Dan.Micu@et.utcluj.ro

Curs 4+5 CONDIIONAREA SISTEMELOR DE ECUAII

ALGEBRICE N ANALIZA CIRCUITELOR

ELECTRICE

METODE NUMERICE

n rezolvarea circuitelor electrice n curent continuu i alternativ la apariia unei perturbaii n elementele matricilor corespunztoare circuitelor, apar frecvent sisteme de ecuaii liniare degenerate, a cror principal caracteristic este caracterul de problem incorect pus n sensul c variaii mici ale membrului drept, duc la variaii mari ale soluiei.Trecerea de la sistemele nedegenerate la cele degenerate se face gradat, astfel c se vorbete de sisteme bine condiionate i de sisteme ru condiionate. Condiionarea apare astfel ca o msur a gradului de degenerare. Evident c este util de tiut dac circuitul este reflectat de un sistem bine condiionat sau ru condiionat, i de asemenea de apreciat apriori msura relei condiionri.n consecin, rezolvarea unui circuit electric supus perturbaiilor se face prin etapele prezentate n figura:

CONDIIONAREA SISTEMELOR DE ECUAII ALGEBRICE LINIARE N ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE

Model fizic(Circuitul electric)

Model matematic(Ecuaiile

matriciale )

Prelucrare modelmatematic

A z = u

Etapele modelrii n studiul circuitelor electrice

Analiza circuitelor electrice se face la un circuit electric aflat n funcionare ntr-un mediu bine determinat unde se cunosc toate sursele de perturbaii care pot s-l agreseze.

Este important de observat c oricare ar fi modelul numeric se ajunge la un sistem liniar de ecuaii algebrice: Az = u (R I=E )

Vectorul termenilor liberi u constituie vectorul cauz,vectorul mrimilor necunoscute z este vectorul efect iar matricea de legtur este A.

n acest sistem se reflect aciunea agresoare a perturbaiei care poate afecta vectorul cauz sau termenii matricei de legtur. Odat unul din aceti factori fiind modificat se va modifica i vectorul efect.

Se vor prezenta cteva exemple de probleme de electrotehnic care ducla sisteme de ecuaii liniare, exemple grupate n funcie de regimul devariaie n timp a mrimilor.

n regim static: reele de condensatoare; relaiile lui Maxwell pentru capaciti.n regim staionar: prize de pmnt; circuite de curent continuu.n regim cvasistaionar: circuite de curent alternativ; analiza cmpului electromagnetic.n regim variabil: analiza cmpului electromagnetic.

Sistemele liniare de ecuaii au comportri diferite atunci cnd sunt supuse unor perturbaii. Soluiile unor sisteme sunt instabile fa de mici variaii ale datelor iniiale astfel nct variaii mici ale membrului drept sau ale coeficienilor sistemului duc la variaii orict de mari ale soluiei.

Este util s se introduc un numr real i pozitiv pentru a caracteriza un sistem de ecuaii. Acest numr este numrul de condiionare i el permite s se evalueze stabilitatea sistemului (imunitatea circuitului) la perturbaii. Definirea numrului de condiionare este legat de norma matriceal.

Bazele matematice ale numarului de conditionareNorma unui vector

=

n

2

1

v...vv

v

+||v||Norma vectorului este un numar pozitiv care se noteaz cu

Proprietati:

00|||| == vv

||v|||k|||vk|| =

|||||||||||| uvuv ++ - inegalitatea triunghiului

- nenegativitate

- omogenitate

Se considera vectorul

1. Norma sum (pentru p=1)

2. Norma euclidian (pentru p=2)

Exista trei norme importante (norme Holder):

=+++= ,2,1p;)|v|...|v||v(|||v|| p1

pn

p2

p1p

|v|...|v||v|||v|| n211 +++=

2n

22

212 v...vv||v|| +++=

[ ] 2n2221n

2

1

n21T2

2 v...vvvvv

v...vvvv||v|| +++=

==

3. Norma maxim:

( ) n,,2,1i|,v|maxvv...vvlim||v|| imaxip1pnp2p1p K===+++=

Exemplu: Se consider vectorul

=

530

21

,v

Se calculeaz normele Holder

( )55

0930250904153021

38530212222

2

1

===+++=+++=

=+++=

||||v||,,,||v||

,|||,|||||||v||

|v|...|v||v|||v|| n211 +++=222

n212 v...vv||v|| +++=

Valorile proprii i vectorii proprii ai unei matrici

Se consider sistemul de ecuaii liniare scris n form matricial:

[ ] [ ] [ ]uzA =[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]OzIAzzA n ==

care este un sistem omogen:

=

0...00

......

...................

2

1

21

22221

11211

nnnnn

n

n

z

zz

aaa

aaaaaa

[ ] [ ]( ) 0IAdet n =

( )n,...,, 21

Condiia ca un sistem omogen sa admit soluii nebanale este:

Soluiile (rdcinile) ecuaiei de mai sus se numesc valori proprii ale matricei A:

[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ] ( )[ ]

=

==

nn

nzzA

zzA

zzA

...........................................

2

2

2

11

1

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nzzz ...,,, 210

a...aa.............

a...aaa...aa

nn2n1n

n22221

n11211

=

( ) ( ) 0Adet....a...aa)1()1( nn22111n1nnn =++++++

Sistemul va avea soluii multiple:

- vectorii proprii

[ ] [ ]( ) 0IAdet n =

Din relaiile lui Viette suma valorilor proprii ale matricii A:

( )Atracea...aa.. nn2211n321 =+++=++++( )Adet... n = 21

Norma unei matrici Norma unei matrici este un numar real care are proprietatile:

1. Norma Euclidiana a unei matrici Aceast norm este cea mai folosita norm pentru matrici i are relaia:

0A0||A|| ==|||||||||| AccA =

||BA||||B||||A||||;BA||||B||||A|| ++ - inegalitatea triunghiului

- nenegativitate

- neomogenitate

=

=n

j,iijE a||A||

1

2

121132101

=A 22)1(211)3(2)1(01|||| 222222222 =++++++++= EA

Exemplu: Norma Euclidian pentru matricea ptratic A este:

nI En =||||)(|||| 2 AAtraceA TE=2). Ptratul normei se poate scrie si sub forma:

Proprietati: 1). Pentru matricea unitate de ordin n:

Demonstraie:

=

==

nn2n1n

2n2221

n11211

nn2n1n

2n2221

n11211

nnn2n1

2n2212

1n2111

T

b.......bb......................

b.......bbb........bb

a.......aa......................

a.......aaa.......aa

a.......aa......................

a.......aaa.......aa

AAB

( ) ( ) 21

22211 E

n

j,iijnn

T Aab...bbAAtraceBtrace ==+++== =

( ) =

==n

j,iij

TE aAAtraceA

1

22Deci se verifica faptul ca:

+++=

+++=+++=

2nn

2n2

2n1nn

22n

222

21222

21n

221

21111

a...aab...........................................

a...aab

a...aab

=

=n

j,iijE a||A||

1

2

Norma matricial subordonat normei vectoriale

Cea mai mare valoare proprie n modul, a unei matrici se numete valoare spectral. Norma matricii subordonata normei vectoriale, A fiind o matrice de ordin mxn iar z un vector coloan de ordin n, este:

p

p

zp ||z||

||zA||max||A||

p

=0

||zA||max||A||p||z||

p = =1 1===

||z||||z||max

||z||||zI||max||I||

Exista intotdeauna trei tipuri de norme subordonate:

1. Norma sum:

= =====

=+++

++++++

===n

1i

n

1jjij1||z||

nnn22n11n

nn2222121

nn1212111

1||z||11||z||1

1

1z1zamax

za..........zaza...........................................

za..........zazaza..........zaza

max||zA||max||z||

||zA||max||A||

1111

Daca ||z||1 =1 atunci unul dintre cei n termeni ai lui z: z1, z2, ., zn este 1, restul fiind 0, deci

11||||||||max zA

z

= va fi maxim daca acel zi, i = 1.n este 1 si restul sunt 0:

=

=n

1iijj1

|a|max||A||

Exemplu:

11542351143

021

1 =++=

= ||||||||A||A

2. Norma infinit =

===

||zA||max

||z||||zA||

max||A||||z||z 11 ==

n

jiji

aA1

||max||||

9351351143

021=++=

= ||||||||A||AExemplu:

2212 nz...z||z|| ++=

3. Norma matricei subordonate normei vectoriale euclidiene ( norma spectral)

[ ] ( ) ( ) ( )2222121

2122 n

n

nT z...zz

z...zz

z...zzzz||z|| +++=

==

2

2

0z2 ||z||||zA||max||A||

2

=

( ) ( )zz

zAzAmaxz

zAmax||A||

T

T

zz ==

022

22

0

22

22zz

zAAzmax||A|| TTT

22

=

12 =ANorma spectral este cea mai mare dintre valorile proprii ale ale matricii ATA i este cunoscut sub denumirea de raz spectral

222

21 ...... n - valorile proprii ale matricii ATA.

[ ] [ ]( ) 0IAAdet nT = 2=

12

2

2

22 === ||z||

||z||max

||z||||zI||

max||I||

EAA |||||||| 2

Proprietati ale normei spectrale

a) Norma spectral a matricii unitate:

b) Norma spectral este mai mic sau egal cu norma euclidian:

c) Daca este o valoare proprie a matricii A atunci rezulta ca este intotdeauna mai mica sau egala cu norma spectrala a lui A

2|||||| AzzA =

22222 zA||zA||||z||||z|||| ==

Exista un vector astfel incat se poate scrie:

2||A|||| rezulta

1

1|||||| 2

Numarul de conditionare K(A)

Exista unele sisteme care la variaii mici ale termenului liber prezinta variatii mari ale solutiei. De asemenea, daca coeficientul sistemului variaza putin este posibil sa se inregistreze variatii mari ale solutiei. Astfel de sisteme se numesc sisteme rau conditionate (RC).Faptul ca un sistem este rau conditionat sau bine conditionat rezulta din expresia unui singur numar, numit numar de conditionare.Numrul de condiionare ofer informaii despre calitatea unui sistem de a rezista perturbaiilor. Se poate calcula numai dac matricea A este inversabil.

n

AAAK 1

21

2 ||||||||)( ==

reprezint raportul dintre cea mai mare i cea mai mica valoare proprie a matricii ATA unde

222

21 ...... n - valorile proprii ale matricii ATA.

Daca A este matrice simetrica:n

)A(K = 1

n..... >>> 21 - valorile proprii ale matricii A

[ ] [ ]( ) 0IAAdet nT = 2=

1)( AK122

12

12 === ||I||||AA||||A||||A||)A(K

Proprietati ale numarului de conditionare

a) Numrul de condiionare este ntotdeauna supraunitar

)A(K)Ac(K =

)A(K2=||A||||A||||A|||)c(|||A|||c|||)cA(||||cA||)cA(K 122112212 ===

b) Numrul de condiionare nu se modific prin nmulirea matricii cu o constant

( ) ( )AKARK =( ) ( ) } ( ) ( ) 2

2T

T

0zT

ITTT

0zT

T

0z

22 ||A||zz

AzAzmaxzz

AzRRAzmaxzzRAzRAzmax||RA|| ====

( ) ( ) ( )AKAAARARARKA

A

===

21

221

2

21

2 4847648476

c) Numarul de conditionare este invariant la nmulirea cu o matrice ortogonal R

RT=R-1 -matrice ortogonal

Adet||A||

)A(K Eaprox2

( )( ) ( )( ) 21

222

aprox2 2AKAK

=

112501,,

=A

=Adet

A=

2

E

64,59=0,0015486,458491==

22

12

( ) ( ) 010.AKAKaprox ==

0112501

,,

=B

627,01=0,01

6,2701=

626,98=0,00001596,270084=

Exemplu: Pentru matricea

||A||E2 = 1 + 0,52 + 22 + 1,12 = 6,46; det A = 0,1; Kaprox(A)

K(A)

Deci eroarea este:

Pentru matricea

||B||E2 = 6,2701; det B = 0,01; K(B)apr

K(B)Deci eroarea este: = 0,03

64,60

Cele dou exemple de calcul dovedesc precizia formulei aproximative dar de asemenea sugereaz c numrul de condiionare este mare dac valoarea determinantului este mic. Aadar este de ateptat ca un sistem cu valoarea determinantului apropiat de zero s fie ru condiionat.

[ ] [ ]( ) 0IAAdet nT = 2=

Studiul sistemelor de ecuaii care provin din probleme de IEcu ajutorul numrului de condiionare

Exist dou tipuri de perturbaii: cele care acioneaz asupra membrului drept, astfel nct termenul u devine u' i cele care acioneaz asupra matricei coeficienilor, astfel

nct matricea A se transform n A'.

n cazul problemelor de circuite electrice sursele care pot fi afectate sunt generatoarele (sursele) de tensiune i generatoarele de curent.

Fizic, modificri ale matricei coeficienilor apar atunci cnd perturbaia afecteaz structura circuitului (geometria). Elementele componente ale acestei structuri n

cazul aplicaiilor de circuite electrice sunt valorile elementelor de circuit.

Presupunem c sistemul de ecuaii este: A z = u

2

2zz'z

2

2uu'u

K(A)

Imunitatea sistemului n cazul perturbaiilor care afecteaz surseleLa modificarea surselor se modific termenul drept al sistemului care devine u astfel nct soluianu va mai fi z, ci z'.Sistemul neafectat si sistemul afectat de perturbaii: A z' = u'

z' - z = A-1 ( u' - u )

A z = u

Aplicnd norma spectral

Rezult de aici c n cazul n care un sistem are un numr de condiionare marevariaii mici ale membrului drept pot s duc la variaii mari ale soluiei (sistemul se va numi n acest caz ru condiionat).

( )2

2222

1

2

12

/''z'-zu

uzAuuAuuA

==

222zAzA 212 ||||||||)( = AAAK

=+=+

3zz10z3z001.3

21

21

=+=+

7.2'z'z1.10'z3'z001.3

21

21

De exemplu pentru sistemul:

- numrul de condiionare este: k = 20.006.

-presupunem c apar perturbaii care modific sursele circuitului care are ca model matematicsistemul de mai sus.- membrul drept al sistemului se va modifica, astfel nct sistemul devine:

z1= 1000 , z2= -997

z1'= 2000, z2'= -1997,3

la o norm de variaie a membrului drept de 0,311 rezult o norm de variaie a soluiei de 1414.un astfel de sistem are o imunitate mic.

S presupunem c la un circuit electric i corespunde soluia z (cureni). Presupunem c aceast mrime este modificat astfel nct ea devine z'. Evident c va exista un prag ncepnd de la care se va sesiza c cele dou mrimi sunt diferite. Cu ct acest prag este mai mare cu att mai mari sunt perturbaiile care nu influeneaz funcionarea circuitului deci cu att mai mare este imunitatea acestui circuit.

Rezult posibilitatea de a putea asigura o imunitate mai bun prin micorarea numrului de condiionare al sistemului. Se observ c un numr de condiionare mai mic permite perturbaii mai mari care s fie n marja de compatibilitate.

Norma variaiei acestei mrimi soluie calculat pentru valoarea de prag raportat la norma soluiei se va numi imunitate, i se va nota cu I.

O condiie suficient pentru ca mrimea z' s nu fie resimit ca o mrime perturbat este:

( ) Iu

u'uAK

zz'z

2

2

2

2

Imunitatea n cazul perturbaiilor care afecteaz structura circuitului

A' z' = u (A +P)z' = u

AP

)A(K-1

AP

)A(K

zz

2

2

2

2

2

2 x=AP

2

2

( ) ( )[ ] ( )xfxAK1xAKz

z'z 1

2

2 =

Pentru perturbaii x foarte mici, variaia funciei f(x) deci i a soluiei este limitat, dar cnd valoarea x se apropie de 1/k(A) sistemul devine ru condiionat. Dac k(A) este mare, domeniul n care perturbaiile nu influeneaz soluia este foarte mic, deci probabilitatea ca sistemul s fie ru condiionat crete.

Interpretarea geometric a condiionrii sistemelor de ecuaii algebrice

O problem de inginerie electric presupune stabilirea modelului fizic apoi alegerea modelului numeric (adic alegerea modelului matematic i a metodei corespunztoare de prelucrare) i n final rezolvarea sistemului de ecuaii algebrice liniare.

Inegalitatea lui Wielandt i Kantorovitch d o informaie de natur geometric asupra imunitii circuitului.

22 tgKtg ( )

( )

==

=

'...

''

';...

||'||||||'cos

2

1

21

n

nT

T

z

zz

zzzzz

zzzz

( )( )

cos1cos1

22

+=

tg

Compararea a dou circuite supuse aceleiai perturbaiiSe vor considera dou circuite avnd ca model numeric un sistem de ecuaii algebrice liniare. Pentru a putea verifica cu uurin rezultatele se va lua un sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute. Se vor lua n discuie circuitele prin sistemele de ecuaii care le caracterizeaz.

a) Circuit I - sistem cu numrul de condiionare K =64,59

=+=+

21z1.1z210 z 0.5 z

21

21

K = (12/22)0,5 =(6,458491 / 0,001548)0,5 =64,59z1 = 5, z2 = 10

=+

=+9.20z1.1z2

10 z 0.5 z'2

'1

'2

'1 z1' = 5.5, z2' = 9

= 60 37-calculat ntre cei doi vectori u si u

= 2o25' unghiul real calculat ntre cele dou soluii z si z (verifica ineg. W-K)Fig.6. Sistem bine condiionat, cu k=64,59

tg(/2) 0,0599 6o56' cu W-K

=+=+

1.20z01.1z210z5.0z

21

21 98.6260000159.0270084.6K 2

2

21 ==

=

Presupunem c asupra circuitului acioneaz o perturbaie identic cu cea din exemplul precedent, astfel nct membrul drept din cea de-a doua ecuaie a sistemului se va micora cu 0,1.

b) Circuit II - sistem cu numrul de condiionare K =626,98

z1 = 5; z2 =10.

=+=+

20'z01.1'z210'z5.0'z

21

21 z1' = 10; z2' = 0

Se observ c numrul de condiionare al sistemului b) este de aproape zece ori mai mare dect cel al sistemului a).

Aceasta se traduce prin imunitatea mult mai mic a celui de-al doilea circuit (caracterul ru condiionat al sistemului).

Unghiul format de vectorii u si ueste apropiat celui fcut de ctre vectorii corespunztori din exemplul a).

= 60 83' - calculat ntre cei doi vectori u si u

tg(/2) 0,62447 63o 56- limitarea unghiului din W-KValoarea mare a acestui unghi arat c ntre soluia sistemului b) inainte si dupa perturbatie poate fi o diferen foarte mare, sau altfel spus c sistemul b) este ru condiionat.Calculul direct al unghiului dintre soluiile z i z: = 63o 30'care satisface totusi inegalitatea i este foarte apropiat de valoarea maxim precizat de inegalitatea Wielandt i Kantorovitch.

Fig.7. Sistem ru condiionat, cu k = 626,98

Cu ct numrul de condiionare este mai mare cu att unghiul dintre soluii este mai apropiat de valoarea maxim rezultat din inegalitatea Wielandt i Kantorovitch!!!

Cele dou exemple subliniaz un fapt important i anume: un sistem este cu att mai ru condiionat, cu ct unghiul format de vectorul reprezentnd soluia iniial z cu cel care reprezint soluia perturbat z va fi mai mare i mai apropiat de valoarea maxim dat de inegalitatea lui Wielandt i Kantorovitch.

Fig.7. Sistem ru condiionat, cu k = 626,98Fig.6. Sistem bine condiionat, cu k=64,59

APLICATII ALE NUMARULUI DE CONDITIONARE N TEORIA CIRCUITELOR

ELECTRICE

Numarul de conditionare euclidian cu aplicatii in studiul stabilitatii unor circuite electrice de curent

continuu si alternativ

Obiective

Aplicatiile prezentate si rezolvate integral in programul MathCAD au demonstrat posibilitatea folosirii unor rezultate matematice de data recenta legate de numarul de

conditionare euclidian cu aplicatii in studiul stabilitatii unor circuite electrice de curent

continuu si alternativ (care se modeleaza prin sisteme de ecuatii liniare Az = u) afectate

de perturbatii care influenteaza sursele sau structura elementelor circuitului.

Studiul stabilitatii s-a facut pe baza inegalitatii lui Wielandt si Kantorovitch precum si pe baza normei spectrale a matricei inverse a coeficientilor. Studiul stabilitatii s-a

realizat si la variatia unuia sau a mai multor parametri.

S-au avut in vedere doua tipuri de perturbatii, in membrul drept si in matricea coeficientilor sistemului iar algoritmul de calcul propus a fost implementat integral in

programul Mathcad.

Procedura de abordare

Se determina modelul fenomenologic al circuitului studiat

Se stabileste modelul matematic, n urma caruia se ajunge la ecuatia matriciala A z = u

Se alege metoda de rezolvare a modelului matematic

Se evalueaza perturbatia care actioneaza asupra vectorului sursa u sau matricii de legatura A

A. Circuit de curent continuu

Circuit in care un element rezistiv este parametrizat:

x 1 50..( ):= \\ sir de valori; R 1 x( ) x:=R 2 20:= R 3 30:= E 1 15:= V E 2 5:= V E 3 10:= V

Modelarea circuitului electric

A 1 1 1( ):=

B1

0

11

0

1

:=

Relatia matriceala a sistemului de ecuatii Kirkhhoff:

M z T1

R1 x( )

0

1

R2R2

1

0

R3

z1

z2

z3

0

E1 E2E3 E2

Stabilitatea circuitului la perturbatii se va studia in functie de valorile rezistentei notata cu x. Vectorul efect este vectorul curentilor din circuit. Sistemul perturbat va fi de forma:

1

R 1 x( )

0

1

R 2R 2

1

0

R 3

z 1

z 2

z 3

0

E 1 E 2E 3 p+ E 2

Solutia generala a sistemului de ecuatii, cu perturbatia introdusa este:

z x p,( ) M x( ) 1 T p( ):=

Relatia matematica a teoremei lui Wielandt - Kantorovitch:

cos p( ) T 0( )

T p( )

T 0( ) T p( ):= \\ cosinusul unghiului dintre vectorii din membrul drept, neperturbat si perturbat;

\\ cosinusul unghiului dintre vectorii solutiilor neperturbata si perturbata.cos x p,( )

z x 0,( )

z x p,( )

z x 0,( ) z x p,( ):=

tg p2 p( ) 1 cos p( )1 cos p( )+:= \\ tangenta jumatatii unghiului dintre vectorii din membrul drept;

tg p2 x p,( ) 1 cos x p,( )1 cos x p,( )+:=

tg p2 x p,( ) k x( ) tg p2 p( )

Numarul de conditionare al matricei M, calculat cu functia cond2 Mathcad :

k x( ) cond2 M x( )( ):=

Pentru o valoare data perturbatiei p=1, in membrul drept, de rezistenta variabila x, va depinde numarul de conditionare si valorile unghiurilor din teorema lui Wielandt Kantorovitch:

x1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

= k x( )1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

35.3733.012

31.079

29.489

28.178

27.097

26.206

25.473

24.872

24.382

23.984

23.665

= tg p2 x p,( )1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0220.024

0.025

0.027

0.028

0.029

0.031

0.032

0.033

0.034

0.035

0.036

= k x( ) tg p2 p( )1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1.3581.268

1.194

1.133

1.082

1.041

1.006

0.978

0.955

0.936

0.921

0.909

Se construieste o functie de identificare a valorii rezistentei, pentru care numarul de conditionare al matricei generale M este minim, asa incat circuitul sa poata fi considerat stabil la perturbatia aplicata:

0 10 20 30 40 5020

25

30

35

40Variatia numarului de conditionare

k x( )

min K( )

x R1optim,

Valoare K c,( ) i 0L 0

L mi i 1+

c Km( ) min K( )ifm 1 rows K( ) 1..for

L

:=

Kx k x( ):= R1optim Valoare K c,( ):= R1optim 19=

Se observa ca minimul numarului de conditionare euclidian este k(19)=22,85 n jurul acestei valori stabilitatea circuitului este maxima.

0 10 20 30 40 50

0.5

1

1.5Variatia membrilor inegalitatii W-K

tgp2 x p,( )k x( ) tgp2 p( )

x

Concluzie

Utilizand inegalitatea lui W - K, poate fi determinata o structura de circuit care sa se comporte intr-un anumit fel, adica sa se obtina anumite marimi dorite de functionare.

Exemplu: identificarea acelei rezistente pentru care, in conditiile existentei unei perturbatii, sa apara un curent de o anumita marime prin latura pe care este plasata rezistenta in cauza.

In cazul in care pentru acelasi circuit se considera doua rezistente variabile, utilitarul de calcul Mathcad permite determinarea valorilor optime ale rezistentelor, precum si afisarea grafica a minimuluicorespunzator:

x 1 30..( ):= y 1 30..( ):= \\ siruri de valori;R1 x( ) x:= R3 y( ) y:=

m

n

Valoare k( ):= R 1optim m:= R 1optim 9= R 2optim n:= R 2optim 9=

k

Reprezentarea 3D a variatiei numarului de conditionare si a distributiei termenilor inegalitatii Wielandt Kantorowitch!

k

.

Variatia membrilor inegalitatii W - K pentru o anumita perturbatie

tg p2 tg p2,

.

B. Circuit de curent alternativ

Modelul fenomenologic ales este un circuit electric cu cuplaje, functionand in regim permanent care modeleaza un transformator alimentat pe la ambele capete, avand in primar un condensator pentru imbunatatirea factorului de putere.

Se va studia, cu ajutorul numarului de conditionare si a teoremei lui Wielandt - Kantorowitch, modul in care o perturbatie ce actioneaza asupra unei surse din circuit, afecteaza variatia curentiilor prin circuit, in conditiile in care factorul de cuplaj dintre inductivitatile circuitului parcurge un sir de valori intre limitele [0;1].

Calea de solutionare a problemei propuse va fi condusa de ecuatiile lui Kirkhhoff scrise matriceal. Pentru aceasta, se construieste graful circuitului schitat si matricele corespunzatoare grafului, A si B.

Matricea de incidenta a laturilor la noduri:

A 1 1 1 0( ):= Matricea de apartenenta a laturilor la contururi:

Observatie: se construieste un algoritm de generare automata a acestei matrici, pornind de la numerele structurale asociate contururilor din graf.

Numerele structurale corespunzatoare contururilor din graf:

S1 1 2( ):= S2 2 3( ):= S3qj 4

j 0for

q

:= S3 4( )=

N 3:= --> numarul de contururi de calcul;

Se compara fiecare element (latura) din fiecare numar structural cu toate laturile; in functie de incidenta la noduri a laturilor se inlocuiesc intr-o matrice initializata cu elemente nule, valorile + 1 sau - 1 :

Constr S( ) A matrice rows S( ) 1 nrlaturi 1+,( )

Ai j, 1 apartine j Si 1+,( ) 1ifAi j, 1 apartine j Si 1+,( ) 1ifj 0 cols A( ) 1..for

i 0 rows A( ) 1..for

A

:=

B Constr S( )= B1

0

0

1

10

0

1

0

0

0

1

=

Caracterizarea circuitului si matricea coeficientilor

M m( )

1j L 1

0

0

1

1j C 2

1j C 2

0

1

0

j L 3

j L 34 m( )

0

0

j L 34 m( )

R 4 j L 4+

:=

\\ tensiunile scrise in complex;VE 4 2012

j3

2+

:=E 1 50:=

j 1:=L 34 m( )20 m:=

\\ factorul de cuplaj al inductivitatilor;m 0 0.05, 1..:=

R 4 10:=L 410:=

L 340:=C 2

120 :=L 1

25:=

Volte 2 t( ) 20 2 sin t3

+:=

\\ tensiunile in instantaneuVolte 1 t( ) 50 2 sin t( ):=

Evaluarea numarului de conditionare al matricei generale M:

M conj m( ) Re M m( )( ) j Im M m( )( ):= \\ matricea conjugata

C m( ) M conj m( )T M m( ):= \\ produsul matricei hermitean si a celei

normale;

Val_prop m( ) eigenvals C m( )( ):= \\ valorile proprii ale fiecarei matrice corespunzatoare unei valori m a factorului de cuplaj;

Vmax m( ) max Val_prop m( )( ):= \\ prima valoare proprie din fiecare matrice, dupa m;

Vmin m( ) min Val_prop m( )( ):= \\ ultima valoare proprie din fiecare matrice, dupa m;

Cond m( )Vmax m( )Vmin m( )

:= \\ numarul de conditionare, definit ca functie pentru fiecare valoare m;

Valoarea maxima a numarului de conditionare este: Cond(m) = 212.448

Variatiile grafice ale membrilor inegalitatii W - K pentru modificarea factorului de cuplaj magnetic intre bobinele din circuit:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

20

40

60

80

membrul stang amplificat de 50 de orimembrul drept al inegalitatii W - K

50 tgp2 m p,( )Cond m( ) tgp2 p( )

m

Se observa ca cu cat factorul de cuplaj intre bobine are o valoare mai mare, cu atat unghiul dintre vectorul solutiei neperturbate si vectorul solutiei perturbate tinde spre valori mai mari. Inegalitatea W - K se verifica, pentru toate valorile stabilite pentru sirul m.

Concluzii generale

Constatarea validitatii aplicarii numarului de conditionaresi a teoremei W K in testarea stabilitatii circuitelor la perturbatii care apar in membrul drept sau in structura de model a circuitelor;

Implementarea de algoritmi de calcul pentru valorileproprii ale unei matrici, deci implicit pentru numarul de conditionare.

APLICATII ALE NUMARULUI DE CONDITIONARE N TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICEObiective Procedura de abordareA. Circuit de curent continuuModelarea circuitului electricStabilitatea circuitului la perturbatii se va studia in functie de valorile rezistentei notata cu x. Vectorul efect este vectoRelatia matematica a teoremei lui Wielandt - Kantorovitch:Pentru o valoare data perturbatiei p=1, in membrul drept, de rezistenta variabila x, va depinde numarul de conditionare si vaSe construieste o functie de identificare a valorii rezistentei, pentru care numarul de conditionare al matricei generale M esSe observa ca minimul numarului de conditionare euclidian este k(19)=22,85 n jurul acestei valori stabilitatea circuitului ConcluzieIn cazul in care pentru acelasi circuit se considera doua rezistente variabile, utilitarul de calcul Mathcad permite determinaReprezentarea 3D a variatiei numarului de conditionare si a distributiei termenilor inegalitatii Wielandt Kantorowitch! B. Circuit de curent alternativCaracterizarea circuitului si matricea coeficientilorValoarea maxima a numarului de conditionare este: Cond(m) = 212.448Concluzii generale