Destinul tragic al lui Ahile Chira Adrian

Introducere

Unele din întrebările care au frământat mintea omenească încă din cele mai vechi timpuri şi continuă şi astăzi sunt cele legate de paradoxurile lui Zeno din Elea, care vor fi analizate în continuare, în special paradoxul cu Ahile şi broasca ţestoasă.1 Teza acestei lucrări este aceea că mişcarea continuă (elementul esenţial al paradoxurilor) este imposibilă. Paradoxurile lui Zeno reprezintă punctul de interferenţă dintre mai multe domenii – filosofie, matematică şi chiar şi fizică. Întrucât ele par să arate o contradicţie în faptul existenţei mişcării (fapt incontestabil dat de către simţuri prin experimentarea lumii fizice) mulţi au încercat să <rezolve> paradoxurile, arătând că paradoxul sau contradicţia implicată de ele sunt doar aparente. Unii au pus la îndoială chiar şi cunoştinţele matematice ale lui Zeno. A. N. Whitehead, de exemplu, spune următoarele:

<În paradoxul său ‘Ahile şi broasca ţestaosă’ Zeno construieşte un argument invalid care se bazează pe ignoranţă în ceea ce priveşte teoria seriilor numerice convergente... Zeno ... presupune ilegitim că seriile infinite de acte de devenire, având un prim act şi fiecare având un succesor imediat, este inepuizabilă în procesul devenirii. Simple elemente de aritmetică ne asigură că seriile indicate anterior2 vor fi epuizate in timp de o secundă... Astfel, paradoxul lui Zeno se bazează pe o greşeală de matematică.>3

I. Clarificarea conceptelor

A. Distincţia dintre mişcarea continuă şi mişcarea

cuantificată

Trebuie făcută însă o precizare. Este adevărat că paradoxurile lui Zeno nu implică o contradicţie reală între faptul existenţei mişcării şi percepţiile noastre cu privire la ea. Ele implică însă o contradicţie reală între o anumită formă a mişcării, şi anume, cea continuă, şi percepţiile noastre. Se pare că nici chiar Zeno nu a făcut această distincţie suficient de clar sau cel puţin lucrul acesta nu reiese din felul în care el a interpretat paradoxurile, şi anume, că ele exclud existenţa schimbării (de orice fel). Zeno, ca şi alţii de altfel, nu a făcut distincţie între schimbarea continuă bazată pe divizibilitatea la infinit şi cea cuantificată bazată pe unităţi elementare indivizibile.

B. Distincţia dintre lungimea finită a unei serii şi

caracterul ei infinit

Mai întâi trebuie clarificate unele concepte. Procesele sunt de două feluri – ciclice şi neciclice sau unidirecţionale. Cele din a doua categorie se împart în procese crescătoare care

1 Să presupunem că Ahile fuge de zece ori mai repede decât broasca

ţestoasă. Broasca ţestoasă se află iniţial la 10 m înaintea lui Ahile. Acesta fuge cei 10 m dar între timp broasca care fuge de zece ori mai încet fuge un metru. Ahile fuge şi acest metru dar broasca între timp fuge o zecime de metru şi aşa mai departe astfel încât întotdeauna va fi cu puţin înaintea lui Ahile şi acesta nu va putea niciodată să o ajungă. Paradoxul stadionului este similar. Se afirmă că nu se poate parcurge distanţa între două puncte (ale unui stadion) întrucât mai întâi trebuie parcursă jumătate din această distanţă, apoi jumătate din distanţa care a rămas şi tot aşa la infinit.

2 Whitehead a luat în considerare un exemplu în care primul element al seriei se desfăşoară într-o jumătate de secundă, următorul într-un sfert de secundă, şi în contunuare la infinit.

3 A. N. Whitehead, Process and Reality, New York, The Free Press, 1969, pag. 85

tind spre infinit şi procese descrescătoare care tind spre zero. Repetarea la infinit a unui proces, în cazul în care este posibilă în realitate, nu are nici un efect asupra unui proces neciclic dar epuizează un proces unidirecţional. Procesele infinite sunt de două feluri – unele care se bazează pe multiplicare (sunt procese crescătoare) şi care duc la infinit iar altele de divizare (sunt procese descrescătoare) care duc la inversul infinitului, adică la zero (0 ˆ 1/∞). Este important să facem această distincţie pentru că unii tind să o piardă din vedere. Este evident că procesul la care se referă Zeno este unul de divizare. Când Whitehead vorbeşte despre teoria seriilor numerice convergente infinite şi spune că o astfel de serie infinită de intervale de timp va fi epuizată într-un timp finit pune în contrast intervalul finit, rezultatul sumei infinităţii de intervale care formează seria, cu un interval infinit ca şi cum Zeno le-ar fi confundat şi ar fi crezut că rezultatul sumei ar fi un interval infinit (doar un astfel de interval nu poate fi <epuizat>). Acelaşi lucru pare să indice şi analiza lui Aristotel cu privire la paradoxurile lui Zeno. Nu cred însă că Zeno a făcut o astfel de greşeală evidentă. Procesul care produce această serie infinită este un proces de diviziune şi nu de multiplicare. Seria ar fi fost infinită dacă procesul ar fi fost unul de multiplicare. Oricum, indiferent de ce a crezut Zeno, paradoxurile lui4 prezintă o contradicţie reală. Negarea valabilităţii contradicţiei rezultă dintr-o înţelegere greşită a paradoxurilor.

Paradoxurile nu se axează pe numărul infinit sau pe o lungime infinită ci dimpotrivă pe numărul zero în contrast nu cu infinitul ci cu unitatea. Problema pusă de paradoxurile lui Zeno nu este extinderea sau lungimea intervalelor seriei infinite, dacă aceasta este finită sau infinită. Nu se încearcă să se arate că suma intervalelor este infinită şi nu poate fi parcursă. Paradoxurile lui Zeno pun sub semnul întrebării nu posibilitatea parcurgerii unei lungimi infinite ci, dimpotrivă, a unei lungimi finite. Mai exact, paradoxurile pun sub semnul întrebării posibilitatea parcurgerii unei distanţe finite printr-un anumit tip de mişcare, şi anume, mişcarea continuă (atunci când mişcarea este cuprinsă din zerouri, din intervale nule, ceea ce înseamnă că spaţiul şi timpul în care se produce schimbarea sunt divizibile la infinit).

Dacă Ahile poate să <epuizeze> sau să parcurgă intervalul până la broasca ţestoasă atunci în mod sigur o va face într-un timp finit dar aceasta nu poate constitui dovadă că o

4 Face excepţie paradoxul celor trei şiruri de obiecte dintre care unul

este în repaus, altul este în mişcare într-o direcţie iar celălalt este în mişcare în direcţia opusă, paradox care duce la concluzia că un interval de timp este egal cu dublul său. Acest lucru apare contradictoriu doar dacă considerăm timpul independent de viteză şi spaţiu. Dacă însă, definim unitatea de timp în funcţie de o anumită viteză şi de unitatea de spaţiu, o modificare a vitezei sau a unităţii de spaţiu va duce la o modificare a unităţii de timp. Să considerăm că şirul A se mişcă într-o direcţie cu viteza v, şirul B este în repaus iar şirul C se mişcă cu viteza v în direcţie opusă şirului A. În timp ce şirul C trece de o unitate din şirul B, el trece de două unităţi din şirul A. Şirul B raportat la şirul C se mişcă cu viteza v în sens inver şirului C iar şirul A se mişcă cu viteza v în sens opus şirului C pe lângă mişcarea pe care o are şirul B (care este în repaus raportat la el însuşi sau se mişcă cu viteza v în sens opus lui C dacă este raportat la C). Aşadar, şirul A raportat la şirul C se mişcă cu viteza 2v în sens opus lui C. Deoarece şi spaţiul şi viteza sunt dublate timpul rămâne la fel şi nu se dublează. Dacă considerăm viteza constantă vom avea într-adevăr o dublare a timpului la fel cum se produce dilatarea timpului în teoria relativităţii, fără ca acest lucru să fie contradictoriu. Celelalte paradoxuri arată imposibilitatea mişcării continue şi sunt valide iar acesta intenţionează să arate imposibilitatea mişcării cuantificate şi este invalid.

2poate face – ar fi un cerc vicios. Este evident că o distanţă finită poate fi parcursă, acest lucru ne este dat de către percepţiile şi experienţele noastre în lumea fizică. Dar, nu este evident sau nu poate fi cunoscut apriori că parcurgerea unei distanţe finite este rezultatul unei mişcări continue şi nu a unei mişcări cuantificate (în care există intervale elementare indivizibile). Neputinţa de a parcurge această serie infinită nu derivă din faptul că seria este infinită (lucru care, evident, este fals, seria fiind finită) ci din caracterul parcurgerii – este vorba de parcurgere bazată pe divizibilitatea la infinit, este vorba de mişcare continuă, din punct în punct (punctul fiind caracterizat de faptul că are lungimea zero). Imposibilitatea de a parcurge intervalul finit5 nu se bazează pe şi nu are nimic de a face cu lungimea seriei care formează intervalul (care este totuşi un interval finit) ci se bazează pe caracterul insaţiabil al

infinitului. Acest caracter este independent de timp. El reprezintă de fapt o relaţie matematică şi nu una fizică dependentă de timp (desigur că această relaţie matematică fiind generală poate fi aplicată la cazuri fizice particulare, cum ar fi mişcarea în timp şi spaţiu).

C. Distincţia dintre lumea matematică şi lumea fizică (Comentariile din această secţiune vor deveni mai relevante în

lumina discuţiei din secţiunea II.C �edeterminarea implicată de

unitate.) Mai trebuie făcută o distincţie – între lumea matematică şi

lumea fizică. Lumea matematică este în afara timpului şi în ea nu există mişcare.6 Ea este o lume imaginară şi există în principiu. Lumea matematică este construită de către noi. Putem oricând să luăm o unitate mai mică sau mai mare decât cea pe care o avem (fără să ajungem niciodată la unitatea zero sau la infinit). În matematică, pentru a putea produce schimbare (pentru a putea să aplicăm matematica la lumea fizică în care există shimbare) este necesar să luăm o unitate finită nenulă (să numim această cerinţă principiul finitudinii). Altfel, de exemplu dacă unitatea este nulă, atunci orice interval finit are aceeaşi lungime – un număr infinit de unităţi (care sunt nule) – şi, prin urmare, toate punctele diferite de origine se află la aceaşi depărtare faţă de origine. În acest caz schimbarea nu mai are sens. Dacă luăm o unitate finită nenulă putem cu ajutorul ei să producem schimbare.

Pe de altă parte, această unitate finită nenulă poate fi oricât de mare sau de mică (să numim afirmarea acestei posibilităţi principiul infinităţii). De aici rezultă principiul multiplicării sau divizării la infinit a unităţii întrucât putem micşora sau mări unitatea oricât de mult. Acest principiu este adevărat în cadrul matematicii, este adevărat <în principiu>. Faptul că este adevărat derivă din faptul că unitatea este elementul primordial în matematică şi nu depinde de altceva astfel încât să nu putem lua decât o singură unitate şi nu alta mai mare sau mai mică.

Pe de altă parte, lumea fizică există în realitate şi în ea mişcare este dată. Noi nu o construim ci o descoperim. Adică, relaţia este inversă. Nu mai pornim de la o unitate finită nenulă oarecare ca să producem schimbare. Aceasta din urmă fiind

5 Este vorba de intervalul finit dintre două puncte ale unui stadion în

cazul paradoxului stadionului sau dintre punctul de pornire al lui Ahile şi punctul în care ne aşteptăm să ajungă broasca ţestoasă în cazul paradoxului cu Ahile şi broasca ţestoasă.

6 Cel puţin, în lumea matematică nu există mişcare dată. Pentru a se exprima unele relaţii dintre numere, relaţiile sunt asociate cu procese. Aceste procese introduc în matematică elementul schimbării însă acesta este artificial. În lumea fizică mişcarea este dată, există în ea inerent, şi nu este doar o convenţie a noastră.

dată, este primodială şi unitatea se bazează pe ea nu invers. Dacă unitatea nu mai este primordială ci se bazează pe mişcarea care este dată atunci unitatea nu mai este oarecare, nu mai poate fi oricât de mare sau de mică ci este şi ea dată, are o valoare determinată, este bine definită (în contrast cu unitatea matematică care este indefinită, poate fi definită oricum, sau, cu alte cuvinte, poate varia <infinit> de mult). În lumea matematică putem lua orice (principiul infinităţii) unitate finită nenulă (principiul finitudinii). De fapt, în sens strict, nu se poate alege o unitate mai mică sau mai mare. Unitatea, oricât ar fi, este unu. Doar după ce s-a ales o unitate se poate alege alta mai mare sau mai mică în raport cu cea iniţială. Din această posibilitate de a schimba unitatea de referinţă faţă de cea iniţială derivă principiul infintiăţii (1).7

Principiul finitudinii prevede ca orice unitate, inclusiv cea mai mică (căreia i-am spune elementară) trebuie să fie nenulă. Principiul infinităţii prevede ca <unitatea elementară> să fie indefinită, să nu aibă o valoare concretă astfel încât să putem oricând lua o unitate mai mică.

Lumea fizică şi tot ce o compune, inclusiv unitatea fizică elemenară,8 sunt unice – sunt ceea ce sunt şi nu ceea ce ne-am putea noi imagina cum este cazul lumii matematică. De aceea, unitatea fizică elementară nu poate fi schimbată. Aceasta înseamnă că nu se aplică principiul infintiăţii (vezi afirmaţia (1)). În lumea fizică unitatea elementară este deja <luată>, este dată şi nu putem lua o unitate fizică elementară oarecare. Noi nu o construim (ceea ce ar face ca unitatea să fie primordială şi ar implica valabilitatea principiului infinităţii) ci o descoperim. Prin urmare, în lumea fizică nu se aplică decât principiul finitudinii – unitatea fizică elementară este nenulă (principiul finitudinii) şi fixă (în contrast cu principiul infinităţii). Nu există însă unitate matematică elementară (concretă) pentru că aceasta ar însemna <cel mai mic număr nenul> ceea ce din punct de vedere matematic nu există. În matematică nu există un <cel mai mare> sau <cel mai mic> (pe baza principiului infinităţii există întotdeauna un <mai mare> sau <mai mic>). În lumea reală însă, există întotdeauna un <cel mai mare> sau <cel mai mic> deşi în principiu ar putea să existe altceva <mai mare> sau <mai mic>.9

II. Argumente împotriva mişcării continue

A. Caracterul <insaţiabil> al infinitului

Ahile nu poate să prindă broasca ţestoasă nu pentru că nu are suficient timp, pentru că momentul sau punctul terminus este infinit depărtat faţă de punctul iniţial, de pornire, ci pentru că procesul în care este angajat (care se bazează pe divizibilitatea la infinit) este interminabil, fără punct terminus. Natura acestui proces îl condamnă pe Ahile să nu ajungă niciodată broasca ţestoasă. Oricare şi toate punctele în care ajunge Ahile sunt finit depărtate faţă de punctul iniţial dar

7 Unitatea de referinţă iniţială trebuie să fie unu. Putem apoi să luăm

ca unitate de referinţă o unitate mai mică, o fracţiune din unitate iniţială – de exemplu o zecime (0,1). Vezi de asemenea şi discuţia din secţiunea Indeterminarea implicată de unitate.

8 Unitatea fizică elementară nu trebuie confundată cu unitatea de măsură. Aceasta din urmă este o convenţie şi prin urmare poate fi schimbată. Ea este însă un multiplu oarecare al unităţii fizice elementare care este legată indisolubil de schimbare prin intermediul principiului finitudinii. Această legătură conferă unităţii fizice elementare caracterul ei fix.

9 Din punct de vedere spaţial <cel mai mic> reprezintă unitatea elementară de spaţiu iar <cel mai mare> reprezintă caracterul finit al universului.

3totuşi, nu există nici un punct terminus în care să ajungă broasca ţestoasă – până nu a ajuns la punctul terminus Ahile nu a ajuns broasca ţestoasă.

B. Redefinirea unităţi de măsură

Să considerăm o ilustraţie. Să presunem că avem un băţ de 1 metru. Pornim un cronometru şi ne deplasăm de la un capăt al băţului până la jumătatea lui şi îl tăiem. Să presupunem că tăierea durează doar un moment. După ce am tăiat băţul în două ne deplasăm până la jumătatea unuia din cele două segmente rezulate şi îl tăiem şi pe acesta în două şi tot aşa, presupunând că materia nu este cuantificată, nu există atomi (entităţi indivizibile de materie) şi este posibil să fie divizată la infinit. Vom putea ajunge să nu mai avem segmet de băţ, adică să ajungem la un segment de băţ de lungimea zero? Nu! De ce? Pentru că nu avem timp suficient? Dacă ne deplasăm cu viteza de 1 metru pe secundă şi considerăm că tăierea durează un moment ar trebui să terminăm într-o secundă. Ceea ce ne opreşte nu este timpul ci definiţia infinităţii. Pentru a ajunge în urma tăierii sau a divizării la un segment de lungime zero trebuie să efectuăm o infinitate de tăieturi sau divizări. Aceasta înseamnă, conform definiţiei infinităţii, că nu vom ajunge

niciodată să finalizăm procesul de divizare, deci nu vom ajunge niciodată la segmentul de lungime zero. Termenul <niciodată> nu semnifică aici o lungime temporală infinită (deşi se poate fi înţeles şi astfel în cazul proceselor infinite de multiplicare) ci o imposibilitate inerentă procesului (în cazul nostru, un proces de divizare) independentă de orice alt proces (cum ar fi curgerea timpului). Un proces infinit nu poate fi niciodată actual ci doar potenţial pentru că infinitul este prin natura sa incompatibil cu schimbarea, cu procesul. Dacă după fiecare tăiere redefinim unitatea de măsură pentru spaţiu, adică metrul, astfel încât noul segment obţinut să fie etalonul pentru metru (lucru pe care îl putem face), nu vom ajunge la un segment de lungime zero nici după o infinitate de tăieturi! Chiar şi atunci segmentul va avea lungimea de un metru (procesul devine unul ciclic).

Să considerăm altă ilustraţie. Să presupunem că există două planete, A şi B. Planeta B şi tot ce este pe ea se micşorează în timp (fie continuu fie, să zicem, la un anumit interval de timp îşi înjumătăţeşte dimensiunile). După un timp infinit trebuie ca toate lungimile de pe planeta B şi însăşi lungimea planetei să fie egale, adică zero. Lucrurile acestea sunt adevărate dacă noi suntem pe planeta A. Dacă însă, noi suntem pe planeta B (ceea ce va face ca acesta să fie sistemul de referinţă şi unităţile ei de măsură să fie unităţile de referinţă) lungimile ei şi distincţiile dintre ele vor rămâne constante chiar şi după un timp infinit. Ceea ce se întâmplă după un timp infinit este că planeta A va deveni infinit de mare şi se va pierde orice distincţie între lungimile ei. Nu cred că ambele stări pot fi adevărate în acelaşi timp. De fapt, timpul în care un din plantete devine infinit de mică este acelaşi cu timpul în care cealaltă devine infinit de mare. Oricum, vedem că divizibilitatea la infinit este echivalentă (pe baza unei simple convenţii) cu multiplicarea la infinit şi în cazul divizibilităţii la infinit a planetei B lungimea finită a planetei A (care are ca şi corespondent lungimea finită pe care o are de parcurs Ahile) este echivalentă cu o lungime infinită (care, evident, nu poate fi parcusă). Dacă Ahile ar fi avut cu el un metru şi de fiecare dată ar fi tăiat 10/11 din metrul său redefinind metrul după ceea ce a rămas din metru iniţial atunci, într-adevăr, lungimea care trebuia parcursă ca să ajungă broasca ţestoasă ar fi devenit infinită.

Oricum, aceste experimente mintale ne arată că

divizibilitatea la infinit10 şi produsul ei – intervalul nul – sunt dependente de unitatea de măsură, de modul cum o definim şi prin urmare sunt doar o chestiune de convenţie. Aşadar, exitenţa unităţii este absolută şi primară iar exitenţa nulului, a punctului (potenţială sau actuală în cazul în care poate să existe punct în realitate) este relativă şi dependentă de existenţa unităţii. Unii filosofi consideră relaţia de dependenţă în sens invers. Whitehead de exemplu, afirmă că divizibilitatea la infinit a unui interval conferă acestuia caracterul său <extins>, faptul că are o lungime finită.11 Dacă însă există un interval elementar indivizibil el va avea o lungime finită fără să fie divizibil la infinit. Caracterul lui de interval extins, nenul va fi dat nu de divizibilitatea la infinit ci de ceea ce este prin el însuşi, independent de altceva.

C. �edeterminarea implicată de unitate

Dacă unitatea este primordială şi anterioară intervalului nul atunci acesta din urmă nu poate să existe în realitate (actualitate) pentru că existenţa unităţii implică o nedeterminare de o unitate astfel încât nu se poate face distincţie între punctele unităţii şi în acest caz schimbarea nu va fi din punct în punct ci din interval în interval. Folosirea unei unităţi înseamnă cuantificare. De aceea, matematica, prin faptul că foloseşte numerele naturale bazate pe unitate, este cuantificată.12 Să presupunem că avem un obiect la trei unităţi de origine care ajunge la o depărtare de şapte unităţi faţă de origine. Mişcarea descrisă aici este una cuantificată. Descrierea mişcării prin folosirea valorilor numerice nu înseamnă că obiectul, chiar dacă este considerat punctiform, se mişcă dintr-

un punct aflat la trei unităţi de origine şi ajunge într-un punct

aflat la şapte unităţi ci dintr-un interval aflat la trei unităţi în altul aflat la şapte unităţi faţă de origine. Primul interval cuprinde toate punctele dintre 2.5 şi 3.5 iar al doilea toate punctele dintre 6.5 şi 7.5. Folosirea unităţii implică o nedeterminare de o unitate astfel încât nu se poate face distincţie între punctele acestor intervale. Putem lua o unitate de referinţă mai mică decât unitatea de măsură, o fracţiune din ea, de exemplu 0,1, dar nedeterminarea dată de o unitate de referinţă rămâne. Dacă afirmăm că obiectul s-a mişcat dintr-o poziţie aflată la 3,2 unităţi faţă de origine rămâne o nedeterminare de 0,1, între 3,15 şi 3,25. Oricare din aceste puncte este exprimat, atunci când folosim o unitate de referinţă de 0,1, de numărul 3,2. Pentru a exprima puncte este nevoie să folosim numere cu o infinitate de cifre după virgulă, adică numere iraţionale. Este nevoie de o unitate de referinţă infinit de mică. Noi însă nu putem folosi niciodată numere iraţionale în sens strict. Întotdeauna le aproximăm la numere raţionale.

Chiar şi teoria seriilor numerice convergente infinite l-a care se apelează pentru a arăta că Ahile poate ajunge broasca se bazează tot pe o aproximaţie. Această aproximaţie este legitimă în sensul în care orice aproximaţie este legitimă – de exemplu a spune că 0,9999... este 1 – însă, în sens strict, aproximaţia nu este legitimă şi încalcă definiţia infinităţii. O astfel de serie converge sau tinde asimptotic spre o anumită valoare <fără să

10 La fel stau lucrurile şi cu multiplicarea la infinit. 11 A. N. Whitehead, Process and Reality, pag. 86 12 Doar numerele iraţionale nu sunt cuantificate ci exemplifică

<punctul>, intervalul nul. Matematica însă nu foloseşte niciodată numerele iraţionale în sens strict. Ele sunt întotdeauna aproximate la numere raţionale care implică unitatea, cuantificarea şi nedeterminarea. Leibniz, preluând concepţia lui Pitagora, afirmase că <secretele cele mai profunde sunt ascunse în numere> (I. M. Copi şi J. A. Gould, Readings on Logic, New York, The Macmillan Co., 1972, pag. 190).

4o atingă niciodată>. Putem însă spune că, aproximativ, seria atinge valoarea respectivă. În sens strict însă, aproximarea este neacceptabilă. Dacă o acceptăm, aproximaţia implicăm exitenţa unei anumite nedeterminări şi a unui anumit interval elementar. Aproximaţia este singura posibilitate ca Ahile să ajungă broasca ţestoasă iar este este legitimă doar dacă această aproximaţie sau nedeterminare există inerent şi în spaţiu şi timp – doar dacă există intervale elementare indivizibile de spaţiu şi timp.

D. Principiul divizării

Să considerăm următorul principiu (să-l numim principiul divizării): dacă dintr-un segment finit se îndepărtează o porţiune finită rămâne tot o porţiune finită. Cu alte cuvinte, dacă împărţim un segment finit în două segmente ambele vor fi finite (nu vor fi nici infinite nici nule). Acest principiu reprezintă un adevăr analitic care se bazează pe definiţia actului divizării. Dacă nu ar rămâne o porţiune finită înseamnă că nu s-a îndepărtat o porţiune din segment că s-a îndepărtat tot

segmentul. Segmentului rezultat, fiind finit, i se aplică acelaşi principiu şi aşa mai departe. Divizibilitatea la infinit care implică un segment final nul implică o încălcare a acestui principiu. Întrucât acest principiu neglijează valorile numerică, mărimile concrete, raportat la el procesul divizării este un proces ciclic, asemănător cazului în care redefinim unitatea de măsură după porţiunea rămasă din unitatea iniţială. De aceea, faptul că divizarea se repetă la infinit nu are nici un efect asupra procesului atunci când îl raportăm la acest principiu. Divizibilitatea la infinit, ca şi multiplicarea la infinit de altfel, reprezintă o abstracţiune bazată pe o aproximaţie. Există doar ca potenţialitate şi nu ca actualitate.

E. Caracterul contradictoriu al conceptului de infinitate

actuală

În urma divizării unui segment acesta tinde spre zero în măsura repetării divizării. În principiu, divizarea la infinit dă naştere unui segment nul dacă este posibil ca divizarea la infinit să fie realizată. Însă acest lucru nu este posibil să fie realizat în realitate. Tocmai definiţia infinităţii exclude această posibilitate. Dacă divizarea la infinit ar fi realizabilă în realitate, ar putea fi împlinită, atunci valoarea finală care ar reprezenta <împlinirea> procesului ar constitui o limită şi ar încălca definiţia infinităţii (care este fără limită). De aceea, expresia <infinitate actuală> este o contradicţie în termeni. Infinit înseamnă nerealizabil, de necuprins iar actual înseamnă realizat, împlinit. Conceptul de infinite actuală este contradictoriu pentru că implică o împlinire a procesului şi o epuizare a potenţei, o transformare completă a acesteia în actualitate. Atâta timp cât mai există potenţă procesul nu a fost repetat la infinit şi deci nu s-a ajuns la infinitate. Dacă nu mai există potenţă înseamnă că procesul a ajuns la capăt şi are deci o limită. Existenţa unei limite este însă incompatibilă cu definiţia infinităţii. Prin urmare, infinitatea nu este realizabilă în realitate ci doar în principiu. De fapt, conceptul de infinitate potenţială trebuie înţeles în sensul că acesta este realizabilă numai în principiu dar nu şi în realitate.

Segmentul nul, rezultatul divizării la infinit al unui segment finit, reprezintă ducerea la limită a procesului divizării. Această limită este însă o limită artificială, aplicată în mod forţat asupra procesului. Dacă este posibil ca procesul să ajungă la această limită atunci înseamnă că procesul are o limită, înseamnă că procesul se sfârşeşte la această limită. Iată că, plecând de la presupunerea divizibilităţii la infinit (care implică lipsa unei limite şi a unui sfârşit) am ajuns la o concluzie care contrazice această presupunere – existenţa unei

limite şi a unui sfârşit. Procesul divizibilităţii fiind considerat un proces fără

sfârşit, interminabil este aproximat printr-o valoare specifică unui proces terminabil, diferenţa dintre ele constând în faptul că primul nu poate fi raportat sau relaţionat la alte procese, obişnuite, care pot fi împlinite sau finalizate. Pentru a putea face aceasta trebuie să înţelegem expresia <divizare infinită> ca însemnând <divizare indefinită>. În felul acesta se obţin segmente indefinit de mici, oricât de mici dar totuşi nenule şi nu se încalcă principiul menţionat anterior, principiul divizării.

F. Simetria procesului (matematic)

Procesele matematice, cum ar fi divizibilitatea de exemplu, sunt procese generale, independente de vreun element fizic (inclusiv timpul) la care se poate aplica procesul (ca şi caz particular). Prin urmare, procesul trebuie să fie simetric faţă de timp pentru că altfel ar însemna că este dependent de timp şi nu ar mai putea fi un proces matematic. A fi simetric faţă de timp înseamnă că schimbând direcţia procesului sau derulând în sens invers procesul se ajunge la stările anterioare. În cazul procesului infinit, divizibilitatea la infinit de exemplu, nu avem nici o garanţie că dacă multiplicăm la infinit segmentul nul vom ajunge la aceleaşi valori ca şi atunci când am divizat la infinit segmentul finit. Nu avem nici o garanţie că cele două procese sunt simetrice. Valorile obţinute atunci când derulăm procesul în sens invers pot fi diferite de cele iniţiale.

Între finit şi infinit există o prăpastie, în sensul că finitul nu poate ajunge sau atinge niciodată infinitul. Definiţia infinitului îi interezice aceasta. Dacă sărim această prăpastie a infinităţii nu mai avem nici o garanţie a continuităţii simetrice a procesului. De fapt, după cum am văzut, dacă această prăpastie poate fi trecută (dacă deci există infinitate actuală) lucrul acesta implică o încălcare a principiului divizării.

G. Imposibilitatea mişcării continue

Cei care pledează pentru mişcarea continuă apelează la relaţia 0·∞ ˆ 1 (sau 0·∞ ˆ n, în forma generală, unde n este un număr finit nenul). Adică, chiar dacă unitatea de mişcare este nulă, o infinitate de astfel de unităţi nule va produce o mişcare nenulă. Problema care se pune însă este aceasta: <Cum se ajunge de la zeroul iniţial la o infinitate de zerouri care să dea un număr finit?>. Pentru ca să se poată trece de la un zero iniţial la o infinitate de zerouri, adică, la un număr finit, susţinătorii mişcării continue trebuie să presupună mai întâi tocmai ceea ce vor să dovedească – faptul că există schimbare chiar dacă unitatea elementar de schimbare este zero! Aceasta nu înseamnă a pune la îndoială valabilitatea relaţiei 0·∞ ˆ 1 (care este adevărată prin definiţie) ci a pune la îndoială dacă această relaţie este aplicabilă la cazul în care unitatea elementar de mişcare este zero. Înseamnă a pune la îndoială posibilitatea existenţei unei infinităţi de repetiţii de mişcări nule ceea ce echivalează cu punerea la îndoială a posibilităţii mişcării continue – ceea ce reprezintă tocmai întrebarea de la care am pornit şi pe care ne-am propus să-i dăm răspuns. A presupune posibilitatea existenţei unei infinităţi de repetiţii de mişcări nule înseamnă a presupune tocmai ceea ce se încearcă să se demonstreze.

Problema care se pune nu este dacă relaţia 0·∞ ˆ 1 este adevărată sau nu ci dacă aceasta se aplică sau nu în cazul în care unitatea de mişcare este nulă. Cu alte cuvinte, întrebarea care se pune este acesta: <Un astfel de proces de adăugare a unui valori nule este un proces crescător sau un proces ciclic?>. Repetarea lui la infinit va duce la relaţia <0 ‡ 0 ‡ 0 ‡ ... ˆ ∞·0> sau la <0 ‡ 0 ˆ 0; 0 ‡ 0 ˆ 0; ...; 0 ‡ 0 ˆ 0>? Se poate face în

5vreun fel distincţie (cel puţin calitativă dacă nu cantitativă) între punctul iniţial şi cel final a unui astfel de proces (fapt care va determina care din cele două relaţii de mai sus este cea adecvată)? Ca să poată fi vorba despre <repetare> şi să se introducă astfel o distincţie temporală între cele două puncte, trebuie să existe timp iar ca să existe timp trebuie să existe schimbare iar aceasta este tocmai ceea ce trebuie demonstrat. Pe de altă parte, o distincţie spaţială nu se poate face între cele două puncte.

1. Distincţia dintre repaus şi mişcare

Dacă existenţa punctului este primordială şi existenţa intervalului finit se bazează pe ea, atunci, după cum rezultă şi din paradoxul săgeţii în care săgeat în zbor se dovedeşte a fi în repaus, nu mai există nici o bază pentru distincţia dintre repaus şi mişcare sau dintre două mişcări cu viteze diferite. Să considerăm un corp în mişcare. Cu cât intervalul de timp considerat este mai scurt cu atât spaţiul parcurs este mai mic. Dacă considerăm momente – ∆t ˆ 0 – (în ideea că nu există unităţi elementare indivizibile) atunci intervalul spaţial parcurs va fi şi el nul. Deci, un obiect în mişcare este în repaus în fiecare moment. Însă, acelaşi lucru se poate spune şi despre un obiect în repaus sau despre un alt obiect în mişcare cu o viteză diferită. Deci, pe baza unităţii elementare nule nu se poate face distincţie între două stări de mişcare cu viteze diferite sau între o stare de mişcare cu viteză oarecare şi starea de repaus.

2. Existenţa stării de repaus

Mai mult decât faptul că nu s-ar putea face distincţie între repaus şi mişcare, dacă realţia 0·∞ ˆ 1s-ar aplica, atunci lucrul acesta ar exclude orice stare de repaus, chiar şi repaus relativ, deoarece 0·∞ ≠ 0. Din punctul de vedere al acestei obiecţii, relaţia s-ar putea aplica cel mult la timp deoarece nu există <repaus în timp> – chiar şi corpurile a căror locaţie spaţială rămâne constantă simt curgerea timpului şi nu rămân în acelaşi moment.

3. Infinitul de gradul doi

Pentru mişcarea continuă avem ecuaţia x ˆ ∞·∆x ˆ ∞(x1 – x0) ˆ ∞(0 – 0) ˆ ∞·0 ˆ 1.13 S-ar părea că această ecuaţie, având un rezultat nenul, sprijină posibilitatea existenţei mişcării continue. Există totuşi o greşeală! 0 – 0 nu este 0 ci 0 de gradul doi (02), să-i spunem aşa. Acest <zero de gradul doi> se bazează pe un infinit de gradul doi (∞2). Această distincţie nu are importanţă în operaţii cu numere finite dar are mare importanţă în operaţii cu numere infinite. 0 – 0 ˆ 1/∞ – 1/∞ ˆ 0/∞ ˆ 1/∞2 ˆ 02. De exemplu, atât un segment de dreaptă cât şi o dreaptă sunt formate dintr-o infinitate de puncte dar există totuşi o mare distincţie între ele. Un segment de dreaptă este format dintr-o infinitate de puncte (∞) dar o dreaptă este formată dintr-o infinitate de segmente şi deci, dintr-o infinitate de infinităţi de puncte (∞2) (distincţia dintre aceste două feluri de infinite este echivalentă cu distincţia dintre mulţimile transfinite ℵℵℵℵ0 şi ℵℵℵℵ1 din cadrul teoriei mulţimilor). Astfel, ecuaţia trebuie scrisă: x ˆ ∞·∆x ˆ ∞(x1 – x0) ˆ ∞(0 – 0) ˆ ∞(1/∞ – 1/∞) ˆ ∞‚(1–1)/∞ƒˆ ∞·0/∞ ˆ 1·0 ˆ 0! Schimbarea continuă este deci imposibilă.

De fapt chiar şi Whitehead afirmă că <Atâta timp cât caracterul atomic ‚cuantificatƒ al entităţilor actuale nu este luat în considerare, aplicarea metodei de argumentare a lui Zeno

13 Trebuie să considerăm x1 şi x0 ca fiind în origine. Altfel am folosi

unităţi de măsură şi nu am mai avea de a face cu puncte ci cu intervale nenule a căror mărime este dată de unitate (vezi secţiunea II.C Indeterminarea implicată de unitate).

face dificil de înţeles noţiunea de transmisie continuă care domneşte în fizică... Astfel, noţiunea de transmisie continuă din ştiinţă trebuie înlocuită de noţiunea de transmisie imediată prin intermediul unor cuante de extindere succesive. Aceste cuante de extindere succesive sunt diviziunile fundamentale de evenimente adiacente succesive. >14

H. Suficienţa posibilităţii pentru a crea contradicţie

Paradoxul cu Ahile şi broasca ţestoasă (sau cel cu mişcarea dintre două puncte ale unui stadion) implică un mod particular în care Ahile îşi planifică alergarea, şi anume să alerge până unde era broasca atunci când a început să parcurgă segmentul respectiv de drum, iar când a ajuns unde era broasca atunci când a început să alerge, îşi propune iarăşi să alerge până unde este broasca în acest moment şi tot aşa. Este evident că nu este necesar ca Ahile să îşi propună să alerge în felul acesta. El poate de exemplu să îşi propună să alerge până unde este broasca ţestoasă la momentul curent (în contrast cu momentul iniţial). Pentru valabilitatea paradoxului nu este însă nevoie ca modul particular de alergare implicat de paradox să fie necesar. Este suficient dacă este posibil. Este adevărat că nimic nu îl obligă pe Ahile să alerge în felul acela (pe segmente) dar în acelaşi timp este adevărat şi faptul că nimic nu îl obligă să nu alerge aşa. Dacă mişcarea este continuă, Ahile poate să alerge în felul acesta (este posibil chiar dacă nu este necesar). Modul în care Ahile îşi planifică alergarea (aleargă mereu până în punctul iniţial în care a fost broasca ţestoasă la începutul fiecărei etape sau aleargă până în punctul în care este broasca ţestoasă la momentul curent) nu trebuie să aibă nici un efect asupra alergării (astfel încât în unul din cazuri ajunge broasca ţestoasă iar în altul nu o ajunge) pentru că viteza şi direcţia alergării rămân constante – deci în ambele cazuri trebuie să ajungă broasca. Totuşi, dacă este posibil (pe baza divizibilităţii la infinit a spaţiului şi timpului) să-şi planifice alergarea după cum prevede paradoxul (observaţiile noastre cerând ca, indiferent de planificare, având viteza mai mare, Ahile trebuie să ajungă broasca ţestoasă), ajungem la concluzia că nu este posibil să ajungă broasca ţestoasă! Concluziile fiind contradictorii rezultă că presupunerea divizibilităţii la infinit a spaţiului şi timpului, pe care se bazează modul acela particular de planificare a alergării, este falsă. Dacă există unităţi elementare de spaţiu şi timp Ahile poate să alerge după cum prevede paradoxul doar până la un anumit punct. El nu poate însă să îşi propună să alerge pe intervale mai mici decât cele elementare indivizibile.

III. Constanţa unităţii fizice elementare

Acum, după ce am arătat că există o unitate elementară nenulă să arătăm că aceasta este constantă. S-ar părea că există posibilitatea ca, în principiu, unitatea elementară să varieze de la o unitate la alta. De exemplu, într-un loc din spaţiu să avem o anumită unitate de măsură iar în alt loc din spaţiu o altă unitate de măsură. Problema s-ar putea rezolva apelându-se la presupunerea omogenităţii spaţiului. Nu este însă nevoie să facem această presupunere. De fapt, variaţia unităţii elementare nu are sens datorită faptului că este nedetectabilă. Unitatea fiind elementară, orice altă unitate sau mărime se bazează pe ea15 şi variaţia ei ar afecta orice corp mutat dintr-un loc în celălalt, inclusiv cele care dau unitate de măsură, şi astfel nu am putea detecta modificarea. Situaţia este similară cu cea din exemplu în care universul şi tot ce este în el s-ar micşora (sau

14 A. N. Whitehead, Process and Reality, pag. 360-361 15 Orice mărime trebuie să fie un multiplu al unităţii elementare.

6mări). O astfel de micşorare ar implica şi o micşorare în aceeaşi măsură a oricărui metru pe care l-am putea folosi la măsurare şi astfel micşorarea nu ar putea fi detectată. Să luăm un alt exemplu – cel al unităţii de măsură pentru masă. Etalonul unităţi de măsură pentru masă (un corp metalic dintr-un muzeu din Franţa) arice masă ar avea, oriunde şi oricând, are un kilogram. În principiu, masa lui ar putea varia de la un loc la altul sau de la un moment la altul. Această variaţie ar fi însă nedetectabilă. Etalonul sau unitatea fiind ceea ce este este unu.

Epilog

Dacă mişcarea ar fi continuă Ahile ar fi avut un destin tragic. El ar fi fost condamnat să rămână veşnic ţintuit locului, să nu ajungă broasca ţestoasă şi nimic altceva, oricât s-ar fi străduit să alerge. Nu ar mai fi reuşit niciodată să-şi demonstreze abilităţile de alergător şi noi nu am mai fi auzit niciodată de el. Aceasta însă nu ar fi fost cea mai mare tragedie pentru că oricum noi nu am mai putea auzi nimic.