curs7+8
8
Probleme de extrem cu leg˘ aturi (extrem condit ¸ionat) Fie f : D ⊂ R n → R ¸ si sistemul de leg˘ aturi (1) F 1 (x 1 , ..., x n )=0 .... F p (x 1 , ..., x n )=0 , p < n. Definit ¸ie: Extremele funct ¸iei f care satisfac sistemul de leg˘ aturi (1) s.n. extreme condit ¸ionate de (1) ale funct ¸iei f (sau extremele funct ¸iei f cu leg˘ aturile (1)). Altfel spus, (a 1 , ..., a n ) este punct de maxim condit ¸ionat pentru funct ¸ia f cu leg˘ aturile (1) dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a punctului (a 1 , ..., a n ) a.i. pentru orice (x 1 , ..., x n ) ∈ V care satisface sistemul (1): f (x 1 , ..., x n ) ≤ f (a 1 , ..., a n ). Vom presupune c˘ a F 1 , ..., F p sunt derivabile part ¸ial pe domeniul D ¸ si c˘ a determinantul matricii Jacobiene a sistemului de funct ¸ii F 1 , ..., F p ˆ ın raport cu p dintre variabilele x 1 , ..., x n este nenul pe D: D(F 1 , ..., F p ) D(x 1 , ..., x p ) = ∂F 1 ∂x 1 ... ∂F 1 ∂x p .................... ∂F p ∂x 1 ... ∂F p ∂x p =0. Atunci (1) ⇒ x 1 = φ 1 (x p+1 , ..., x n ) .... x p = φ p (x p+1 , ..., x n ) deci extrem condit ¸ionat pentru funct ¸ia f ˆ ınseamn˘ a extrem liber pentru funct ¸ia u(x p+1 , ..., x n )= f ( φ 1 (x p+1 , ..., x n ), ..., φ p (x p+1 , ..., x n ),x p+1 , ..., x n )
-
Upload
daniel-ababei -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
description
Curs Matematica 7-8
Transcript of curs7+8
-
Probleme de extrem cu legaturi (extremconditionat)
Fie f : D Rn R si sistemul de legaturi
(1)
{F1(x1, ..., xn) = 0....Fp(x1, ..., xn) = 0
, p < n.
Definitie: Extremele functiei f care satisfac sistemul de legaturi(1) s.n. extreme conditionate de (1) ale functiei f (sau extremelefunctiei f cu legaturile (1)).
Altfel spus, (a1, ..., an) este punct de maxim conditionat pentrufunctia f cu legaturile (1) daca exista o vecinatate V a punctului(a1, ..., an) a.i. pentru orice (x1, ..., xn) V care satisface sistemul(1):
f(x1, ..., xn) f(a1, ..., an).Vom presupune ca F1, ..., Fp sunt derivabile partial pe domeniul D sica determinantul matricii Jacobiene a sistemului de functii F1, ..., Fpn raport cu p dintre variabilele x1, ..., xn este nenul pe D:
D(F1, ..., Fp)
D(x1, ..., xp)=
F1x1
... F1xp
....................Fpx1
...Fpxp
6= 0.Atunci (1)
{x1 = 1(xp+1, ..., xn)....xp = p(xp+1, ..., xn)
deci extrem conditionat pentru functia f nseamna extrem liberpentru functia
u(xp+1, ..., xn) = f(1(xp+1, ..., xn), ..., p(xp+1, ..., xn), xp+1, ..., xn
)
-
deci du = 0, echivalent:
f
y1dy1 + ...+
f
ypdyp +
f
xp+1dxp+1 + ...+
f
xndxn = 0.
Diferentiala totala este invarianta fata de operatia de compunere afunctiilor, asadar:
() fx1
dx1 + ...+f
xpdxp +
f
xp+1dxp+1 + ...+
f
xndxn = 0.
(nu identic n raport cu dx1, ..., dxn).
Metoda multiplicatorilor lui Lagrange: Fie
L(x1, .., xn, 1, .., p) = f(x1, .., xn)+1F1(x1, .., xn)+...+pFp(x1, .., xn).
Diferentiind sistemul (1): (){
F1x1
dx1 + ...+F1xn
dxn = 0....Fpx1
dx1 + ...+Fpxn
dxn = 0.
Din () si ():
( ) Lx1
dx1 + ...+L
xndxn = 0.
Alegem 1, ..., n a.i.Lx1
= ... = Lxp
= 0:{ fx1
+ 1F1x1
+ ...+ pFpx1
= 0....fxp
+ 1F1xp
+ ...+ pFpxp
= 0.
echivalent cu:
{1
F1x1
+ ...+ pFpx1
= fx1
....
1F1xp
+ ...+ pFpxp
= fxp
.
Determinantul sistemului este nenul, deci exista solutie.
-
Atunci ( ) devine Lxp+1
dxp+1+ ...+Lxn
dxn = 0 si, cum xp+1, ..., xnsunt independente, obtinem:
L
xp+1= ... =
L
xn= 0.
Deci, daca (a1, ..., an) extrem conditionat, atunci exista 1, ..., p a.i.{L
xp+1(a1, ..., an, 1, ..., p) = 0, ...,
Lxn
(a1, ..., an, 1, ..., p) = 0
F1(a1, ..., an, 1, ..., p) = 0, ..., Fp(a1, ..., an, 1, ..., p) = 0
adica (a1, ..., an, 1, ..., p) punct stationar (liber) pentru functia luiLagrange.
Exemple:1) Determinati extremele functiei f(x, y, z) = x2+y2+z2 cu legaturaax+ by+ cz = 1.2) Construti o cutie de volum a3 a.i. suprafata sa (fara capac) safie minima.
Integrabilitate
1. Integrare pe domeniu compact
Fie f : [a, b] R marginita.Consideram = (a = x0 < x1 < ... < xn = b) o diviziune a interva-lului [a, b] de norma = maxi=0,n1 |xi+1 xi|.Fie = (1, ..., n) un s.p.i. atasat diviziunii : i [xi1, xi), i =1, n.
Notam cu (f,, ) =n1
i=0f(i+1)(xi+1xi) suma integrala (Rie-
mann) asociata functiei f , diviziunii si s.p.i .
Definitie: Spunem ca f este integrabila (Riemann) pe intervalul[a, b] daca exista I = lim0 (f,, ) independent de alegerea
s.p.i . Notatie: I = baf(x)dx.
Echivalent: pentru orice > 0, exista > 0 a.i. pentru oricediviziune cu < si orice s.p.i atasat : | (f,, ) I| < .
-
2. Integrale improprii
2.1. Integrale pe interval nemarginit
Definitie: Fie f : [a,+) R integrabila pe orice interval [a,A]
[a,). Daca exista si este finita limA
Aa
f(x)dx, spunem ca f este
integrabila pe [a,) (sau ca integrala este convergenta); notam cu a
f(x)dx = limA
Aa
f(x)dx.
Exemple:
1)
0
exdx;
2)
1
x1+ x2
dx
Observatie: Analog se definesc: a
f(x)dx = limA
aA
f(x)dx;
f(x)dx =
a
f(x)dx+
a
f(x)dx = limA, A
AA
f(x)dx.
Observatie: Integralele improprii pot fi transformate n serii nu-merice, prin urmare le vom putea studia cu ajutorul seriilor.
Criterii de convergenta:
I. pentru functii pozitive:Criteriul de comparatie: Fie f, g : [a,) R a.i. f(x) g(x) 0, x [a,).
-
1) Daca a
f(x)dx este convergenta, atunci a
g(x)dx este con-vergenta;2) Daca
a
g(x)dx este divergenta, atunci a
f(x)dx este diver-genta.
Criteriul de comparatie la limita: Fie f, g : [a,) R+ a.i.limx f(x)g(x) = (0,), atunci cele doua integrale au aceeasinatura.
Teorema: Fie f : [1,) R+ continua si descrescatoare. Atunciintegrala
1
f(x)dx are aceeasi natura cu seria
n=1f(n).
Aplicatie: a
1xdx (a > 0) are aceeasi natura cu seria armonica
generalizata
n=11n.
Consecinta: Daca limx
xf(x) = (0,), atunci a
f(x)dx este
convergenta pentru > 1, divergenta pentru 1.
II. pentru functii de semn arbitrar:Definitie: Integrala
a
f(x)dx s.n.:
1) absolut convergenta daca integrala a|f(x)|dx converge;
2) semiconvergenta daca e convergenta, dar integrala a|f(x)|dx
diverge.
Teorema: Orice integrala absolut convergenta este convergenta.
Exemplu: 0
e2xsin xdx.
Criteriul lui Dirichlet: Daca f este integrabila pe orice interval
[a,A] [a,), A
af(x)dx
M, A si g este monoton convergentala 0 cand x, atunci
a
f(x)g(x)dx converge.
-
Criteriul lui Abel: Daca f este integrabila pe [a,) si g estemonotona si marginita, atunci
a
f(x)g(x)dx converge.
Exemplu: 1
sin xx
, > 0.
2.2. Integrale ale functiilor nemarginite pe interval marginit
Fie f o functie reala a.i. limxc f(x) = , c [a, b]. Vom studiadoar cazul n care c = a.
Definitie: Fie f : (a, b] R a.i. limxa
f(x) = . Daca f esteintegrabila pe orice interval [, b] (a, b] si exista si este finita
lima
b
f(x)dx, spunem ca f este integrabila pe (a, b] (sau ca inte-
grala este convergenta); notam cu ba
f(x)dx = lima
b
f(x)dx.
Observatie: Similar se defineste
ba
f(x)dx cand:
limxb f(x) = : ba
f(x)dx = limb
a
f(x)dx;
limxc f(x) = , c (a, b): ba
f(x)dx =
ca
f(x)dx+
bc
f(x)dx = limc
a
f(x)dx+limc
bf(x)dx.
Exemple: 10ln x dx,
32
dx3x.
-
Observatie: Daca f este integrabila pe [a, b], atunci este integra-bila pe (a, b]. Nu si reciproc.
Observatie: Integralele improprii pot fi transformate n serii nu-merice.
Criterii de convergenta:
I. pentru functii pozitive:Criteriul de comparatie: Fie f, g : (a, b] R a.i. f(x) g(x) 0, x si limxa g(x) = +.1) Daca
baf(x)dx este convergenta, atunci
bag(x)dx este conver-
genta;
2) Daca bag(x)dx este divergenta, atunci
baf(x)dx este divergenta.
Criteriul de comparatie la limita: Fie f, g : (a, b] R culimxa f(x) = limxa g(x) = + a.i. limxa f(x)g(x) = (0,). Atuncicele doua integrale au aceeasi natura.
Consecinta: Daca limxa
(x a)f(x) = (0,), atunci baf(x)dx
este convergenta pentru < 1, divergenta pentru 1.
II. pentru functii de semn arbitrar:Definitie: Fie f : (a, b] R a.i. limxa f(x) = . Integrala baf(x)dx s.n.:
1) absolut convergenta daca integrala ba|f(x)|dx converge;
2) semiconvergenta daca e convergenta, dar integrala ba|f(x)|dx
diverge.
Teorema: Orice integrala absolut convergenta este convergenta.
Exemplu: 10
sin 1x
xdx, (0,1).
-
3. Convergenta integralelor improprii n sensul valorii princi-pale:
Reamintim:
f(x)dx = limA, A
AA
f(x)dx.
Daca exista limita limA AA f(x)dx, spunem ca integrala este con-
vergenta n sensul valorii principale si notam
(v.p)
f(x)dx = limA
AA
f(x)dx.
Observatie: Daca integrala este convergenta, atunci este conver-genta n sensul valorii principale. Reciproc nu.
Exemplu:
2xx2+1
dx.
Reamintim: daca limxc f(x) = n c (a, b), atunci ba
f(x)dx = lim0,0
( ca
f(x)dx+
bc+
f(x)dx
).
Daca exista limita lim0( c
af(x)dx+
bc+
f(x)dx), spunem ca
integrala este convergenta n sensul valorii principale si notam
(v.p)
ba
f(x)dx = lim0
( ca
f(x)dx+
bc+
f(x)dx
).
Observatie: Daca integrala este convergenta, atunci este conver-genta n sensul valorii principale. Reciproc nu.
Exemplu: 20
dxx1.
