VALOAREA ÎN TIMP A BANILOR

OBIECTIVE Înţelegerea conceptelor de actualizare sau compunere; Analiza valorii prezente şi a valorii viitoare a unei sume şi a unei anuităţi; Aplicarea conceptelor specifice valorii în timp a banilor în gestiunea financiară.

REZUMAT Conceptele de valoare prezentă, actualizare sau compunere sunt frecvent utilizate în

majoritatea tipurilor de analiză financiară, înţelegerea lor este vitală pentru reuşita analizei şi fundamentarea deciziilor financiare.

Problematica valorii în timp a banilor identifică diferenţa de valoare resimţită de un investitor în cazul în care obţinerea unei sume poate fi realizată mai devreme, respectiv mai târziu.

Valoarea viitoare este valoarea pe care o va avea, la o anumită dată viitoare, o anumită sumă de bani, disponibilă astăzi, compusă la o anumită rată procentuală. Valoarea prezentă este valoarea de astăzi a unei sume de bani viitoare actualizată la un anumit procent.

Pentru a face comparabilă o sumă încasată astăzi cu o sumă ce va fi încasată peste un an, trebuie să se ţină cont de rentabilitatea la care ar putea fi investită suma respectivă pe parcursul perioadei de un an. Rata de rentabilitate la care se realizează compunerea (fructificarea), respectiv actualizarea, diferă în funcţie de plasamentul făcut, deoarece, din punctul de vedere al aplicării acestor tehnici, viitorul este incert. Astfel, rata de actualizare va cuprinde două componente: o rată de rentabilitate minimă acceptabilă, oferită de cele mai sigure plasamente, denumită rată fără risc, şi o componentă suplimentară, direct dependentă de riscul asociat investiţiei, denumită primă de risc.

IV.1. Concepte de bază ale valorii prezente

Problema centrală care se pune este dacă cineva trebuie să prefere un leu primit astăzi în locul unui leu ce-l va primit exact peste un an, de exemplu. Răspunsul este, bineînţeles, pozitiv pentru că dacă acel leu este depus la bancă, peste un an el va valora 1,20 lei (dacă rata anuală a dobânzii este de 20%) şi, deci, acel cineva ar avea un câştig de 0,20 lei (în exemplificare nu trebuie să ne deranjeze valoarea derizorie a leului nostru azi). Deci, concluzia este clară, un leu astăzi este mai valoros decât un leu la aceeaşi dată, dar peste un an.

Există două motive pentru susţinerea acestei concluzii: (1) natura umană dă o mai mare apreciere unei recompense imediate decât uneia ce ar fi primită în viitor, şi (2) inflaţia erodează puterea de cumpărare a unui leu (sau oricare unitate monetară) în decursul timpului dacă este păstrat sub formă lichidă (dacă nu este investit). Deci, rezultă că banii au o valoare în timp.

Valoarea în timp a banilor este reflectată în rata dobânzii care

este încasată sau plătită pentru dreptul de a utiliza banii pentru diferite perioade de timp.

Putem da acum răspunsul de ce trebuie să preferăm 1000 lei primiţi astăzi în locul a 1000 lei

primiţi exact peste un an. Dacă rata dobânzii anuale este 10%, atunci 1000 lei astăzi vor valora 1100 lei peste un an de zile. Această sumă s-a calculat astfel:

(l+0,10) x 1000= 1100 lei Putem de asemenea, să calculăm valoarea de astăzi a celor 1000 lei ce ar trebui primiţi peste

un an. Pentru a realiza aceasta, este necesar să determinăm cât trebuie investit astăzi, la o rată a dobânzii de 10% anual, pentru a obţine 1000 lei peste un an. Această sumă se obţine astfel:

1000/l,10 = 909,10 lei Deci valoarea prezentă a celor 1000 lei obţinuţi peste un an este 909,10 lei. Conceptul de valoare prezentă este crucial în finanţele firmei. Investitorii încredinţează

resursele (fondurile) lor acum (în prezent) în aşteptarea primirii unor profituri viitoare. La evaluarea corectă a veniturilor furnizate de o investiţie, este necesar a lua în considerare că veniturile se obţin în viitor. Aceste sume monetare viitoare trebuiesc exprimate în termenii valorii prezente pentru a aprecia rentabilitatea investiţiei, comparându-le cu costul acesteia sau valoarea de piaţă curentă. În plus, încasările de numerar efectuate în diferite date pe scara timpului nu sunt comparabile direct, decât utilizând metoda valorii prezente (VP).

Iată de ce, dintre toate tehnicile folosite în finanţe, nici una nu este mai importantă decât conceptul valorii în timp a banilor, sau analiza actualizării fluxurilor de numerar.

IV.2. Procesele compunerii şi actualizării

Procesul compunerii este un proces aritmetic de determinare a

valorii finale a unei plăţi sau serii de plăţi când dobânda este menţinută ca investiţie până la final (este compusă).

Înţelegerea conceptului de dobândă compusă este esenţială pentru o gestiune financiară

eficace. De fapt, cine are de-a face cu banii trebuie să ştie câte ceva despre dobânda compusă. Pentru ilustrarea compunerii, presupunem că l leu este investit astăzi pentru o perioadă de t ani la o rată a dobânzii rt cu compunerea anuală a dobânzii. Câţi lei vor fi obţinuţi la finele perioadei t pentru l leu investit?

Răspunsul îl vom găsi procedând pe etape anuale la calcularea valorii finale (viitoare) la finele fiecărui an. La finele primului an, este adăugată o sumă a dobânzii r, obţinându-se în total l + r1 lei. Deoarece dobânda este compusă (nu este retrasă de investitor), la finele anului doi dobânda ce se plăteşte se calculează la întreaga suma 1+r, astfel încât dobânda plătită la finele anului doi este r2 (l + r1). Deci, suma totală la finele celor doi ani este:

valoarea viitoare a unui leu după doi ani = (l + r1) + r2(l + r1) =

= l + r1+ r2 + r1r2

Cu alte cuvinte, valoarea viitoare după doi ani cuprinde patru cantităţi: valoarea de început

(investiţia) de l leu, dobânda obţinută pentru suma investită după un an, r1; dobânda obţinută pentru suma investită pentru anul doi, r2; şi dobânda obţinută pentru dobânda din anul întâi pe parcursul anului doi, r1r2. Dacă rata dobânzii este constantă - adică r1 = r2 = rt - atunci termenul compus r1r2 poate fi scris rt

2. Continuând raţionamentul, dobânda plătită la finele anului trei este r3(l+ rt)2, astfel:

valoarea viitoare a unui leu după trei ani = (l+rt)2 + r3(l+rt)2 = = l + r1 + r2 + r3 + r1r2 + r1r3 + r2r3 + r1r2r3 = (l+rt)3

Raţionând la fel, după t ani, în care t este număr întreg şi pozitiv, obţinem:

valoarea viitoare a unui leu după t ani = (l+rt)t (1)

Expresia (1+r)t poartă denumirea de factor de compunere, iar r este rata de compunere.

Factorul de compunere este, deci, expresia, numărul, în realitate, care se găseşte în tabele, şi care se foloseşte la găsirea valorii viitoare a unei sume prezente în condiţiile unei anumite rate a dobânzii (rata de compunere).

Procesul prin care se determină valoarea viitoare a unei sume prin compunerea dobânzii (calculul dobânzii la dobândă) la o rată anumită a dobânzii, poartă denumirea de compunere.

Folosind expresia 1 putem calcula cât se va primi pentru 1000 lei investiţi, la o rată a dobânzii de 8%, peste 5 ani:

1000 (1+0,08)5 = 1000 x (1,08)5 = 1469,33 lei

Suma totală a dobânzii de 469,33 lei este compusă din 400 lei dobândă aferentă sumei

investite (80 lei/an x 5 ani) şi 69,33 lei din compunerea dobânzii (calcularea dobânzii la dobândă). Pentru uşurarea calculelor există tabele speciale (vezi anexa) cu factorii de compunere în

funcţie de numărul de ani de compunere şi rata dobânzii (rata de compunere) din care aceşti factori se pot lua.

Un caz aparte şi foarte important al compunerii îl constituie compunerea continuă. Formula 1 poate fi utilizată şi dacă dobânda este compusă la un interval mai mic decât un an

de zile. De exemplu, presupunem că dobânda se compune semestrial, cu o rată anuală a dobânzii de 8%. Aceasta înseamnă că 4% va fi adăugat în cont la finele fiecărui semestru. Presupunând că cei 1000 lei sunt investiţi pe 5 ani, deoarece există zece perioade de compunere (2 semestre/an x 5 ani), suma totală obţinută după 5 ani va fi:

1000 (l + 0,04)10 = 1000 (1,04)10 = 1480,24 lei

Suma în plus de 10,91 lei (480,24 lei - 469,33 lei) este determinată de efectul mărit al compunerii care are loc de zece ori, în loc de cinci ori.

Deoarece multe investiţii generează venituri pe parcursul mai multor ani în viitor, este important să se aprecieze valoarea prezentă a plăţilor (încasărilor) viitoare. Presupunem că o sumă de bani va fi primită după t ani la o rată anuală a dobânzii constantă pe această perioadă de r. În ecuaţia 1, am arătat că valoarea viitoare la finele a t ani este (1+r)t pentru un leu. Invers, valoarea prezentă a unui leu ce va fi primit la finele a t ani este:

ttr

VP)1(

1+

= (2)

Expresia de mai sus poartă denumirea de factor de actualizare, iar rt de rata de

actualizare. Deci, factorul de actualizare ajută la aflarea valorii prezente a unui leu primit după t ani la o rată de actualizare (rata dobânzii) rt.

Procesul de aflare a valorii prezente a unei plăţi sau a unei serii de

plăţi (fluxuri de numerar) viitoare poartă numele de actualizare şi este reversul compunerii.

IV.3. Valoarea viitoare şi valoarea prezentă a unei singure sume de bani

Valoarea viitoare a unei sume prezente este valoarea pe care o va avea această sumă în

viitor datorită creşterii ei pe seama luării în calcul a ratei dobânzii. În cazul particular când nu are loc compunerea dobânzii (dobânda este calculată, spre

exemplu, anual şi este retrasă) pentru calculul valorii viitoare se foloseşte formula dobânzii simple (aritmetică). Valoarea viitoare (VV) în funcţie de valoarea prezentă (VP) şi rata dobânzii r este dată de ecuaţia:

VV = VP (l + n x r) (3)

unde: n = numărul de perioade (zile, trim., an) r = rata dobânzii aferentă fiecărei perioade

Pentru cazul particular când n = l an, expresia valorii viitoare este:

VV = VP + VP x r

unde VP este cunoscută sub denumirea de capital, iar VP x r este valoarea dobânzii adăugată, după un an de fructificare, la capital.

Dacă perioada de compunere este lungă, să zicem 20 de ani, procesul de aflare a valorii viitoare este mai greoi, deoarece presupune calcularea expresiei (1+r)20, în cazul nostru. Uşurarea calculelor are loc dacă se folosesc factorii de compunere (FC) din tabelele speciale (vezi anexa).

Utilizarea tabelelor cu factori de compunere are loc astfel: să presupunem că dorim să ştim factorul de compunere pentru o rată a dobânzii de 6% pentru 20 de ani, adică FC6%,20. Din tabel găsim numărul 3,20714 la intersecţia coloanei 6% (a dobânzii) cu rândul 20 (al perioadei).

Utilizând factorul de compunere, avem formula: VV = VP x FCr,n (4)

unde r = rata nominală a dobânzii pe an iar n = numărul de perioade (ani).

Valoarea prezentă este valoarea de astăzi a unei plăţi (încasări) sau a unor serii de plăţi (încasări) viitoare actualizate cu o rată de actualizare corespunzătoare.

Folosind formula 2 a factorului de actualizare putem scrie formula valorii prezente (VP), astfel:

( )trVVVP

+⋅=

11 (5)

De menţionat că şi pentru factorul de actualizare (FA) există tabele (vezi anexa) care dau

valorile acestuia pentru diferite rate de actualizare (rate ale dobânzii) şi diferite perioade de timp, ceea ce uşurează mult calculele, în acest caz ecuaţia 5 se rescrie astfel:

VP = VV x FAr;n (6)

De exemplu, tabelele cu factori de actualizare pot fi utilizate la determinarea valorii

prezente a 1000 lei primiţi peste 20 de ani la o rată de actualizare de 10%. VP = VV x FA10%,20 = 1000 lei x 0,14864 = 148,64 lei

IV.4. Valoarea prezentă şi viitoare a unei anuităţi

O anuitate este o formă specială a fluxului de venit în care plăţile au loc în mod regulat şi

egal în decursul unei perioade de timp. Ea poate avea loc fie la începutul, fie la sfârşitul perioadei. Anuitatea care are loc la finele perioadei se numeşte anuitate ordinală sau obişnuită, care este cea mai frecvent întâlnită. Anuitatea care are loc la început de perioadă poartă numele de anuitate cuvenită. Noi, în continuare, vom face referire la anuitatea obişnuită.

IV.4.1. Valoarea prezentă a unei anuităţi ordinare Presupunem că o sumă C este primită la finele fiecăreia din următoarele n perioade de timp

(care pot fi, spre exemplu, luni, trimestre sau ani). Admitem, în plus, că rata dobânzii pentru fiecare perioadă este constantă şi egală cu r. Atunci valoarea prezentă a unei sume ce va fi primită la finele primei perioade va fi C/(l+ r), valoarea prezentă a următoarei sume este C/(l+ r)2, şi aşa mai departe.

Deci, valoarea prezentă pentru N perioade de anuităţi este:

NrC

rC

rCVP

)1(...................

)1(1 2 +++

++

+=

Se poate demonstra că expresia de mai sus este similară cu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⋅= NrrrCVP

)1(11 (7)

Dacă avem în vedere că paranteza reprezintă factorul de actualizare pentru anuitate, ecuaţia 7 se poate scrie:

VP = C x FAA r,n (8)

unde C = anuitatea;

FAA r,n = factorul de actualizare al anuităţii pentru o rată a dobânzii r şi pentru n perioade. Diferitele valori ale factorului de actualizare al anuităţii se iau, de asemenea, din tabele (vezi anexa).

IV.4.2 Valoarea prezentă a unei anuităţi perpetue În cazul extrem al unei anuităţi perpetue, adică plata (încasarea) are loc permanent şi

pentru totdeauna (la infinit), membrul doi al parantezei din ecuaţia 7 este egal cu zero (N →∞), şi, deci valoarea prezentă a unei anuităţi perpetue este dată de expresia:

rCVP = (9)

De exemplu, pentru o rată a dobânzii de 8% valoarea prezentă a unei anuităţi perpetue de

1000 lei este: 1000 / 0,08 = 12.500 lei

De remarcat că suma de 12.500 lei este suma limită (când N = ∞), or, în mod normal, valoarea prezentă a unei anuităţi de 1000 lei cu o rată a dobânzii de 8% trebuie să fie mai mică decât 12.500 lei.

Când anuitatea perpetuă este crescătoare (cu o rată g) formula valorii prezente este:

grCVP−

= (10)

unde C este fluxul de numerar primit la fiecare perioadă, g este rata de creştere pentru fiecare perioadă, exprimată ca procent, iar r este rata corespunzătoare de actualizare.

IV.4.3 Valoarea viitoare a unei anuităţi În cazul unei anuităţi de C lei pe an, valoarea viitoare se calculează utilizând ecuaţia:

VV = C(1+r)N-1 + C(1+r)N-2 + ….. + C(1+r)0 ∑−

=

+⋅=1

0)1(

N

t

trC

sau VV = C x FCAr,n (11)

unde FCA r,n este factorul de compunere al anuităţii.