DEZLEGAREA MISTERULUI NUMĂRULUI π.pdf

Mircea Eugen elariu, DEZLEGAREA MISTERULUI NUMRULUI

1

Motto: Amorul este ca numrul Pi n matematic: real, iraional i foarte important!

Evident, numai o femeie iubitoare

putea da un astfel de rspuns. Ea este Lisa Hoffman

DEZLEGAREA MISTERULUI NUMRULUI

=

P R E F A

Cteva cifre ale acestui misterios numr sunt date, suprapuse, pe figura 0. Dar, s-a ajuns deja la 1,24 trilioane (!) de cifre zecimale sau electronice ,1415926535, aa cum au fost denumite ele n MATEMATICA ATOMIC [1] . Cifrele intregi, ca de exemplu cifra 3 a lui = 3,14, au fost denumite cifre protonice. mpreun, cifrele protonice i cele electronice definesc un numr, ca i n cazul lui . Astfel privit, orice numr este un atom matematic !i, matematica atomic caut s gseasc nu numrul, ci cifrele care constituie acel numr, precum i succesiunea lor ntr-un numr ! (v. [2] CIFRELE, PARTICULELE ELEMENTARE ALE NUMERELOR)

Pe primele 60, o nimica toat, adic cele din primele dou rnduri ale figurii 0, am reuit, n dou trane, prima de 25 de zecimale, s le memorez i eu. Nu exagerez !

Matematicienii note

L-amL-am memorat in 10 minute.Desen de pe

Fig.0 Litera greceasc pi i valo rile numru lui . Desen de pe http://www.almeea.com/misteriosul-numar-pi

Fig.0 Transformarea continu a cerculu i n ptrat cu

funcia supermatematic circular excentric (FS M-CE). Lungimea unei curbe nchise, raportate la

raza cercului (s = 0) este funcia pi mare

www.supermathematica.com www. supermathematica.org aza rapoL-am memorat in 10 minutertul dintre circumferinta unui cerc si diametrul sau prin litera greceasca Pi, care reprezinta initiala cuvintelor din

aceeasi limb Cu prima tran am ctigat un concurs ad-hoc, organizat n caminul studenesc de pe strada Doja, ntr-o camer de 40 de studeni, n anul I de facultate (astzi sediul Inspectoratului colar Judeean). Dar nu aceasta a fost cauza pentru carte inspectoratul i-a ales acest sediu. Ei n-au auzit de performana mea. Cred c n-au auzit nici de performanele de la Bacalaureatele elevilor din ultimii ani. Ani calendaristici.

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0


Le-am memorat n cca.10 minute. Colegul meu Dan B., timiorean, care, evident, nu locuia n cmin, a doua zi, auzind de concurs, le-a memorat, n mai puin de 10 minute. Dar, dup alte cinci minute, n-a mai putut s le mai repete. Spre deosebire de mine, care, de fric s nu pesc la fel, n-am mai putut s le uit ! Mare lucru i frica asta ! O adevarat bomb energietico-psihologic !

i, dac tot l tiam cu 25 de zecimale, dup o lung perioad de timp, mi-am pus ntrebarea, fireasc : de ce s nu mai memorez cteva zecimale ?. Adic, nc 35 ! Dac pot ? i am putut !

Se tie c o ntrebare, ca i o problem de fapt, bine pus, este pe jumtate rezolvat. Dar nu cum s-a rspuns la ntrebarea actual i foarte bine pus Ce credei c ar putea salva Romnia ?, la care un mucalit (poate vizionar ?... - Doamne ferete !) a rspuns: .... BOMBA ATOMIC !

Da ! Un razboi atomic ar fi o soluie de salvare pentru ntrega omenire ! Definitiv i irevocabil !

Toata lumea tie c = 3,14, chiar i cei de la Bac, care n-au luat not de trecere la Matematic, dar nimeni nu-i poate imagina, i nimeni nu tie, ce-ar nsemna un astfel de rzboi.

Ei, dar cine tie ce-i 3,15 ? Cine are bombe, atomice i cu hidrogen, i poate permite s-l mreasc pe pi orict, c nimeni nu ndraznete s-i contrazic ! De aceea, 3,15 este pi sovieto-american, cel mai mare pi din lume ! Aspir, oare, i chinezii la cel mai mare ?

Dar, 3,13 ? Ai ghicit, sau intuit ! Pi romnesc, cel mai mic pi din lume . Nu avem noi i cel mai uor cub din lume ?! Cub de volum zero i, evident, de greutate zero ! El este format din 6 piramide, fr suprafaa ptrat de baz, cu vrful comun n centrul de simetrie al cubului (Fig. 0).

Fig.0 Cubul ROMNESC, cel mai uor cub din lume

www.SuperMathematica.com www.SuperMathematica.org

Record absolut ! Mai uor nu se mai poate ! Wikipedia, s-a auzit ? C pentru funcii

supermatematice sau pentru cele circulare excentrice n-avei urechi ! La ce folosesc ele ? Nu urechile ! Funciile ! n cazul articolului de fa, la generalizarea cercului, sau, mai precis, la transformarea continu a cercului n ptrat, aa cum se poate obserav n figura 0.

Cu aceleai ecuaii parametrice, pentru excentricitate liniar numeric s = 0, sau excentricitate real liniar egal cu raza R a uniui cerc, adic e = s.R = 0 , se obine cercul, iar pentru s = 1, sau e = s.R = R se obine ptratul perfect ! De la cerc la ptrat, adic pentru excentriciti liniare numerice

cuprinse n domeniul s (0, 1), exist o infinitate de alte curbe nchise, care nu mai sunt cerc [s = 0], dar nici nu au ajuns, nc, ptrat perfect [s = 1] !.

Atunci, ce sunt ?


Regretatul matematician, Anton Hadnady, le-a denumit excentrice circulare. Un fel de cercuri excentrice. Prin excentrice el numind toate curbele obinute cu ajutorul noilor funcii supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) i cuprinse n domeniul Matematicii Excentrice (ME), n timp ce, curbele cunoscute din Matematica Centric (MC), ordinar, cunoscut, au fost denumite centrice. n cazul cercului, un cerc centric (s = 0). Aa cum supermatematica (SM) este o reuniune dintre MC i ME, adic

SM = MC ME, tot aa, cercurile supermatematice sunt o reuniune a cercului centric (propriu-zis) cu infinitatea de cercuri excentrice. A cror form extrem, de s = 1, este, de necrezut, ptratul perfect ! Auzi minune, domnule de la Wikipedia : cercul poate deveni ptrat i invers, ptratul poate deveni cerc !

Dac, toate aceste curbe nchise, se obin cu aceleai ecuaii parametrice, ca de exemplu, cu

funciile cosinus ( ) i sinus ( ) qudrilobe (cvadrilobe)

n care, doar prin modificarea valorii numerice a unui singur parametru, cum este s sau e , se trece de la o curb nchis la alta, pot fi considerate ca fiind de acelai gen sau fcnd parte din aceeai familie ? Rspunsul este, credem hotart, afirmativ !

Totul este n continu micare, transformare, de la simplu la complex, prin mici acumulri cantitative, care duc la un brusc salt calitativ! Chiar i n matematic ! Regina tiintelor ! Supermatematica este consecina, sau rezultatul, unui astfel de salt, de la unu la infinit n matematic.

De la o singura entitate, existent n MC, la o infinitate de entiti existente n ME, i la

= n SM ! De cte ori am spus-o Se aude ? Unde trebuie ? Nu la Wikipedia, c ei n-au, sau au (?) CIA mai mic idee despre

importana acestor lucruri. Nu pentru beneficiul romnilor, CIA mai oropsit naie, dup unele preri, CI A americanilor, CIA mai evoluat naiune i printre cele mai tinere, plin de avnt i energie. Chiar i pentru ei ar fi utile unele noi informaii ! Dar ei nu vor pe gratis, CI Ador s cumpere inteligen

Aa cum facil se poate observa din figura 0, fiecare curb circular excentric are o alta lungime. Lungimea minima este a cercului centric, de s = 0, egala cu 2R, iar lungimea maxim este a ptratului, de s = 1, egal cu 4 x 2R = 8R

Sa notm lungimea excentricelor circulare cu funcia = (s, R). Ea variaza, n cazul excentricelor circulare, de la 2R la 8R.

O alt funcie, pe care o notm cu , reprezint lungimea raportat la diametrul cercului 2R, sau la diametrul excentricei de s = 0, astfel c

=

= (s) [ = 3,1415 ; 4]

Existnd mai multe posibilitai de transformare a cercului, prin utilizarea noilor funcii super-matematice circulare excentrice i nu numai, nu numai n ptrat, ci i in triunghi, precum i n multe alte forme, aa cu se va prezenta n continuare, vor exista i mai multe tipuri de funcii . Inainte de a vedea ce-i cu PI MARE (), vom prezenta unele istorii despre pi mic (), culese de pe internet i prezentate n continuare, n cadrul introducerii.

Tdeauna matematicienii au intrebuintat INTRODUCERE

Aflm de pe http://www.almeea.com/misteriosul-numar-pi c matematicienii noteaz raportul

dintre circumferina unui cerc i diametrul su prin litera greceasca Pi (n.n. ), care reprezint iniiala cuvintelor din aceeai limb perimetros (perimetru) i periferia (periferie), folosite de Arhimede n lucrarea sa despre cerc.

Pn aici nimic nou, n limba romn au acelai neles.

Dar nu ntotdeauna matematicienii au intrebuinat litera Pi (n.n. ), pentru a reprezenta raportul dintre circumferin i diametrul cercului. El a fost introdus abia n secolul al XVIII-lea, i atunci, nu de ctre toi matematicienii, care pentru a marca acest raport foloseau litera p.


Litera greceasca Pi (n.n. ) a fost folosit n geometrie pentru prima dat de Isaac Barrow (1630-1677) n lucrarea Lecii inute n coala public a Academiei din Cambridge, de W. Oughtred n Matematica recreativ, pentru a nota, ns, lungimea cercului. Abia spre sfritul secolului al XVII-lea, cnd rapoartele au fost asimilate cu numere, a

nceput s fie folosit Pi (n.n. ) n sensul de astzi. Cel dinti matematician care l-a folosit pe Pi (n.n. ) pentru a-l nota pe 3,14 a fost W. Jones (1675-1749), n anul 1706, apoi Cristian Goldbach (1690-1764), n anul 1742.

Celebrul matematician elveian Leonhard Euler (1707-1783), membru al Academiei de tiinte din Petersburg, mai intrebuina prin 1734 litera p pentru a nota raportul dintre lungimea cercului i diametrul su, apoi, civa ani mai trziu litera c, pentru ca, n lucrarea Introducere n

analiza infiniilor, publicata n 1748, s adopte definitiv litera greceasca Pi (n.n. ) i, datorit lui, acest simbol a intrat definitiv n uzul general al matematicienilor.

In aceast parte, contribuia autorului consist n introducerea notei noastre, adica (n.n. ). Oare ce se va scrie, peste veacuri, despre funcia PI MARE, adic (s) ? dintre

circumeDescoperirea lui, a numrul Pi (n.n. ), a fascinat filosofii i oamenii de tiin. Dar raportul, pe care l preprezint Pi (n.n. ), acela dintre circumferina unui cerc i diametrul su, nedumerete, ntruct valoarea acestuia 3,14159265 - pare s se intinda la infinit.

Nu pare, ci chiar este.. Oamenii de tiin, care au descoperit c numrul poate s aib miliarde de cifre dup

virgul, cred c, a gsi valoarea exact a lui Pi (n.n. ), poate da la iveal multe din secretele universului, ne informeaza profesorul David Blatner n paginile BBC News.

In general, toat lumea tie c valoare lui Pi (n.n. ) este 3,14 i c numrul are un mister aparte legat de el, dar un simplu student la matematic tie foarte bine c valoare exact a numrului este, dac nu imposibil, cel puin extrem de greu de stabilit. Se fac chiar i concursuri de memorizare

a cifrelor pe care le prezinta Pi (n.n. ) dupa 3,14 n Timioara, acest concurs a avut loc, aa cum s-a mai spus, n anul 1958, toamna. De reinut

pentru statistici i clasamente ! N-are mare importan ca el a fost ctigat de autor. El a mai ctigat i urmtoarele :

concurs de Inteligen, organizat de viitoarea rector al IPTVT, n tabara studeneasc de iarn de la Muntele Mic,

dou zone de gimnastic, de la Timioara (1953) i Braov, ca elev la Liceul de Biei (Aa s-a numit atunci, acum HCC) din Alba-Iulia,

concursuri de atletism (100 m plat- aa se numea pe atunci plat. Nici acum nu pricep/ineleg de ce plat ?), tafeta 4 x 100m, tot plat vice campioni naionali universitari !- greutate i disc campion universitar pe zona inut la Timioara, pentru calificare la Naionale le de la Bucureti

- not, ski, patinaj

de fotbalce s mai vorbim.. Spartak Alba-Iulia PTTR Timioara Selecionata de tineret a oraului Timioara din anul 1955!) Victoria Clan Cucuruzul (?) Sat Chinez (ca student, mpreun cu muli ali colegi de an, dintre care Valeriu Duhovnicu, laureat al Festivalului de Prestidigitaie i Iluzionism de la Moscova, fost angajat al Circului de Stat din Bucuret, ca anternor !) UMTimioara Politehnica Timioara, un singur meci n divizia A n 1963 n care a marcat 4 goluri contra Reitei (scor 8-1) muli ani cpitan al echipei de fotbal a Facultii de Mecanic,

si chiar un Concurs de Dans (cu premii !) organizat cu ocazia aniversarii a 75 de ani a colii Politehnice din Timioara, n holul Casei de Cultur a oraului Timioara.

Wikipedia, s-a reinut ? Misterioasa constant

Pi (n.n. ) este de fapt cea de-a 16 liter din alfabetul grecesc, fiind cea mai cunoscut i mai

misterioas constant din lume. Cu toate c Pi (n.n. ) este un numr, importana lui ntrece cu mult


cadrele stricte ale geometriei, iar oamenii de tiin pur i simplu au mari dificulti n a inelege cum, ceva att de fundamental, pentru domeniile matematicilor i al tiinelor n general, poate fi att de dificil de cunoscut. Pur i simplu, este aproape imposibil de cuprins acest numr, care parc se intinde la infinit. Matematicienii spun c n vreme ce n matematic exist multe numere lungi, Pi (n.n.

) este singurul n care o figur att de simpl precum cercul se dezvluie printr-o valoare att de complex.

Istoria lui Pi

Peste 3.500 de ani omenirea a ncercat s rezolve misterul lui Pi (n.n. ), problem care s-a dovedit a fi analog cu ncercarea de a nghesui un cerc ntr-un ptrat. Orict de mult au ncercat, oamenii de tiina n-au putut ajunge dect la aproximaii.

Pn la apariia supermatematicii !! Vezi figura 1 !Nu-i chiar aa de nghesuit! n Grecia Antic, marele matematician Arhimede a lucrat din greu pentru a gsi valoarea

exacta a lui Pi (n.n. ), dar nu a reuit s descopere dect cteva numere din ir. n secolul XVII, matematicianul Ludolf van Ceulen a murit n 1610 dup mai muli ani de cercetri ale cror rezultate au dus la descoperirea a abia 35 de cifre dupa virgul.

Mult mai puine dect am reuit eu s memorez ! n 1873 William Shanks a anunat c a reuit stabilirea a 707 cifre dupa virgula lui Pi (n.n.

) dup ani buni de munc asidu, pentru ca apoi s se descopere ca abia 527 dintre ele erau exacte, restul fiind greite. Mai recent, un cercetator japonez a reuit s calculeze pe computer n 2002

valoarea lui Pi (n.n. ) i a ajuns la 1,24 trilioane de cifre ale misteriosului numr. Ce-ar fi s se descopere c cifra 1 000 000 000 000, adic cea de la un trilion, este

eronat / greit ?! Pentru a nelege enormitatea i ciudenia acestui numr nu trebuie s ne gndim dect la

faptul c i un astrofizician, care caut s msoare galaxiile, chiar nu ar avea nevoie de mai mult de

10-15 cifre pentru precizie, pe cand Pi (n.n. ) a depit de mult orice ncercare de a-l determina. Matematicienii caut, acum, s gseasc un indiciu, o recuren n intreaga structur a

numrului de genul: mai muli de 4 dect de 7 pentru a-i da de capt, ceea ce ar duce la o revoluie n modul n care nelegem universul.

Nu cred c aceast idee prosteasc aparine sau a fost debitat de un matematician ! i nici de un inginer ! Nu cred ! Pi, ce-i infinitul ? Locul n care se ntmpl ce nu se poate ntmpla ! Fiind o

infinitate de cifre, nu exist o ultim cifr, deci nici o cifr final a lui , deci nici ! Ca urmare

cifrele lui nu pot fi cunoscute ! Atunci, cum poi face o statistic a mrimilor necunoscute. Se cunosc operaii matematice cu mrimi vagi, neclare, estompate (fuzzy), introduse de

Prof. Lotfi Zadeh de la Universitatea Californiei din Berkeley. Se mai cunosc, de curnd, mrimi contradictorii, rezultate ca o generalizare a Teoriei

Dempster-Shafer (TDS) a evidenei, prin Teoria Dezert-Smarandache (TDSm) a raionamentului plauzibil i paradoxist care permite combinarea formal a oricrui fel de informaii: certe, incerte, paradoxale. Ea, teoria TDSm, a fost dezvoltat de francezul Jean Dezert i de americanul de origine

ramn Florentin Smarandache . Dar aceste mrimi, aa sau altfel, exist! Numrul ca i cifrele care-l alctuiesc, sunt mrimi. Teoriile sau metodele anterior amintite

pot opera cu fel de fel de mrimi, cu singura condiie ca ele s existe, s fie cunoscute integral. Cu necunoscute nu poate face statistic nici Dumnezeu, pentru ca exista o vorb S nu te

sprijini Doamne, dact pe ce exist i rezist ! Poate Florentin Smarandache s reueasc, deoarece el e adeptul dictonului Totu-i posibil,

chiar i imposibilul Am glumit ! QED. Aplicaii In ciuda nenumratelor ncercri de a dezvlui misterul numrului, acesta continu s

frustreze. n secolul XIX, matematicienii au artat c el este infinit i c, deci, nu poate fi definit,


surprins, adic limitat de un numr finit. Cu toate acestea, unii matematicieni tot nu s-au dat batui i cred c numrul poate fi totui gsit orict de lung ar fi el.

Orict, chiar i infinit ? Ei , asta-i bun ! Pi ce spuneam anterior ?! Pi apare peste tot: n matematici, n ecuaii care nu au nimic de-a face cu cercurile, iar n

tiin, n general, Pi este nelipsit cnd este vorba de a msura orice, (chiar orice ?) de la valurile oceanelor la economia statistic. De asemenea, el poate fi gsit n msuratorile marii pieramide egiptene Giza i chiar n Vechiul Testament cnd sunt descrise msuratorile templului lui Solomon.

Ei, aa da !

Ce e cu numrul Pi?

Noi cunoatem azi drept valoare pentru Pi (n.n. ) numarul 3,141.592.653, dar, n decursul istoriei, valoarea lui nu a fost ntotdeauna aceeai, ci a variat fa de acest numr, n funcie de

epoca, zon geografic i popoare. Vechile valori ale lui Pi (n.n. ) au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale de (prin) ncercri. Astfel, se lua pur i simplu o sfoar i se nconjura cu ea un cilindru, dup care se msurau lungimea ei i diametrul cercului. Ceea ce ieea (ctul) ,din aceast

mprire, era valoarea lui Pi (n.n. ), dei n acea vreme, aa cum s-a artat, acest raport nu se nota cu aceast liter. Cea mai veche valoare a raportului dintre circumferin a cercului i diametrul su a dat-o scribul egiptean Ahmes n jurul anului 1.800 i. Chr., n Manualul lui Ahmes, aflat pe papirusul Rhind. Ea este de 3,1604, mai mare dect valoarea real cu aproximativ 0,0188, rezultat care este insa mult mai apropiat de valoarea sa reala, fa de rezultatul obinut mult mai trziu de Arhimede.

i mult mai mare dect -ul englo-americano-rus, eventual, n viitor, chinez !

Fig. 1 Ptrat i cerc de perimetru i, respectiv, lungime egale, dar nu i congruente.

Pi-ul la egipteni, evrei, greci, romani i..romni

Egiptenii mai obineau valoarea lui Pi (n.n. ), folosind raportul dintre perimetrul ptratului de la baza piramidei lui Keops i dublul nlimii acestui monument, rezultatul fiind de 3,1415982.

Ca s vezi i s nu crezi: foloseau ptratul ca s msoare lungimea cercului ! De unde tiau ei c ptratul i cercul sunt curbe nchise de acelai gen, doar de excentriciti

liniare diferite ? C supermatematic, pe atunci, nu se cunotea. Sau? S fi avut premoniie ?


Dm, n figura 1, ptratul a crui perimetru este egal cu lungimea cercului unitate / trigonometric, de raz R = 1.

nc din antichitate, matematicienii au ncercat s rezolve aa-numita problem a cvadraturii cercului, adic s construiasc un ptrat care s aib aria egal cu a unui cerc dat, folosind numai compasul i rigla, dar pentru aceasta le trebuia (cunoscut) valoarea exact a lui Pi. Prin descifrarea unor tabele scrise pe tblie de lut, descoperite n 1950, de M. Bruius, la Susa, n Iran, rezulta c, n

urm cu 2.000 de ani i. Chr., babilonienii calculasera pentru Pi (n.n. ), valoarea de 3,125, cu 0,0166 mai mic dect valoarea data de Isaac Barrow (1630-1677) n lucrarea Lecii inute n coala

public a Academiei din Cambridge i cu 0,005 mai mic dect Pi (n.n. ), romnesc. n fine, nu suntem chiar ultimii, ca n alte clasamente.

Citete mai mult, nu despre clasamente, ci despre Pi (n.n. ), pe: http://stiri.acasa.ro/auto-tehno-190/it-c-191/misterul-lui-pi-70754.html#ixzz2HlTjQ5XP

NUMERE IRAIONALE EXCENTRICE ( , , , Q ) Prin apariia matematicii excentrice (extraordinare) care, mpreun cu matematica centric

(clasic, ordinar), adic prin reunirea lor, formeaz ceea ce s-a numit supermatematic, toate obiectele matematice au fost multiplicate de la unu la infinit.

Asta s-a mai spus ! Dar repetiia e mama nvturii ! Astfel, unui anumit cerc, din domeniul centric, de o raz R dat, i corespund, n domeniul

excentric, o infinitate de cercuri excentrice denumite excentrice circulare, infinitate corespun-ztoare infinitii punctelor din plan n care poate fi plasat punctul E(e,), denumit excentru, sau ex-centru, ntr-un cerc oarecare de raz R, sau S(s, ) ntr-un cerc unitate de raza R = 1, denumite astfel pentru c a fost expulzate din centrul O(0,0) al cercului C(O,R) i CU(O,1) i, totodata, din originea O(0,0) a unui reper cartezian drept i/sau polar.

Odat cu multiplicarea la infinit a cercului, prin descoperirea excentricelor circulare , numrul [2, 8 ] s-a dovedit a fi doar o valoare a acestui raport, pentru una dintre excentricele circulare, i anume, cea de excentricitate numeric s = 0, adic = (s = 0) = (s = 0), care aparine, deci, domeniului centric.

Excentrice circulare degenerate i cercul

Fig. 2 Excentrice circulare cvadrilobe de raport

Mulimea de valori, ca raport dintre circumferina excentricelor circulare, care difer ca form

i lungime n funcie distana excentrului E(e,), fa de originea i centrul cercului o(0, 0) adic, de excentricitatea liniar real e , sau numeric liniar s i de poziia lui, adic de excentricitatea unghiular , ct i de diametrul R al cercului, nu mai este o constant, ci este funcia , sau .

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0


ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[x ArcSin[0.1 u

Sin[x]]],Cos[x+Pi/2+ArcSin[0.1 u Sin[x Pi/2]]]}, {u,0,10}],

{x,0,2.02 Pi}]]

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[x-ArcSin[0.1 u

Sin[x]]],Cos[x-Pi/2-ArcSin[0.1 u Sin[x Pi/2]]]}, {u,0,10}], {x,0,2.02 Pi}, Axes None]]

Fig. 3 Excentrice circulare de cosinus excentric cu rapoarte ]

Fig. 4 Excentrice circulare de sinus excentric

cu rapoarte ]


Valoarea tuturor acestor funcii, n punctul de abscis sau pentru excentricitate s = 0, este cifra

!. Valoarea minim a lui , cnd excentrica circular se prbuete peste diametrul cercului

unitate este m = 2 (Fig.2 centru). Valoarea maxim, pentru s [-1, 1] i = 0, este M = 4 = 42/2 i aparine excentricei circulare

degenerat ntr-un ptrat perfect (Fig. 2), ptrat obinut pentru excentricitatea numeric s = 1. Excentricele circulare, din prile laterale ale figurii 2, n stnga, de acelai diametru

i n dreapta de raze variabile R = s, sunt descrise de funciile cosinus R.coqx i sinus R.siqx cvadrilobe , prin ecuaiile parametrice cunoscute

(4)

n care R = 1 i au aceleai rapoarte Q cuprinse n domeniul (5) Q = [2; ( = 3,1415); 4]

a)

b)

c)

d) d)

Cerc parcurs de 5 ori cu FCC = 5., [0, 2],

Cerc parcurs de 2 ori cu FSM cvadrilobe, = 2. , [0, 2],

Fig. 5 Cercuri parcurse de mai multe ori

Cu ecuaiile (4) se obin excentricele circulare cu centrul de simetric plasat peste originea O(0,0),

iar cu FSM-CE derivate excentrice (dex)

(4)

se obin aceleai excentrice circulare, dar de raze variabile R = e, plasate cu centrul de simetrie H n punctul H(1,1).

Excentricele circulare din figura 3 sunt descrise prin ecuaii parametrice de funciile super-matematice circulare excentrice (FSM-CE) cosinus excentrice

(6)

i cele din figura 4 de funcii sinus excentrice din ecuaiile parametrice

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0


(7)

[0, ]

[, 2]

[0, ]

[, 2]

[0, 2], = + 4 [0, ] i [0, 2] [0, 2], = + 8 [0, ] i [0, 2]

Fig. 6,a Lungimea (perimetrul) unor excentrice cvadrilobe format din arce de cerc asociate cu segmente de linii drepte (diagonale)

Acestea au drept limite extreme ale lui ] i, respectiv, ] , dou numere iraionale dintre cele mai cunoscute.

Fig. 6,b Zece tipuri de lauegrame

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0 0.5 0.5 1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5


= coq[2, S(s = 0,2, = 0 )]-0,001x, [0, 20]

= coq[4, S(s = 0,5, = 0 )]-0,001x, [0, 20]

= coq[2, S(s = 0,98, = 0 )] 0,001x, [0, 20]

= coq[2, S(s = 1, = 0 )] 0,001x, [0, 20]

Fig. 7 Lungimea (perimetrul) unor excentrice cvadrilobe format din linii curbe cu valori ridicate ale raportului (lungime /diametru) pentru cvadrilobe i polilobe (8)

Dac, n toate cazurile, valoarea minim m = 2 este un minim absolut, adic un minim-

minimorum, nu acelai lucru se ntmpl cu valoarea maxim M = 4, care nu este un maxim maximorum. De fapt, nici circumferina cercului nu este ntotdeauna 2, ci poate fi un multiplu de 2.

De exemplu, ecuaiile parametrice

(8)

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5


reprezint tot un cerc (Fig. 5,a) care este parcurs de 5 ori i, ca s devin evident acest fapt, s-a dat o deplasare a centrului cercurilor pe axa x (Fig.5,b). n acest caz, rezult c = 5. Este interesant faptul c, dac FSM cvadrilobe, n ecuaii parametrice, pentru s = 1, reprezint un ptrat perfect (Fig. 2), n ecuaii polare, pentru aceeai valoare a excentricitii numerice s = 1, ele reprezint un cerc (Fig. 5, c i d), dat de ecuaia polar (9) = R.coq[, S(s = 1, = 0 )] i/ sau = R.siq[, S(s=1, = 0 )] pentru R = 1 i [0, 2Pi]. Dac, n ecuaiile (11) se introduce un argument multiplu, sau/i acesta realizeaz mai mult de o singur rotaie, atunci se obin cvadrilobele din figura 6 a cror raport , dintre lungimea cvadrilobei i diametrul cercului unitate, este cu mult mai mare dect 4.

Pentru 2 - cazul din stnga- este = + 4; cele dou diagonale sunt parcurse de dou ori n sensuri diferite, iar n cazul din dreapta figurii 6,a pentru 4 , = + 8, cele 8 diagonale sunt parcurse de dou ori n sensuri diferite.

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[4 Pi x + ArcSin[0.1 u Sin[4 Pi x]]],Sin[5 Pi x-Pi/2 + ArcSin[0.1 u Sin[5 Pi x Pi/2]]]},

{u,0,10}], {x,0,2 Pi}]]

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Sin[4 Pi x+ ArcSin[0.1 u Sin[4 Pi x]]],Sin[5 Pi x-Pi/2+ArcSin[0.1 u Sin[5 Pi x Pi/2]]]}, {u,0,10}],

{x,0,2 Pi}]]

Fig. 8 Lungimea (perimetrul) unor curbe polilobe degenerate cu valori extrem de ridicate ale raportului (lungime /diametru)

Se pare c acest raport poate fi fcut orict de mare se dorete, sau, altfel spus, valoarea maxim

maximorum este MM . Tinde, dar nu cred c se ajunge chiar pn acolo, unde totu-i posibil. Cnd e posibil ? Dup un timp infinit, adic niciodat ! !

n figura 6,b sunt prezentate, pentru comparaie, lauegramele din lucrarea [Metode difractometrice de analiz structural : library. Utm. Md/ lucrari/ Tipografia / Samusi]. n figura 7 s-a dat o deplasare a cvadrilobelor pe direcia x, pentru a se evita suprapunerea

curbelor i n figura 8 sunt redate cvadrilobe de 4 i 5, [0, 2] cu un raport M i mai nalt i care

putea fi fcut i mai mare dar, n acest caz, curbele devin neclare.


C O N C L U Z I I

Pentru a determina curba (s) ar fi necesar s se poat rezolve integrala

(10) =

=

=

care d lungimea curbelor nchise, denumite excentrice quadrilobe (cvadrilobe), ca funcie de valoarea s a excentricitii liniare numerice.

Lungimile cvadrilobelor (s) i valorile funciei PI MARE (s) Tabelul 1

s Desenul sfertului de excentric circular

Lungimea excentricei

(s)

Valoarea funciei

(s)

0,0

2 = 3,1415926535897932384

0,1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0.99 8,0000000000000000 4,0000000000000000

Lungimile specifice ale excentricelor cvadrilobe, funcia (s)

www.SuperMatematica.com www.eng.upt.ro/mselariu www.SuperMatematica.org

Pentru s = 0, adic pentru cercul centric sau propriu-zis, se obine ceea ce se tie deja c

= 2 i (0) = i, la fel, pentru s = 1 = 8 (0) = 4, aa cum se poate observa i n tabelul 1.

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

3.0

3.5

4.0


Un absolvent de-al autorului, excelent programator, a avut ca tem a Lucrii sale de Diplom, pentru obinerea titlului de inginer TCM, printre altele i realizarea unui program de calcul i vizualizare a graficelor unor funcii supermatematice circulare excentrice, programe denumite de el Realan 10, Realan 11 i Realan 12. Apoi i-a infiinat firma proprie BILASOFT. El a fost cooptat imediat dupa absolvirea facultii de o firm din Anglia, de unde, dup civa ani, a fost racolat de NASA. ntre timp i-a dat i doctoratul n Romania i a ajuns campion de GO n USA.Pentru c s-a ludat c ei au programe de rezolvare a orice cu un milion de zecimale, dac vreau, l-am rugat s incerce s rezolve simbolic sau numeric integrala (10). Rspunsul a fost Nu d, probabil trebuie s mearg trivial n Mathematica .

Trivial, ne trivial, cu Mathematica 8 a lui Stephan Wolfram s-a reuit s se rezolve integrala numeric, ca de exemplu, pentru s = 0,5 (11) NIntegrate[Sqrt[Cos[t]^2/(1-(0.5 Sin[t])^2)+ Sin[t]^2/(1-(0.5 Cos[t])^2)],{t,0,2Pi}]

6.50302 6.503024126994568 /`2 3.25151

Ceea ce se poate vedea i n tabelul 1, n care, integrarea n domeniul s [0, 1] a fost realizat cu pasul 0,1. Apoi s-a ridicat graficul cu comanda (12) ListLinePlot[{{0,0},{0,3.1415},{0.1,3.1455},{0.2,3.15756},{0.3,3.1783},{0.4,3.2089},{0.5,3.2515},{0.6,3.30950},{0.7,3.38993},{0.8,3.5045},{0.9,3.6935},{1,4}},

GridLinesAutomatic,PlotStyleThick,Mesh20,MeshShading{Red,Yellow,Blue}] Din ecuaiile parametrice ale excentricelor circulare cquadrilobe, din relaia (4), se observ

imediat c i pentru s [-1, 0], sau s > 0 dar = , ceea ce este acelai lucru, se obin aceleai cvadrilobe, deci, de aceai lungime ca i pentru s > 0.

n consecin, alura curbei funciei PI MARE (0) este simetric fa de axa y, i are o tangent orizontal n punctul T(0, ) la curba (s), aa cum se poate observa n figura 9.

Fig.9 Lungimile excentricelor cvadrilobe (s) i graficul funciei PI MARE (s)

pentru un excentru S(s [0,1], = 0) i pentru S(s [-1, 1] , = )

www.SuperMatematica.com www.eng.upt.ro/mselariu www.SuperMatematica.org

N-ar fi exclus ca i alte aa-zise i considerate constante s se dovedeasca c, de fapt, sunt valorile n anumite puncte pentru anumite funcii matematice. Adic, s fie cazuri asemantoare cu a misteriasei constante Pi.

Ceva asemnator a mai fost prezentat n lucrarea M.E. elariu SPAIUL MATEMATICII CENTRICE (ME) I SPAIUL MATEMATICII EXCENTRICE (ME) cu privire la factorul Lorentz, ceea ce se poate observa, n rezumat, i n figura 10.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

3.4

3.6

3.8

4.0

1.0 0.5 0.5 1.0

3.4

3.6

3.8

4.0


Factorul Lorentz centric (s), constant pentru un anumit s i factorul Lorentz excentric E (s, ), variabil n funcie de pentru un anumit s

E , =

E =

Variaia unitii de lungime L datorit contraciei, n cele dou cazuri

(s =

) E (s, )

Fig. 10 Factorii Lorentz centric i excentric E

BIBLIOGRAFIE

[1] elariu, Mircea Eugen MATEMATICA ATOMIC .METODA DETERMINRII SUCCESIVE A

CIFRELOR CONSECUTIVE ALE UNUI

NUMAR

www.cartiAZ.ro, pag.4

[2] elariu, Mircea Eugen CIFRELE, PARTICULELE ELEMENTARE ALE NUMERELOR

www.cartiAZ.ro, pag.1

[3] elariu, Mircea Eugen INTERSECII N PLAN www.cartiAZ.ro, pag.4

[4] elariu, Mircea Eugen SUPERMATEMATICA.FUNDAMENTE. Vol I, Ed iia a 2-a

Ed.Politehnica, Timioare, 2012

[5] elariu, Mircea Eugen SUPERMATEMATICA.FUNDAMENTE. Vol II, Edi ia a 2-a


[6] elariu, Mircea Eugen FUNCII CIRCULARE EXCENTRICE Com. I Conferina Na ional de

Vibra ii n Construcia de

Maini, Timioara , 1978,

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0


pag.101...108.

[7] elariu, Mircea Eugen FUNCII CIRCULARE EXCENTRICE

i EXTENSIA LOR.

Bul .St.i Tehn. al I.P. TV

Timioara, Seria Mecanic,

Tomul 25(39), Fasc. 1-1980,

pag. 189...196

[8] elariu, Mircea Eugen

SUPERMATEMATICA Com.VII Conf. Internat. de Ing.

Manag. i Tehn.,TEHNO95

Timioara, 1995, Vol. 9:

Matematica Aplicat,.

pag.41...64

[9] elariu, Mircea Eugen

SUPERMATEMATICA.FUNDAMENTE.


Timioara, 13 ianuarie 2013

www.supermathematica.com

www.supermathematica.org www.supermatematica.ro

www.eng.upt.ro/~mselariu

www.cartiaz.ro

DEZLEGAREA MISTERULUI NUMĂRULUI π.pdf

Documents

Transcript of DEZLEGAREA MISTERULUI NUMĂRULUI π.pdf