CURS 4

LEGI DE REPARTIŢIE

Momentele de timp la care se manifestă defecţiunile (căderile) în cazul unui lot de produse identice se repartizează în mod natural după o lege de distribuţie (repartiţie) statistică) evidenţiată prin intermediul funcţiei de frecvenţă. În funcţie de caracterul variabilei aleatoare - continuă sau discretă – există două tipuri de distribuţie: continuă si respectiv discretă .

Cu privire la variabilele aleatoare există două feluri de distribuţii:A) distribuţii de tip timp de bună funcţionare sau distribuţii de tip timp de reparare [ distribuţii de tip continuu (normală, uniformă, exponenţială, Weibull; binomială cu exponent negativ)].B) distribuţii ale altor variabile aleatoare (numărul de cicluri până la primul defect, Pearson, Student, Fischer).

4.1. Legi de repartiţie continue

4.1.1. Legea de repartiţie normală

Densitatea de repartiţie a acestei legi are expresia:

(4.1)

m>0, .

Se verifică dacă relaţia (4.1) reprezintă o densitate de repartiţie. Se calculează :

(4.2)

Se efectuează schimbarea de variabilă:

(4.3)

şi rezultă:

(4.4)

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

În demonstrarea relaţiei (4.4) s-a utilizat schimbarea de variabilă:

(4.5)

şi s-a ţinut seama de relaţia:

Proprietăţile legii de repartiţie normalea) toate curbele au câte un punct de maxim x=m şi scad necontenit la dreapta şi la stânga spre zero;b) toate curbele sunt simetrice faţă de o paralelă la axa ordonatelor dusă prin punctul x=m;c) curbele îşi schimbă concavitatea în punctele de abscisă: ;d) cu cât este mai mic cu atât clopotul este mai ascuţit iar cu cât este mai mare clopotul este mai turtit.

Graficul densităţii de repartiţie este prezentat în fig.4.1.

Fig. 4.1. Graficul densităţii de repartiţie normală.

Pentru studiul densităţii de repartiţie se calculează derivatele de ordinul întâi şi al doilea.

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

22

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

-+ + + + 0 +.+. 0 - - - - - - - - -+ + + + 0 - - - - - 0 + + + +0 0

Valoarea medie a unei variabile aleatoare cu distribuţie normală

Se consideră o variabilă aleatoare X având funcţia de repartiţie normală:

(4.10)

Conform definiţiei valorii medii a unei variabile aleatoare avem:

(4.11)

Se efectuează schimbarea de variabilă:

(4.12)

şi rezultă:

(4.13)

Integrala este nulă întrucât funcţia de sub integrală este impară:

(4.14)

iar integrala unei funcţii impare pe un interval centrat în zero [de forma ] este nulă.

Integrala se poate scrie astfel:

23

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

(4.15)

Dispersia unei variabile aleatoare cu distribuţie normală

Conform definiţiei dispersiei a unei variabile aleatoare avem:

(4.16)

Se efectuează schimbarea de variabilă dată de relaţia (4.12). Rezultă:

(4.17)

pe care o rescriem sub forma:

(4.18)

care se integrează prin părţi, notând:

(4.19)

de unde rezultă:

(4.20)

Pentru integrala (4.14) rezultă:

(4.21)

Observaţii a) reprezintă media iar reprezintă dispersia variabilei aleatoare X;b) funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale este perfect determinată de media şi dispersia variabilei aleatoare.

24

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

Probabilitatea ca variabila normală X cu parametrii şi să ia o valoare

cuprinsă din intervalul este:

(4.22)

Se efectuează schimbarea de variabilă (4.3). Rezultă:

(4.23)

Se consideră funcţia normală de repartiţie cu parametrii 0 şi 1, numită funcţia lui Laplace, notată :

(4.24)

Se poate scrie:

(4.25)

Din această relaţie se poate deduce probabilitatea ca abaterea variabilei X , adică să satisfacă inegalitatea:

(4.26)

Această inegalitate este echivalentă cu dubla inegalitate:

(4.27)

sau:

(4.28)

Aplicând formula (4.22) rezultă:

25

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

(4.29)

Utilizând relaţia (4.24) rezultă:

(4.30)

şi:

(4.31)

Deoarece f (y) este o densitate de repartiţie se poate scrie relaţia:

(4.32)

Se pot scrie relaţiile:

(4.33)

Ţinând seama de relaţia faptul că f(x) este o funcţie pară , deci verifică relaţiile

(4.34)

şi, utilizând relaţiile (4.33) se obţine:

(4.35)

Relaţia (4.29) devine:

26

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

(4.37)

Dacă în relaţia (4.36) considerăm această relaţie devine:

(4.38)

întrucât din tabelele funcţiei Laplace rezultă . Din relaţia (4.38) rezultă regula celor : dacă variabila aleatoare X are repartiţie normală, atunci abaterea sa în valoare absolută nu depăşeşte întreitul valorii sale medii pătratice, cu probabilitatea 0,9974.

4.1.2.Legea de repartiţie uniformă

O variabilă aleatoare este uniform repartizată pe segmentul (a,b) dacă densitatea ei de repartiţie este:

(4.39)

iar funcţia de repartiţie:

(4.40)

Graficul funcţiei de repartiţie este arătat în figura 4.2.

Fig. 4.2. Graficul funcţiei de repartiţie uniformă.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare care are distribuţia uniformă este:

27

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

(4.41)

Dispersia unei variabile aleatoare care are distribuţia uniformă este:

(4.42)

4.1.3. Legea de distribuţie exponenţială

Expresia funcţiei de repartiţie este:

(4.43)

iar a densităţii de repartiţie:

(4.44)

Graficul densităţii de repartiţie este prezentat în figura (4.3 a) iar graficul funcţiei de repartiţie în figura (4.3 b).

Fig. 4.3 a. Graficul densităţii de repartiţie al repartiţiei

exponenţiale

Fig. 4.3. b. Funcţia de repartiţie exponenţială

Valoarea medie a unei variabile aleatoare care are distribuţia exponenţială este:

(4.45)

Se notează:

28

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

(4.46)

Cu aceste notaţii integrala din relaţia (4.45) devine:

(4.47)

Dispersia unei variabile aleatoare care are distribuţia exponenţială este:

(4.48)

Se notează:

(4.49)

Cu aceste notaţii integrala din relaţia (4.48) devine:

(4.50

Pentru calculul integralei I se utilizează notaţiile:

(4.51)

Rezultă:

(4.52)

Pentru

(4.53)

29

CONTROL STATISTIC ŞI FIABILITATE

Observaţie: Funcţia de repartiţie exponenţială şi densitatea de probabilitate exponenţială au un rol deosebit în teoria fiabilităţii: un dispozitiv care se conformează repartiţiei exponenţiale este considerat fără memorie (nu este în general supus uzurii mecanice).

4.1.4. Repartiţia Weibull

Expresia funcţiei de repartiţie:

(4.54)

iar a densităţii de repartiţie este:

(4.55)

unde m se numeşte parametru de formă, u- parametru de poziţie şi x0 parametru de dispersie.

Funcţia de repartiţie Weibull are un caracter general.Un dispozitiv care se conformează repartiţiei Weibull este un dispozitiv cu

memorie.În fig. 4.4 este prezentată funcţia densităţii de probabilitate corespunzătoare

repartiţiei Weibull.

Fig. 4.4. Densitatea de probabilitate corespunzătoare repartiţiei Weibull.

30