Modelarea deciziei financiare şi monetare

Teoria portofoliului

Alexandru Leonte

Departamentul de Monedă şi Bănci

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VALORI

Structura capitolului

1. Noţiuni introductive

2. Ecuaţiile portofoliului 3. Portofolii eficiente – frontiera Markowitz

4. Portofolii eficiente – dreapta CML

1. Noţiuni introductive De citit Altăr (2002): pag. 1-42; 50-69; Bodie, Kane şi Marcus (2011) facultativ În acest capitol vom juca ˶rolul˝ unui investitor pe bursa de valori Acesta deţine o avere iniţială şi are la dispoziţie n active (acţiuni) care cotează pe piaţă

Întrebare: ce sumă să investească în fiecare activ? sau formulat echivalent ce pondere din averea sa să investească în fiecare activ? Fiecare activ este caracterizat de randamentul său (rentabilitatea sa) calculat(-ă) între două momente de timp:

niP

D

P

PP

P

DPPRi ,...,1,

0

1

0

01

0

101

randamentul capitalului randamentul dividendului

La momentul actual (0), se cunoaşte preţul curent, însă nu se cunoaşte preţul viitor şi nici valoarea dividentului. Vom spune că rentabilitatea activului i este o variabilă aleatoare

Vom lucra în ipoteza existenţei riscului. Nu cunoaştem cu certitudine valoarea viitoare a rentabilităţii, însă îi presupunem cunoscută distribuţia de probabilitate şi primele două momente: speranţa matematică (media) şi varianţa

De asemenea, se presupune cunoscută covarianţa dintre rentabilităţile oricăror două active i şi j

Mai putem scrie:

2

ii

i

RVar

RE

cunoscute

jiijijjjiiji RRRERRERERR ,ovc,ovc

jiijijji RR ,cov

coeficient de corelaţie

i

iRE

rentabilitatea aşteptată a activului i

riscul activului i

Vom grupa aceste elemente în formă matriceală

Pentru calcule ulterioare, este util să definim vectorul coloană de dimensiune n, în care toate elementele sunt 1

nRE

RE

RE

...

2

1

vectorul rentabilităţilor aşteptate

2

1

2

212

112

2

1

..1,

......

............

......

...

nn

n

njiij

matricea de varianţă-covarianţă

1

...

1

1

e de n ori

Portofoliul unui investitor cuprinde activele în care a investit acesta

Structura portofoliului: vector de dimensiune n x 1, ale cărui elemente reprezintă ponderile investiţiilor realizate în fiecare activ

2. Ecuaţiile portofoliului

n

P

x

x

x ...

1

vectorul de structură al portofoliului P

n

k

kk

iii

PN

PN

totalăInv

iactivînInvx

1

_

___

i

i

P

N numărul de unităţi de activ i cumpărate

preţul activului i

Suma componentelor unui vector de structură va fi 100% (=1), întrucât componentele reprezintă ponderi calculate în investiţia totală

Matriceal, relaţia se scrie:

Dacă pe piaţă sunt permise operaţiunile de vânzare pe descoperit (short selling), unele componente ale vectorului de structură pot să ia valori negative sau supraunitare

n

k

kn xxxx1

21 11...

)1(1'1...1...1

1

P

n

xe

x

x

Noi cunoaştem rentabilităţile aşteptate, varianţele şi covarianţele tuturor celor n active de pe piaţă

Ne punem întrebarea care este rentabilitatea aşteptată şi varianţa unui portofoliu a cărui structură o cunoaştem

Mai întâi, observăm că rentabilitatea portofoliului P este: Aplicând în relaţia (*) operatorul de speranţă matematică, vom obţine: Aplicând operatorul varianţă, vom obţine: (1), (2) şi (3) poartă denumirea de ecuaţiile portofoliului

PR

(*)...2211 nnP RxRxRxR

)2('...2211 PnnP xRExRExRExRE

)3('...1,

11

n

ji

PPijjinnP xxxxRxRxVarRVar