SISTEME CU 1 GLDVibraii forate. Soluii n domeniul timp a. Vibraii forate neamortizate.

Fig.1 Modelul de calcul al sistemului cu 1GLD n vibraia forat neamortizat

Ecuaia de micare a unui sistem cu 1GLD supus unei aciuni exterioare oarecare F(t) corespunztoare modelului de calcul din fig.1 este: (1)

Dac fora exterioar este de forma : (2)atunci ecuaia (1) se mai poate scrie: (3)

Aciunea F(t) poate fi considerat ca o succesiune de impulsuri elementaredH=F(t) dt pentru 0 t t(4)i deci: (5)

Rspunsul sistemului la aciunea unui impuls finit H este :(6)

reprezentarea grafic fiind cea din fig. 2 Fig. 2 Rspunsul n deplasri la un impuls finit

Soluia micrii unui sistem cu 1GLD n vibraia forat neamortizat, cnd fora exterioar este de forma (2) este dat de:(7)

Reprezentarea grafic a ecuaiei (7) este cea din fig.3. Integrala din relaia (7) poart numele de integrala de convoluie sau integrala Duhamel.

Fig. 3 Rspunsul n deplasri la o for exterioar F(t)

b. Vibraii forate amortizate

Modelul de calcul i ecuaia micrii sunt reprezentate n fig. 4 i respectiv ecuaia (8): (8) n cazul aciunii unui impuls H soluia are forma : (9)

iar curba deplasrilor este dat de fig.5.

Fig. 4 Modelul de calcul n Fig. 5 Rspunsul n deplasri vibraia forat amortizata la aciunea unui impuls

Dac sistemul este supus unei aciuni perturbatoare oarecare F(t)=F0f(t) atunci ecuaia micrii este: (10)

n fig.6 este reprezentat grafic la soluia ecuaiei (10).

Fig. 6 Curba deplasrilor la o aciune exterioar oarecare

Vibraii forate armonice neamortizate

Fora exterioar este de forma (11)Ecuaia micrii n vibraia forat armonic fr amortizare este: (12)a crei soluie general este compus din soluia n vibraia liber neamortizat, uL(t), i soluia particular a oscilaiei forate, uF(t), i care are forma:(13)Soluia n vibraia liber are expresia:(14)iar soluia n vibraia forat armonic are caracter staionar i permanent i este tot armonic de forma:(15)

Constantele M i N se deretmin din condiia ca aceast soluie s satisfac ecuaia micrii (16)(17)sau(18)

Soluia particular este dat de:(19)

Iar soluia general este:(20)

Constantele C1 i C2 se determin din condiiile iniiale:(21)

Rezult:(22)

Soluia general se poate scrie:(23)

Dac la timpul t=0 att deplasarea ct i viteza sunt egale cu zero atunci soluia ecuaiei de micare este:(24)

(25)(26)D sau m coeficient de amplificare dinamicD F0st este deplasarea static dup direcia GLD produs de amplitudinea forei exterioare perturbatoare, F0.n realitate rspunsul liber se amortizeaz foarte repede, micarea se stabilizeaz i rmne numai influena rspunsului forat. Soluia micrii n acest caz devine:(27)Fora dinamic i fora convenional sunt date de fora de inerie i de fora exterioar perturbatoare(28)

Vibraii forate armonice amortizaten situaiile n care fora exterioar este armonic de forma :(29)ecuaia de micare este: (30)

iar soluia general va fi :(31)

Soluia n vibraia liber este (32)

iar soluia n vibraia forat este(33)

Constantele M* i N* se determin din condiia ca soluia uF(t) s satisfac ecuaia de micare

sau

de unde se obtine sistemul de ecuatii in M* si N*

(34) Soluia uF(t) reprezint o suprapunere de dou oscilaii armonice de pulsaie q i deci ea se mai poate scrie:

(35)Amplitudinea A* are expresia:

(36)

Soluia stabil a micrii este :

(37)

Dac se noteaz

(38)

unde D(t) este funcia de multiplicare (amplificare) dinamic i

(39)

unde: D* factor de amplificare dinamic sau coeficient dinamic j* unghi de fazSoluia micrii devine: (40)Variaia coeficientului dinamic funcie de raportul q/w este reprezentat n fig.7.Fig. 7 Variaia coeficientului dinamic D funcie de q/w

Din fig.7 se poate observa c influena amortizrii este mai puternic n zona q/w =1 (zona rezonanei) i c pentru valori mici ale pulsaiei q coeficientul dinamic este egal cu 1, iar pentru valori mari ale pulsaiei q coeficientul dinamic tinde ctre zero. Variaia unghiului de faz, f, funcie de q/w este reprezentat n fig. 8.Fig.8 Variaia unghiului de faz funcie de q/w

Rezonanaa q/w =1 La rezonan coeficientul dinamic atinge valorile maximen exploatare n regim permanent a unui utilaj nu se admite funcionarea n zona rezonanei 0.7