Teorema împărţirii cu rest. Divizibilitatea numerelor naturale.Teorema împărţirii cu rest. Divizibilitatea numerelor naturale.Teorema împărţirii cu rest. Divizibilitatea numerelor naturale.Teorema împărţirii cu rest. Divizibilitatea numerelor naturale.

1. Dacă cifrele unui număr natural de trei cifre sunt consecutive, atunci numărul se divide cu 3?

(OLM Giurgiu, 1986)

2. Suma tuturor numerelor naturale de trei cifre diferite între ele, cu cifrele a,b,c, este divizibilă cu a+b+c?

(OLM Suceava, 1985)

3. Stabiliţi dacă numărul 4 1n ab aba a b= + + este divizibl cu 7. (OLM Galaţi, 1993)

4. Aflaţi câtul înmpărţirii numărului 2002 prin numărul natural a, dacă restul este 4-a.

(OJM Argeş, 2000, prof. Sorin Peligrad)

5. Fie numerele 5A abc bca= + ⋅ şi 11B cab bac= + ⋅ . Arătaţi că numerele A şi B dau acelaşi rest la împărţirea prin 3.

(OJM Dâmboviţa, 2000)

6. Dacă împărţim numărul natural n la 6 obţinm restul 1, iar dacă împărţim la 8 obţinem restul 3. Ce rest obţinem, dacă îl împărţim la 24 ?

(OJM Harghita, 2000)

7. Prin împărţirea numerelor , ,abc bca cab la acelaşi număr natural, obţinem căturile , ,bc ca ab şi resturile a,b,c. Aflaţi împărţitorul.

(OJM Hundedoara, 2000)

8. Să se determine numărul de două cifre scris în baza zece scris în baza zece, care împărţit la suma cifrelor sale dă restul 13, iar împărţit la cătil obţinut din prima împărţire dă restul 3.

(OJM Neamţ, 2000)

9. Prin împărţirea numerelor , ,ab bc ca la acelaşi număr se obţin câturile b,c, respectiv a şi resturile c,a respectiv b. Aflaţi împărţitorul şi arătaţi că: a=b=c.

(OJM Vaslui, 2000)

10. Se dau numerele: 1 2 ... 95 96a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ şi 1 2 ... 93 94b = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Arătaţi că numerele a şi b dau acelaşi rest la împărţirea cu 829.

(OJM Vâlcea, 2001)

11. Să se găsească restul împărţirii numărului 10001000n = la 27. (OJM Iaţi, 2003, prof. Aurel Benza)

12. Arătaţi că numărul 2 4 2000...A n n n= + + + este divizibil cu 10.

(OLM Constanţa, 2000, prof. Gabriela Constantinescu)

13. a) Aflaţi numerele naturale a şi b care verifică simultan coniţiile:

( ); 3a b = şi 315a b⋅ = .

b) Aflaţi numerele naturale x,y,z care verifică simultan condiţiile:

( ); 1x y = şi 2 23 5x y xyz+ = .

(OJM Argeş, 2001)

14. Să se determine 3 numere naturale neule x,y,z astfel încât:

( ) ( ) ( ); 3; ; 5; ; 7x y y z x z= = = .

(OJM Bistriţa-Năsăud, 2001)

15. Se dă numărul A xyz zxy yzx= + + . Arătaţi că dacă 23 divide A, atunci A are două cifre identice.

(OJM Prahova, 2002, prof. Ioana Crăciun)

16. Arătaţi că numărul 13 23 1993 20032 2 ... 2 2N = + + + + , este divizibil cu 310 . (OLM Argeş, 2003, prof. Cecilia Diaconescu)

17. Determinaţi cel mai mic număr k ∈ℕ , astfel încât 39 divide 99....9

k��� .

(OJM Iaşi, 2003, prof. Petru Astafei)

18. Determinaţi câtul şi restul împărţirii numărului 1 2 3 ... 25 250⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + la 1 2 3 4 5 111⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + .

(OLM Bihor, 2005)

19. Să se determine cel mai mare număr natural abcd care împărţit la aad dă câtul 8 şi restul abd .

(OJM Bucureşti, 2005, prof. Julietta Georgescu)

20. Se consideră numerele 20065 3a = ⋅ şi 200414 3b = ⋅ . Să se afle restul împărţirii numărului a la numărul b.

(OLM Prahova, prof. Maria Negrilă şi prof. Anton Negrilă) 21. Să se arate că numerele de patru cifre, care au a treia şi a patra cifră egale respectiv vu dublul primei şi dublul celei de+a doua, nu av divizotri mai mari ca 43.

(OLM Satu Mare, 2005, prof. Doina Muntean)

22. a) Aflaţi restul împărţirii numărului 222 la 3. b) Aflaţi câtul şi restul împărţirii numărului 20077 2⋅ la 20065 2⋅ .

(OLM Dâmboviţa, 2006, prof. Marinescu Damian)

23. Fie , ,a b c ∈ℕ cu . Un număr natural n împărţit la a dă restul b şi împărţit la b dă restul c. Aflaţi restul împărţirii lui n la ab.

(O.V.135, R.M.T. 4/2005, prof. Marin Chirciu)

24. Să se arate că prin adunarea unui număr de cinci cifre impare distincte cu un număr de cinci cifre pare distincte se obţine un număr divizibil cu 9.

(O.V. 136, R.M.T. 4/2005, prof. Gheorghe Ghiţă)

25. Demonstraţi că numărul abcdef se divide cu 37, dacă şi numai dacă numărul cdefab se divide cu 37.

(O.V. 142, R.M.T. 1/2006, prof Tudose Barbu)

26. Dacă numerele xyz şi xyzt sunt divizibile cu 11, demonstraţi că numărul N xyt yzt zxt= + + se divide cu 37. 27. Determinaţi n∈ℕ ştiind că numărul 25 5n n+ împărţit la 625, dă restul 25.

(V. 203, R.M.T. 3/2006, Cristinel Mortici)

28. Fie , ,x y z ∈ℕ astfel încât 8x-9y+4z=0. Demonstraţi că ( )x z y− se divide cu

12. (VI. 201, R.M.T. 3/2006, prof. Dan Nedeianu)

29. Aflaţi restul împărţirii numărului 2070 600+ la 280.

(O.V. 154, R.M.T. 3/2006, prof Doina Stoica şi prof. Mircea Mario Stoica)

30. Numărul a împărţit la numărul b dă câtul 8 şi restul 222. Aflaţi a şi b ştiind că 1790a b+ < .

(V. 210, R.M.T. 4/2006, prof. Virginia Tică şi prof. Vasile Tică)

31. Aflaţi numărul abaaba , ştiind că se divide cu cinci numere impare consecutive.

(V. 214, R.M.T. 4/2006, prof. Maria Niţu)

32. Un număr natural dă restul 10 la împărţirea cu 21 şi dă restul 1 la împărţirea cu 15. Ce rest dă acel număr la împărţirea cu 35?

(O. V. 167, R.M.T. 1/2007, Nicoliţa Bîltac)

33. Demonstraţi că numărul A abcde= se divide cu 41 dacă şi numai dacă numărul B eabcd= se divide cu 41.

(O.V. 174, R.M.T. 2/2007, prof. Tuţă Luca)

34. să se afle două numere, ştiind că raportul lor este 6

11, iar cel mai mic multiplu

comun al lor este 1386. (E:1703, G.M. 7/1961, prof. I. Velescu)

35. Să se determine toate numerele de trei cifre distincte ştiind că atât ele cât şi răsturnatele lor sunt divizibile cu 7.

(5563, G.M. 12/1962, Masgras V., student)

36. Găsiţi cel mai mic număr care începe cu cifra 9 şi care prin trecerea acestei cifre p ultimul p loc se micşorează de 4 ori.

(E:8828. G.M. 4/1986, Petre Ioniţă)

37. Să se determine numărul natural 2 3a bA = ⋅ , ştiind că 2A are cu 3 divizori mai mulţi decât A, iar numărul 3A cu 4 divizori mai mult decât A.

(E:10031, G.M. 10/1991, prof. Ghoerghe Giurgiu)

38. Să se determine numărul abcd ştiind că 1998 | dcbadcba . (E:11543, G.M. 4/1998, prof. Cristian Grecu)

39. Demonstraţi că numărul 2 19981998 1998 ...1998A = + + se divide la 39. (E: 11792, G.M. 7-8/1999, prof. Gheorghe Achim)

40. Fie abcd un număr divizibl cu 11. Demonstraţi că numărul dbca este divizibil cu 11 dacă şi numai dacă numărul bc este divizibil cu 11.

(E:11825, G.M. 10/1999, prof. Vasile Solovăstru)

41. Să se arate că suma tuturor numerelor de forma abcabc care se divid cu 17, este un număr divizibil cu 212.

(E:12044, G.M. 11/2000, prof. Viorel Cornea)

42. Determinaţi numărul natural abcdef ştiind că: 3abcdef bcdefa⋅ = . (E: 12344, G.M. 5-6/2002, Mariana Mândruţ)

43. Demonstraţi că: ( )19 | 19 | 5abc a bc⇔ + .

(E: 12363, G.M. 7-8/2002, prof. Vasile Solovăstru)

44. Să se arate că numărul 1 2 2002 20031 2 2 ... 2 2+ + + + + se divide la 4095. (E: 12743, G.M. 2/2005, prof. Cristian Grecu)

45. Fie *2 3 , ,m nA m n= ⋅ ∈ℕ . Să se determine m şi n sţiind că puterea a patra a lui A are 1313 divizori.

(E: 8680, G.M, 10/1985, prof. Marinescu Damian)

46. Fie numărul 0 1 20002052 2052 .... 2052a = + + + . Aflaţi restul împărţirii numărului a la 190.

(E: 12865, G.M. 1/2005, prof. Ion Neaţă) 47. să se determine cel mai mic număr natural de forma

( )2 3 37 , , ,m n pA m n p= ⋅ ⋅ ∈ℕ ştiind că admite 16 divizori în ℕ .

48. Care este restul împărţirii numărului 101110 la 27? Care este restul împărţirii numărului 101110 la 81?

(E: 13065, G.M. 11/2005, prof. Marinescu Damian)

49. Fie 3 7k pA = ⋅ unde *,k p ∈ℕ . Să se determine k şi p ştiind că 5a are 1271 divizori naturali.

(E: 13085, G.M. 12/2005, prof. Gheorghe Achim) 50. Demonstaţi că pentru orice n∈ℕ , numărul: ( )( )( )4 2004 4004n n n+ + + se

divide la 3. (E: 13348, G.M. 1/2007, prof. Marinescu Damian)

51. Determinaţi cifra a ştiind că numărul 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a se divide la 99.

(E: 13366, G.M. 1/2007, Liviu Pârşan)

52. Să se determine cifra a astfel încât numărul 1 8125N a= să se dividă cu 1975. (E: 5024, G.M. 4/1975, I. Diaconu)

53. Să se înlocuiască x şi z cu câte o cifră astfel încât suma 3 74 923x y+ să se dividă cu 37.

(E: 5687, G.M. 11/1976, C. Ottescu)

54. Să se determine toate numerele de forma 1988N abc= , scrise în baza zece, care se divid la 125.

(E: 9396, G.M. 4/1988, Ion Lupşor)

55. Determinaţi toate numerele de cinci cifre care au trei cfire egale cu 5 şi sunt divizibile cu 585.

(E: 13306, G.M. 11/2006, Gabriel Tică) Problemele au fost selectate de Claudiu Mîndrilă, şcoala „Tudor Vladimirescu”, Târgovişte