V.4.2. Forma raportată a ecuaţiilor transformatorului

Raportarea se poate realiza fie la primar fie la secundar. În cele ce urmează ne vom referi la raportarea secundarului la primar.

Prin raportare se înţelege înlocuirea secundarului real cu unul fictiv care are acelaşi număr de spire (şi faze pentru transformatoarele polifazate) ca primarul, iar regimul de funcţionare al transformatorului real se conservă. Dacă se notează cu indice prim mărimile secundarului raportate la primar atunci vor rezulta următoarele relaţii între mărimile raportate şi cele reale:

1) Din condiţia ca numărul de spire al secundarului raportat să fie acelaşi cu al primarului, , va rezulta:

(V.12)

2) Din condiţia de conservare a solenaţiilor, , va rezulta:

(V.13)3) Din condiţia de conservare a pierderilor, , va rezulta:

(V.14)4) Din condiţia de păstrare a defazajului între curentul şi t.e.m. indusă,

, va rezulta:

(V.15)Astfel, ecuaţiile (V.10) şi (V.11) devin în mărimi raportate (ecuaţiile

transformatorului echivalent):

(V.16)

Tensiunile electromotoare induse în înfăşurări pot fi scrise în funcţie de impedanţa de magnetizare, : (V.17)

Diagrama fazorială Se poate obţine dacă se cunosc parametrii transformatorului, curentul secundar

şi impedanţa de sarcină a transformatorului (R’ şi X’), fig.V.13. Astfel, se trasează mai întâi fazorul curentului secundar, iar apoi defazat în faţa acestuia (considerând sarcina activ-inductivă) cu unghiul φ2 impus de sarcină, fazorul tensiunii secundare la care adunând căderile de tensiune din secundar se obţine tensiunea ,deci şi . La în faţa acestori fazori se află fluxul magnetic util. De asemenea din ecuaţia (V.17) se obţine fazorul curentului de mers în gol, care are două componente: componenta de magnetizare, , în fază cu fluxul inductor, şi cea activă corespunzătoare pierderilor în

fier, . Având curentul secundar şi cel de mers în gol se poate determina fazorul curentului din primar, al tensiunii din primar şi respectiv defazajul φ1.

Fig. V.13Întrucât tensiunile electromotoare induse în înfăşurările transformatorului

echivalent sunt egale, primarul poate fi conectat galvanic cu secundarul şi conform ecuaţiilor (V.16), (V.17) se obţine schema echivalentă în T a transformatorului, cu parametrii circuitului de magnetizare în serie din fig.V.14.

Fig.V.14

Parametrii circuitului magnetizant sunt: , , (V.18)

Dacă notăm: Z1=R1+jXσ1, Z’2=R’2+jX’σ2 şi Z’=R’+jX’, atunci se poate scrie tensiunea primarului în funcţie de curentul prin acesta astfel:

(V.19)

O altă variantă a schemei echivalente în T se obţine dacă descompunem curentul de mers în gol în cele două componente ale sale, , rezultând schema cu elementele circuitului de magnetizare în paralel, fig.V.15.

Fig.V.15

Parametrii circuitului de magnetizare, neglijând rezistenţa înfăşurării primarului în comparaţie cu cea corespunzătoare pierderilor în fier (R1<<Rw ) şi reactanţa de scăpări faţă de cea de magnetizare (Xσ1<<Xμ), sunt în acest caz:

(V.20)

Dacă se exprimă curentul din relaţia (V.19), se ajunge la schema echivalentă în Г (cu circuitul de magnetizare scos la borne), fig.V.16.

(V.21)

Fig.V.16

În relaţia (V.21) s-a notat: aşa numitul coeficient complex de corecţie.

Acesta poate fi aproximat la rândul său astfel: , .

Schemele echivalente prezentate sunt valabile doar dacă regimul este sinusoidal. În practică, pentru simplificarea calculelor, funcţionarea transformatorului în

sarcină se studiază utilizând schema simplificată a acestuia. Având în vedere că la transformatoarele de putere curentul de funcţionare în gol este doar câteva procente din curentul nominal (2..3%) şi faptul că pierderile în fier reprezintă mai puţin de un procent din puterea nominală, acestea pot fi neglijate, erorile de calcul a curenţilor şi tensiunilor fiin nesemnificative. Ca urmare a acestui fapt, ramura circuitului de magnetizare poate fi eliminată, rezultând astfel schema echivalentă simplificată ca în fig.V.17.

Fig.V.17

Parametrii schemei echivalente simplificate sunt rezistenţa şi reactanţa de scurtircuit, care împreună dau impedanţa de scurtcircuit a transformatorului, iar ecuaţiile transformatorului se reduc la una singură:

, , , (V.22)Diagrama de fazori simplificată, corespunzătoare ecuaţiei precedente este

prezentată în fig. V.18.

Fig.V.18

V.5. Pierderile şi randamentul transformatorului

V.5.1. Pierderile de putere activăPierderile în înfăşurări

Acestea reprezintă pierderile prin efect Joule datorate trecerii curenţilor prin circuitul primar şi secundar. Rezistenţa în curent continuu a înfăşurărilor determină pierderile principale, iar dacă se are în vedere repartiţia neuniformă a curenţilor prin secţiunea conductoarelor, apar şi pierderi suplimentare. Pierderile suplimentare sunt incluse în pierderile principale prin introducerea factorului de majorare a rezistenţei înfăşurărilor în curent alternativ. De asemenea rezistenţele înfăşurărilor trebuie considerate la temperatura de funcţionare a transformatorului. Pentru aceasta se calculează rezistivitatea materialului la temperatura de funcţionare, 0t, cu relaţia:

(V.23)

O A

B

C DE

F

φ2

-I’2-U’2

-RscI’2 -jXscI’2

U1

Pentru Cu avem: , ; iar pentru Al:

, .

Pierderile în circuitul magneticSe mai numesc pierderi în fier şi reprezintă pierderile prin histerezis şi prin curenţi

turbionari.Pierderile prin histerezis se datorează ciclului de histerezis al materialului

feromagnetic supus magnetizării în câmp magnetic alternativ. Aceste pierderi sunt proporţionale cu suprafaţa ciclului de histerezis. Analitic pot fi determinate în funcţie de frecvenţa tensiunii de alimentare şi de valoarea inducţiei magnetice cu relaţia:

, unde este o constantă de material. (V.24)Pierderile prin curenţi turbionari se datorează efectului termic al curenţilor

induşi(turbionari sau Foucault) în circuitul feromagnetic. Aceste pierderi sunt direct proporţionale cu pătratul frecvenţei şi cu pătratul inducţiei magnetice, constanta de proporţionalitate fiind o constantă de material:

(V.25)Pierderile prin histerezis şi cele prin curenţi turbionari se calculează împreună în

practică cu ajutorul unei constante, p10/50, denumită cifra de pierderi. Aceasta reprezintă pierderile pe unitatea de masă a unui material, la frecvenţa câmpului magnetic de 50Hz şi valoarea inducţiei magnetice de 1T. Pentru o altă valoare a frecvenţei şi a inducţiei magnetice, cifra de pierderi se calculează cu relaţia:

.

(V.26)Cifra de pierderi a tolelor utilizate în construcţia transformatoarelor poate varia de

la 0,45 W/kg până la 3,5 W/kg. Sunt şi circuite magnetice de tehnologie mai nouă (circuite din oţel amorf) care au pierderi specifice mai mici de 3...5 ori decât cele prezentate.

V.5.2. Pierderile de putere reactivăPuterea reactivă absorbită de un transformator se regăseşte în puterea reactivă

corespunzătoare fluxului de scăpări ale înfăşurărilor primară şi secundară (Qσ1, Qσ2), în puterea reactivă corespunzătoare fluxului util (de magnetizare, Qm) şi în puterea reactivă cedată sarcinii.

Bilanţul puterilor active şi reactive ale unui transformator sunt prezentate în fig. V.20.

Fig.V.20

Randamentul unui transformator este dat de raportul dintre putere activă cedată de secundar şi puterea activă absorbită de primar:

(V.44)

În (V.44) s-a notat cu , coeficientul de sarcină al transformatorului. Se observă că pentru un

transformator dat, randamentul acestuia este dependent de sarcină. Sarcina pentru care randamentul unui transformator este maxim se obţine din condiţia ca derivata randamentului în raport cu aceasta să fie zero (maximul unei funcţii este acolo unde derivata acesteia se anulează). Deci:

(V.45)

Fig.V.21

Randamentul transformatoarelor de putere mare şi foarte mare poate ajunge la peste 99% .

V.6. Variaţia tensiunii secundare

La funcţionarea în sarcină a unui transformator, un interes deosebit îl reprezintă modul de variaţie a tensiunii secundare de la mersul în gol până la sarcină nominală pentru un anumit factor de putere. Variaţia tensiunii secundare poate fi exprimată în valoare efectivă sau procentual faţă de tensiunea nominală:

,

(V.46)Pentru a exprima această variaţie în funcţie de parametrii şi sarcina transformatorului,

se va neglija curentul de funcţionare în gol şi vom avea:

(V.47)

Conform fig. V.18 putem scrie:

(V.48)

Pentru sarcină capacitivă , rezultând deci:

(V.49)

Valoarea relativă exprimată în funcţie de factorul de sarcină este:

(V.50)

Valoarea exactă a căderii de tensiune relative este dată de relaţia:

(V.51)