Curs_1_stat

1

Curs #1

BIOSTATISTICĂ

End

Facultatea de Farmacie – Disciplina Matematică-Informatică

Indicatorii

variaţiei

Valorile medii descriu informaţia într-o formă integrată, exprimând tendinţa de localizare a datelor prin neprezentarea cunoştinţelor înglobate în lot despre variaţia existentă.

Indicatorii de localizare redau doar o singură trăsătură comună întregii colectivităţi.


Indicatorii

variaţiei

Se simte nevoia definirii unor noi indicatori statistici care să evidenţieze şi alte aspecte ale populaţiei studiate.

Categoria de indicatori de dispersie (variaţie) reprezintă o evaluare numerică a împrăştierii datelor.

Variaţia luată în considerare se poate raporta chiar la valoarea medie calculată.


Dispersia (varianţa)

Dispersia sau varianţa reprezintă o mediere a pătratelor distanţelor faţă de valoarea medie a şirului de date. Se notează cu sau D[x].

Are următoarea formulă de calcul (pentru volumul n al eşantionului de valori mari, n>30):

2σ



( ) ( ) ( ) ( )

n

xx

nxxxxxx

n

ii

n∑=

−=

−++−+−= 1

222

22

12 .....σ



Dacă avem valorile x1, x2, x3, …, xn cu frecvenţeleabsolute a1, a2, …, am, atunci formula de calcul:

( ) ( ) ( )=

+++−⋅++−⋅+−⋅

=m

mmaaa

xxaxxaxxa....

.....

21

2222

2112σ

( ) ( )

n

xxa

a

xxam

iii

m

ii

m

iii ∑

∑

∑=

=

=−⋅

=−⋅

= 1

2

1

1

2



Considerând frecvenţele relative fi, obţinem:

( )( ) ( )∑ ∑

∑

= =

= −⋅=−⋅=−⋅

=m

i

m

iiii

i

m

iii

xxfxxna

n

xxa

1 1

221

2

2σ



Sunt cazuri în care dispersia trebuie estimată dintr-un eşantion de date.

Dacă volumul eşantionului este mai mic decât 30, atunci se aplică o corecţie formulei de calcul.

În acest caz ajustarea este în sensul că nu se împarte la n ci la n-1 (numit şi numărul gradelor de libertate).



( ) ( )

11121

2

1

2

2−

⋅=−

⋅−

=−

−=

∑∑==

nn

nn

n

xx

n

xxn

ii

n

ii

estimat σσ


Abaterea pătratică medie

(deviaţia standard)

Prin extragerea rădăcinii pătrate din dispersie se obţine abaterea pătratică medie.

Astfel, deviaţia standard şi indicatorii de localizare se exprimă cu aceleaşi unităţi de măsură.




( )

n

xxxD

n

ii∑

=−

== 1

2

][ σ




Ţinând cont de frecvenţele absolute şi relative pe intervale avem:

Putem dezvolta expresia dispersiei în continuare:

( )( ) ( )∑∑

∑

==

= −⋅=−⋅=−⋅

=m

iii

m

ii

i

m

iii

xxfxxna

n

xxa

1

2

1

21

2

σ




( )

.21

2

1

2

1

1

2

1

2

11

2

1

2

n

xx

n

xx

n

n

x

n

xx

n

x

n

xx

n

i

n

iin

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

∑∑∑

∑∑∑∑

==

=

====

+⋅⋅−⋅=

=+⋅⋅

−=−

=σ




2

1

21P

n

ii Mx

n=⋅∑

=x

n

xn

ii=

∑=1

221

2

1 xxnnn

xn

i =⋅⋅=∑=




( )

.21

2

1

2

1

1

2

1

2

11

2

1

2

n

xx

n

xx

n

n

x

n

xx

n

x

n

xx

n

i

n

iin

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

∑∑∑

∑∑∑∑

==

=

====

+⋅⋅−⋅=

=+⋅⋅

−=−

=σ





Abaterea pătratică medie este rădăcina pătratică din diferenţa dintre pătratul mediei pătratice şi pătratul mediei aritmetice.

22222 2 xMxxM PP −=+⋅−=σ


Amplitudinea

Este definită ca diferenţa valorilor extreme ale şirului de date studiat şi se notează cu W sau A (în majoritatea cazurilor):

W = A = Xmax -

Xmin .


Amplitudinea

În cazul grupării datelor pe clase se defineşte şi noţiunea de amplitudine a clasei, notată cu wi (corespunzător clasei i).

Această mărime este egală cu diferenţa dintre valorile extreme ale clasei respective.

Cu cât este mai mică valoarea sa cu atât lotul este mai omogen.


Amplitudinea

Aspecte negative (dezavantaje) ale amplitudinii:

-

depinde de eşantion, având variaţii pentru fiecare eşantion în parte,

-

nu ţine seama de tipul repartiţie.


Intervalul intercuartilic

Cuartilele (sau cvartilele) împart datele în 4 clase de frecvenţe egale cu 25%.

Astfel, sunt necesare 3 valori Q1, Q2, Q3 care reprezintă cuartilele.

Presupunem că avem o distribuţie a frecvenţelor parametrului x (discret), conform graficului din figura urmatoare.


Cuartilele

Q1, Q2, Q3

0

2

4

6

8

10

12

parametrul x

Distributia de frecventa

Q1 Q2 Q3



Suma frecvenţelor până la limita determinată de Q1 este egală cu suma frecvenţelor dintre Q1 şi Q2, de asemenea egală cu suma frecvenţelor dintre Q2 şi Q3şi în final, egală cu suma frecvenţelor de după Q3.

Dacă repartiţia ar fi fost de tip continuu, această sumă ar fi integrala determinată de limitele notate Qi.



(Iq)

Intervalul cuartilic se defineşte ca fiind diferenţa dintre Q3 şi Q1 (ultima şi prima cuartilă).

Q1 se numeşte cuartilă inferioară sau mică, Q3 se numeşte cuartila superioară sau mare.

Prin urmare, intervalul intercuartilic va fi:

Iq = Q3 – Q1


Coeficientul

de variaţie

intercuartilic

(q)

ObservaţieCuartila Q2 este tocmai mediana Me.

Se defineşte coeficientul de variaţie intercuartilică ca fiind raportul:

e

q

MI

QQQq =

−=

2

13


Coeficientul de variaţie

(CV)

Abaterea pătratică medie se interpretează prin compararea cu media valorilor studiate.

Dacă avem o medie de 100 şi o abatere pătratică standard , atunci avem mici variaţii, dar dacă avem aceeaşi abatere la o medie de 10, atunci variaţia este foarte mare.

5=σ



(CV)

În concluzie, este necesară raportarea abaterii pătratice la valoarea mediei, pentru a exprima corect împrăştierea datelor.

Se defineşte coeficientul de variaţie:

xCVx

σ=



(CV)

Acest coeficient este o măsură relativă a variaţiei datelor faţă de medie.

Astfel, indiferent de medie, seturile de date, chiar de natură diferită, pot fi comparate folosind coeficientul de variaţie.


Momente

Momentele ajută la determinarea anumitor caracteristici legate de forma (alură) repartiţiilor, care nu pot fi determinate doar cu indicatorii statistici de localizare sau variaţie.


Momentele centrate de ordin k (k≥1)

Se definesc momentele centrate de ordin k în raport cu originea arbitrară A, ca fiind exprimate prin formula:

( )∑=

−⋅=n

i

ki

Ak Ax

nm

1

1



Exprimăm formula în funcţie de frecvenţele absolute ai, respectiv frecvenţele relative fi şi obţinem:

( ) ( )( )∑

∑

∑

∑

=

=

=

= −⋅=

−⋅

=

−⋅

=m

j

kij

m

j

kij

m

jj

m

j

kij

Ak Axf

n

Axa

a

Axam

1

1

1

1



Dacă originea aleasă este tocmai media aritmetică, atunci momentul centrat de ordin k se va calcula cu formula :

momentul centrat de ordin k în raport cu media aritmetică.

( )∑=

−⋅=n

i

kik xx

nm

1

1



În cazul notaţiei momentelor centrate în raport cu media aritmetică nu se mai afişează în partea superioară a lui m originea de centrare.Momentul centrat de ordin 2 în raport cu media aritmetică este tocmai dispersia:

( ) 2

1

22

1 σ=−⋅= ∑=

n

ii xx

nm


Momentul

absolut

de ordin k (k≥1)

Din formula momentului centrat de ordin k în raport cu referinţa A se poate deduce momentul absolut.

Dacă A=0 se obţine momentul absolut:

∑∑∑===

⋅=⋅⋅=⋅=m

j

kjj

m

j

kjj

n

i

kik xfxa

nx

nm

111

` 11


Momentul

absolut

de ordin k (k≥1)

ai – frecvenţa absolută;

fi – frecvenţa relativă;

m – numărul de clase;

n – numărul de elemente.


Momentul

absolut

de ordin k (k≥1)

Pentru k=1 se obţine:

, adică momentul absolut de ordin 1, care este egal cu media aritmetică.

xxn

mn

ii =⋅= ∑

=1

`1

1


Proprietăţi ale momentelor

Momentul centrat de ordin 1 cu originea în media aritmetică este 0 (suma algebrică a abaterilor individuale faţă de medie este egală cu 0).

Demonstraţie:

0111)(1

11 11 =−=⋅⋅−=⋅−⋅=−⋅= ∑∑ ∑

== =xxxn

nxx

nx

nxx

nm

n

i

n

i

n

iii



Momentul minim centrat de ordin 2 are originea în media aritmetică (media abaterilor pătratice are valoare minimă când aceasta este calculată în raport cu media aritmetică).Demonstraţie:

Momentul centrat de ordin doi este :

∑=

−⋅=n

ii

A Axn

m1

22 )(1



Facem un artificiu de calcul, adăugând şi scăzând valoarea medie.

.)(1)()(2

)(1])()[(1

1

2

1

1

22

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−⋅−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=−−−⋅=

∑∑

∑∑

==

==

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

A

xAn

xxn

xA

xxn

xAxxn

m



Conform proprietăţii (1) avem:

Astfel, paranteza a doua are valoarea 0. În continuare obţinem:

0)(11

1==−⋅= ∑

=mxx

n

n

iiσ



.)(

)(1)(1)(1

2

1

22

1

2

1

22

pozitivtermenm

xAn

mxAn

xxn

mn

i

n

i

n

ii

A

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= ∑∑∑

===



Din ultima formulă tragem concluzia că oricare ar fi A, momentul centrat de ordin 2 cu originea în A este egal cu momentul centrat cu originea în media aritmetică, la care se adaugă un termen pozitiv.

De aici deducem că momentul centrat de ordin 2 cu originea în media aritmetică este minimul momentului centrat de ordin 2.


Relaţii între momentele absolute şi cele centrate în raport cu media aritmetică

Se pot stabili diferite relaţii între momentele absolute şi cele centrate în raport cu media aritmetică. Iată unexemplu

( ) =⋅+⋅⋅⋅−⋅=−⋅= ∑∑∑∑====

m

ii

m

iii

m

iii

m

iii xfxfxxfxxfm

1

2

11

2

1

22 2)(


Relaţii între momentele absolute şi cele centrate în raport cu media aritmetică

Se pot stabili diferite relaţii între momentele absolute şi cele centrate în raport cu media aritmetică. Iată unexemplu (Formula lui Konig):

( )( ) .

1

22`

1`22

1

1

2`1

`1

`1

`2

mmmfDar

fmmmm

n

ii

n

ii

−=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

⋅+⋅⋅−=

∑

∑

=

=


Asimetrie (skewness)

O distribuţie este considerată simetrică, dacă de o parte şi de alta a mediei, frecvenţele au aceleaşi valori.Notăm cu f(xi) – frecvenţa; m – mediaSimetria în raport cu media există, dacă pentru oricare Δ∈R avem relaţia:

)()( Δ+=Δ− mfmf



În continuare, putem caracteriza asimetria în funcţie de poziţionarea mediei faţă de modul:1 – Avem asimetrie la dreapta, dacă (vezi figura).

2 – Avem asimetrie la stânga, dacă (vezi figura).

Mox >

Mox <



Asimetrie la dreapta

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

Mo M(x)



Asimetrie la stânga

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

M(x) Mo



Pentru a obţine o măsură a asimetriei, statisticianul englez Karl Pearson a definit indicatorul relativ de asimetrie (acest indicator este adimensional, fiind astfel util pentru a compara distribuţiile între ele):

σMoxSk −

=


Boltirea (excesul, kurtosis)

Acest indicator compară distribuţia dată cu cea normală sau gausiană (descrisă în capitolul Repartiţii continue).

Statisticianul englez Karl Pearson a definit de asemenea coeficientul de boltire:

( ) 44

22

42

σβ

mmm

==



Pentru o distribuţie normală,

Din punct de vedere al boltirii avem următoarea clasificare, reprezentată grafic in continuare:

32 =normalβ



Repartiţie aplatizată sau platicurtică

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

32 <β



Repartiţie medie sau mezocurtică

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

32 =β



Repartiţie ascuţită sau leptocurtică

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

32 >β



Pentru descrierea boltirii se poate folosi şi coeficientul Fisher, ce măsoară excesul faţă de distribuţia normală. Acesta se calculează cu formula:

echivalenta

cu

33 44

22 −=−=σ

βγ m



( )34

1

4

2 −⋅

−=∑=

σγ

n

xxn

ii



Pentru valori mici ale volumului eşantionului se împarte la n-1 în loc de n.Avem următoarele modalităţi de caracterizare a distribuţiilor:- Mezocurtică .-

Leptocurtică .

- Platicurtică .

0,3 22 == γβ0,3 22 >> γβ0,3 22 << γβ


Curs_1_stat

Documents

Transcript of Curs_1_stat