Seminarul 10 Conf. Dr. PINTEA Cornel-Sebastian …cpintea/data/uploads/sol_seminarul-10.pdf9 10 2 2...

Seminarul 10

Conf. Dr. PINTEACornel-Sebastian

Seminarul 10Aducerea conicelor la formaizometrica redusaGeometrie Afina1

Anii I Matematica siMatematica-Informatica

Conf. Dr. Cornel-Sebastian PINTEA

Universitatea “Babes-Bolyai”, Cluj-Napoca, Romania

Seminarul 10

1Aceste note de seminar nu sunt în forma finala. Ele fac obiectulîmbunatatirii continue

Seminarul 10


Seminarul 10Aducerea conicelor la formaizometrica redusa

Cuprins

Seminarul 10Aducerea conicelor la forma izometrica redusa

Seminarul 10



Problema 1.1Sa se aduca la forma canonica izometrica si sa sereprezinte grafic conicele:

1. Q1 : −2 + 16x − 8y + 9x2 − 4xy + 6y2 = 0.2. Q2 : −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2 = 0.3. Q3 : 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2 = 0.

Solutie. Vom aduce la forma redusa doar conicele 1, 1 si1, celelalte ramânând în seama cititorului.(1) (Metoda valorilor si a vectorilor proprii) Notam cu ffunctia polinomiala de gradul doi care defineste conica Q1si cu R reperul cartezian initial. Daca M este un punct dinspatiu de coordonate (x , y) fata de R, atunci

f (M) = x2 + 3y2 + 4yz − 6x + 8y + 8.

Seminarul 10



si deci

[f ]R =

[9 −2−2 6

]si [[f ]]R =

−2 8 −48 9 −2−4 −2 6

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣ 9 −2−2 6

∣∣∣∣ = 50

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣−2 8 −4

8 9 −2−4 −2 6

∣∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣∣−1 4 −2

8 9 −2−2 −1 3

∣∣∣∣∣∣= 4(−27 + 16 + 16− 36 + 2− 96) = −4 · 125 = −500.

Valorile proprii ale matricii [f ]R sunt radacinile polinomuluisau caracteristic, adica

Seminarul 10



∣∣∣∣ 9− λ −2−2 6− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ (9− λ)(6− λ)− 4 = 0

⇔ λ2 − 15λ+ 54− 4 = 0⇔ λ2 − 15λ+ 50 = 0⇔ λ1 = 10 si λ2 = 5.

Prin urmare ecuatia canonica a conicei Q1 este

10x ′′2 + 5y ′′2 − 50050⇔ x ′′2

12 +y ′′2√

22 = 1 (1.1)

si ea reprezinta o elipsa2.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 10 estesolutia generala a sistemului[

9− 10 −2−2 6− 10

] [uv

]=

[00

]⇔ −u−2v = 0⇔ u = −2v .

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 10este ~e1 = 2√

5~i − 1√

5~j .

2Aici se încheie studiul naturii conicei Q1. Consideratiile ulterioare au învedere reprezentarea sa.

Seminarul 10



Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = 5 estesolutia generala a sistemului[

9− 5 −2−2 6− 5

] [uv

]=

[00

]⇔{

4u − 2v = 0−2u + v = 0

⇔ v = 2u.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = 5

este ~e2 =1√5~i +

2√5~j .

Matricea ortogonala a primei schimbari de coordonateeste

T =

2√5

1√5

− 1√5

2√5

iar schimbarea de coordonate este

x =2√5

x ′ +1√5

y ′

y = − 1√5

x ′ +2√5

y ′.

Seminarul 10



Fata de reperul R′ = (O, ~e1, ~e2) functia f are forma

f (M) = −2 + [16 − 8]

2√5

1√5

− 1√5

2√5

[ x ′

y ′

]+ 10x ′2 + 5y ′2

= −2 +1√5

[40 0]

[x ′

y ′

]+ 10x ′2 + 5y ′2

= −2 + 8√

5x ′ + 10x ′2 + 5y ′2

= 10(

x ′ + 2√5

)2+ 5y ′2 − 10.

A doua schimbare de coordonate este{x ′′ = x ′ + 2√

5y ′′ = y ′,

iar originea reperului fata de care functia are formaredusa are coordonatele{

x ′′ = 0y ′′ = 0,

⇔

{x ′ = − 2√

5y ′ = 0

⇔

x = − 2√

52√5

y =1√5

2√5

⇔

x = −4

5y =

25

,

Seminarul 10



adica originea O′ a reperului fata de care functia f areforma redusa are, fata de reperul initial R, coordonatele(−4

5,25

). Fata de reperul R′′ = (O′, ~e1, ~e2) conica Q1

are ecuatia (1.1). Amintim faptul ca originea O′ areperului R′′ coincide cu centrul elipsei Q1 si decicoordonatele sale se pot gasi si rezolvând sistemul liniar.{

fx = 0fy = 0.

Seminarul 10



(Metoda unghiului si a centrului unic) Unghiul vectorilor~isi ~f1 este dat de ecuatia

a12tg2θ+(a11−a22)tgθ−a12 = 0⇐⇒ −2tg2θ+3tgθ+2 = 0,

iar aceasta are radacinile tgθ1 = 2 si tgθ2 = −12 . Alegem

solutia din intervalul(0, π2

), adica tgθ1 = 2. Valorile proprii

ale matricii [f ]R sunt µ1 = a11 + a12tgθ1 = 9− 4 = 5 siµ2 = a11 − a12ctgθ1 = 9 + 2 · 1

2 = 10. Asadar ecuatiaredusa a elipsei este

X 2√

2+

Y 2

12 = 1.

În sfârsit, coordonatele centrului elipsei sunt date desolutia sistemului{

fx = 0fy = 0.

⇐⇒{

16x + 18x − 4y = 0−8− 4x + 12y = 0

⇐⇒ x = −45, y =

25.

Seminarul 10



Seminarul 10



(2) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi caredefineste conica Q2 si cu R reperul cartezian initial. DacaM este un punct din spatiu de coordonate (x , y) fata deR, atunci f (M) = −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2 si deci

[f ]R =

[0 22 3

]si [[f ]]R =

−36 8 68 0 26 2 3

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣ 0 22 3

∣∣∣∣ = −4

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣−36 8 6

8 0 26 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣∣−18 4 3

4 0 16 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 8

∣∣∣∣∣∣−9 4 3

2 0 13 2 3

∣∣∣∣∣∣= 8(12 + 12 + 18− 24) = 8 · 18 = 144.


Seminarul 10



∣∣∣∣ −λ 22 3− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ −λ(3− λ)− 4 = 0

⇔ λ2 − 3λ− 4 = 0⇔ λ1 = 4 si λ2 = −1.


4x ′′2 − y ′′2 − 1444⇔ x ′′2

32 −y ′′2

62 = 1 (1.2)

si ea reprezinta o hiperbola3.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 4 estesolutia generala a sistemului[−4 22 3− 4

] [uv

]=

[00

]⇔ 2u − v = 0⇔ v = 2u.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 4este ~e1 = 1√

5~i + 2√

5~j .


Seminarul 10



Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 estesolutia generala a sistemului[

1 22 3 + 1

] [uv

]=

[00

]⇔ u + 2v = 0⇔ u = −2v .

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = −1

este ~e2 = − 2√5~i +

1√5~j .


T =

1√5− 2√

52√5

1√5


x =1√5

x ′ − 2√5

y ′

y =2√5

x ′ +1√5

y ′.

Seminarul 10




f (M) = −36 + [16 12]

1√5− 2√

52√5

1√5

[ x ′

y ′

]+ 4x ′2 − y ′2

= −36 +[

40√5− 20√

5

] [ x ′

y ′

]+ 4x ′2 − y ′2

= −36 + 40√5x ′ − 20√

5y ′ + 4x ′2 − y ′2

= 4(

x ′2 + 10√5x ′ + 5

)− 20−

(y ′2 + 4

√5y ′ + 20

)+ 20− 36

= 4(x ′ +

√5)2 −

(y ′ + 2

√5)2 − 36

A doua schimbare de coordonate este{x ′′ = x ′ +

√5

y ′′ = y ′ + 2√

5,

iar originea reperului fata de care functia are formaredusa are coordonatele

Seminarul 10



{x ′′ = 0y ′′ = 0,

⇔{

x ′ = −√

5y ′ = −2

√5

⇔

x = − 1√

5

√5 + 2

2√5

√5

y = − 2√5

√5 − 2

1√5

√5

⇔{

x = 3y = −4

,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f areforma redusa are, fata de reperul initial R, coordonatele(3,−4). Fata de reperul R′′ = (O′, ~e1, ~e2) conica Q2 areecuatia (1.2). Amintim faptul ca originea O′ a reperuluiR′′ coincide cu centrul hiperbolei Q2 si deci coordonatelesale se pot gasi si rezolvând sistemul liniar.{

fx = 0fy = 0.

Seminarul 10



Seminarul 10



(Metoda unghiului si a centrului unic) Unghiul vectorilor~isi ~e1 este dat de ecuatia

a12tg2θ+(a11−a22)tgθ−a12 = 0⇐⇒ −2tg2θ+3tgθ+2 = 0,

iar aceasta are radacinile tgθ1 = 2 si tgθ2 = −12 . Alegem

solutia din intervalul(0, π2

), adica tgθ1 = 2. Valorile proprii

ale matricii [f ]R sunt λ1 = a11 + a12tgθ1 = 0 + 4 = 4 siλ2 = a11 − a12ctgθ1 = 0− 2 · 1

2 = −1. Asadar ecuatiaredusa a hiperbolei este

4x ′′2 − y ′′2 − 1444⇔ x ′′2

32 −y ′′2

62 = 1.

În sfârsit, coordonatele centrului hiperbolei sunt date desolutia sistemului{

fx = 0fy = 0.

⇐⇒{

16 + 4y = 012 + 4x + 6y = 0

⇐⇒ x = 3, y = −4.

Seminarul 10



(3) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi caredefineste conica Q3 si cu R reperul cartezian initial. DacaM este un punct din spatiu de coordonate (x , y) fata deR, atunci f (M) = 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2 si deci

[f ]R =

[1 −2−2 4

]si [[f ]]R =

1 −3 1−3 1 −2

1 −2 4

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣ 1 −2−2 4

∣∣∣∣ = 0

si

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −3 1−3 1 −2

1 −2 4

∣∣∣∣∣∣ = 4 + 6 + 6− 1− 4− 36 = −25


Seminarul 10



∣∣∣∣ 1− λ −2−2 4− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ (1− λ)(4− λ)− 4 = 0

⇔ λ2 − 5λ+ 4− 4 = 0⇔ λ(λ− 5) = 0⇔ λ1 = 5 si λ2 = 0.


5y ′′2 ± 2

√−−25

5x ′′ = 0⇔ y ′′2 ± 2√

5x ′′ = 0 (1.3)

si ea reprezinta o parabola4.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 0 estesolutia generala a sistemului[

1− 0 −2−2 4− 0

] [uv

]=

[00

]⇔ u − 2v = 0⇔ u = 2v .

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 0

este ~e1 =2√5~i +

1√5~j .


Seminarul 10



Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = 5 estesolutia generala a sistemului[

1− 5 −2−2 4− 5

] [uv

]=

[00

]⇔ −2u−v = 0⇔ v = −2u.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = 5este ~e2 = − 1√

5~i + 2√

5~j .


T =

2√5− 1√

51√5

2√5


x =2√5

x ′ − 1√5

y ′

y =1√5

x ′ +2√5

y ′.

Seminarul 10




f (M) = 1 + [−6 2]

2√5− 1√

51√5

2√5

[ x ′

y ′

]+ 5y ′2

= 1− 10√5x ′ + 10√

5y ′ + 5y ′2

= 5(y ′2 + 2√5y ′ + 1

5)− 1− 10√5x ′ + 1

= 5(

y ′ + 1√5

)2− 2√

5x ′

A doua schimbare de coordonate este{x ′′ = x ′

y ′′ = y ′ + 1√5,

iar originea reperului fata de care functia are formaredusa are coordonatele

Seminarul 10


Seminarul 10Aducerea conicelor la formaizometrica redusa{

x ′′ = 0y ′′ = 0,

⇔

{x ′ = 0y ′ = − 1√

5⇔

x =

1√5

1√5

y = − 2√5

1√5

⇔{

x = 15

y = −25,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f areforma redusa are, fata de reperul initial R, coordonatele(1

5 ,−25

). Fata de reperul R′′ = (O′, ~e1, ~e2) parabola Q3

are ecuatia y ′′2 = 2√5x ′.

Seminarul 10



Seminarul 10



Galbura Gh., Radó, F., Geometrie, Editura didacticasi pedagogica-Bucuresti, 1979.

Radó, F., Orban, B., Groze, V., Vasiu, A., Culegere deProbleme de Geometrie, Lit. Univ. "Babes-Bolyai",Cluj-Napoca, 1979.

Seminarul 10 Conf. Dr. PINTEA Cornel-Sebastian …cpintea/data/uploads/sol_seminarul-10.pdf9 10 2 2...

Documents

Transcript of Seminarul 10 Conf. Dr. PINTEA Cornel-Sebastian …cpintea/data/uploads/sol_seminarul-10.pdf9 10 2 2...