P = 60, A = 144 b) df = 6 2 , dc = 6 3 .

Unghiul dreptei cu planul 1. Un segment AB = 20 cm se proiectează pe un plan , după A'B'. Dacă m(AB ; ) = 30 0, să se afle A'B'.

2. Un segment AB se proiectează pe un plan , după A'B' = 5 2 cm. Dacă m(AB ; ) = 450 , să se afle AB . 3. Un segment AB = 16 cm se proiectează pe un plan , după A'B' = 8 cm. Să se afle m(AB ; ) . 4. Pe dreapta d se consideră punctele A , B

, C astfel încât AB = 16, BC = 20. Fie A', B', C' proiecţiilpunctelor date pe un plan

e

t . Dacă A'C' = 18 , să se afle A'B', B'C' şi m(d ; ) .

5. Pe dreapta d se consideră punctele A , B , C astfel încât AB = 6, BC = 10 . Dacă A', B', C' sun

proiecţiile lor pe un plan şi m(d ; ) = 30 0, să se afle A'B' şi B'C' .

6. Dreptunghiurile ABCD şi ABEF sunt în plane diferite şi AD = 10, AF = 20, AB = 20 2 şi proiecţia lui F pe planul (ABC) este D. Să se afle: m(AF ; (ABC)), m(BF; (ABC)) precum şi distanţa centrelor OO'. 7. Pe planul paralelogramului ABCD se ridică perpendiculare în A, B, C, D. Un plan oarecare intersectează aceste perpendiculare în A', B', C', D'. Să se arate că A'B'C'D' este paralelogram şi AA' + CC' = BB' + DD' . 8. Fie A , AO , AO = 6 şi două oblice AB şi AC , B, C , astfel ca m(AB ; ) = 45 0, m(AC ; ) = 30 0 şi AC . Să se afle BC . 9. Un triunghi echilateral ABC se proiectează pe un plan ce conţine pe A, după triunghiul AB'C'. Dacă m(B'AC') = 900 şi AB, AC formează cu unghiuri congruente (AB, (AC de aceiaşi parte a lui , se cere m(AB; ) 10. Triunghiul dreptunghic isoscel ABC , m(A) = 900 , are latura BC = 12 inclusă într-un plan iar AA' , A' . Dacă m(BA'C) = 1200 se cere înălţimea A'D a triunghiului A'BC precum şi

cos(AB ; ). 11. Un triunghi ABC, m(A) = 900 , se proiectează pe un plan ce conţine punctul B după triunghiul A'BC' (A, C de aceiaşi parte a lui ). Dacă AA' = CC', BC = 12, m(BC ; ) = 300 şi m(BA; ) = 450

se cere BA' şi BC'.

12. În paralelipipedul ABCDA'B'C'D', diagonala BD' formează cu feţele ce au comun punctul B , unghiurile de măsură x , y , z . Să se arate că : sin2 x + sin2 y + sin2 z = 1.

Răspuns : 1. 10 3 2. 10 3. 600 4. 8 ; 10 ; 600 5. 3 3 ; 5 3

6. 600 ; 300 ; 5 3 8. 6 6 9. 450 10. 2 3 ; 6

3 11. 6; 6 3

1.

2. 3.

4.

5. 6.

7.

8. 9.

10.

11. 12.

UNGHI DIEDRU

1. În ABC, m(A) = 900, AB = a, AC = a, M(ABC), MB (ABC), MB = a.

Se cere : a) BC , MA , MC b) PMAC , AMAC

c) m((MAC) ; (ABC)) d) d(B ; (MAC)) , d(A ; (MBC)) .

2. În ABC, m(A) = 900, S(ABC), SA(ABC), AB = 2a, AC = 2 3

3

a , AS = a.

Se cere : a) BC , SB , SC b) PSBC , ASBC

c) m((SBC) ; (ABC)) d) d(A ; (SBC)) . 3. În ABC, AB = AC = a 2 , BC = 2a, S (ABC), SA (ABC), SA = a 3 . Se cere : a) SB , SC , d(S , BC) b) PSBC , ASBC

c) m((SBC) ; (ABC)) d) d(A ; (SBC)) . 4. În ABC echilateral , AB = 2a , S (ABC) , SA (ABC) , SA = a . Se cere : a) PABC , AABC

b) SB , SC , d(S ; BC) , PSBC , A SBC

c) m((SBC) ; (ABC)) d) d(A ; (SBC)) . 5. În pătratul ABCD , M este mijlocul lui BC , S (ABC) , SM (ABC) , AB = a , SM = a 3 . Se cere : a) SA , SB , SC , SD b) ASAD , d(S ; AD)

c) m((SAD) ; (ABCD)) d) d(M ; (SAD)) . 6. În pătratul ABCD , AC BD = {O} , M (ABC) , MA (ABC) , MA = a , AB = a 6 . Se cere : a) MB , MC , MD , MO b) m((MBD) ; (ABCD)) c) d(A ; (MBD)) . 7. În dreptunghiul ABCD, AB = a, AD = 3a, S (ABC), SA (ABC), SA = a 3 . Se cere: a) SB , SC , SD , d(S ; BD) b) m((SBC) ; (ABC)) , m((SCD) ; (ABC)) c) d(A ; (SBC)) , d(A ; (SCD)) , d(A ; (SBD)) .

8. În rombul ABCD , AC BD = {O} , S (ABC) , SO (ABC) , SO = 3

2

a ,

AC = 2a , BD = 2a 3 . Se cere : a) PABCD , AABCD

b) SA , d(S , AB) c) m((SAB) ; (ABC)) d) d(O ; (SAB)) .

9. În rombul ABCD, m(B) = 1200, AB = a, S (ABC), SA (ABC), SA = 3

2

a . Se cere :

a) SB , SC , d(S , BC)

b) m((SBC) ; (ABC)) c) d(A ; (SBC)) . 10. În triunghiul echilateral ABC, AB = 2a, S(ABC), SA (ABC), SA = 3a. Se cere : a) SB , SC , PABC , AABC

b) d(S ; BC) , PSBC , ASBC

c) m((SBC) ; (ABC)) d) d(A ; (SBC)) , d(B ; (SAC)) . 11. În ABC echilateral, AB = 2a, M – mijl. lui BC, S (ABC), SM (ABC), SM = a. Se cere: a) SA , SB , SC b) m(SA ; (ABC)) , m(SB ; (ABC)) c) d(M ; SA) , d(M ; (SAB)) .

12. În ABC, m(A) = 900, BC , A , AO , AB = 12, AC = 12 3 , AO = 3 3 . Se cere:

a) PBOC , ABOC

b) m((ABC) ; ) , d(O ; (ABC)) .

13. În ABC, AB = AC, M (ABC), MA(ABC), AM = 3 3 , AB = 5, BC = 8. Se cere : a) MB , MC , d(M ; BC) b) m((MBC) ; (ABC)) c) d(A ; (MBC)) , d(B ; (AMC)) .

14. În ABC, m(A) = 900, S(ABC), SA (ABC), AB = 4 3 , AC = 4, AS = 6. Se cere :

a) BC , SB , SC, d(S ; BC) b) PSBC , ASBC

c) m((SBC) ; (ABC)) d) d(A ; (SBC)) . 15. În dreptunghiul ABCD, AB = 4, AD =12, S (ABC), SA (ABC), SA = 4 3 . Se cere: a) SB , SC , SD , d(S ; BD) b) m((SBC) ; (ABC)) , m((SCD) ; (ABC)) c) d(A ; (SBC)) , d(A ; (SCD)) , d(A ; (SBD)) .

16. În ABC, m(A) = 900, V(ABC), VA (ABC), AB = 24 3 , AC = 24, AV = 12. Se cere :

a) BC , BV , CV, d(V ; BC) b) m((VBC) ; (ABC)) c) d(A ; (VBC))

Răspuns : 1. a) BC = a 2 , MA = a 2 , MC = a 3 b) PMAC = a( 1+ 2 + 3 ) ,

AMAC = 2

22a c) 450 d) d(B ; (MAC)) =

2

2a , d(A ; (MBC)) =2

2a

2. a) BC =3

34a , SB = a 5 , SC = 21

3

a b) ASBC = 22

3

a 6 c) 450 d) d = 2

2

a

3. a) SB = SC = a 5 , d(S ; BC) = 2a b) ASBC = 2a2 c) 60

0 d) d(A ; (SBC)) = 3

2

a

4. a) PABC= 6a, AABC= a2

3 b) SB = SC = a 5 , d(S ; BC) = 2a, ASBC = 2a2

c) 300 d) d(A ; (SBC)) = 3

2

a

5. a) SA = SD =2

17a , SB = SC = 13

2

a b) ASAD = a2, d(S ; AD) = 2a c) 60

0 d) d(M;(SAD)) =

3

2

a

6. a) MB = MD = a 7 , MC = a 13 , MO = 2a b) 300 c) d(A ; (MBD)) = 3

2

a

7. a) SB = 2a , SC = a 13 , SD = 2a 3 , d(S ; BD) = 39

10

a ; b) 600 , 30

0

c) d(A ; (SBC)) = 3

2

a , d(A ; (SCD)) = 3

2

a , d(A ; (SBD)) = 3

13

a

8. a) AB = 2a, AABCD = 2a2

3 b) SA = 7

2

a , d(S ; AB) = 6

2

a c) 450 d) d = 6

4

a

9. a) SB = SD = 13

2

a , SC = 21

2

a , d(S ; BC) = a 3 b) 600 c) d(A ; (SBC)) = 3

4

a

10. a) SB = SC = a 13 ,PABC = 6a, AABC = a2

3 b) d(S ; BC) = 2a 3 , ASBC = 2a2

3

PSBC = 2a(1 + 13 ) c) 600 d) d(A ; (SBC)) = 3

2

a , d(B ; (SAC)) = a 3

11. a) SA = 2a, SB = SC = a 2 b) 300 , 45

0 c) d(M ; SA) = 3

2

a , d(M ; (SAB)) =7

3a

12. a) OB = 3 13 , OC = 9 5 , PBOC = 3(8 + 3 5 + 13 ) , ABOC = 108

b) 300 c) d(O ; (ABC)) = 9

2

13. a) MB = MC = 2 13 , d(M ; BC) = 6 b) 600 c) d1 =

3 3

2 , d2 =

24

5 .

14. a) BC = 8 , SB = 2 21 , SC = 2 13 , d(S ; BC) = 4 3 b) PSBC = 8 + 2 21 + 2 13

ASBC = 16 3 c) m((SBC) ; (ABC)) = 600 d) d(A ; (SBC)) = 3.

15. a) SB = 8, SC = 4 13 , SD = 8 3 , d(S ; BD) =10

394 = 2 390

5

b) m((SBC) ; (ABC)) = 600, m((SCD) ; (ABC)) = 300

c) d(A ; (SBC)) = 2 3 , d(A ; (SCD)) = 6, d(A ; (SBD)) = 12

13.

16. a) BC = 48, BV = 12 13 , CV = 12 5 , d(V ; BC) = 24 b) m((VBC) ; (ABC)) = 300 c) d(A ; (VBC)) = 6 3 .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE 1. Fie dreptunghiul ABCD , SA (ABC) , AE BD , AI SE . Să se demonstreze că SB BC, SD DC , SE BD şi AI (SBD) . 2. Fie triunghiul ABC , AB = AC , M (BC) , BM = MC , SA (ABC) şi AE SM . Să se demonstreze că SM BC şi AE (SBC) .

3. Fie triunghiul ABC cu m(A) = 900 , AD BC , D (BC) , SA (ABC) , AH SD .

Să se demonstreze că SD BC şi AH (SBC) . 4. Se consideră pătratul ABCD de centru O , SA (ABC) şi AE SO . Să se demonstreze că SB BC , SO BD şi AE (SBD) . 5. Fie dreptunghiul ABCD cu AB = 6 , BC = 8 şi SA (ABC) , SA = 12 . Se cere : a) SB , SC , SD , d(S ; BC) şi d(S ; BD) . b) Să se arate în două moduri că SD DC şi SB BC . c) d(A ; (SBD)) . 6. În ABC, m(A) = 900, AB = 6, AC = 8, AD BC, SA (ABC), SA = 6,4. Se cere : a) BC , PABC şi AABC .

b) d(S ; BC) , PSBC şi ASBC .

c) d(A ; (SBC)) . 7. În ABC, AB = AC, AM BC, AM = 12, BC = 10, SA (ABC), SA = 16. Se cere : a) PABC şi AABC .

b) PSBC , ASBC şi d(A ; (SBC)) .

8. În rombul ABCD de centru O, m(A) = 600, AB = 12, MA (ABC), MA = 9. Se cere : a) d(M ; BC) , d(M ; CD) , d(M ; BD) . b) MB , MC , MD şi MO . 9. În triunghiul ABC, m(A) = 900, AB = 9, AC = 12, SB (ABC), SB = 10. Se cere : a) BC , SA , SC . b) Să se demonstreze că SA AC . c) PSAC , ASAC .

Răspuns :

5. a) SB = 6 5 , SC = 2 61 , SD = 4 13 , d1

= 6 5 , d2

= 12 29

5 c) d(A ; (SBD)) = 24

29

6. a) BC = 10, PABC = 24, AABC = 24 b) d(S ; BC) = 8, SB = 2 481

5, SC = 8 41

5

ASBC = 40 c) d(A ; (SBC)) = 96

25

7. a) PABC = 36, AABC = 60 b) SB = SC = 5 17 , ASBC = 100, d(A ; (SBC)) = 48

5

8. a) d

1 = d2 = d

3 = 3 21 b) MB = MD = 15, MC = 3 57 , MO = 3 21

9. a) BC = 15, SA = 181 , SC = 5 13 c) ASAC = 6 181 .

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

RECIPROCE

1. În ABC, m(A) = 900, AC , B , BD , D , AB = 10, AC = 12, BD = 6. Se cere : a) AD , CD şi BC . b) d(D ; (ABC)) , d(C ; (ABD)) . 2. Fie triunghiul BOC , m(O) = 900 , OB = 10 , OC = 8 , A (BOC) , OA (BOC) , OA = 6. Fie AD BC în triunghiul ABC şi OH AD în triunghiul AOD. Se cere : a) PABC , AABC .

b) d(O ; (ABC) . c) AAOB , ABOC , AAOC .

d) Să se arate că : A 2

ABC = A 2

AOB + A 2

BOC + A 2

AOC .

3. În ABC, AB = 9, SA (ABC), S(ABC), SM BC, M BC, SA = 6. Se cere : a) SB , SM , dacă ABC este echilateral. b) PSBC , ASBC .

c) d(A ; (SBC)) .

4. Se consideră trapezul ABCD cu AB | | CD , m(A) = m(D) = 900 , AB = 16,(6) ,

BC = 13,(3) , CD = 6 , SA (ABC) , SA = 24 . a) Să se demonstreze că AC BC . b) Să se calculeze SB , SC , SD , PABCD şi AABCD .

c) Să se demonstreze că SC BC şi SD DC . d) Să se calculeze d(A ; (SBC)) şi d(A ; (SCD)) .

5. În ABC cu m(A) = 900, SB (ABC) , AB = 5, AC = 12, SB = 5. Se cere :

a) SC , d(S ;AC) . b) PSAC , ASAC .

c) d(B ; (SAC)) , d(C ; (SAB)) . Răspuns :

1. a) AD = 8, CD = 4 13 , BC = 2 61 b) d(D ; (ABC)) = 24

5, d(C ; (ABD)) = CA = 12

2. a) AB = 2 34 , BC = 2 41 , AC = 10, OD = 40

41, AD = 2 769

41, AABC

= 2 769

b) d(O ; (ABC)) = OH = 120

409 c) AAOB = 30 , ABOC = 40 , AAOC = 24

3. a) SB = 3 13 , SM = 3 43

2 b) SBC =

27 43

4 c) d(A ; (SBC)) = 18 3

43

4. a) AC = 10, AD = 8 b) SB = 2 1921

3 , SC = 26, SD = 8 10 , AABCD = 272

3

d) d(A ; (SBC)) = AE = 120

13 , d(A ; (SCD)) = AF = 12 10

5

5. a) SC = 194 , d(S ; AC) = SA = 5 2 b) ASAC= 30 2 c) d(B ; (SAC)) = 5 2

2,

d(C ; (SAB)) = AC = 12

1.

2.

3.

4.

5.