Numele unitii de studiu

Mecanic i mecanica fluidelorMecanic i mecanica fluidelorDinamica

1.5.2 Dimanica punctului material greu n vid. Dinamica punctului material acionat de o for centralTimp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de nvare: Prin parcurgerea acestei uniti de studiu, studentul va fi capabil s explice proprietile micrii punctului material greu n vid explice proprietile micrii punctului material acionat de o for central calculeze legea de micare a punctului material acionat de fore centrale particulare 1.5.2.1 Dimanica punctului material greu n vid

Un exemplu important de micare a unui punct material liber l constituie micarea punctului sub influena greutii proprii. Se alege reperul , cu Oy pe direcie vertical, Ox pe orizontal, n planul vertical care-l conine pe (fig.1). La un moment dat, punctul material ocup poziia A i asupra sa acioneaz doar fora de greutate .

Proiectnd ecuaia diferenial vectorial de micare , pe cele trei axe de coordonate, cu

Figura 1

condiiile iniiale, la momentul t = 0,

x = 0 , y = 0 , z = 0 i , , se obin ecuaiile scalare de micare

,

care reprezint soluia problemei, cu condiiile iniiale date. Traiectoria este plan, situat n planul vertical care conine vectorul .

Lucrnd, acum, n planul xOy i eliminnd , se determin ecuaia traiectoriei sub forma explicit

,

care reprezint o parabol, cu axa de simetrie vertical, dat de ecuaia

lungimea segmentului A2P . Se folosesc notaiile clasice pentru funcia de gradul al doilea. nalimea maxim este atins n punctul de maxim al funciei

f =

i este

Deci, nlimea maxim la care urc punctul material este

.

Aceast mrime reprezint sgeata traiectoriei i este egal cu distana maxim y de la punctul material la orizontala care trece prin punctul de lansare. Se poate determina i din condiia v = 0.

Figura 2

Distana parcurs pn n momentul n care punctul material atinge din nou solul este dat de lungimea segmentului OA3 i se numete btaie. Ea este atins cnd y devine din nou zero, adic pentru rdcina pozitiv a ecuaiei .

Rezult

,

unde este abscisa punctului A3 n care punctul recade pe Pmnt.

Deci, btaia este egal cu

.

Se observ c att bataia, ct i sgeata depind de modulul vitezei de lansare i de unghiul de lansare. Pentru acelai , cea mai mare btaie se obine atunci cnd este maxim, adic pentru

,

deci la o lansare sub un unghi de 450. Spre deosebire de btaie, nlimea maxim este atins pentru este maxim, adic pentru , ceea ce nseamn lansare pe vertical:, pentru micarea ascendent, - micare descendent. Evident, nlimea maxim este atins pentru micarea ascendent, cnd

.

Dintre cazurile mai importante de micare a punctului material greu, n aer sau n vid, se disting:

- micarea ascendent, cu viteza iniial orientat vertical n sus;

micarea descendent, cu sau fr vitez iniial;

micarea orizontal.

Ecuaia fasciculului de traiectorii, care se obin pentru aceeai vitez iniial, se scrie

,

unde s-a notat i reprezint parametrul fasciculului.

1.5.2.2 Micarea unui punct material sub aciunea unei fore centrale

1.5.2.2.1 Generaliti

O for se numete for central dac suportul ei trece, n tot timpul micrii, printr-un punct fix O, numit centrul forelor .

Fie A poziia punctului material la un moment dat, versorul vectorului de poziie al punctului A fa de un sistem de axe de coordonate Oxyz (fig. 3).

i .

Figura 3

Pentru F >0, fora central este dirijat n sensul lui i se numete for repulsiv, iar O centru de repulsie, iar pentru F < 0 fora se numete for atractiv, i O este centru de atracie.

Din

,

se pot deduce o serie de proprieti generale ale micrii, independente de fora central , prin eliminarea ei n relaia de mai sus.Astfel, folosind faptul c i sunt vectori paraleli, rezult i, de aici,

.

Din

,

rezult c exist un vector constant astfel nct

.

1.5.2.2.2 Proprietile micrii

Din aceast relaie, se pot deduce proprietile micrii punctului material sub aciunea forelor centrale. Astfel, nmulind relatia cu vectorul constant , se obine

.

1. Traiectoria unui punct material liber acionat de o for central este o traiectorie plan, micarea fcndu-se ntr-un plan care conine centrul forelor.

Pentru stabilirea altor proprieti se utilizeaz coordonatele polare, care sunt, n acest caz, mai uor de folosit, pentru c este pe direcia lui . n coordonate polare, ecuaia fundamental a dinamicii punctului material conduce la sistemul

Se observ c, n cea de-a doua ecuaie, nu apare fora, adic rezultatul obinut este independent de aceasta.

(pentru ).

Rezult

,

de unde se gsete

.

Notnd cu modulul vitezei areolare, se obine

constant,

unde C1 este constanta ariilor. Rezultatul obinut este:2. Sub aciunea unei fore centrale, un punct material liber se mic cu viteza areolar constant (OA mtur arii egale n intervale de timp egale).

AplicaieS se arate c, dac un punct material P se mic sub aciunea unei fore centrale i orbita este circular, atunci mrimea vitezei lui P trebuie s fie constant.

Soluie

Dac se noteaz cu i versorii axelor n sistemul de coordonate polare, viteza se scrie

i .

S-a demonstrat c, sub influena unei fore centrale, . Pe de alt parte, traiectoria fiind circular, rezult c r este constant, deci . nlocuind n expresia modulului vitezei, se obine

,

deci v este constant, de unde concluzia c mrimea vitezei este constant.

1.5.2.2.3 Ecuaia lui Binet

Figura 4

Se revine asupra integrrii sistemului format din ecuaiile difereniale de micare, scris sub forma

.

Eliminnd ntre aceste dou ecuaii, se obine

,

ecuaie diferenial de ordinul al doilea, cu necunoscuta r.

Se urmrete determinarea lui r ca funcie de , r = . Pentru aceasta se calculeaz

,

apoi

=

.

Se obine

,

care se scrie ca o ecuaie diferenial de ordinul al doilea, cu necunoscut funcia, de variabil ,

ecuaie cunoscut sub numele de ecuaia lui Binet.

Exerciii1. Explicai cum se obin i modul n care se folosesc ecuaiile difereniale de micare.

2. Se consider un obiectiv situat ntr-un raport la sistemul Oxy, n punctul de coordonate (x0, y0). S se determine condiiile iniiale ale micrii punctului material greu n vid, aruncat cu viteza iniial , astfel nct obiectivul s fie atins.3. n ce caz se folosete ecuaia lui Binet i ce fel de ecuaie este aceasta?4. S se determine traiectoria unui punct material de mas m, care este supus aciunii unei fore centrale, cu modulul invers propoional cu puterea a treia a distanei la pol:.

Rspunsuri:1. Se obin din ecuaia fundamental a dinamicii punctului material. Integrarea acestor ecuaii permite determinarea legii de micare a punctului. Chiar dac integrarea nu este posibil, din ecuaiile difereniale de micare se pot stabili proprieti ale micrii.2. Se folosete legea de micare pentru punctul material greu n vid, scris sub forma:

din condiia ca obiectivul s fie atins. Se trateaz ca ecuaie n .

3. Ecuaia lui Binet se folosete pentru studiul micrii punctului material acionat de o for central. Este o ecuaie diferenial de ordinul al doilea cu coeficieni constani, neomogen, avnd ca necunoscut funcia 1/r i ca variabil pe .

4. Se nlocuiete expresia lui F n ecuaia lui Binet. Se obine

0,

ecuaie diferenial de ordinul al doilea cu coeficieni constani.

Ecuaia caracteristic a acestei ecuaii difereniale este

.

Se noteaz cu . Ecuaia caracteristic devine

.

Sunt posibile mai multe cazuri: dac E > 0, adic pentru

,

rezult

.

Din inegalitatea de mai sus, rezult c constanta k poate fi negativ de modul mic sau pozitiv. Deci, este situaia n care fora este atractiv slab sau repulsiv. Soluia ecuaiei se scrie

.

Dac E = 0, ceea ce corespunde unei fore pentru care , adic fora este atractiv, se obine soluia

.

n ultimul caz, n care E < 0, rezult, din nou, , deci for este atractiv. Soluia este

.

14 October 2010Conf. univ. dr. Angela Muntean1 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.14 October 2010Conf. Univ. Dr. Angela Muntean7 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.

_1086000067.unknown

_1196263019.unknown

_1196344808.unknown

_1199075091.unknown

_1203085165.unknown

_1204050456.unknown

_1348554863.unknown

_1348554864.unknown

_1203086675.unknown

_1199075125.unknown

_1199077239.unknown

_1203085075.unknown

_1199077422.unknown

_1199077189.unknown

_1199075106.unknown

_1196345276.unknown

_1196345704.unknown

_1196346393.unknown

_1196346463.unknown

_1196346704.unknown

_1196345813.unknown

_1196345691.unknown

_1196344843.unknown

_1196344927.unknown

_1196344816.unknown

_1196263970.unknown

_1196269341.unknown

_1196344797.unknown

_1196269263.unknown

_1196263415.unknown

_1196263661.unknown

_1196263201.unknown

_1089221425.unknown

_1091508486.unknown

_1091555181.unknown

_1098420513.unknown

_1196262646.unknown

_1092393168.unknown

_1095440112.unknown

_1097851552.unknown

_1092393214.unknown

_1091555353.unknown

_1091555024.unknown

_1091555142.unknown

_1091508543.unknown

_1091509010.unknown

_1091555002.unknown

_1091508945.unknown

_1091508488.unknown

_1091506905.unknown

_1091508458.unknown

_1091508474.unknown

_1091508402.unknown

_1089392130.unknown

_1089394458.unknown

_1089394488.unknown

_1089392167.unknown

_1089392101.unknown

_1086184251.unknown

_1086260983.unknown

_1086264062.unknown

_1086264087.unknown

_1087036958.unknown

_1086263792.unknown

_1086184426.unknown

_1086183988.unknown

_1086184045.unknown

_1086000135.unknown

_1084973572.unknown

_1085999484.unknown

_1085999721.unknown

_1085999749.unknown

_1085999594.unknown

_1084974123.unknown

_1084974208.unknown

_1084974068.unknown

_1084806423.unknown

_1084968410.unknown

_1084972049.unknown

_1084973526.unknown

_1084968330.unknown

_1084805302.unknown

_1084805955.unknown

_1084804754.unknown