Definitii Analiza

Fie X,Y nevide. Multimea perechilor (x,y) cu xϵX si yϵY, se

numeste produsul cartezian de la multimea X la multima Y.

Se numeste relatie binara de la multimea X la multimea Y orice

sumbmultime R a produsului cartezian X˟Y. Relatie binara pe

multimea nevida x inseamna relatie binara de la multimea X la

multimea X.

Se numeste relatie de ordine pe o multime nevida X, o relatie

binaraR pe multimea X care este:

1. reflexiva xRx, oricare xϵX

2. antisimetrica xRy si yRx => x=y

3. tranzitiva xRy si yRz => xRz

Se numeste multime ordonata o multime nevida X inzestrata cu

cel putin o relatie de ordine. (X,≤) - multime ordonata

O multime ordonata (X,≤) se numeste total ordonata daca orice

doua elemente din X se pot compara.

Fie (X,≤) o multime ordonata si A inclusa in X: 1. Elementul aϵX se numeste minorant al mutlimii A daca a≤x

oricare xϵA

2. Elementul bϵX se numeste majorant al multimii A daca x≤b

oricare xϵA

3. Multimea A se numeste marginita superior daca are cel putin un

majorant in X

4. Multimea A se numeste marginita inferior daca are cel putin un

minorant in X

5. Multimea A se numeste marginita daca are cel putin un minorant

si un majorant in X

6. Elementul x1ϵA se numeste cel mai mic element al multimii A

daca din x≤x1 avem x=x1

7. Elementul x2ϵA se numeste cel mai mare element al multimii A

daca din x2≤x avem x=x2

8. O multime A inclusa in X marginita superior admite supremum

daca exista cel mai mic majorant al multimii A in X

9. O multime A inclusa in X marginita inferior admite infimum

daca exista cel mai mare minorant al multimii A in X

10. Multimea A inclusa in X, marginita superior are maxim daca

exista supremum din A, ϵA

11. Multimea A inclusa in X, marginita inferior are minim daca

exista cel mai mic majorant al multimii A in X

O multime ordonata (X,≤) se numeste complet ordonata daca orice

submultime marginita a lui X are supremum si infimum in X.

Fie X si Y nevide. O relatie binara R de la multimea X la multimea

Y se numeste functie daca oricare xϵX exista si este unic yϵY astfel

incat x e in relatie cu y(xRy).

Fie f : X -> Y o functie si A o multime inclusa in X. Functia f/A :

A -> Y se numeste restrictia functiei f la multimea A.

Fie f : X -> Y si g : Z -> Y doua functii. Spunem ca functia g

prelungeste functia f daca X e inclusa in Z si f(x)=g(x) oricare xϵX.

Functia f : X -> Y se numeste injectiva daca din f(x1)=f(x2)=>

x1=x2 (x1!=x2 => f(x1)!=f(x2)).

Functia f : X -> Y se numeste surjectiva daca oricare yϵY exista

xϵX astfel incat f(x)=y.

Functia f : X -> Y se numeste bijectiva daca e injective si

surjectiva.

Functia 1x : X -> X 1x(x)=x se numeste functia identical a

multimii X.

Fie g : X -> Y si f : Z -> T astfel incat Y e inclusa in Z. Functia f°g

: X -> T (f°g)(x)=f(g(x)) se numeste compunerea functiilor f si g.

Functia f : X -> Y se numeste functie inversabila daca exista g : Y

-> X o functie astfel incat f°g = 1y si g°f=1x.

Daca multimea A e inclusa in X, multimea {f(x) | xϵA} =

f(A)inclusa in Y se numeste imaginea directa a multimii A prin

functia f (Im f).

Daca multimea B e inclusa in Y, multimea {xϵX | f(x)ϵB}=f^-1(B)

se numeste preimaginea(imaginea inversa) a multimii B prin

functia f.

Daca X este o multime oarecare multimea{A | A e inclusa in

X}=Ƥ(X) se numeste multimea partilor lui X.

Daca A e inclusa in B, multimea B / A = CBA se numeste

complementara multimii A in raport cu multimea B.

Fie A o multime nevida.

1. Se numeste familie de elemente din multimea A, orice

functie f : I -> A unde I este o multime nevida. f(i)=xi f↔(xi)i ϵ

I. I se numeste multimea indicilor familiei (xi)i ϵ I

2. Se numeste sir de elemente in multimea A, o familie de

elemente din A, (xi)i ϵ I in care I = N.

3. Se numeste familie finite de elemente din multimea A, o

familie de elemente in care multimea indicilor este finite.

4. Se numeste o familie de submultimi a unei multimi X, orice

familie de elemente din Ƥ(X). ( (Ai)i ϵ I)

Fie (Ai)i ϵ I o familie de multimi:

1. (i ϵ I)∩Ai = {xϵX | xϵAi, oriceare i ϵ I} intersectia familiei de

multimi.

2. (i ϵ I)UAi = {xϵX | Ǝ iϵI astfel incat xϵAi} reuniunea familiei de

multimi.

Regulile lui de Morgan: fie (Ai)(i ϵ I) o familie de submultimi ale lui

X:

1. Cx((i ϵ I)UAi) = (i ϵ I)∩Cx Ai

2. Cx((i ϵ I)∩Cx) = (i ϵ I)UCx Ai

Fie (Ai)(i ϵ I) o familie de submultimi ale lui X si B inclusa in X:

1. B∩((i ϵ I)UAi) = (i ϵ I)U(B∩Ai)

2. B∩((i ϵ I)∩Ai) = (i ϵ I)∩(B∩Ai)

3. BU((i ϵ I)UAi) = (i ϵ I)U(BUAi)

4. BU((i ϵ I)∩Ai) = (i ϵ I)∩(BUAi)

5. ((i ϵ I)UAi) / B = (i ϵ I)U(B / Ai)

6. ((i ϵ I)∩Ai) / B = (i ϵ I)∩(B / Ai)

7. B / ((i ϵ I)∩Ai) = (i ϵ I)U(B / Ai)

8. B / ((i ϵ I)UAi) = (i ϵ I)∩(B / Ai)

Consideram functia f : X -> Y, Ai si Bi o familie de submultimi ale

lui X si respective Y:

1. f((i ϵ I)UAi) = ((i ϵ I)U f(Ai))

2. f((i ϵ I)∩Ai) ((i ϵ I)∩ f(Ai))

3. f^-1(((i ϵ I)UBi) = (i ϵ I)U f^-1 Bi

4. f^-1(((i ϵ I) ∩Bi) = (i ϵ I) ∩ f^-1 Bi

Corpul comutativ (R,+,*) se numeste corp ordonat daca exista o

relatie de ordine “≤” pe R astfel incat:

1. (R, ≤) este total ordonata

2. x≤y => x+z ≤ y+z pt ˅ zϵR

3. 0R ≤ x si 0R ≤ y => 0R ≤ x*y

Corpurile ordonate (R,+,*,≤) si (K,+,*, ≤) se numesc izomorfe

daca exista o functie bijectiva f : R-> K astfel incat:

1. f(x+y) = f(x) + f(y)

2. f(x*y) = f(x) * f(y)

3. x<y => f(x) < f(y)

Functia f : R -> K (de mai sus) se numeste izomorfism algebric si

de ordine intre corpurile ordonate R si K (R~K).

Se numeste corp complet ordonat un corp ordonat (R,+,*, ≤) in

care ˅ submultime marginita a lui R are supremum si infimum in

R.

Multimea R+ = {xϵR | 0R ≤ x} se numeste multimea elementelor

positive din corpul ordonat R.

Fie (R,+,*, ≤) corp complet ordonat. O submultime B R se

numeste inductiva daca ˅ xϵB avem x+1RϵB

Intersectia tuturor submultimilor inductive din R care contine

elemental 0R se numeste multimea numerelor naturale din corpul

complet ordonat R.

Z = N U {-n | nϵN}se numeste multimea numerelor intregi

Q = {n*m^-1 | n,m ϵZ,m!=0R} se numeste multimea numerelor

rationale

R / Q se numeste multimea numerelor irationale

Se numeste corp de numeral reale orice corp complet

ordonat(R,+,*, ≤).

X nevida Ƥ(X) = {A | A X}. Se numeste topologie pe multimea X

o submultime de parti a lui X τ Ƥ(X) care are proprietatile:

1. multimea vida si X ϵ τ

2. G1 si G2 ϵ τ=>G1 ∩ G2 ϵ τ(inchisa la intersectii finite)

3. Daca Gi ϵ τ ˅ iϵI=>(i ϵ I)Gi ϵ τ(inchisa la reuniuni finite)

Se numeste spatiu topologic o multime nevida X pe care se poate

construe o topogie τ (X, τ).

Fie (X, τ) un spatiu topologic:

1. O multime G X se numeste deschisa (relative la topologia τ)

daca G ϵ τ

2. O multime F X se numeste inchisa (relative la topologia τ)

daca CxF=X / F ϵ τ

3. O multime V X se numeste vecinatate a elementului

xϵX(relative la topologia τ) daca Ǝ G ϵ τ astfel incat xϵG

V(υτ(x) = multimea vecinatatilor elementului x)

Fie(X, τ) un spatiu topologic si A X:

1. xϵX se numeste punct interior al multimii A daca Aϵ υτ(x) (Å)

2. xϵX se numeste punct de aderenta al multimii A daca ˅Vϵ

υτ(x) avem V∩A=ø (Ā)

3. xϵX se numest punct de acumulare al multimii A daca ˅Vϵ

υτ(x) avem V∩(A / {x})=ø (A’)

4. xϵX se numeste punct izolat al multimii A daca ƎVϵυτ(x)

astfel incat V∩A={x}(Izo A)

Fie A (X,τ), multimea Ā∩CxĀ se numeste frontiera topologica a

multimii A (Fr A= Ā∩ CxĀ) [bara este si deasupra lui C].

Se numeste distanta(metrica) pe o multime nevida X, o functie d :

X˟X -> R+ care are proprietatile urmatoare:

1. d((x,y)) = d((y,x)) ˅ (x,y)ϵ X˟X

2. d((x,y)) =0 => x=y

3. d((x,z)) ≤ d((x,y))+d((y,z)) ˅(x,y),(y,z),(x,z)ϵ X˟X

Se numeste spatiu metric o multime nevida X pe care se defineste

cel putin o distanta d : X˟X -> R+ (X,d).

Fie (X,τ) spatiu topologic si xϵX. O multime Ɓ υτ(x) se numeste

system fundamental de vecinatati al lui x daca ˅Vϵυτ(x) Ǝ BϵƁ

astfel incat B V.

Fie X nevida si τ1si τ2 doua topologii pe X. Spunem ca τ1 este mai

putin fina decat τ2 (τ2 este mai fina decat τ1) daca τ1 τ2 (τ1≤τ2).

Fie (X,d) un spatiu metric si x0ϵX:

1. Daca r>0, multimea {xϵX | d(x,x0)<r} = B(x0,r) se numeste

bila deschisa de centru x0ϵX si raza r>0

2. Daca r>0, multimea {xϵX | d(x,x0)≤r} = B[x0,r] se numeste

bila inchisa de centru x0ϵX si raza r>0

3. Multimea nevida G (X,d) se numeste deschisa daca ˅aϵG

Ǝr>0 astfel incat B(a,r) G

Topologia τd se numeste topologia asociata disantei spatiului

metric (X,d).

O multime F (X,d) se numeste inchisa daca CXF=x / F ϵ τd.

O multime A (X,d) se numeste marginita daca ƎaϵX, Ǝr>0 astfel

incat A B(a,r).

Un sir (xn)nϵN (X,d) se numeste convergent daca ƎxϵX astfel

incat ˅ε>0 Ǝ nε ϵ N pentru care d(xn,x)<ε ˅n ≥ nε. Elementul x

este unic si se numeste limita sirului.

Un sir (xn)nϵN R se numeste convergent daca ƎxϵR astfel incat

˅ε>0 Ǝ nε ϵ N pentru care |xn-x|<ε, ˅n ≥ nε.

Un sir (xn)nϵN (X,d) se numeste sir Cauchy daca ˅ε>0 Ǝ nε ϵ

N astfel incat d(xn,xm)< ε ˅n,m ≥ nε.

Spatiul metric (X,d) se numeste complet daca orice sir Cauchy cu

elemente in X este convergent.

O multime A (X,d) se numeste marginita daca ƎaϵX, Ǝr>0 astfel

incat A B(a,r).

Fie (xn)nϵN (X,d):

1. Se numeste subsir al sirului(xn)nϵN, sirul (x nk)kϵN cu

proprietate ca nk< nk+1 ˅kϵN

2. Elementul xϵX se numeste punct limita al sirului daca

Ǝ(xnk)kϵN un subsir al sirului initial (xn)nϵN astfel incat Ǝ

lim xnk = x

Fie (xn)nϵN R:

1. Sirul se numeste crescator daca xn≤xn+1, ˅nϵN

2. Sirul se numeste strict crescator daca xn<xn+1, ˅nϵN

3. Sirul se numeste descrescator xn≥xn+1, ˅nϵN

4. Sirul se numeste strict descrescator xn>xn+1, ˅nϵN

5. Sirul se numeste monoton daca este crescator sau

descrescator, ˅nϵN

6. Sirul se numeste strict monoton daca este strict crescator sau

strict descrescator, ˅nϵN

Sirul (xn)nϵN R are limita +∞ daca ˅ε>0 Ǝnε ϵN astfel incat xn>ε

˅n>nε.

Sirul (xn)nϵN R are limita -∞ daca ˅ε>0 Ǝnε ϵN astfel incat xn<-ε

˅n>nε.

Elementul xϵRU{-∞,+∞} se numeste punct limita pentru sirul

(xn)nϵN R daca Ǝ(xnk)kϵN un subsir al lui (xn)nϵN astfel incat

lim xnk = x.

Un spatiu metric (X,d) in care orice sir Cauchy este convergent se

numeste spatiu metric complet.

(nϵN)inf u n R U {-∞,+∞} se numeste limita superioara a sirului

(xn)nϵN (u n=sup{xk | k≥n).

(nϵN)sup v n R U {-∞,+∞} se numeste limita inferioara a sirului

(xn)nϵN (u n=inf{xk | k≥n).

Daca sirul (xn)nϵN este marginit, atunci (u n)nϵN si (v n)nϵN R si

limita superioara si inferioara din xn ϵR.

Perechea de siruri ((xn)nϵN,(sn)nϵN) se numeste seria asociata

sirului xn si se noteaza ∑xn.

I. xn se numeste termenul general de ordin n al seriei

II. sn se numeste suma partiala de ordin n a seriei.

Seria ∑xn se numeste convergenta daca sirul sumelor partiale

(sn)nϵN R este convergent.

Seria ∑xn se numeste divergenta daca nu e convergenta.

Seria ∑xn are suma(in RU{-∞,+∞}) daca sirul sumelor partiale

(sn)nϵN R are limita(in RU{-∞,+∞}).

Seria ∑xn se numeste absolute convergenta daca seria ∑|xn|este

convergenta.

Se numeste restul de ordin pϵN al seriei ∑xn, seria ∑xn(n=p+1) si

se noteaza rp.

O serie de numere reale ∑xn se numeste semiconvergenta daca

este convergenta sin u este absolute convergenta.

Fie seriile ∑xn si ∑yn. Se numeste produsul seriilor(seria produs)

∑xn si ∑yn seria ∑zn unde zn=x0*yn+x1*yn-

1+…xn*y0, ˅nϵN = ∑xn*yn.

O multime A (X,d) se numeste compacta daca din orice acoperire

a sa cu multimi deschise se poate trage o subacoperire finite. [scrie

in curs mai explicit]

O multime A (X,d) se numeste relativ compacta daca Ā este

multime compacta.

O multime A (R^n,d2) se numeste marginita daca Ǝ r>0 astfel

incat A B(0,r).

Doua multimi E,O (X,d) se numesc separate daca Ē∩O=ø si

E∩Ō= ø.

O multime A (X,d) se numeste conexa daca nu se poate scrie ca o

reuniune de doua multimi separate di nevide.

O multime I R se numeste interval daca ˅ a<b ϵ I avem ca (a,b) ϵ

I.

O functie f : D X -> Y este continua in pnctul x0ϵD daca

˅Wϵυ(f(x0)) Ǝ Vϵυ(x0) astfel incat f(D∩V) W.

O functie f : D X -> Y este continua pe o multime A D daca f

este continua in orice punct din A.

O functie f : D X -> Y este continua in pnctul x0ϵD daca si numai

daca:

1. ˅ε>0 Ǝ δε>0 astfel incat d2(f(x),f(x0))<ε, ˅xϵD cu d1(x,x0)<

δε.

2. ˅ (xn)nϵN D pentru care Ǝ lim xn = x0 avem ca

Ǝlimf(xn) = f(x0).

O functie h : A (X,d1) -> B (Y,d2) se numeste homeomorfism

daca h este constanta pe A, este bijectiva si h^-1 : B -> A este

continua pe B.

O functie f : I R -> R are proprietatea lui Darboux daca pentru ˅

x1!=x2 ϵ I su pentru orice numar real x situate intre f(x1)si f(x2), Ǝ

un c ϵ I situate intre x1 si x2 astfel incat f(c)=x.

O functie f: D (X,d1) -> (Y,d2) se numeste uniform continua pe

multimea D daca ˅ε>0 Ǝ δε>0 pentru care d2(f(x),f(y))< ε ˅x,yϵD

cu d1(x,y)< δε.

Daca f: D (X,d1) -> (Y,d2) este uniform continua pe D si A D

atunci f/A este uniform continua pe A.

O functie continua f : D (X,d1) -> (Y,d2) se numeste functie

LIPSCHITZ daca Ǝ c>0 pentru care d2(f(x),f(y))≤c*d1(x,y)

˅x,y ϵ D. Daca cϵ(0,1) functia se numeste contractie.