41274771 Cunoasterea Psihologica a Persoanei Cornel Havarneanu
Cursul 3 Conf. Dr. PINTEA Cornel-Sebastian Cursul 3, 12 ...Cursul 3 Conf. Dr. PINTEA...
Transcript of Cursul 3 Conf. Dr. PINTEA Cornel-Sebastian Cursul 3, 12 ...Cursul 3 Conf. Dr. PINTEA...
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Geometrie Afina1
Anii I Matematica siMatematica-Informatica
Conf. Dr. Cornel-Sebastian PINTEA
Universitatea “Babes-Bolyai”, Cluj-Napoca, Romania
Cursul 3 (12.03.2015)
1Aceste note de curs nu sunt în forma finala. Ele fac obiectulîmbunatatirii continue
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Cuprins
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitori afineTeorema dimensiunii. Paralelism
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Cursul 3, 12.03.2015Combinatii si învelitori afine
Observatia 1.1
Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional si M ⊆ Veste o multime nevida, atunci
af(M) ={ m∑
i=1
λixi
∣∣∣1 ≤ m ≤ n+1, λi ∈ K , xi ∈ M, i = 1,m,m∑
i=1
λi = 1}.
Pentru a justifica aceasta egalitate observam în primulrând ca{ m∑
i=1
λixi
∣∣∣1 ≤ m ≤ n+1, λi ∈ K , xi ∈ M, i = 1,m,m∑
i=1
λi = 1}⊆ af(M).
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Argument de tip Carathéodory pentruincluziunea opusa
Pentru incluziunea opusa consideram un element
x =m∑
i=1
λixi ∈ af(M), adica x1, . . . , xm ∈ M sim∑
i=1
λi = 1, si
aratam ca m poate fi ales ≤ n + 1. Daca m ≤ n + 1,atunci nu mai avem ce demonstra. Altfel vectoriix2 − x1, . . . , xm − x1 sunt liniar dependenti, adica existascalarii ν2, . . . , νm, nu toti nuli, astfel încât
m∑k=2
νk (xk − x1) = 0, sau, echivalent,m∑
k=1
νkxk = 0, unde
ν1 = −ν2 − . . .− νm. Asadarm∑
k=1
νkxk = 0 sim∑
k=1
νk = 0 si
nu toti scalarii ν1, ν2, . . . , νm sunt nuli. Dacaνr 6= 0,1 ≤ r ≤ m, observam ca.
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
x =m∑
i=1
(λi −λr
νrνi)xi si
m∑i=1
(λi −λr
νrνi) = 1,
adica x este combinatie afina de m − 1 elemente din M,deoarece λr − λr
νrνr = 0. Daca m − 1 > n + 1 continuam
procedeul pâna când ’lungimea’ combinatiei afine devine≤ n + 1.
Exemplul 1.2
Fie V un spatiu vectorial finit dimensional peste corpul K ,unde K 6' Z2. Se considera aplicatia
α : P(V ) −→ P(V ), α(M) = {tx+(1−t)y | x , y ∈ M, t ∈ K}
si iteratele α1 = α, α2 = α ◦ α, . . .. Pentru orice M ∈ P(V )se poate gasi un numar natural r astfel încât
af(M) = αr (M).
Ipoteza K 6' Z2 este esentiala.
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Teorema dimensiunii. Paralelism
Propozitia 1.3
Daca A,B ∈ A(V ), a ∈ A, b ∈ B, atunciaf(A ∪ B) = a + D(A) + D(B) + 〈b − a〉.
Demonstratie.
Evident A,B ⊆ a + D(A) + D(B) + 〈b − a〉, fapt care arataca A ∨ B = af(A ∪ B) este continuta îna + D(A) + D(B) + 〈b − a〉. Pentru a demonstraincluziunea opusa observam ca relatilea,b ∈ A ∪ B ⊆ A ∨ B implica b − a ∈ D(A ∨ B) siD(A),D(B) ⊆ D(A ∨ B). Acestea ne arata caD(A) + D(B) + 〈b − a〉 ⊆ D(A ∨ B) si implicit caa + D(A) + D(B) + 〈b − a〉 ⊆ a + D(A ∨ B) = A ∨ B.
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Propozitia 1.4
Fie A,B ∈ A(V ), a ∈ A, b ∈ B. AtunciA ∩ B 6= ∅ ⇐⇒ 〈b − a〉 ⊆ D(A) + D(B).
Demonstratie.
Presupunem ca A ∩ B 6= ∅ si consideram c ∈ A ∩ B, adicac = a + u = b + v , unde u ∈ D(A) si v ∈ D(B). Prinurmare b − a = u + (−v) ∈ D(A) + D(B). Presupunemacum ca 〈b − a〉 ⊆ D(A) + D(B), sau, echivalentb− a ∈⊆ D(A) +D(B), adica b− a = u′ + v ′ cu u′ ∈ D(A)si v ′ ∈ D(B). Asadar A 3 a + v ′ = b + (−u′) ∈ B si deciA ∩ B 6= ∅.
Corolarul 1.5Daca varietatile liniare A si B au un punct comun a,atunci avem af(A ∪ B) = a + D(A) + D(B) siA ∩ B = a + D(A) ∩ D(B).
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Exemplul 1.6
Daca A, B sunt varietati liniare într-un spatiu vectorialpeste K 6' Z2 si A ∩ B 6= ∅, atunci
af(A ∪ B) = {ta + (1− t)b |a ∈ A,b ∈ B, t ∈ K}. (1.1)
Aratati, de asemenea, ca ipotezele A ∩ B 6= ∅ si K 6' Z2sunt esentiale.
Teorema dimensiunii 1.7Fie A, B varietati liniare nevide de finit dimensionale.
1. Daca A ∩ B 6= ∅, atuncidim af(A ∪ B) = dim(A) + dim(B)− dim(A ∧ B).
2. Daca A ∩ B = ∅, atuncidim af(A ∪ B) = dim (D(A) + D(B)) + 1.
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Propozitia 1.8
Presupunem ca dim(V ) = n. Daca varietatea afinaA ∈ A(V ) nu are niciun punct comun cu hiperplanul H,atunci A||H.
Demonstratie.
Evident dim af(H ∪ A) = n deoarece altfel A ar fi continutaîn H. Asadar dim(D(H) + D(A)) + 1 = n, fapt care arataca dim D(H) = dim(D(A) + D(H)) = n − 1 si implicit caD(A) ⊆ D(H).
Propozitia 1.9
Daca dreapta L intersecteaza hiperplanul H într-un punct,atunci orice dreapta paralela L′ la L intersecteaza H totîntr-un punct.
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Demonstratie.
Într-adevar, altfel am avea L′||H, adica L||H si deci,conform propozitiei 1.8, am avea L ⊂ H sauL ∩ H = ∅.
Cursul 3
Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian
Cursul 3, 12.03Combinatii si învelitoriafine
Teorema dimensiunii.Paralelism
Galbura Gh., Radó, F., Geometrie, Editura didacticasi pedagogica-Bucuresti, 1979.
Radó, F., Orban, B., Groze, V., Vasiu, A., Culegere deProbleme de Geometrie, Lit. Univ. "Babes-Bolyai",Cluj-Napoca, 1979.