Curs_01_2008

5/15/2018 Curs_01_2008 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/curs012008-55ab4e21cfd63 1/16

Ce este MEF şi unde se aplic ?ǎ

Metoda elementelor finite (MEF) este o metodǎ generalǎ de rezolvare aproximativǎ aecua i lor diferen iale cu derivate par iale care descriu sau nu fenomene fizice. Principial MEFţ ţ ţconstǎ în descompunerea domeniului de analiz în por iuni de form geometric simpl , analizaă ţ ă ă ă

acestora şi recompunerea domeniului respectând anumite cerin e matematice.ţProblema derivatelor par iale este redus la un sistem de ecua i algebrice, la o problemţ ţǎ ǎ

de valori şi vectori propri sau la un sistem de ecua i diferen iale ordinare de ordinul unu sauţ ţdoi. Rezolvarea sistemelor de ecua i sau a problemelor de valori si vectori propri ar fi practicţimposibilǎ dacǎ nu s-ar dispune de CALCULATOR şi SOFT - totalitatea programelor de calculcare realizeaz func ionalitatea şi folosirea calculatorului inclusiv a unui program cu elementeǎ ţ

finite. Pentru rezolvarea unei aplica i este nevoie şi de unţ ANALIST, adic o persoan care să ă ăfie în m sur a folosi calculatorul şi programul cu elemente finite pentru a rezolva oă ă aplica ie.ţ

Din punct de vedere al domeni lor de aplica ie metoda poate fi extins în orice domeniuţ ǎde activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecua i diferen iale. Pân în prezentţ ţ ǎ

metoda s-a dezvoltat în mod deosebit în domeni ca: analiza structuralǎ; analiza termicǎ;analiza fluidelor; analiza electric ; analiza magnetic , dar şi în analiza fenomenelor complexeǎ ǎinterdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastic , analiza cuplat termic şi structural, ană ă alizainterac iuni fluid-solid; analiza electro-magnetic ; analiza piezoelectric şi altele.ţ ă ă

Scurt istoric

1943 – Courant studiaz r sucirea - problema Saint Venant, prin discretizare cuă ă

triunghiuri.

1953 – 1959 se formuleaz şi definitiveaz metoda deplas rilor la Boeing de c treă ă ă ă Turner.1960 – Se utilizeaz pentru prima dat termenul de element finit de c tre Clough.ă ă ă

1



1967 – Prima carte despre metoda elementelor finite - Zienkiewicz şi Cheung.

1965 – 1972 NASTRAN

1965 – SAMCEF

1970 – ANSYS

1973 – apare SAP4 primul cod MEF surs free.ă1975 – ADINA

1978 – ABAQUS 1985 – COSMOS-M Alte programe: IDEAS-MS , PATRAN , ALGOR etc.Din 1967 MEF se aplic şi în alte domenii decât structural (termal, fluid, electromagnetic,ăetc).

Cunoştin e necesare pentru a reţ aliza programe cu elemente finite

MEF are un caracter pluridisciplinar. Implementarea unor programe cu elemente finite pentru anumite tipuri de probleme sau chiar a unui program general de calcul în domeniul

ingineriei mecanice, cu precǎdere pentr u calcule ale structurilor de rezisten , impuneţǎstǎpânirea diciplinelor (vezi Fig. 1):

-mecanica structurilor (mecanica static , dinamic , rezisten a materialelor, vibra i );ǎ ǎ ţ ţ

-analiza numeric (proceduri şi algoritmi de calcul precum şi cunoştin e de grafic peǎ ţ ǎcalculator);

-programare într-un limbaj de nivel înalt (FORTRAN, C, BASIC sau PASCAL).De obicei grupǎri mici de cercetǎtori într-un domeniu relativ restrâns elaboreazǎ

programe de calcul folosind MEF pentru nevoile imediate sau probleme relativ simple.



Fig. 1: Caracterul pluridisciplinar al MEF

Programe mari, cu facilitati multiple sunt realizate de firme specializate, astfel se potenumera câteva programe (coduri executabile) care sunt folosite de colectivele de

proiectare/cercetare din ar sau în universit i, în scop educa ional şi de cercetare: NASTRAN-ţ ţ ţǎ ǎPatran, ANSYS, ABAQUS (în CATIA), COSMOS (în SolidWork), ADINA, ALGOR, variante SAPşi altele.

Programele prezentate şi folosite la laborator sunt scrise în limbajul de programareFreePascal 1.0.10, sunt programe mici, specializate pe diverse tipuri de probleme şi au fostrealizate în principal pentru scop didactic.

În ultimul timp a luat avânt programarea în MATLAB care pentru studen i este foarteţcomod şi permite rezolvarea unor aplica ii la temele de cas .ǎ ţ ă

2



Cunoştin e necesare unui utilizator al MEFţ

Un utilizator – student – posibil vi tor analist, este pus în situa ia rezolv ri uneiţ ǎ anumite

probleme şi nu în a implementa un program cu elemente finite pentru rezolvarea ei, de aceeautilizatorul trebuie s afle dac problema se preteaz rezolv ri cu MEF şi s foloseasc unǎ ǎ ǎ ǎ ǎ ǎ

program adecvat problemei respective.Odat stabilit programul de calcul este necesar a se face o informare asupra posibilita iǎ ţ

programului. Dac performan ele programului convin trebuie s ne inform m despre modul deǎ ţ ǎ ǎlucru al programului şi s preg tim problema pentru rezolvare !ǎ ǎ

Trebuie s men ion m de la început c programul de calcul folosit pentruǎ ţ ǎ ǎ analiza

problemei nu rezolv structura real , ci doar un MODEL al ei pe care în general îlǎ ă faceutilizatorul.

STRUCTURA DE CALCUL → MODEL → ANALIZ cu MEFĂ

Rezultatele pot fi confirmate sau nu, func ie de cum a fost alesţ modelul de calcul.Modelarea este o activitate de simplificare a structuri prin încadrarea diverselor por iuni aleţstructuri în categoria barelor, pl cilor, blocurilor, prin simplificarea înc rc rilor şi a rezem rilorǎ ǎ ǎ ǎetc. Modelarea corectǎ (cât mai aproape de realitate) ine de experien , inspira ie şi nu maiţ ţ ţǎ

pu in de cunoaşterea bazelor teoretice ale metodei. De regul un model se dezvolt func ie deţ ă ă ţscopul analizei.

Scopul cursului şi a lucr rilor de laborator este de a scoate în eviden unele asǎ ţǎ pecte alemodel ri şi a fixa no iunile generale ale MEF astfel încât dup promovarea acestei disciplineǎ ţ ǎ

utilizatorul (studentul) s poat aborda şi utiliza, cu mici rezerve, orice cod de MEF.ǎ ǎCunoştin ele necesare se dobândesc pe m sur ce utilizatorul reţ ǎ ǎ zolvǎ diverse probleme.

Nu trebuie uitat faptul c pentru a rezolva corect o problem este absolut necesar (nu şiǎ ǎ ǎ

suficient ) livrarea tuturor datelor care definesc problema.ăProgramele de firmǎ respectǎ anumite reguli generale de introducere a datelor (nota iţ

unificate, ordonarea comenzilor de pregǎtire a datelor, import modele din CAD, etc), ceea cefaciliteaz lucrul la programe diferite pentru utilizatori experimenta i. Pentru încep toriǎ ţ ǎ esteindicat a se folosi un singur program de lucru.

Odatǎ stabilit modelul de calcul, se impune pregǎtirea datelor de intrare pentrurezolvarea problemei. Fiecare program cu elemente finite prezintǎ particularitǎti care trebuie

înv ate dar exist o serie de reguli deǎţ ǎ bazǎ ale metodei care odatǎ stǎpânite permite

abordarea oricǎrui program cu elemente finite.Indiferent de metoda abordat , analiza unei structuri reale prezint câtevaă ă etape

esen iale:ţ-structura real se identific , prină ă folosirea unor ipoteze simplificatoare, cu un model

fizic primar, numit “model conceptual”;-modelul primar serveşte la formularea unui “model matematic”, adic la un set deă

ecua ii care urmeaz a fi rezolvate;ţ ă-rezultatele ob inute sunt interpretate şi dac exist motive întemeiate acestea pot fiţ ă ă

validate. Astfel seria celor dou modele conceptual şi matematic pot fi folosite şi pentru alteă probleme similare.

Concepte de baz în MEF - introducereă

Un domeniu solid oarecare, considerat plan numai din considerente de prezentare(Fig. 2.a), este raportat la un sistem de referin cartezianţă XOY , este înc rcat cu o foră ţă F şi

încastrat pe conturul din stânga. Fiecare punct al domeniului prezint o deplasare pe direc iaă ţOX , notată u( X ,Y ) şi una pe direc iaţ OY , v( X ,Y ). Domeniul prezentat poate fi identificat cu



un model de calcul conceptual, totuşi în continuare acesta se va numi structur . Problemaă

3



prezentat reprezint practic o bar de sec iune variabil în consol înc rcat în cap tulă ă ă ţ ă ă ă ă ă

liber

pentru care se caut solu ia, adic de exemplu s geata şi tensiunea echivalent maxim .ă ţ ă ă ă ă

(a)

(b)

Fig. 2: Abordarea unei probleme în MEF. (a) Domeniu de analiz ;ă

(b) Discretizarea domeniului de analiză

Din punct de vedere matematic, în teoria elasticit i , problema prezentatăţ ă

estedescris de un set de ecua i diferen iale cu derivate par iale şi de anumite condi i la limit .ă ţ ţ ţ ţ ăPentru anumite cazuri particulare, adic forme geometrice simple şi înc rc ri bine alese,ă ă ăexist solu i analitice pentru expresiile câmpului deplas rilor şi al tensiunilor. Înă ţ ă generalproblema nu se poate rezolva pe cale analitic . Se men ioneaz c o rezolvare analitică ţ ă ă ăprezint solu ii pentru o infinitate de puncte din domeniul de analiz . Se spune c domeniulă ţ ă ăde analiz reprezint o structur continu . O alternativ de a rezolva astfel de probleme oă ă ă ă ăconstituie metoda elementelor finite (MEF).

Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiz (sau volumul structurii)ă notatV , se împarte într-un num ră NE de subdomenii sau fragmente (por iuni de form geometricţ ă ărelativ simpl , fiecare de volumă V e) numite elemente finite. Deoarece elementele finite nu se

intersecteaz între ele se poate scrie că ă V = ∑ V e. Fiecare element finit se numeroteazăe= 1



(este identificat printr-un num r), de obicei de la 1 la num rul total de elemente finiteă ă NE .Raportarea la un element oarecare se face de obicei printr-un indice superior (“e” pentru unelement oarecare).

Elementele finite se pun în eviden (geometric) prin intermediul unor puncte,ţă de

exemplu col urile triunghiului, dac elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncteţ ăpoart denumirea deă noduri. Elementele finite "se leag " (interac ioneaz ) între eleă ţ ă

prinintermediul nodurilor comune, astfel c în domeniul de analiz exist un num ră ă ă ă finit denoduri. Similar elementelor, nodurile se numeroteaz , de obicei, de la 1 la num rul total deă ănoduri NN .

Opera ia de împ r ire a unui domeniu în noduri şi elemente finite de un singur tip sauţ ă ţchiar mai multe tipuri, precum şi numerotarea acestora, adic atribuirea unor numere deăidentificare, poart denumirea deă discretizare (Fig. 2,b). Discretizarea nu este unic , înăgeneral ea se realizeaz astfel încât s r spund unor cerin e practice.ă ă ă ă ţ

Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de analiz are oă deplasare

posibil pe orizontal -axaă ă OX şi una pe vertical -axaă OY , se poate spune c exist doiă ăparametri independen i care definesc unic deplasarea unui nod în plan. Aceşti parametriţpoart denumirea deă grade de libertate ataşate nodului. De obicei, gradele de libertate aletuturor nodurilor definite reprezint necunoscutele primare ale problemei în MEF, în exemplulăde fa , gradele de libertate nodateţă UX şi UY definesc deplasarea "posibil " a unui nodăoarecare.

Pentru unele noduri (1, 2, 3 şi 4 din încastrare), deplas rile sunt nule, deci în acesteă puncte gradele de libertate se definesc "poten ial", ele nu reprezint necunoscute. Num rulţ ă ătotal de grade de libertate al problemei N se ob ine prin însumarea gradelor de libertateţ

4



active ale tuturor nodurilor. Prin grade de libertate active se în eleg acţ ele grade de libertatecare definesc o deplasare necunoscut .ă

Din cele prezentate mai sus rezult c un domeniu continuu cu un num r infinit deă ă ăgrade de libertate este transpus într-un model discret cu N grade de libertate, decinecunoscutele problemei se limiteaz func ie de discretizare.ă ţ

Deoarece analiza cu elemente finite este dependent de implementarea unorăprograme de calcul, m rimile cu care aceasta lucreaz sunt de regul vectori şi matrice.ă ă ă

Fig. 3: Gradele de libertate şi for ele nodaleţ

pentru un element oarecare e

Fig. 4: For ele exterioare care lucreaz în model şiţ ăechilibrul unui nod oarecare n

Pentru toat structura se defineşte vectorulă deplas rilor nă odale totale sau al structurii

{ } = {U x,1U

y,1U x,2U

y,2 → U x, NN

U y, NN

}

T ,(1)

şi vectorul for elor nodale exterioareţ

{ } = { F x,1 F

y,1 F x,2 F

y ,2 → F x, NN

F y, NN

}

T .(2)



Se consider un element oarecareă e din discretizarea precedent (Fig. 3), pentruă care

cele trei noduri se noteaz cuă I , J şi K . Se defineşte vectorul deplas rilor nodale ală

elementului, de fapt al tipului de element finit triunghiular

{ } = {U x, I U

y, I U x, J

U y, J

U x, K

U y, K

}

T ,(3)

care, din condi ii de continuitate, este un subset al vectorului definit de rela ia (1), şi vectorulţ ţfor elor nodale al elementuluiţ

{ } { F xe

, I F

ye, I F

xe, J

F y

e, J F

xe, K

F y

e, K }

T ,(4) între care se poate ob ine rela ia matricealţ ţ ă

{ } = [ ] { } , e = 1,2,→ ,NE , (5)similar rela iei de echilibru a unui sistem elastic (arc)ă ţ cu un grad de libertate F =kx. Matricea

p tratică ă [ ] poart denumirea deă matricea de rigiditate a elementului finit . Aceasta se

poate determina pentru fiecare element finit folosind ecua i le fundamentale dinţ teoriaelasticit i , pentru moment se neglijeaz modul în care ea se poate ob ine.ăţ ă ţ

Dac se izoleaz un nod oarecareă ă n din modelul cu elemente finite (vezi Fig. 4),pentru care există Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit ac ioneaz cu o forţ ă ţă

5



în acel nod şi din motive de echilibru suma tuturor for elor trebuie s fie zero. Atunci cândţ ă

înnodul izolat ac ioneaz şi for e exterioare acestea trebuie incluse şi echilibrul noduluiţ ă ţ n sescrie

Nc

i

Nc

∑ F x,n

=,

F x

n

; i

∑ F y,n

=

, F

yn; n = 1,2, ,→ NN . (6)

i = 1 i = 1

Dac se ine seama de celeă ţ 2 → NN ecua i (6), şi în expresiile sumelor se introducţ

for ele ob inute din rela i le (5), se ob ine o rela ie matriceal de formaţ ţ ţ ţ ţ ă

{ } = [ ]{ } , (7)

în care [ ] este numită matricea de rigiditate global a structuriiă . Aceast opera ie deă ţob inere a matricei de rigiditate globale din matricele de rigiditate a elementelorţ

poartădenumirea de asamblarea matricei de rigiditate globală şi se prezint sugă estiv în schema

[ ] { } { }U e= F e ASAMBLARE → [ ]{ } { } .e= 1,2, ,→ NE

Dimensiunea matricei de rigiditate [ ] este2 NN ⋅ 2 NN şi de obicei aceasta rezultă

singular , deci din ecua ia (7) nu se pot ob ine direct deplas rile necunoscute. Dac însă ţ ţ ă ă ă se

ine seama de condi i le la limit , adic pentru unele noduri se cunosc deplas rile iar pentruţ ţ ă ă ă

altele for ele exterioare aplicate şi gradele de libertate se clasific în dou seturi (veziţ ă ă Fig. 4)

-a: deplas ri cunoscute (de cele mai multe ori nule) şi for e exterioareă ţ reac iuniţ

necunoscute şi-b: deplas ri necunoscute şi for e exterioare aplicate cunoscute,ă ţ

ecua iile (7) se pot parti iona (rearanja) în raport cu acestea astfelţ ţ

→[ ] [ ] K ab→→{ }

a→ →{ } →

→→[ ] [ ] K bb

→→→→{ }b

=→→ →→ { }ba →→ .

Din a doua ecua ie matriceal (8) rezult deplas rile necunoscuteţ ă ă ă{ }

[ ] { } [ ] { }bbbbbaa= U ) KFK ,

iar apoi din prima ecua ie (8) rezult for ele necunoscute (reac iuni)ţ ă ţ ţ

{ }a= [ ] { } [ ] { }

aaaab

U b.

(8)

(9)

(10)

Deplasarea nodului 27 (vezi Fig. 2.b) pe direc iaţ OY reprezint practică s geataă

maxim a grinzii. Din formularea complet a MEF, folosind deplas rile nodale, se pot ob ineă ă ă ţşi tensiunile în elemente. Aceste aspecte îns se prezint în ale capitole.ă ă

Cunoscând câmpul deplas rilor în celeă NN noduri se poate reprezenta, scalat pentru ovizualizare convenabil , configura ia deformatei structurii (Fig. 5,a). Dac îns matricele deă ţ ă ărigiditate ale elementelor nu au fost "adecvat" calculate, având în vedere c elementeleă suntlegate între ele numai în noduri, e posibil uneori ca deformata s arate ca în figura 5,b, adică ăs apar goluri sau suprapuneri între laturile elementelor finite adiacente (nu este îndeplinită ă ăcondi ia de continuitate între laturile comune elementelor finite). Rezult c modul în careţ ă ăsunt “proiectate” elementele finite este foarte important şi practic solu ia unorţ



problemedepinde esen ial de formularea elementelor finite care trebuie s satisfac uneleţ ă ă cerin eţfundamentale pentru a putea fi incluse în categoria elementelor finite dintr-un program.

6



a) (b)

Fig. 5: Posibile configura ii ale deplas rilor ob inute prin utilizarea MEF. (a) Deformata corect ;ţ ă ţ ă

(b) Elementele nu asigur continuitatea pe laturile comuneăDiscretizarea – tipuri de elemente finite

Se pune problema discutǎri aspectelor MEF din punctul de vedere al utilizatorului. S-amen ionat mai sus c MEF consider modelul de calcul format dintr-o sum de por iuni numiteţ ţǎ ǎ ǎ

elemente finite legate între ele punctual, adicǎ în noduri. Este clar cǎ o structurǎ (un domeniu)poate fi împ r it în diverse moduri, cu mai multe sau mai pu ine noduri şi elementeǎ ţ ǎ ţ finite.

MEF a dezvoltat o serie de tipuri de elemente finite (Fig. 6) care din punct de vedere alformei pot fi clasificate în:

-elemente finite unidimensionale (reprezentând bare, grinzi, tiran i dar nuţ numai ...);-elemente finite bidimensionale (reprezentând pl ci, învelişuri şi chiar volume !);ǎ-elemente finite tridimensionale (reprezentând solidele, blocurile).Din punct de vedere al modului de varia ie al câmpului necunoscutelor (de exempluţ

deplas rile) în interiorul sau pe conturul lor pot fi clasificate în:ă-liniare;



-parabolice;-cubice, etc.Dac se consider num rul şi felul gradelor de libertate pentru un nod, elementele finiteă ă ă

structurale uzuale 3D pot avea maxim 3 grade de libertate transla i şi 3 grade de libertateţrota i . Uneori gradele de libertate pot fi completate şi cu temperaturi, presiuni,ţ viteze sau altem rimi func ie de formul rile particulare fiec rui tip de element finit.ă ţ ă ă

ElementeUnidimensionale

Bidimensionale

Tridimensionale

Alte tipuri

Liniare

Masa

Parabolice

Arc

Fig. 6: Tipuri de elemente finite

Cubice

Contact

În figura 6 se prezintǎ diverse tipuri de elemente finite. Se observǎ cǎ elementele finitesunt definite de puncte care nu sunt altceva decât vi toare noduri ale structuri . Existǎ elemente

7



de grad superior celor cubice (care sunt mai performante), dar cel mai des utilizate suntelementele liniare şi parabolice.

Sǎ nu uitǎm cǎ necunoscutele unei probleme sunt alese chiar în nodurile elementelor finite, noduri mai multe pe element înseamnǎ în general precizie mai bunǎ.

Unele elemente finite au noduri interioare (pe fe e sau în interiorul volumelor) pentru aţ

îmbun t i precizia, dar utilizatorul de regul nu lucreaz cu aceste noduri pentru c ele suntǎ ǎţ ă ǎ ǎgenerate şi apoi condensate în faza de calcul a matricelor de rigiditate ale elementelor.Un exemplu sugestiv al discretiz ri poate fi considerat o oglind spart şi lipit cuǎ ǎ ǎ ǎ ǎ

buc i mici de band adeziv la col uri. Alt exemplu ilusrativ ar fi o hain din petece cusute doarǎţ ǎ ǎ ţ ǎ

la col urile petecelor.ţReuniunea contururilor elementelor genereazǎ re eaua discretiz riţ ǎ .Opera ia de discretizare este de obicei dirijat de utilizator chiar dac programele deţ ǎ ǎ

firmǎ permit utilizarea discretizari automate pe diverse domeni .

Factori de influen a discretizţǎ ǎrii

Se poate face o distinc ie net între:ţ ǎ-1.discretizarea structurilor care au un suport fizic respectiv discretizarea în elementele

sale componente (structuri din bare);-2.discretizarea corpurilor solide sau fluide care este un proces pur matematic, arbitrar.O serie de factori care condi ioneaz discretizarea sunt:ţ ǎ-tipul elementelor finite - se aleg func ie de tipul problemei şi domeniul de analiz , deţ ǎ

precizia dorit , de varia ia m rimi necunoscute etc. Elementele parabolice suntǎ ţ ǎ preferateelementelor liniare, întrucât la acelaşi num r de noduri solu ia discretiz ri cuǎ ţ ǎ elemente

parabolice este mai precisǎ decât cea cu elemente liniare. Dacǎ existǎ mai multe tipuri deelemente finite la grani dintre eleţǎ tre buie sǎ se asigure continuita



Fig. 7: Influenta numarului de elemente (noduri) asupra preciziei în analiza cu elemente finite

-m rimea şi num rul elementelor finite influen eaz convergen a solu iei (vezi Fig. 7). Seǎ ǎ ţ ǎ ţ ţ

observǎ cǎ la un num r mai mare de elemente rezultatul se apropie c tre solu ia exact darǎ ǎ ţ ǎ

creşterea excesiv nu face decât s conduc la un volum foarte mare de calcule şi deci sǎ ă ă ăcreasc timpul de analiz . Convergen a de regul corespunde curbei 1 dar sunt elementeă ă ţ ă finitepentru care convergen a este de tipul curbei 2 sau chiar cu convergen oscilant ;ţ ţă ă

-pozi ionarea nodurilor, care în general se face uniform în structur . Discontinuita ile înţ ţǎ

geometrie sau în încǎrcare impun alegerea unor noduri

suplimentare. Trecerea de la o zonǎ cudiscretizare fin laǎ una

cu

discretizare modestă seface progresv, nu brusc;

-gradul de uniformitate al re elei de elemente finite. Se evit folosirea elementelorţ ǎ

cu

form exagerat distorsionat , adic elemente alungite şi/sau elemente care au fe e care nu seǎ ă ă ţ

încadreaz într-un plan. Preferabil ar fi ca discretizarea cu triunghiuri s con ină ţǎ ǎ numai

triunghiuri echilaterale, discretizarea cu patrulatere s con in doar p trate iar cea spa ial cuǎ ţ ǎ ǎ ţ ǎ

brickuri sǎ con in elemente cubice etc;ţ ǎ-stabilirea zonelor de frontier , pentru introducerea corect a condi i lor la limit ;ǎ ǎ ţ ǎ-numǎrul maxim de noduri sau elemente permis de program.

Exemple practice de discretiz riă

Figura 8 prezint câteva componente discretizate cu elemente finite, biela şi pistonulăsunt discretizate cu elemente finite de tip hexaedric cu 20 de noduri iar automobilul prezintădiscretiz ri cu elemente de mai multe tipuri: elemente de înveliş (SHELL) triunghiulare cu 6ă

noduri, elemente unidimensionale de tip grind , elemente de mas concentrat , arcuri şiă ă ăelemente de contact şi amortizare, etc.



(a)

(b) (c)

Fig. 8: Exemple de discretizări. (a) Bielă pentru analiza cvasistatică; (b) ½ dintr-un piston pentruanaliza termic ; (c) automobil pentru analiza de impactă

9

Curs_01_2008

Documents

Transcript of Curs_01_2008