CURS_002_ET_VARIAB.doc

Ethan Frome

14control statistic i fiabilitate15

CURS 2

VARIABILE ALEATOARE2.1. Variabile aleatoare

Se consider un sistem complet de evenimente S = (E1 , E 2 , E 3 ,.. E n) , ale unui cmp finit. Evenimentele E1 , E 2 , E 3 ,.. E n sunt evenimente elementare i ntr-o experien apare unul singur, deci aceste evenimente verific condiiile:

EMBED Equation.3 (2.1)


dac . Dac se noteaz probabilitatea de realizare a evenimentului rezult:


sau: .

Definiie Se numete variabil aleatoare aplicaia:


Valoarea variabilei aleatoare X corespunztoare evenimentului se noteaz .

Probabilitatea de realizare a evenimentului Ek este , deci , care se poate enuna astfel: probabilitatea ca variabila aleatoare X s ia valoarea este . Se mai poate spune c are loc evenimentul cu probabilitatea .

Dac variabila aleatoare este definit pe o mulime cel mult numrabil variabila aleatoare se numete discret.

Definiie Dac X este o variabil aleatoare discret se numete repartiie a variabilei aleatoare X ansamblul format din valorile variabilei X i probabilitile evenimentelor corespunztoare. Se noteaz:


sau:


unde:


Funcia se numete funcie de probabilitate.

Exemplu: Aruncarea unui zar reprezint o variabil aleatoare.


sau:


n acest caz funcia de probabilitate este constant iar variabila aleatoare are o distribuie uniform.

Repartiia unei variabile aleatoare discrete caracterizeaz variabila.

2.2. Operaii cu variabile aleatoare

a. Produsul dintre o constant real i o variabila aleatoare


b. Adunarea variabilelor aleatoare

Fie variabilele aleatoare :


Suma variabilelor aleatoare X i Y este:


unde pij este probabilitatea realizrii simultane a evenimentelor X= xi i Y= yi sau pij=P(X= xi i Y= yi).

2.3. Valoarea medie a unei variabile aleatoare

Prin definiie valoarea medie a unei variabile aleatoare X este:


De exemplu, pentru variabila aleatoare din (2.8) media este:


2.4. Relaia dintre media unei variabile aleatoare X i media valorilor observate

Presupunem c n cele n experimente variabila X a luat de m1 ori valoarea x1, de m2 ori valoarea x2, de m3 ori valoarea x3 .a.m.d, astfel nct

Suma tuturor valorilor luate de variabila aleatoare X este:


iar media aritmetic a acestor valori este:


Dac numrul de experimente este mare frecvena relativ se apropie de probabilitate, deci se poate scrie:


Dac se nlocuiesc n (2.13) frecventele relative prin probabilitile corespunztoare rezult:


Concluzie

Media variabilei aleatoare X este aproximativ egal cu media aritmetic a valorilor observate ale variabilei aleatoare X. 2.5. Proprietile mediei

1. Media unei constante a este egal cu a.


Constanta poate fi considerat ca o variabil aleatoare discret care ia o singur valoare a cu probabilitatea p=1.


2. Media produsului dintre o constant a i o variabil aleatoare este egal cu produsul dintre constant i media variabilei aleatoare X.



3. Media sumei a dou variabile aleatoare este egal cu suma mediilor celor dou variabile aleatoare.


Demonstraia se va face ntr-un caz particular. Fie variabilele aleatoare :


EMBED Equation.3

(2.25)

Demonstraie

Evenimentul care const n aceea c variabila aleatoare X ia valoarea x1, eveniment a crui probabilitate este p1 este reuniunea evenimentelor incompatibile , , . Probabilitile celor 3 evenimente fiind din teorema de adunare a probabilitilor rezult: . Analog se demonstreaz , , .

4. Media produsului a dou variabile aleatoare este egal cu produsul mediilor celor dou variabile aleatoare.


Demonstraia se va face ntr-un caz particular. Fie variabilele aleatoare din relaia (2.24) . Produsul acestor variabile aleatoare este:



Variabilele aleatoare X i Y sunt independente, atunci exist relaia: . Rezult:

EMBED Equation.3

(2.29)

2.6. Abaterea variabilei aleatoare

Fie X o variabil aleatoare i M(X) media sa. Se numete abaterea variabilei aleatoare X variabila aleatoare:


Valoarea medie a abaterii este:


Pentru a msura mprtierea valorilor variabilei aleatoare fa de media sa nu se poate utiliza valoarea medie a abaterii deoarece aceasta este ntotdeauna nul.

Din aceast cauz, ca o msur a mprtierii valorilor variabilei aleatoare fa de media sa, se utilizeaz dispersia care este valoarea medie a ptratului abaterii.


Deci dispersia unei variabile aleatoare este egal cu diferena dintre media ptratului valorii aleatoare i ptratul mediei variabilei aleatoare.

2.7. Proprietile dispersiei

1. Dispersia unei constante este egal cu zero.


Proprietatea este intuitiv ntruct o mrime constant nu are nici o mprtiere.

2. Dispersia produsului dintre o constant i o variabil aleatoare X este egal cu produsul dintre ptratul constantei i dispersia variabilei aleatoare X.


3. Dispersia sumei a dou variabile aleatoare este egal cu suma dispersiilor variabilelor aleatoare.


Consecin: Dispersia sumei dintre o constant a i o variabil aleatore X este egal cu dispersia variabilei aleatoare X.


_1160497025.unknown

_1160500838.unknown

_1162219504.unknown

_1163261007.unknown

_1163440938.unknown

_1168357848.unknown

_1168357959.unknown

_1303556759.unknown

_1303556784.unknown

_1303556937.unknown

_1168358238.unknown

_1168358343.unknown

_1168358137.unknown

_1168357896.unknown

_1165811043.unknown

_1167726242.unknown

_1163484316.unknown

_1163484370.unknown

_1163441725.unknown

_1163261668.unknown

_1163436672.unknown

_1163437453.unknown

_1163262249.unknown

_1163261303.unknown

_1163261479.unknown

_1163261116.unknown

_1163259137.unknown

_1163259412.unknown

_1163259557.unknown

_1163259597.unknown

_1163259507.unknown

_1163259244.unknown

_1163259045.unknown

_1163259109.unknown

_1162221646.unknown

_1161061554.unknown

_1161062463.unknown

_1161068141.unknown

_1161072780.unknown

_1161063327.unknown

_1161062362.unknown

_1160501466.unknown

_1160501704.unknown

_1160501204.unknown

_1160499945.unknown

_1160500296.unknown

_1160500372.unknown

_1160500415.unknown

_1160500316.unknown

_1160500135.unknown

_1160500192.unknown

_1160500008.unknown

_1160497496.unknown

_1160497642.unknown

_1160497770.unknown

_1160497538.unknown

_1160497331.unknown

_1160497446.unknown

_1160497240.unknown

_1160496799.unknown

CURS_002_ET_VARIAB.doc

Documents

Transcript of CURS_002_ET_VARIAB.doc