UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOVFACULTATEA DE MATEMATIC I INFORMATICSPECIALIZAREA STRUCTURI MATEMATICE FUNDAMENTALE

LUCRARE DE DISERTAIEMODELE DE DEGRADARE N CASCAD N TEORIA FIABILITII

COORDONATOR TIINTIFIC:Conf.Dr. PALTNEA EUGEN

Absolvent:CIOVLIC CORNELIA

BRAOV 2015Cuprins

1. Model de degradare n cascad n reele SFNa. Introducere2b. Studiul modelului..3c. Simularea..4d. Rezultate-Clasificarea strategiilor de izolare....6e. Rezumat si concluzii...12

2. Modelul clasic de degradare n cascad a. Natura defectrilor n cascad a penelor de curent ....13b. Descrierea modelului..14c. Distribuirea numrului de defeciuni..162.4.1 Formulele de recuren..162.4.2 Distribuia Quasimultinomial....172.5 Aplicarea unei teoreme a votului.....19 2.6 Efectul de ncrcare.....202.7 Testarea estimatorilor procesului de ramificare n defectarea n cascad23

3. Model Markov de degradare n cascada. Lantul MARKOV...29b. Defeciuni n cascad..31

INTRODUCERE

Fiabilitatea sistemelor reprezint o ramur a teoriei probabilitilor i statisticii matematice, avnd ca urmtoarele obiective principale:-studiul defeciunilor (cauzelor,proceselor de apariie i metodelor de combatere a lor);-analiza fizic a defeciunilor;-aprecierea calitativ i cantitativ a comportrii sistemelor n timp, funcie de factorii de solicitare interni i externi;-determinarea modelelor i metodelor de calcul i prognoz a fiabilitii pe baza studierii structurilor,a ncercrilor i a urmririi n exploatare a sistemelor;-stabilirea metodelor constructive,tehnologice i de exploatare pentru asigurarea ,meninerea i cresterea fiabilitii. Fiabilitatea funcionrii se poate aprecia calitativ prin capacitatea unui sistem de a funciona fr defeciuni pe o anumit perioad de timp i n condiii de exploatare date. Din punct de vedere cantitativ, fiabilitatea va fi apreciat prin probabilitatea ca sistemul tehnic supus studiului s-i ndeplineasc funciile specificate, cu performanele cerute, pe o perioad i n condiii de exploatare cunoscute. Fiabilitatea are aplicaii deosebit de numeroase n domeniul energetic datorit complexitii structurale i funcionale deosebite a sistemelor utilizate i necesitii asigurrii unui nivel de siguran ridicat. Nefuncionarea accidental a unor subsisteme energetice poate conduce la pagube materiale importante att la nivelul producerii, transportului i distribuiei energiei ct i la nivelul utilizatorilor acesteia.Aplicarea modelelor referitoare la fiabilitatea sistemelor n domeniul energetic, pe lng posibilitatea estimrii indicatorilor de continuitate n exploatare a unei instalaii energetice, permite i alegerea unei variante optime a structurii instalaiei din mulimea soluiilor posibile, care s permit realizarea indicatorilor de continuitate n funcionare dorii cu cheltuieli minime. Lucrarea Modele de degradare n cascada n teoria fiabilitaii este structurat n trei capitole:4. Model de degradare n cascad n reele SFN5. Modelul clasic de degradare n cascad 6. Model Markov de degradare n cascad

Principalele referine bibliografice sunt cuprinse n Bibliografie.

CAPITOLUL 1MODEL DE DEGRADARE N CASCAD N REELE SFN

Degradrile n cascad reprezint evenimente foarte distructive, care pot deteriora infrastructurile critice, cum ar fi reele electrice i de telecomunicatii. Ele ncep cu o defectiune ntr-un singur punct i se rspndesc rapid prin intermediul reelelor, provocnd adeseori prbuirea ntregului sistem. Studiem i clasificam trei strategii de izolare a defeciunilor n cascada. n plus, propun un model simplu i dinamic pentru eecurile n cascad n reele la scar libera avnd n vedere defeciuni ntmpltoare i scenarii de atac vizate. Rezultatele mi-au permis s descriu matematic comportamentul procesului i s testez trei strategii de protecie a reelei mpotriva cascadelor.

1 .1 Introducere

Defeciunile n cascad (CF) reprezint o problem grav n sisteme precum reelele electrice, sistemele de telecomunicaii i a altor reele de infrastructur critic.Soluii generale la aceast problem nu sunt disponibile i prin urmare, este necesar mai mult cercetare. Astfel de tip de cercetare se bazeaz n principal pe modele matematice deoarece nu este posibil s se execute studii n lumea real, fr a suporta riscul ridicat de leziuni, daune i alte cteva prejudicii.Reelele scale-free network (SFN) (adic reelele n care distribuia gradelor nodurilor urmeaz asimptotic o lege de tip putere) sunt o reprezentare potrivit a unui ir de sisteme n mai multe domenii distincte, cum ar fi biologie, chimie, fizic i tehnologie. Din acest motiv, SFN au fost obiectul unor eforturi intense de cercetare i exist mai multe modele pentru a genera ansamblul lor.Un model simplu de rspndire n cascad (SCSM) a fost folosit pentru a descrie procesul de defectare al ntregii reele. SCSM este un model probabilistic care dobndete informaii despre gradul problemei cu scopul de a rspndi defeciunea.Pentru a investiga procesul n cascad, am generat un set de realizri SFN i aceste ansambluri au fost folosite pentru a simula propagarea defeciunii. Odat creat, reeaua nu mai este modificat : nodurile i legturile nu mai sunt adugate sau eliminate. SCSM definete comportamentul defeciunii n felul urmtor: dac un nod cedeaz, atunci defectiunea se propag la vecinii din acest nod n conformitate cu un parametru global de vulnerabilitate dependent de gradul nodului. Un nod defect nu este reparat i rmne n acest stare pentru restul simulrii. Ca topologie a reelei nu este niciodat distrus sau modificat, metrica folosit pentru a evalua rspndirea cascadei i eficienta abordrilor de izolare este numrul de nodurilor supravieuitoare. Dou scenarii de simulare au fost abordate n acesta lucrare: 1) defeciuni accidentale, cazul n care nodurile se defecteaz la ntmplare; 2) atacuri ale punctului central (sau vizat), caz n care un agent extern ru alege cel mai vulnerabil nod. Este bine cunoscut c SFN sunt mai rezistente la problemele aleatoare dect la atacuri vizate i rezultatele pe care le avem obinute confirm acest fapt. Principalul rezultat al acestei lucrari este studiul i clasificarea a trei strategii de izolare pentru defeciunile n cascad i modelarea analitic a cascadei n sine. Din perspectiv matematic, am constatat o similitudine interesant ntre comportamentul modelului att pentru defeciuni ntmpltoare i scenariile unor atacuri vizate.

Restul acestui capitol este organizat dupa cum urmeaz: Seciunea 2 descrie principalele concepte i modelul de calcul. n seciunea 3 noi am revizuit lucrrile conexe recente; Seciunea 4 prezinta principalele aspecte ale cadrului de simulare i rezultatele. n cele din urm, n seciunea 5 vom prezenta principalele nostre concluzii.

1.2 Studiul modelului

Considerm o reea la scar liber supus unor atacuri nefaste i modelat ca un graf orientat G (V, E) definit de seturi V si E, unde V este o set finit de noduri i E un set finit de margini. O margine eij conecteaza nodul i cu nodul j. O cascad poate fi controlata prin strategii specifice sau prin mecanisme de izolare. Atacurile pot fi aleatorii sau ndreptate catre unele caracteristici topologice ale retelei. Fiecare nod are o vulnerabilitate v, care msoar probabilitatea ca un nod sa rspndeasca defeciunea i altor elemente. n urma unui atac, un numr de noduri sunt considerate a fi noduri de supravieuire. Nodurile ramase sunt noduri moarte, adic i-au pierdut capacitatea de prelucrare. Presupunem c atacatorii cunosc topologia reelei.

Reeaua este supus unui proces distructiv caracterizat printr-o defectiune iniiala ntr-un singur punct undeva n reea care mprtie la vecinii i ncepe un numr de nou cicluri de defectare i rspndire. Un astfel de proces este cunoscut, de asemenea, sub denumirea de avalan i se gsete n mai multe domenii.Din punct de vedere social, dispersia zvonului i schimbrile colective de opinie pot fi studiate ca CF. Toate nodurile au o capacitate de prelucrare fixa C (ecuaia (1)). Capacitatea unui nod este o msur a abilitii sale de a gestiona traficul sarcinii, proporional cu sarcina calculata iniial.Capacitatea este alocata in baza urmatoarei ecuatii:

= (1+ ) (1)unde este factorul de toleran, Li este sarcina nodului, este rata medie de generare a traficului, N este dimensiunea reelei, iar D este dimensiunea medie a cii minime.Fiecare nod j din reea are un prag al capacitatii, care este debitul maxim pe care varful l poate transmite. ntruct capacitatea de nod in retelele reale este, n general, limitat de cost, este natural s presupunem (pentru simplitate), c, capacitatea a nodului j este proporional cu sarcina sa iniial = T * , j = 1,2, 3, ... N,unde constanta T ( 1) este parametrul de toleran care descrie tolerana reelei. Deoarece fiecare nod are o capacitate limitat de a se ocupa de sarcin, dac L + , > C pentru nodul j, atunci nodul j defecteaz i mai departe induce redistribuirea sarcinii suplimentare - ceea ce poate duce la o prabuire a celorlalte noduri.In plus, urmtorii parametri sunt folositi n aceast lucrare:

Importana (centralitatea) unui nod= (2)n cazul n care njl este numrul total al celei mai scurte ci de la nodul j la l si(i) este numarul acelor ci care trec prin i.

Coeficientul grupului local: Aceasta este o msur a gradului n care nodurile tind s se grupeze. Aceasta este data de:: ,, (3)i coeficientul de grupare mediu este dat de: C= (4) Raza spectral r (G): Raza spectral este msurat de la matricea de adiacen a unui graf. Este cea mai mare valoare proprie non-triviala adet [A (G) -I] = 0,unde A este adiacenta matricei iar I este identitatea matricei. Valorile proprii sunt diagonalele (adic, ,, ....) din .O s prezint acum o imagine de ansamblu a activitii recente cu privire la defectarea in cascad n reelele la scar liber.

1.3 Simularea

Scopul acestei simulari este de a evalua eficacitatea unui set de strategii de aprare (de exemplu, izolarea) mpotriva atacurilor reelei. Modelul de simulare este ilustrat n Fig. 1. Am expuns sistematic reeaua la diferite tipuri de atacuri. Performan metric pe care am ales-o pentru a evalua abordarea de izolare este procentul nodurilor supravietuitoare S rezultat dintr-un atac. n mod evident, cu ct este mai mare numrul nodurilor supravieuitoare, cu att mai de succes este strategia avut n vedere.n ceea ce privete politica de selecie a nodurilor i sumlarea noastr se ia n considerare dou tipuri de atacuri: 1) atacuri aleatorii, unde un nod de reea aleator (cu un grad sczut) este selectat ca int;2) atacuri ale punctului central (sau vizat), unde nodurile cu cele mai nalte grade (adic hub-uri) sunt vizate n schimb. n orice caz, o dat un nod este ales, este expus la atac i defectarea se rspndete n ntreaga reea n funcie de vulnerabilitate v a nodurilor afectate.

Dou seturi de simulri au fost considerate:

Simulare 1: Urmtoarele abordari de izolare a reelei au fost evaluate din punct de vedere al numrului procentual (%) de noduri supravieuitoare (S): 1) Nu exist mecanisme de izolare 2) Creterea numrului de legturi ntre nodurile cu un grad mai mic 3) Creterea capacitii nodului 4) Abordarea combinat unde vom crete simultan numrul de link-uri i capacitatea nodul. Reele cu diferite dimensiuni (adic 10,20..100 noduri) au fost supuse unor atacuri i examinate. Noi am considerat o vulnerabilitate fix pentru toate nodurile (v = 0,5).

Simulare 2: Nici o abordare de izolare nu a fost instalat. n schimb, pentru fiecare tip de atac (adic vizat sau aleatoriu), am efectuat simulari msurand numrul de noduri supravieuitoare n timp mrimea reelei varia intre 10 - 1000 noduri (adic 10,20,70,100,200,500,1000).n plus, pentru fiecare dimensiune reea, am variat vulnerabilitatea nodului de la 0,1 la 1. De exemplu, dac un nod afectat de defeciune are patru conexiuni i vulnerabilitatea sa este de 0,5, defeciunea este transmis la dou conexiuni, ceea ce nseamn c doua noduri adiacente sunt afectate.

Figura 1-Model de simulare

1.4 Rezultate - Clasificarea strategiilor de izolare

1.4.1 - Simularea 1

Figurile 2 i 3 ilustreaz procentul de noduri supravieuitoare S n funcie de numrul de noduri de reea pentru fiecare strategie folosit (simularea 1).

Figura 2-Procentul de noduri supravietuitoare pentru atacurile vizate (simularea 1)

Figura 3: Procentul de noduri supravieuitoare pentru atacurile aleatorii (simularea 1)

Pe baza acestor rezultate, putem clasifica patru strategii de izolare:

1.Creterea capacitii reelei. De departe aceasta este cea mai bun abordare a tuturor alternativelor considerate deoarece ofer cel mai mare numr de noduri de supravieuire pentru toate tipurile de atacuri.

2. Abordare combinat. Adaugarea simultan a link-urilor i a capacitii n reea vine ca o a doua abordare alternativ, ntruct crete numrul de noduri supravieuitoare n comparaie cu strategia de neizolare, nu depaete creterea exclusiv a capacitii reelei.

3. Nici o strategie de izolare. Pur i simplu lsnd reeaua aa cum este, adic fr a modifica numrul de link-uri sau capacitatea, nu se mbunatatesc rezultatele obinute cu alternativele de mai sus.Cu toate acestea, nu prezint rezultate mai bune dect creterea numrului de legturi.

4. Creterea numrului de legturi noi. Aceast strategie este depait de cea anterioar, deoarece reduce numrul de supravieuitori n toate scenariile examinate. Aceasta poate fi o consecin a razei spectrale crescute a reelelor dup adugarea de noi legturi. n general, creterea razei spectrale a implicat o reducere a robusteii reelei, i, astfel, o cretere a vulnerabilitii lor la atacuri. Mai multe conexiuni sporesc persistena rspndirii defectiunii, care traverseaz epidemic reeaua cu o rat de infectare.n ceea ce privete politica de selecie a nodului, este clar c atacurile aleatorii au un procent mai mare de noduri neafectate (n toate dimensiunile), comparativ cu atacuri vizate. Acest lucru se datoreaz naturii aleatorii a atacului, care afecteaza o poriune mai mic a reelei. Atacurile aleatorii prezint, de asemenea, o scdere relativ lin a numrului de noduri supravieuitoare, comparativ cu atacul vizat, care creste riscul de rspndire a defeciunii. n plus fa de msurarea nodurilor supravieuitoare, am colectat de asemenea, informaii cu privire la impactul structural cauzat de adugarea de noi legturi (tabelul 1):

Tabelul 1: Simularea 1- impact structural prin adugarea de link-uri (B = nainte, A = dup)

Tabel 1

Importana: cretea maxim a centralitii, n toate cazurile, datorit creterii numrului de ci posibile ntre noduri. Excepia este pentru reeaua de 10 noduri, datorit adugarii unei legaturii unice. Coeficientul grupului: Valoarea coeficientului grupului redus n toate reelele care fac obiectul adugarii de legturi. Dup cum s-a menionat n seciunea 2, aceast msur indic modul in care sunt grupati vecinii pentru fiecare nod. Raza spectral: Razele spectrale cresc o dat cu adugarea de noi legturi n toate cazurile. Acest lucru nseamn o reducere a robusteii reelei, i, prin urmare, o cretere a vulnerabilitii reelei. Mai multe conexiuni implic o cretere a riscului de rspndire epidemic a defeciunii.

1.4.2 Simularea 2

Se prezint procentul de noduri supravieuitoare n calitate de funcii ale vulnerabilitii, pentru atacuri aleatorii i ale punctelor centrale. Observai c atacurile aleatorii sunt mai puin duntoare pentru reea dect atacurile punctelor centrale, deoarece acestea prsesc reeaua cu un numr mai mare de noduri supravieuitoare. Devine clar din grafice consecina impactului vulnerabilitii n reea, n cazul n care se demonstreaz c orice valoare mai mare dect 0,6 implic un procent destul de mic de noduri de supravieuire. Acest lucru datoreaz creterea rspndirii defeciunii, care consolideaz efectul cascadei. De asemenea, merit amintit c atacurile punctului central afecteaz aproape toata reeaua n timp ce atacurile aleatorii lsa unele noduri intacte. Aceste noduri au supravieuit probabil pentru c au fost complet izolate de restul reelei, adic nodurile vecine au fost doborte nainte ca defectiunile s se poata propaga mai departe i s ajung n cele din urm si la ele.

Rezultate- modelarea comportamentului defeciunilor n cascad

Gsirea funciilor care definesc cascada este crucial pentru nelegerea, prognoza i analiza comportamentului lor. Pentru analiza cascadei menionate anterior, am observat graficele la scar logaritmic (fig. 4), care ne-au permis s gasim o ecuaie care le modeleaza. Am considerat posibilitatea de a obine aceast ecuaie, folosind o funcie exponenial. Cu toate acestea, fiecare tip de eec necesit un model de funcie exponenial care se incadreaz n curba. Inspectarea grafului de noduri supravieuitoare cu vulnerabilitate sugereaz un model matematic simplu pentru a descrie comportamentul acestora. Pentru atacurile asupra noduri punctelor centrale, ne propunem urmtorul model pentru numrul de noduri supravieuitoare S: (5)i pentru defectiunile cauzate de atacurile aleatorii vom folosi: (6)n cazul n care a, b i c sunt parametrii care vor fi determinai n funcie att de dimensiunea reelei ct i de tipul de atac. Pentru a gasi valorile parametrilor a, b i c, am ncadrat rezultatele simulrii cu modelele noastre folosind un algoritm cu ptrate mai mici. Rezultatele sunt afiate n tabelele 2 i 3 pentru fiecare tip de atac.

Figura 4: Procentul de supravieuitori (panouri sus) i consecin (panouri inferioare) ca funcii de vulnerabilitate pentru atacuri aleatorii (stnga) i ale punctului central (dreapta) atacuri pentru diferite numre de noduri de reea (simulare 2).

Tabelul 2: Parametrii model atacului punctului central. n acest caz, c = 2.

Tabelul 3: Parametrii model pentru atacuri aleatorii.

Curbele defeciunii originale i curbele funciei exponeniale au fost reprezentate pe acelai grafic: n figurile 5 i 6 artm ncadrarea curbei supravieoare n punctele de date, considernd 100 de noduri sub atacurile aleatorii i respectiv ale punctelor centrale. Cercurile reprezint simulri cu AttackerDefender i linia este ncadrat n modelul nostru. Rezultatele sunt foarte asemntoare atunci cnd se analizeaz alt numr de noduri de reea.

Figura 5: Procentul de supravieuitori ca o funcie a vulnerabilitatii la atacuri aleatorii.

Defeciunea are un comportament care este aproape de funcia exponenial parametrizat cu valori variabile rezonabile pentru fiecare scenariu de defectare i fiecare dimensiune a reelei. Un rezultat interesant este faptul c valorile parametrilor a i b sunt aproximativ independente de numrul de noduri i ele sunt aproximativ aceleai pentru ambele atacuri, aleatorii si ale punctelor centrale cu condiia c ~ 2.5 pentru cazul aleatoriu. Acest rezultat face ca modelul simplu sa fie i mai general pentru predicia supravieuitorilor dupa defectiunile n cascad. Analiznd atacul asupra punctelor centrale, unde am reprezentat nodurile din grafic fa de vulnerabiliti, se observ c, vulnerabilitatea i riscul de rspndire crete, procentul de supravieuitori tinde s fie egal pentru toate dimensiunile reelelor. Rezultatele pentru defeciuni aleatorii pot fi comparate cu rezultatele atacului punctului central: cum era de ateptat, numrul de supravieuitori este ntotdeauna mai mare n defeciunile aleatorii dect numrul de supravieuitori din punctul central.

Fig 6Figura 6: Procentul de supravieuitori ca o funcie a vulnerabilitatii la atacuri ale punctelor centrale.

Fig 7Figura 7: Procentul consecinta ca o funcie a vulnerabilitatii pentru atacuri aleatorii.

Fig. 7 i 8 ilustreaz incadrarea curbei pentru parametrul consecinta (C, unde C = 100 noduri)inta defeciunii pentru toate dimensiunile reele se explic prin faptul c atacurile punctelor centrale au capacitatea de a ajunge la mai multe noduri, deoarece punctele centrale au mai multe conexiuni.

1.5. Rezumat i concluzii

n acest capitol am analizat impactul att al atacurilor aleatorii ct i ale punctelor centrale n reelele la scar liber care fac obiectul defeciunilor n cascad. n plus, de asemenea, am modelat matematic comportamentul cascadei i am observat eficacitatea strategiilor defensive mpotriva acestor atacuri. Dei am considerat n primul rnd atacurile intenionate, malware pe infrastructura de reea, eu cred c rezultatele prezentate n aceast lucrare sunt de departe mai generale i pot fi folosite pentru a analiza i descrie alte scenarii, cum ar fi comportamentul defeciunilor regulate n reelele complexe. Aceste rezultate pot fi de ajutor pentru a proteja reelele reale i pentru a evita defeciunile n cascad induse de dezastre.

Figura 8: Procentul consecin ca o funcie a vulnerabilitatii n atacuri ale punctelor centrale i numrul diferit de noduri de reea.

CAPITOLUL IIMODELUL CLASIC DE DEGRADARE N CASCAD

Modelul descris n cele ce urmeaz, datorat lui Dobson .a. (2005), surprinde unele dintre cele mai importante caracteristici ale penelor de curent mari ale sistemelor de transmisie a energiei electrice. Modelul evideniaz distribuiile de tip quasibinomial.

2.1. Natura defectrilor n cascad a penelor de curent

Cea mai mare parte a sistemelor de transmisie a energiei electrice sunt reele complexe cu numere mari de componente care interacioneaz n diverse moduri. Fluxul de electicitate i unele efecte dinamice se propaga pe o scar continental .Toate componentele electrice au limite ale curenilor i tensiunilor. Dac aceste limite sunt depite, dispozitivele de protecie automat sau operatorii de sisteme decupleaz componenta de la sistem. Vom considera componenta deconectat ca fiind defect deoarece aceasta nu mai este capabil s transmit electricitate (n practic, va fi reconectata mai trziu). Componentele se pot defecta, de asemenea, din cauza utilizrii greite sau deteriorrii cauzate de mbtranire, foc, vreme, ntreinerea proast, proiectare incorect sau setrilor de operare greite. n orice caz, defectarea cauzeaz un tranzitoriu i face ca fluxul de electricitate al componentei s fie redistribuit la alte componente n conformitate cu legile de circuit i, ulterior, redistribuit n funcie de aciunile de control automate i manuale. Defeciunile sistemului pot avea efecte locale sau pot implica componente ndepartate, astfel nct deconectarea sau defectarea unei componente pot crete n mod efectiv ncrcarea mai multor componente de-a lungul reelei. n particular, propagarea defeciunilor nu este limitat la componentele adiacente reelei. Interaciunile implicate sunt diverse i includ abateri n fluxurile de electricitate, frecven, i tensiune, precum i operarea sau utilizarea greit a dispozitivelor de protecie, controale, proceduri de operare, i sistemelor de monitorizare i de alarm.Cu toate acestea, toate interaciunile dintre defectrile componentelor tind s fie mai puternice atunci cnd componentele sunt mai ncrcate. De exemplu, dac o linie de transmisie mai puternic ncrcata se defecteaza, se produce un tranzitoriu mai mare, exist o cantitate mai mare de electricitate care trebuie redistribuit altor componente, iar defeciunile dispozitivelor de protecie din apropiere sunt mai probabile. Mai mult dect att, n cazul n care sistemul global este mai ncrcat, componente au marjele mai mici astfel nct s poat tolera creteri mai mici de sarcin nainte de defectare, nelinearitile sistemului i cuplajele dinamice crec, iar operatorii sistemelor au mai puine opiuni i mai mult stres . O pan de curent mare tipic are o perturbare iniial sau evenimente declanatoare, urmate de o succesiune de evenimente n cascad . Fiecare eveniment slbete i streseaz n continuare i sistemul ii face evenimentele ulterioare mai probabile. Exemple de perturbare iniial sunt circuitele scurte de linii de transmisie prin arbori necurati, greeli de operare ale dispozitivelor de protecie, i de vreme rea. Evenimentele i interaciunile penelor de curent sunt de cele mai multe ori rare, neobinuite, sau neprevzute pentru c defeciunile probabile i anticipate sunt deja enumerate n mod obinuit n proiectarea i operarea sistemului de electricitate.

2.2. Descrierea modelului

Modelul are n componente identice cu sarcinile (ncrcrile) iniiale aleatorii. Pentru fiecare component sarcina iniial minim este i sarcina iniial maxim este . Pentru j = 1,2, ..., n, componenta j are o ncrcare iniial Lj care este o variabil aleatorie uniform distribuit n [, ]. Se presupune c variabilele aleatoare, , ..., sunt independente. Componentele se defecteaz atunci cnd ncrcarea lor depete . Atunci cnd o componenta se defecteaza, o cantitate de sarcin constant P>0 este transferat fiecarei component aflate n funciune. Degadarea n cascad este provocat de o perturbare iniiala ncarc fiecare component cu o cantitate suplimentar D. Unele componente se pot defecta atunci, n funcie de ncrcrile lor iniiale, iar defectarea fiecareia dintre aceste componente va distribui o ncrcare suplimentar P care poate provoca mai departe defeciuni n cascad . Componentele devin treptat mai ncrcate pe masur ce cascada evolueaz. Distingem producerea defeciunilor n etapele i = 0,1,2, ..., conform urmtorului algoritm, unde este numrul de defectiuni produse n etapa i.

Algoritmul cascad:

0. Toate componentele n sunt iniial nedefecte i au sarcinile iniiale , , ..., care sunt variabile aleatorii independente repartizate uniform n [, ].1. Adaugam perturbarea iniial D la sarcina fiecrei componente. Se iniializeaza etapa opus i la zero .2. Testm fiecare component nedefect pentru defectare: Pentru J=1, ..., n, dac componenta j este nedefect i sarcina ei este mai mare de , atunci componenta j se defecteaz.Presupunem c componentele se defecteaz n aceast etap.3. Creterea sarcinilor componentelor n funcie de numrul de defeciuni : Adaugam P la sarcina fiecrei componente.4. Cretem i i ne intoarcem la pasul 2.

Algoritmul cascad are proprietatea ca atunci cand nu exist defeciuni n etapa j astfel nct = 0, apoi 0 = = +1 astfel nct nu exist defeciuni ulterioare (la pasul 2, poate fi zero, fie pentru c toate componentele s-au defectat deja sau din cauza c sarcinile componentelor nedefecte sunt mai mici d e ). Deoarece exist n componente, rezult c = 0 i c rezultatul cu numrul maxim de etape, cu defectri nenule este de1 = = = =.

Studiem numrul total de defeciuniS = ++. + Cnd modelul dintr-o aplicaie este interpretat, cresterea sarcinii P nu trebuie sa corespund doar cu transferul unei sarcini fizice, cum ar fi fluxul de electricitate printr-o component. Multe modaliti prin care defeciunea unei componente face mai probabil defectarea altor componente poate fi gndit ca o crestere a unei "sarcinii" abstracte pe celelalte componente pn defectarea se produce atunci cnd se atinge un anumit prag.Este util s normalizm sarcinile i parametrii modelului, astfel nct ncrcrile iniiale se afla n intervalul [0,1] i considerm =1.In primul rnd, observm c secvena de defectare a componentelor i , , ... sunt neschimbate prin adugarea aceleiai constante a perturbrii iniiale D i defectrii sarcinii . n particular, alegnd constanta a fi - ,perturbarea iniial D este modificat n D +( )i sarcin defect este modificat n +(.Atunci toate sarcinile sunt deplasate i scalate obinndu-se parametrii normalizati.Sarcina iniial normalizat pe componente j este,)astfel nct, este o variabil aleatorie distribuit uniform pe [0,1]. Sarcina iniial minim normalizata este zero, iar cea maxim normalizata este 1. Perturbarea iniial normalizat modificat i creterea sarcinii normalizate atunci cnd o component se defecteaza sunt:d=, p= (1)O modalitate alternativ convenabil de a descrie modelul, n care folosim parametrii normalizati din ecuaia (1), va fi prezentat n continuare. Notm N (t) numrul de componente cu ncrcrile n intervalul (1-t,1]. Dac ncrcrile iniiale n ale componentelor sunt considerate ca n puncte n [0,1], atunci N(t) este numrul de puncte mai mare decat 1-t. Funcia N(t) este nedescresctoare n t, cu 0N(t)n , N(t)=0 pentru t0 i N(t)=n pentru t1. Numrul de componente defecte n/sau nainte de etapa j s fie=. Atunci, presupunnd , algoritmul cascad genereaz ,..conformN(d+, j=0,1 (2)Atunci 0n, este nedescresctor, i =implic faptul c =pentru jk .K-ul minim astfel este numrul maxim de etape n care apar defeciuni i